Analysis in einer Variablen

Transkript

1 Anlysis in einer Vriblen Eine Vorlesung für ds Lehrmtsstudium Frnz Hofbuer SS 009

2 Vorwort Die Lehrmtsusbildung sollte sich n der Berufsrelität der Lehrer orientieren. Deshlb wird in diesem Skriptum ein Zugng zur Anlysis gewählt, der nhe n der Mthemtik im Schulunterricht bleibt. Die reellen Zhlen werden ls Dezimlzhlen eingeführt, die uf der Zhlengerde ngeordnet sind. Es ist dnn nicht schwer, die Intervllschchtelungseigenschft zu beweisen. Diese Version der Vollständigkeit der reellen Zhlen ht uch den Vorteil, dss mn sie unmittelbr nwenden knn, zum Beispiel zum Berechnen der Wurzel einer positiven reellen Zhl oder zur Bestimmung der Fläche des Einheitskreises. Mit Hilfe einer Intervllhlbierungsmethode knn mn dnn den Zwischenwertstz, den Stz von Bolzno-Weierstrß und den Stz über ds Supremum einer beschränkten Menge beweisen. Diese Beweise sind in einem eigenen Kpitel zusmmengefsst. Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbrkeit werden wie üblich behndelt. Als zusätzliche Anwendungsmöglichkeit der Ableitung werden einige wichtige Ungleichungen bewiesen. Die trigonometrischen Fuktionen werden m Einheitskreis definiert. Geometrische Überlegungen helfen dnn, die Summensätze zu beweisen und die Ungleichungen zu finden, die für die Berechnung der Ableitung gebrucht werden. Die Exponentilfunktion beschreibt kontinuierliches Wchstum. Ist x der jährliche Zinsstz und unterteilt mn ds Jhr in n gleich lnge Perioden, n deren Enden die Zinsen gutgeschrieben werden, dnn wächst ds Strtkpitl um den Fktor ( + x n )n in einem Jhr. Im Grenzwert n erhält mn kontinuierliches Wchstum. Ds ergibt die Definition der Exponentilfunktion. Mit Hilfe von entsprechenden Ungleichungen knn die Existenz dieses Grenzwertes bewiesen werden. Ebenso findet mn die Rechenregeln und die Ableitung der Exponentilfunktion. Die Umkehrfunktion von x ( + x n )n ist x n( n x ). Als Grenzwert dieser Funktionen ergibt sich der Logrithmus. Ds Riemmnnintegrl wird wie üblich mit Hilfe von Ober- und Untersummen eingeführt und dnn der Huptstz bewiesen. Aus den Rechenregeln für die Ableitung erhält mn die für ds Integrl. Schließlich wird noch die Tylorformel behndelt, um die oben gennnten Funktionen und einige ndere in Potenzreihen entwickeln zu können. Reihen und insbesondere Potenzreihen sind für diesen Zugng zur Anlysis nicht notwendig. Sie werden dher kurz m Ende des Skriptums behndelt. Im Anhng findet mn einige interessnte Anwendungen und Ergänzungen.

3 I. Reelle Zhlen und stetige Funktionen Wir führen die reellen Zhlen ls Dezimlzhlen ein, die wir uns uf der Zhlengerde ngeordnet vorstellen. Ddurch ist uch eine Ordnungsreltion festgelegt. Wir zeigen dnn, dss die Intervllschchtelungseigenschft gilt. Sie wird später zum Beweis der grundlegenden Sätze wie Zwischenwertstz, Mittelwertstz und Stz über die Konvergenz monotoner Folgen verwendet. Der Begriff des Grenzwerts spielt die Huptrolle in der Anlysis. Wir beginnen dher mit der Untersuchung von Folgen und deren Grenzwerten. Dnn führen wir Funktionen ein. Beispiele dfür sind Polynome und rtionle Funktionen. Wesentlich ist der Begriff der Stetigkeit. Für stetige Funktionen gilt der Zwischenwertstz. Dmit beweist mn unter nderem die Existenz der Umkehrfunktion, die zur Einführung der Wurzelfunktion und dmit uch der Potenzfunktion verwendet wird.. Dezimlzhlen Die Geschichte der Zhlen beginnt mit dem Zählen. Ddurch erhält mn die ntürlichen Zhlen N = {,, 3,... }. Fügt mn uch noch die Null und die negtiven Zhlen hinzu, so erhält mn die gnzen Zhlen Z = {..., 3,,, 0,,, 3, 4,... } Gnze Zhlen knn mn ddieren und multiplizieren und erhält ddurch wieder gnze Zhlen. Die Rechenregeln für Addition und Multipliktion sind Assozitivgestze: + (b + c) = ( + b) + c und (bc) = (b)c Kommuttivgesetze: + b = b + und b = b Distributivgesetz: ( + b)c = c + bc Diese Gesetze grntieren, dss mn so ddieren und multiplizieren drf, wie mn es gewohnt ist. Die Subtrktion wird ls Umkehropertion zur Addition behndelt. Die Subtrktion einer Zhl ist die Addition dieser Zhl mit geändertem Vorzeichen. Neben den Rechenopertionen gibt es uch eine Ordnungsreltion < uf Z. Zwei gnze Zhlen sind immer vergleichbr, ds heißt, wenn ungleich b ist, dnn gilt entweder < b oder > b. Mn knn Z ls die gnzzhligen Punkte uf der Zhlengerden nordnen Wir wollen uns nicht weiter mit den gnzen Zhlen beschäftigen, sondern gleich zu den reellen Zhlen übergehen. In Z knn mn die Subtrktion, lso die Umkehropertion zur Addition usführen, nicht ber die Umkehropertion zur Multipliktion. Will mn zum Beispiel 9 durch 7 dividieren, so erhält mn ls Ergebnis und ls Rest. Ds Divisionsergebnis liegt lso zwischen und. Um die Division genuer usführen zu können, gehen wir über zu einer genueren Skl, indem wir die Längeneinheit in zehn Teile unterteilen Jetzt knn mn die Division uf eine Dezimlstelle genu usführen. Ds Divisionsergebnis uf eine Dezimlstelle genu ist. mit 6 ls Rest. Ds exkte Divisionsergebnis liegt lso

4 Reelle Zhlen und stetige Funktionen zwischen. und.3. Mn knn dieses Verfhren fortsetzen. Unterteilt mn die Abstände zwischen ufeinnderfolgenden einstelligen Dezimlzhlen jeweils wieder in zehn gleiche Teile, so erhält mn eine zweistellige Dezimlskl Jetzt knn mn die Division uf zwei Dezimlstellen genu usführen. Ds Divisionsergebnis uf zwei Dezimlstellen genu ist.8 mit 4 ls Rest. Ds exkte Divisionsergebnis liegt lso zwischen.8 und.9. Ds knn mn immer weiter fortsetzen ußer es kommt einml der Rest 0, womit die Division endet. Als exktes Divisionsergebnis erhält mn eine Dezimlzhl. Eine Dezimlzhl besteht us einem gnzzhligen Teil (mit Vorzeichen) und nch dem Dezimlpunkt us einer endlichen oder unendlichen Folge von Ziffern, den Dezimlstellen. Die Menge ller Dezimlzhlen bezeichnen wir mit R und nennen sie die Menge der reellen Zhlen, wobei wir später noch eine geringfügige Modifiktion vornehmen. Es gibt viele Dezimlzhlen, die nicht ls Ergebnis einer Division einer gnzen Zhl durch eine ntürliche Zhl uftreten. Diejenigen, die uftreten, bilden die Menge Q der rtionlen Zhlen, lso Q = { m n : m Z, n N}. Beknntlich sind ds die Dezimlzhlen, die nur endlich viele Dezimlstellen hben oder deren Dezimlstellen sich b einer gewissen Stelle periodisch wiederholen. In Q rechnet mn üblicherweise mit Brüchen nsttt mit Dezimlzhlen. Jedoch ist Q für die Anlysis nicht geeignet, d die Intervllschchtelungseigenschft nicht erfüllt ist. Wir bruchen dher die Menge R ller Dezimlzhlen. Die Dezimlzhl bestimmt die Position uf der Zhlengerden. Durch jede Dezimlstelle wird die Position genuer festgelegt. Ddurch sind die Dezimlzhlen uch geordnet. Sind x und y zwei Dezimlzhlen, dnn gilt x < y, wenn x uf der Zhlengerden links von y liegt. Wir schreiben x y, wenn x < y oder x = y gilt. Die Ordnungsreltion ermöglicht es uch, Intervlle zu definieren. Mit (, b) bezeichnen wir die Menge ller Dezimlzhlen, die uf der Zhlengerden zwischen und b liegen, ds heißt (, b) = {x : < x < b}. Mn nennt (, b) ds offene Intervll mit Endpunkten und b. Ds bgeschlossene Intervll enthält uch die beiden Endpunkte. Es wird mit [, b] bezeichnet. Es gilt lso [, b] = {x : x b}. Anlog werden die hlboffenen Intervlle [, b) = {x : x < b} und (, b] = {x : < x b} definiert. Mn muss bei der Drstellung der Zhlen durch Dezimlzhlen llerdings ein bisschen ufpssen. Eine Dezimlzhl, bei der b einer Stelle nur mehr 9 uftritt, fällt nämlich uf der Zhlengerden immer mit der Dezimlzhl zusmmen, die mn erhält, wenn mn die Neuner weglässt und die letzte Stelle vor den Neunern um erhöht. Wir sehen uns dieses Problem genuer n. Seien x und y zwei Dezimlzhlen. Wir suchen die erste Dezimlstelle, n der sie sich unterscheiden. Sgen wir, es ist die zweite. Wenn sich die Ziffern n dieser Stelle um mehr ls unterscheiden, dnn bestimmen x und y verschiedene Punkte uf der Zhlengerden. Ist zum Beispiel x =.3... und y =.5..., dnn liegt x in [.3,.4] und y in [.5,.6]. D diese beiden Intervlle keinen gemeinsmen Punkt hben, müssen x und y verschieden sein. Unterscheiden sich die Ziffern n dieser Stelle jedoch nur um, zum Beispiel x =.3... und y =.4..., dnn liegt x in [.3,.4] und y in [.4,.5]. Diese beiden Intervlle hben genu einen Punkt gemeinsm, nämlich.4. Wenn lso x und y denselben Punkt drstellen, dnn knn ds nur.4 sein. Durch y wird der Punkt.4 nur dnn drgestellt, wenn lle weiteren Dezimlstellen 0, ds heißt nicht

5 Frnz Hofbuer 3 vorhnden sind. Ist 9 die nächste Ziffer in x, lso x =.39..., dnn liegt x in [.39,.4]. Kommt dnn noch eine 9, dnn liegt x in [.399,.4]. Sind lle weiteren Ziffern von x gleich 9, lso x = , dnn liegt x in den Intervllen [ ,.4], sodss x ebenflls den Punkt.4 uf der Zhlengerden drstellt. Ist eine dieser weiteren Ziffern nicht 9, dnn stellt x uch nicht den Punkt.4 dr. Drus sieht mn, dss eine Dezimlzhl, bei der b einer Stelle nur mehr 9 uftritt, uf der Zhlengerden immer mit der Dezimlzhl zusmmenfällt, die mn erhält, wenn mn die Neuner weglässt und die letzte Stelle vor den Neunern um erhöht. Mn sieht drus uch, dss ds die einzige Möglichkeit für ds Zusmmenfllen von zwei verschiedenen Dezimlzhlen uf der Zhlengerden ist. Um zu erreichen, dss jeder Punkt uf der Zhlengerden genu einer Dezimlzhl entspricht, verbieten wir Dezimlzhlen, bei denen b einer Stelle nur mehr 9 uftritt. Sollte eine Zhl wie vorkommen, zum Beispiel ls Ergebnis einer Rechnung, dnn denken wir sie uns utomtisch durch die entsprechende endliche Dezimlzhl ersetzt. Für ist ds.4. Die Menge der reellen Zhlen R ist die Menge ller Dezimlzhlen, wobei wir jetzt Dezimlzhlen, bei denen b einer Stelle nur mehr 9 uftritt, nicht mehr zulssen. So entsprechen die reellen Zhlen in eindeutiger Weise den Punkten uf der Zhlengerden. Auf der Menge R müssen wir Addition und Multipliktion definieren. Dzu verwenden wir gerundete Dezimlzhlen. Ist x eine Dezimlzhl, dnn bezeichnen wir mit x n die uf n Stellen gerundete Zhl x. Die gerundete Zhl x n ist eine Zhl mit n Dezimlstellen und wird so definiert, dss x im Intervll (x n ε n, x n + ε n] liegt, wobei ε n = der Abstnd zweier Zhlen in der n-stelligen Dezimlskl ist. Die Addition uf der n-stelligen Dezimlskl funktioniert genuso wie für gnze Zhlen. Will mn zwei Dezimlzhlen x und y ddieren, dnn ddiert mn die gerundeten Zhlen x n und y n. Berücksichtigt mn uch die Rundungsfehler, dnn erhält mn ds Intervll (x n + y n ε n, x n + y n + ε n ], in dem die Summe von x und y liegen muss. Die ersten n Stellen der Summe sind dmit bestimmt, wobei jedoch die n-te Stelle uch um größer oder kleiner sein knn. Beispiel: Sei x = und y = Rundet mn uf 5 Stellen, so erhält mn x 5 =.3746 und y 5 =.54. Es folgt x 5 + y 5 = Die Summe von x und y liegt dher in ( , ]. Durch Vergrößern von n knn mn immer mehr Stellen der Summe bestimmen, sodss x + y ddurch eindeutig definiert wird. Auf dieselbe Art erhält mn uch x y. Ds ist j die Addition einer Zhl mit geändertem Vorzeichen. Mn erkennt drus uch sofort die Gültigkeit des Kommuttivgesetzes und des Assozitivgesetzes für die Addition. D gerundete Zhlen genuso ddiert werden wie gnze Zhlen, muss x n + y n = y n + x n für lle n gelten. Wäre x + y y + x, dnn könnte mn ein m finden, sodss sich x + y und y + x in der m-ten Dezimlstelle unterscheiden. Mn knn nun n so groß wählen, dss x + y und x n + y n über die m-te Dezimlstelle hinus übereinstimmen und dss dsselbe uch für y+x und y n +x n gilt. Wegen x n +y n = y n +x n müssen dnn uch x + y und y + x n der m-ten Dezimlstelle übereinstimmen. Dmit ist x + y = y + x gezeigt. Auf ähnliche Weise folgt ds Assozitivgesetz. Es genügt, ds Produkt für positive reelle Zhlen einzuführen. Ds Produkt von zwei beliebigen reellen Zhlen x und y erhält mn, indem mn ds Produkt ohne Vorzeichen berechnet und mit einem positiven Vorzeichen versieht, wenn x und y gleiches Vorzeichen hben, und mit einem negtiven, wenn x und y verschiedenes Vorzeichen hben.

6 4 Reelle Zhlen und stetige Funktionen Seien x und y lso positive reelle Zhlen. Die gerundeten Zhlen x n und y n multipliziert mn unter Weglssen des Dezimlpunkts wie gnze Zhlen, wobei mn im Produkt den Dezimlpunkt wieder richtig setzen muss. Ist C eine Zhl größer ls x+y+, dnn liegt ds Produkt der Zhlen x und y im Intervll (x n y n Cε n, x n y n + Cε n ]. Gibt mn ein m vor, dnn knn mn immer ein n finden, sodss die ersten m Dezimlstellen von x n y n bereits die des Produkts von x und y sind. Auf diese Weise lssen sich beliebig viele Dezimlstellen des Produkts bestimmen, sodss xy eindeutig definiert ist. Wie für die Addition folgen ds Kommuttivgesetz und ds Assozitivgesetz uch für die Multipliktion, d die gerundeten Dezimlzhlen j wie gnze Zhlen multipliziert werden und für diese dher Kommuttivund Assozitivgesetz gelten. Ebenso erhält mn ds Distributivgesetz. Beispiel: Sei x = und y = Rundet mn uf 4 Stellen, so erhält mn x 4 =.375 und y 4 = Es folgt x 4 y 4 = Mn knn C = wählen und erhält, dss xy im Intervll [0.0590, ] liegt. Wir hben lso 3 Dezimlstellen von xy bestimmt. Um die Division einzuführen, genügt es x für x > 0 zu definieren. Wir erhlten y x dnn ls y x. Sei lso x > 0. Ist x >, dnn setzen wir k = 0. Ansonsten sei die k-te Dezimlstelle die erste, n der x eine Ziffer 0 ht. Für n > k gilt dnn, dss der Kehrwert von x im Intervll [ x n 0 k ε n, x n + 0 k ε n ] liegen muss. Somit liefert uns x n die ersten n k Dezimlstellen von x. D mn n beliebig groß wählen knn, ist x ddurch eindeutig bestimmt. Mn knn x n ls Division zweier gnzer Zhlen berechnen. Beispiel: Sei x = , sodss wir x 5 = erhlten. Es folgt k = und x 5 = , indem mn den Bruch usdividiert. Wegen 0 k ε 5 = 0. liegt x im Intervll [36.5, 36.7]. Dmit sind uf R lle vier Grundrechenrten eingeführt, wobei die üblichen Rechenregeln gelten. Mit den Rechenopertionen + und bildet R einen Körper.. Ordnung Wir hben die Ordnungsreltion in R so definiert: Es gilt < b, wenn uf der Zhlengerde links von b liegt, ds heißt, wenn b positives Vorzeichen ht. Ebenso gilt b, wenn b positives Vorzeichen ht oder null ist. Wir schreiben ds so uf (A) b 0 b und < b 0 < b D Summe und Produkt zweier positiver Zhlen wieder positiv sind, hben wir uch (B) 0, b 0 + b 0, b 0 und > 0, b > 0 + b > 0, b > 0 Aus diesen einfchen Eigenschften lssen sich lle weitere Regeln für ds Rechnen mit der Ordnungsreltion herleiten. Wir fssen sie in den folgenden beiden Sätzen zusmmen. Stz.: Für R gilt 0. Weiters gilt < 0 0 < und > 0 > 0. Beweis: Wir erhlten < 0 0 < us (A) mit b = 0. Ist > 0 dnn folgt > 0, indem mn b = in (B) setzt. Ist < 0 dnn folgt > 0 und ( ) > 0, ds heißt > 0 mit Hilfe der beiden gerde gezeigten Aussgen. Somit gilt > 0 für lle 0. Ist jetzt > 0, dnn gilt uch ( ) > 0, wie wir soeben gezeigt hben, und us (B) folgt dnn ( ) > 0, ds heißt > 0, womit > 0 > 0 gezeigt ist. Ist = 0, dnn gilt = 0, womit uch 0 für lle R gezeigt ist.

7 Stz.: Seien, b, c, d R. Dnn gilt () b + c b + c (b) b c bc, wenn c > 0 (c) b c bc, wenn c < 0 (d) b, b c c (e) b, c d + c b + d (f) 0 b, 0 c d c bd (g) b b, wenn 0 und b 0 Frnz Hofbuer 5 Beweis: Es gilt b 0 b und + c b + c 0 b + c ( + c) nch (A). Wegen b = b + c ( + c) ist dmit bereits () gezeigt. Wir zeigen (b). Aus b folgt 0 b wegen (A) und drus 0 bc c wegen (B), d c > 0 vorusgesetzt wird, und drus dnn c bc wieder wegen (A). Somit ist b c bc gezeigt. Wegen c > 0 gilt uch c > 0 nch Stz.. Aus der soeben gezeigten Impliktion folgt dnn c bc c c bc c, ds heißt c bc b. Dmit sind beide Impliktionen in (b) gezeigt. Wir erhlten (c) us (b). Es gilt c < 0 und dher 0 < c wegen Stz.. Dnn gilt b ( c) b( c) nch (b) und ( c) b( c) ( c) + d b( c) + d nch (). Setzt mn ds zusmmen und d = c + bc, dnn ht mn b bc c. Es gilt b, b c 0 b, 0 c b 0 b + c b = c c, wobei wir zuerst (A), dnn (B) und schließlich nochmls (A) nwenden. Dmit ist (d) gezeigt. Aus () und (d) folgt b, c d + c b + c, c + b d + b + c d + b. Ds ist (e). Aus (b) und (d) folgt 0 b, 0 c d c bc, cb db c db. Ds ist (f). Für c = 0 oder b = 0 ist die zweite Impliktion j trivil. Ist = b = 0, dnn gilt (g). Gilt > 0 und b 0, dnn folgt b > 0. Gilt b > 0 und 0, dnn folgt + b 0 + b > 0, beides us (). Sei c = b +. Wegen c > 0 erhlten wir dnn b 0 b 0 c (b )c 0 b b mit Hilfe von () und (b). Dmit ist (g) gezeigt. In Stz. sind einige Äquivlenzumformungen von Ungleichungen enthlten, die mn verwendet, um Ungleichungen zu beweisen oder die Lösungsmenge einer Ungleichung zu suchen. Wir geben ein Beispiel. Beispiel: Wir zeigen, dss ds hrmonische Mittel kleiner oder gleich dem rithmetischen Mittel ist, lso xy x+y x+y für x, y > 0 gilt. Wir versuchen durch Äquivlenzumformungen eine Ungleichung zu erhlten, deren Richtigkeit klr ist: xy x+y x+y (x + y) xy x +xy+y 4xy x + xy + y 4xy 0 x xy + y 0 (x y) Diese letzte Ungleichung ist richtig, d qudrierte Zhlen nch Stz. immer 0 sind. D die erste Ungleichung dzu äquivlent ist, hben wir diese bewiesen.

8 6 Reelle Zhlen und stetige Funktionen Der Betrg x einer reellen Zhl x ist die Zhl ohne Vorzeichen, ds heißt x = x, wenn x 0 ist, und x = x, wenn x < 0 ist. Es gilt x = x. Der Abstnd zweier Zhlen x und y uf der Zhlengerden ist durch x y gegeben. Wir werden ihn bei der Definition des Grenzwerts verwenden. Der folgende Stz gibt die Eigenschften des Betrges n. Stz.3: Seien x und y in R. Dnn gilt () x + y x + y (Dreiecksungleichung) (b) x y = xy Beweis: Es gilt x x und x x für lle x R, d x = x und x 0 x im Fll x 0 gilt, und x 0 x und x = x im Fll x < 0. Seien jetzt x und y in R. Dnn gilt x x und y y, wie soeben gezeigt wurde, lso uch x + y x + y nch Stz. (e). Ebenso gilt x x und y y, und dmit uch x y x + y wieder wegen Stz. (e). D x + y entweder gleich x + y oder gleich x y ist, ist x + y x + y, lso () gezeigt. D ds Produkt xy ohne Berücksichtigung des Vorzeichens berechnet und dieses erst dnch gesetzt wird, ist xy ds Produkt der vorzeichenlosen Zhlen, lso x y. Wir führen noch die Begriffe Mximum und Minimum ein. Unter dem Mximum von endlich vielen Zhlen x, x,..., x k versteht mn die größte dieser Zhlen. Mn bezeichnet sie mit mx(x, x,..., x k ). Unter dem Minimum von endlich vielen Zhlen x, x,..., x k versteht mn die kleinste dieser Zhlen. Mn bezeichnet sie mit min(x, x,..., x k ). 3. Intervllschchtelungseigenschft Nchdem wir die Rechenopertionen und die Ordnungsreltion behndelt hben, kommen wir jetzt zur sogennnten Intervllschchtelungseigenschft der reellen Zhlen. Als Intervllschchtelung bezeichnet mn eine Folge von bgeschlossenen Intervllen, sodss ds nächstfolgende Intervll immer im vorhergehenden enthlten ist. Wir hben lso Intervlle [ n, b n ] für n, für die [, b ] [, b ] [ 3, b 3 ] [ 4, b 4 ]... gilt. Die Anordnung der Endpunkte ist durch 3 4 < b 4 b 3 b b gegeben. Wir nehmen n, dss lle Dezimlzhlen unendlich viele Dezimlstellen hben, indem wir bei Dezimlzhlen mit endlich vielen Dezimlstellen mit Nullen fortsetzen. Stz.4 (Intervllschchtelungseigenschft) Sei [ n, b n ] für n eine Folge von Intervllen mit [ n+, b n+ ] [ n, b n ]. Dnn gibt es ein x R mit x [ n, b n ] für lle n. Beweis: Wir nehmen zuerst n, dss lle Intervlle Teilmengen von [0, ) sind. Sei g n der gnzzhlige Teil der Dezimlzhl n. Wegen 3 b erhlten wir g g g 3 b. D die Zhlen g n ber gnze Zhlen sind, ist die jeweils nächste Zhl entweder gleich der vorherigen Zhl oder um mindestens eins größer ls die vorherige Zhl. Dher knn es nur endlich oft vorkommen, dss die nächste Zhl größer ls die vorherige ist, sonst würden diese Zhlen j irgendwnn b überschreiten. Es müssen ein g Z und ein n 0 existieren, sodss g n = g für lle n n 0 gilt. Jetzt zu den Dezimlstellen. Für k sei d n,k die k-te Dezimlstelle von n. Wir beginnen mit k =. Es gilt n0 n0 + n und der gnzzhlige Teil dieser Zhlen ist derselbe. Für die erste Dezimlstelle gilt dher d n0, d n0 +, d n0 +,.... Weiters liegen die Ziffern d n, für n n 0 in der Menge {0,,..., 9}, sodss b einer gewissen Stelle dieselbe Ziffer uftreten muss. Es gibt somit eine Ziffer d und ein n n 0 mit d n, = d für lle n n.

9 Frnz Hofbuer 7 So behndeln wir uch die Dezimlstellen d n,k mit k. D der gnzzhlige Teil und die erste Dezimlstelle für n n unverändert bleiben, gilt d n, d n +, d n +,..., und mn findet wie oben ein n n und eine Ziffer d mit d n, = d für lle n n. Im k-ten Schritt findet mn ein n k n k und eine Ziffer d k mit d n,k = d k für lle n n k. Sei x = g.d d d 3... die us den erhltenen Ziffern gebildete Dezimlzhl. Wir geben ein Beispiel für diese Konstruktion. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = x = Es bleibt zu zeigen, dss die so gewonnene reelle Zhl x in llen Intervllen [ n, b n ] liegt. Wir zeigen zuerst n x für lle n. Angenommen, es gibt ein k mit k > x. D mit wchsendem m die Dezimlzhlen m ein immer größeres Anfngsstück mit der Dezimlzhl x gemeinsm hben, findet mn ein m > k, sodss m mehr Dezimlstellen mit x gemeinsm ht ls k und somit näher bei x liegt ls k. Drus folgt k > m, ein Widerspruch, d j 3 k m... gilt. Dmit ist n x für lle n gezeigt. Ebenso gilt b n x für lle n. Angenommen, es gibt ein k mit b k < x. D mit wchsendem m die Dezimlzhlen m ein immer größeres Anfngsstück mit der Dezimlzhl x gemeinsm hben, findet mn wie oben ein m, sodss m näher bei x liegt ls b k. Drus folgt b k < m, ein Widerspruch, d die linken Endpunkte ller Intervlle kleiner sind ls die rechten Endpunkte ller Intervlle. Dmit ist b n x für lle n gezeigt.

10 8 Reelle Zhlen und stetige Funktionen Ws tun wir, wenn nicht lle Intervlle Teilmengen von [0, ) sind? Gilt n 0 und b n 0 für lle n, dnn liegt 0 in llen Intervllen. Ansonsten finden wir ein u, sodss [ u, b u ] Teilmenge von [0, ) oder Teilmenge von (, 0] ist. Im ersten Fll untersuchen wir dnn die Folge [ n, b n ] für n u, die in [0, ) liegt. Gilt x [ n, b n ] für lle n u, dnn uch x [ n, b n ] für lle n. Im zweiten Fll untersuchen wir die Folge [ b n, n ] für n u, die ebenflls in [0, ) liegt. Ist y eine Zhl, die in [ b n, n ] für lle n u liegt, dnn liegt x = y in den ursprünglichen Intervllen [ n, b n ] für lle n. Dieser Stz besgt, dss es für jede Folge von bgeschlossenen Intervllen, die ineinndergeschchtelt sind, mindestens eine Zhl gibt, die in llen Intervllen enthlten ist. Wir können uch eine Aussge über die Eindeutigkeit mchen. Sei l n = b n n die Länge des n-ten Intervlls. Es gilt l l l 3..., d die Intervlle ineinndergeschchtelt sind. Gibt es nun zwei verschiedene Zhlen x und y, die in llen Intervllen enthlten sind, und ist ε = x y > 0 der Abstnd der beiden Zhlen, dnn gilt l n ε für lle n 0. Wenn lso keine Zhl ε > 0 existiert, sodss l n ε für lle n gilt, dnn gibt es genu eine Zhl, die in llen Intervllen liegt. Oft kommt es vor, dss l n l n für lle n gilt. In diesem Fll gibt es genu eine Zhl, die in llen Intervllen liegt. Würde ein ε > 0 existieren, sodss ε l n für lle n gilt, dnn würde ε l und drus n l n ε für lle n folgen. Ein Blick uf die Zhlengerde zeigt ber, dss die Zhlen,, 4, 8,... jede reelle Zhl überschreiten, sodss ein n mit n > l ε existiert. Dher gibt es kein ε > 0, sodss ε l n für lle n gilt. Als Anwendung der Intervllschchtelung zeigen wir, dss mn us einer positiven reellen Zhl die Wurzel ziehen knn und ddurch wieder eine reelle Zhl enthält. Beispiel: Sei x > 0. Wir bilden Intervlle [ n, b n ] mit n b n = x. Wir wählen und b beliebig, sodss 0 < < b und b = x gelten, zum Beispiel = und b = x für x > und = x und b = für x <. Ist [ n, b n ] mit n < b n und n b n = x schon bestimmt, dnn setzen wir b n+ = ( n + b n ) und n+ = x b n+ sodss wieder n+ b n+ = x gilt. D b n+ der Mittelpunkt des Intervlls [ n, b n ] ist, erhlten wir b n+ < b n und n+ = = n. Weiters gilt b n+ n+ = b n+ x b n+ x b n+ > x b n = ( n+b n ) 4 n b n 4b n+ = 4b n+ (b n n ) Wegen n < b n folgt drus uch n+ < b n+. Somit ist [ n+, b n+ ] ein Intervll, ds in [ n, b n ] enthlten ist. D b n+ der Mittelpunkt von [ n, b n ] ist, ist ds nächste Intervll höchstens hlb so lng wie ds vorhergehende. Es gibt somit genu eine reelle Zhl y, die in llen Intervllen enthlten ist. Es gilt n y b n für lle n. Wegen n b n = x und n n b n b n gilt uch n x b n für lle n. Wegen b n n b (b n n ) existiert kein ε > 0, sodss b n n ε für lle n gilt. Dher gibt es nur eine Zhl, die in llen Intervllen [ n, b n] liegt, sodss y = x folgt. Somit ist y die Wurzel us x. Für x = sind [, ] [.3333,.5000] [.48,.467] [.44,.446]... die ersten Intervlle. Mn sieht, dss sie sehr schnell kleiner werden. Als weiteres Beispiel bestimmen wir die Zhl π, die Fläche des Kreises mit Rdius. Wir schchteln die Kreisfläche durch Flächen von regelmäßigen n-ecken ein. Diese Methode geht uf Archimedes zurück. Mn knn dmit π uf eine bestimmte Anzhl von Stellen berechnen. (Dbei bezeichnet UV die Strecke und UV den Abstnd zwischen U und V.)

11 Frnz Hofbuer 9 Beispiel: Wir berechnen die Fläche des Kreises mit Rdius r = durch Approximtion mit regelmäßigen Vielecken. Seien s und t die hlben Seitenlängen des ein- und umgeschriebenen regelmäßigen k-ecks. Seien x und y die hlben Seitenlängen des ein- und umgeschriebenen regelmäßigen k-ecks. In der nebenstehenden Zeichnung sind P Q und AB Seiten des ein- und umgeschriebenen regelmäßigen k-ecks, P C und CQ sind Seiten des eingeschriebenen regelmäßigen k-ecks und CD und DQ sind hlbe Seiten des umgeschriebenen regelmäßigen k-ecks. Aus der Ähnlichkeit der beiden rechtwinkeligen A P s R s x x y Dreiecke BQD und BCM folgt DQ : DB = MC : MB. Aus dem Strhlenstz folgt MQ : MB = RQ : CB. Wegen MC = r = MQ folgt DQ : DB = RQ : CB. Setzt mn die Seitenlängen ein, so ergibt sich y t y = s t. Drus folgt y = ts t+s. Aus der Ähnlichkeit der beiden gleichschenkeligen Dreiecke P CQ und CDQ folgt x s = y x, ds heißt x = sy. Sei F m die Fläche des umgeschriebenen m-ecks und f m die Fläche des eingeschriebenen m-ecks. Ist u die hlbe Seite des umgeschriebenen m-ecks, dnn gilt F m = mur = mu, lso F k = kt und F k = ky. Ist v die hlbe Seite des eingeschriebenen m-ecks, dnn ist r die Grundlinie und v die Höhe in den Dreiecken, us denen ds regelmäßigen m-eck besteht. Dher gilt f m = m rv = mv, lso f k = ks und f 4k = kx. Wir erhlten die Rekursionsformeln F k = ky = kts t+s = F kf k F k +f k und f 4k = kx = k sy = f k F k Für n sei n = f n+ und b n = F n+. Die Intervlle [ n, b n ] enthlten dnn π, die Fläche des Kreises mit Rdius. D ds regelmäßige eingeschriebene n+ -Eck im regelmäßigen eingeschriebenen n+ -Eck enthlten ist, hben wir n < n+. D ds regelmäßige umgeschriebene n+ -Eck ds regelmäßige umgeschriebene n+ -Eck enthält, hben wir b n > b n+. Dher bilden die Intervlle [ n, b n ] für n eine Intervllschchtelung. Die Fläche des eingeschriebenen regelmäßigen Vierecks ist, lso =. Die Fläche des umgeschriebenen regelmäßigen Vierecks ist 4, lso b = 4. Mit Hilfe der obigen Rekursionsformeln knn mn weitere Intervlle berechnen n+ = n b n und b n+ = b n n+ b n + n+ D ds hrmonische Mittel kleiner gleich dem rthmetischen Mittel ist, ist [ n+, b n+ ] in der linken Hälfte des Intervlls [ n+, b n ] enthlten. Dher ist [ n+, b n+ ] höchstens hlb so lng wie [ n, b n ]. Es gibt eine eindeutig bestimmte reelle Zhl, die in llen Intervllen liegt. Ds muss die Fläche des Kreises mit Rdius sein. Die ersten Intervlle sind [, 4] [.884, 3.337] [3.065, 3.86] [3.4, 3.57] [3.365, 3.44] [3.403, 3.4] [3.43, 3.48] [3.45, 3.46]..., sodss mn neun Intervlle benötigt, um π uf vier Dezimlstellen genu zu erhlten. Genuso knn mn einen Kreis mit Rdius r behndeln. Die Überlegungen sind genu dieselben. Mn erhält dieselbe Intervllschchtelung, nur dss die Endpunkte ller Intervlle mit r multipliziert sind. Somit gibt es wieder genu eine reelle Zhl, die in llen Intervllen liegt, und diese Zhl ist r π. Ds ist die Fläche des Kreises mit Rdius r. t M C D t Q B

12 0 Reelle Zhlen und stetige Funktionen 4. Folgen und deren Grenzwerte Eine zentrle Rolle in der Anlysis spielen Folgen und deren Grenzwerte. Eine Folge von reellen Zhlen knn mn sich ls zeitlichen Abluf vorstellen. Zum Zeitpunkt 0 ist mn im Punkt 0, zum Zeitpunkt ist mn im Punkt, zum Zeitpunkt ist mn im Punkt, und immer so weiter. Es wird lso die Folge 0,,,... von reellen Zhlen durchlufen. Mn schreibt eine Folge uch in der Form ( n ) n 0 uf. Oft beginnt mn die Zeitpunkte mit zu zählen, ht lso die Folge ( n ) n. Die reellen Zhlen n heißen Glieder der Folge. Folgen können verschiedenes Verhlten zeigen. Die durch n = n für n definierte Folge durchläuft die ntürlichen Zhlen. Sie wird lso nch entschwinden. Die durch n = n für n definierte Folge hingegen nähert sich mit fortschreitendem n immer mehr der Zhl 0. Es ist nheliegend, die Zhl = 0 ls Grenzwert der Folge ( n ) n zu bezeichnen. Die Folge n = ( ) n n für n zeigt lternierendes Verhlten. Zu gerden Zeitpunkten n ist n rechts von 0. Zu ungerden Zeitpunkten n ist n links von 0. Mit fortschreitendem n nähert sich uch diese Folge immer mehr der Zhl 0. Dher ht sie ebenflls den Grenzwert = 0. Um den Begriff des Grenzwertes zu definieren, muss mn zuerst Umgebungen einer Zhl R einführen. Als ε-umgebung der Zhl bezeichnet mn ds offene Intervll ( ε, +ε), wobei ε > 0 ist. Ist R und existiert zu jeder ε-umgebung von, wie klein ε uch sein mg, ein Zeitpunkt, b dem die Glieder der Folge in dieser Umgebung liegen, dnn wird mn ls Grenzwert der Folge bezeichnen. In eine mthemtische Sprhe übersetzt, ergibt ds folgende Definition. Definition: Mn nennt R Grenzwert der Folge ( n ) n 0, wenn für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, sodss n < ε für lle n n 0 gilt. Mn schreibt lim n n =. Folgen, die einen Grenzwert hben, heißen konvergent. Alle nderen Folgen heißen divergent. Außerdem ist der Grenzwert einer Folge ( n ) n 0, flls er existiert, eindeutig bestimmt. Sind und b zwei verschiedene Zhlen in R, dnn findet mn ein ε > 0, zum Beispiel ε = b, sodss die offenen Intervlle ( ε, + ε) und (b ε, b + ε) keinen gemeinsmen Punkt hben. Ist Grenzwert, dnn gibt es ein n 0, sodss n ( ε, +ε) für lle n n 0 gilt. Dnn gilt ber n / (b ε, b + ε) für lle n n 0 und b knn nicht Grenzwert sein. Beispiele: Sei n = n für n. Wir zeigen, dss lim n n = 0 gilt, indem wir die Definition des Grenzwertes nchprüfen. Dzu sei ε > 0 vorgegeben. Wir wählen n 0 > ε. Für n n 0 gilt dnn n 0 = n n 0 < ε. Ist b n = n für n, dnn folgt lim n b n = 0 wie oben, indem wir n 0 > ε wählen. Die Folge c n = ( ) n für n 0 ist nicht konvergent. Angenommen sie hätte den Grenzwert. Für ε = müsste es dnn ein n 0 geben mit n (, + ) für n n 0. Drus würde n0 n0 + < folgen, ein Widerspruch dzu, dss eine der Zhlen n0 und n0 + gleich und die ndere gleich ist. Somit knn diese Folge keinen Grenzwert hben. Um Rechenregeln für Grenzwerte herzuleiten, benötigen wir folgenden Stz. Stz.5: Sei ( n ) n 0 eine Folge, für die der Grenzwert lim n n = existiert. Dnn gibt es ein C > 0, sodss n C für lle n 0 gilt. Ist 0, dnn existiert ein c > 0 und ein m 0, sodss n c für lle n m 0 gilt.

13 Frnz Hofbuer Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Aus der Definition des Grenzwerts erhlten wir, dss ein n 0 existiert mit n < ε für lle n n 0. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgt dnn n = n + n + < ε + für lle n n 0. Wählt mn für C die größte der Zhlen ε +, 0,,..., n0, dnn ist n C für lle n erfüllt. Für die zweite Aussge wird 0 vorusgesetzt. Wir wählen ε = > 0. Es existiert ein m 0, sodss n < ε für lle n m 0 gilt. Sei c = > 0. Mit Hilfe der Dreiecksungleichung erhlten wir = n + n n + n. Für n m 0 ergibt sich n n > ε = = c, womit die zweite Aussge gezeigt ist. Stz.6 (Rechenregeln für Grenzwerte) Seien ( n ) n 0 und (b n ) n 0 Folgen, für die die Grenzwerte lim n n = und lim n b n = b existieren. () Ist m 0 0 und n b n für n m 0, dnn gilt b. (b) Es gilt lim n ( n + b n ) = + b. (c) Es gilt lim n ( n b n ) = b. (d) Ist b 0 und b n 0 für lle n, dnn gilt lim n n bn = b. Beweis: Um () zu zeigen, nehmen wir n, dss > b gilt. Gelingt es uns, drus einen Widerspruch zur Vorussetzung n b n für n m 0 herzuleiten, dnn knn > b nicht gelten und b ist bewiesen. Wir nehmen lso n, dss > b gilt. Sei ε = b. Wegen lim n n = und lim n b n = b finden wir n 0 und n, sodss ε < n < + ε für lle n n 0 und b ε < b n < b + ε für lle n n gilt. Für n mx(n 0, n ) erhlten wir n > ε = b + ε > b n. Ds widerspricht ber der Vorussetzung, dss n b n für n m 0 gilt. Dmit ist () gezeigt. Um (b) zu zeigen, prüfen wir die Definition des Grenzwerts nch. Sei ε > 0 vorgegeben. Wir müssen ein n 0 finden, sodss ( n + b n ) ( + b) < ε für lle n n 0 gilt. Wegen lim n n = und lim n b n = b finden wir n und n, sodss n < ε für lle n n und b n b < ε für lle n n gilt. Sei n 0 = mx(n, n ). Für n n 0 erhlten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung ( n + b n ) ( + b) n + b n b < ε + ε = ε. Dmit ist die Grenzwertdefinition nchgeprüft und (b) gezeigt. Zum Beweis von (c) verwenden wir Stz.5. Es existiert ein C > 0, sodss b n C für lle n gilt. Sei ε > 0 vorgegeben. Wegen lim n n = und lim n b n = b finden wir n und n, sodss n < ε C+ für lle n n und b n b < ε C+ für lle n n gilt. Sei n 0 = mx(n, n ). Für n n 0 erhlten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung n b n b = n b n b n + b n b ( n )b n + (b n b) ε n C + b n b < C+ C + C+ = ε womit (c) gezeigt ist. Um (d) zu zeigen, wählen wir zuerst ein m 0 und ein c > 0, sodss b n c für lle n m 0 gilt, ws wegen Stz.5 möglich ist. Sei ε > 0 vorgegeben. Wegen lim n n = und lim n b n = b finden wir n und n, sodss n < ε b c + b für lle n n und b n b < ε b c + b für lle n n gilt. Sei n 0 = mx(m 0, n, n ). Für n n 0 erhlten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung n bn b = n bn b n + b n b n bn c n + b c b n b < c womit wir uch (d) gezeigt hben. b n + b n b = b n n + b b n b b n ε b c + b + b c ε ε b c + b = ε

14 Reelle Zhlen und stetige Funktionen Auf einen Spezilfll dieser Rechenregeln sei noch hingewiesen. Ist die Folge (b n ) n 0 konstnt, lso b n = d für lle n, dnn gilt ntürlich uch lim n b n = d, wie mn leicht us der Definition des Grenzwertes erkennt, und wir erhlten lim n (d+ n ) = d+lim n n und lim n d n = d lim n n us Stz.6. Mit diesen Rechenregeln ist es möglich, ds Berechnen von Grenzwerten uf einfche Fälle, wie lim n n = 0 zurückzuführen. Beispiel: Wir berechnen den Grenzwert der Folge n = n 5n 3n +4 für n. Dzu dividieren wir Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz, ds ist in diesem Fll n, und erhlten n = 5 n 3+ 4 n. Wegen Stz.6 (d) können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner getrennt berechnen. Durch Anwenden von Stz.6 (b) erhlten wir lim n ( 5 n ) = 5 lim n n = und lim n 3+ 4 n = 3+4 lim n n lim n n = 3 folgt wegen Stz.6 (b) und (c). Dmit hben wir lim n n = 3 berechnet. Der folgende Stz wird ebenflls häufig zum Berechnen eines Grenzwerts verwendet. Stz.7: Existieren die Grenzwerte lim n n und lim n b n und sind beide gleich und gibt es ußerdem ein m 0 mit n x n b n für lle n m 0, dnn existiert uch lim n x n und ist ebenflls gleich. Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Wir finden n mit n < ε für lle n n und n mit b n < ε für lle n n. Sei n 0 = mx(m 0, n, n ). Für n n 0 gilt n x n b n und n und b n liegen in der ε-umgebung von. D dnn uch jeder Punkt, der zwischen n und b n liegt, in der ε-umgebung von liegen muss, erhlten wir x n < ε für lle n n 0, womit lim n x n = gezeigt ist. Beispiel: Sei x n = n + n n. Wir berechnen lim n x n mittels Stz.7. Es gilt n x n n + n n + n n + n + n n + 4n n + n n + n + Die letzte Aussge ist leicht ls richtig erkennbr, dher hben wir n x n b n mit n = n und b n = für n gezeigt. Wegen lim n n = 0 folgt lim n n = us Stz.6. Klrerweise gilt lim n b n =. Aus Stz.7 folgt dher lim n x n =. Es folgt ein weiterer Stz, der ebenflls die Existenz eines Grenzwerts zum Inhlt ht. Dzu sind einige Definitionen notwendig. Eine Folge ( n ) n 0 heißt monoton wchsend, wenn n+ n für lle n gilt. Eine Folge ( n ) n 0 heißt monoton fllend, wenn n+ n für lle n gilt. Eine Folge ( n ) n 0 heißt nch oben beschränkt mit oberer Schrnke c, wenn n c für lle n gilt. Eine Folge ( n ) n 0 heißt nch unten beschränkt mit unterer Schrnke d, wenn n d für lle n gilt. Der erste Teil von Stz.5 besgt, dss eine konvergente Folge sowohl nch oben ls uch nch unten beschränkt ist. Stz.8 (Stz über die Konvergenz monotoner Folgen) Eine monoton wchsende, nch oben beschränkte Folge ht einen Grenzwert. Eine monoton fllende, nch unten beschränkte Folge ht einen Grenzwert. Der Beweis dieses Stzes verwendet die Intervllschchtelungseigenschft der reellen Zhlen. Beweise, die die Intervllschchtelungseigenschft verwenden, sind in einem späteren Kpitel zusmmengestellt. Dort findet mn unter nderem uch den Beweis von Stz.8.

15 Frnz Hofbuer 3 Im folgenden Beispiel werden rekursiv definierte Folgen (jedes Folgenglied wird us den vorhergehenden berechnet) mit Hilfe von Stz.8 untersucht. Beispiel: Sei 0 = und n+ = 3 n + 3 für n 0. Wir zeigen, dss die so definierte Folge monoton fllend ist und 3 ls untere Schrnke ht. Es gilt = 3 0. Angenommen, wir hben 0 n n 3 schon gezeigt. Dnn folgt n+ = 3 n und n+ = 3 n n + 3 = n, sodss uch 0 n n n+ 3 gilt. Durch Wiederholen dieses Beweisschritts sieht mn, dss die Folge ( n ) n 0 monoton fllend und nch unten durch 3 beschränkt ist. Nch Stz.8 existiert der Grenzwert lim n n = x. Wegen Stz.6 gilt x 3 und x = lim n n+ = lim n 3 n + 3 = x Der Grenzwert x ist lso eine Lösung der Gleichung x 3 3x + = 0, die im Intervll [ 3, ) liegt. Sei b 0 = und b n+ = 3 b n. Es gilt b 0 = b 3. Wie oben zeigt mn, dss die Folge (b n ) n 0 monoton wchsend und nch oben durch 3 beschränkt ist. Ist b 0 b b n b n 3 schon gezeigt, dnn folgt b n+ = 3 b n 3 und b n+ = 3 b n 3 b n = b n, sodss uch b 0 b b n b n b n+ 3 gilt. Durch Wiederholen dieses Beweisschritts sieht mn, dss die Folge (b n ) n 0 monoton wchsend und nch oben durch 3 beschränkt ist. Nch Stz.8 existiert der Grenzwert lim n b n = y. D b n+ = 3 b n für lle n gilt, folgt y = 3 y mit Hilfe von Stz.6. Somit ist y wieder eine Lösung der Gleichung y 3 3y + = 0, llerdings eine im Intervll (, 3]. 5. Funktionen Sei D eine Teilmenge von R. Wird jeder Zhl x D in eindeutiger Weise eine reelle Zhl f(x) zugeordnet, dnn nennt mn f eine Funktion mit Definitionsbereich D. Oft werden Funktionen durch Formeln ngegeben, zum Beispiel f(x) = +3x 5x oder f(x) = x +x, wobei mn in beiden Fällen den Definitionsbereich D = R wählen knn. Ds ist jedoch nicht immer möglich. Ht mn zum Beispiel die Funktion f(x) = 3x3 x, dnn muss mn und us dem Definitionsbereich usschließen, d mn diese Zhlen nicht in die Formel einsetzen knn. In diesem Fll ist D = R \ {, } ein geeigneter Definitionsbereich. Mn knn für diese Funktion ber uch den Definitionsbereich D = (, ) wählen, oder D = [, 9] oder viele ndere Mengen. Es ist dher wichtig den Definitionsbereich D nzugeben. Mn schreibt f : D R, wenn f uf D definiert ist und Werte in R ht. Für x D nennt mn die Zhl f(x) den Funktionswert im Punkt x und die Menge f(d) = {f(x) : x D} ller Funktionswerte heißt Wertebereich der Funktion f. Oft drückt mn Funktionen uch mit Hilfe des Symbols us. Zum Beispiel schreibt mn die Funktion, die jedem x den Wert 3x 3 zuordnet, ls x 3x 3. Mn knn Funktionen in einem Koordintensystem zeichnen. Mn zeichnet die Menge der Punkte (x, f(x)) für x D. Diese Menge von Punkten nennt mn den Grph der Funktion f. Der Grph der Funktion f(x) = x ist eine Prbel. Die folgenden Zeichnungen zeigen die Grphen der Funktionen x 3x 3 und x mx( x + 3, 3 4 x).

16 4 Reelle Zhlen und stetige Funktionen Wir überlegen uns, wie sich der Grph einer Funktion unter gewissen Trnsformtionen ändert. Der Grph der Funktion x f( x) ist der um die y-achse gespiegelte Grph der Funktion x f(x). Der Grph der Funktion x f(x) ist der um die x-achse gespiegelte Grph der Funktion x f(x). Im Folgenden sei immer > 0. Der Grph der Funktion x f(x + ) ist der um Einheiten nch links und der Grph der Funktion x f(x ) ist der um Einheiten nch rechts verschobene Grph der Funktion x f(x). Der Grph der Funktion x f(x) ist der um den Fktor in x-richtung gedehnte (gestuchte) Grph der Funktion x f(x). Der Grph der Funktion x f(x) + ist der um Einheiten nch oben und der Grph der Funktion x f(x) ist der um Einheiten nch unten verschobene Grph der Funktion x f(x). Schließlich ist der Grph der Funktion x f(x) der um den Fktor in y-richtung gedehnte (gestuchte) Grph der Funktion x f(x). Beispiel: Sei f(x) = x 4x + mit Definitionsbereich D = R. Durch Umformen erhlten wir f(x) = (x ). Der Grph der Funktion g(x) = x ist eine Prbel. Wir nennen sie Stndrdprbel. Mn erhält den Grph der Funktion f, indem mn die Stndrdprbel um Einheit nch rechts verschiebt, dnn um den Fktor in y-richtung dehnt und schließlich um Einheit nch unten verschiebt. Die nebenstehende Zeichnung zeigt den Grph der Funktion f(x) = (x ) und die Stndrdprbel. Mn knn die durchgeführten Trnsformtionen nchvollziehen. Die einfchsten Funktionen sind Polynome. Ihr Definitionsbereich ist gnz R. Konstnte Funktionen f(x) = c hben wgrechte Gerden ls Grphen. Die Funktionen f(x) = c x + c 0 mit c 0 sind die Polynome ersten Grdes, deren Grphen ebenflls Gerde sind, die llerdings nicht mehr wgrecht verlufen. Die Funktionen f(x) = c x +c x+c 0 mit c 0 sind die Polynome zweiten Grdes. Ihre Grphen sind Prbeln, die mn us der Stndrdprbel nch der Methode in obigem Beispiel erhält. Schließlich nennt mn die Funktionen f(x) = c n x n + + c x + c 0 mit c n 0 die Polynome n-ten Grdes. Rtionle Funktionen sind Brüche, deren Zähler und Nenner Polynome sind. Ds Nennerpolynom knn in endlich vielen Punkten gleich 0 sein. Diese Punkte muss mn us dem

17 Frnz Hofbuer 5 Definitionsbereich usschließen. Dort ht der Grph der Funktion senkrechte Asymptoten. Die einfchste rtionle Funktion ist f(x) = x mit Definitionsbereich D = R \ {0}. Der Grph ist eine Hyperbel, deren Asymptoten die x-achse und die y-achse sind. Beispiel: Sei f(x) = 3x+ 6x mit Definitionsbereich D = R \ { 3 }. Durch Umformen erhlten wir f(x) = 3 + x. Mn knn den 3 Grphen dieser Funktion us dem Grphen der Funktion g(x) = x durch entsprechende Trnsformtionen gewinnen. Zuerst wird der Grph der Funktion g um 3 nch rechts verschoben, dnn um den Fktor 3 in y-richtung geschrumpft und schließlich um nch oben verschoben. So erhält mn den Grph der Funktion f, den die nebenstehende Zeichnung zeigt. Er ht eine senkrechte Asymptote bei x = 3 und eine wgrechte bei y =. Ist der Grd des Zählerpolynoms einer rtionlen Funktion f größer oder gleich dem Grd des Nennerpolynoms, so knn mn f schreiben ls Summe eines Polynoms und einer rtionlen Funktion, deren Zählergrd kleiner ls der Nennergrd ist. Der Grph der Funktion f liegt symptotisch zu diesem Polynom. Beispiel: Sei f(x) = x3 +x x+ 3x 3 mit Definitionsbereich D = R \ {, }. Umformen ergibt f(x) = 3 x x. Die Gerde y = 3 x + 3 ist eine Asymptote für den Grphen von f, d die Differenz 3 x zwischen dieser Gerde und f(x) für Zhlen x mit großem Betrg sehr klein ist. Außerdem ht der Grph von f senkrechte Asymptoten bei x = und x =. Die nebenstehende Zeichnung zeigt den Grph der Funktion f zusmmen mit den drei Asymptoten. Nch diesen eher geometrischen Überlegungen zu den Funktionsgrphen wollen wir uns dem Rechnen mit Funktionen zuwenden. Sind f und f Funktionen mit Definitionsbereichen D und D, dnn knn mn uf D = D D Summe, Differenz und Produkt dieser Funktionen bilden. Mn definiert f + f ls die Funktion, die jedem x D den Wert f (x) + f (x) zuordnet. Genuso definiert mn f f und f f. Mit dem Quotient f f muss mn vorsichtiger sein. Mn muss lle Punkte x us dem Definitionsbereich usschließen, für die f (x) = 0 gilt. Funktionen lssen sich uch hintereinnder usführen. Sind f und g Funktionen mit Definitionsbereichen D und D, und gilt f(x) D für lle x D, dnn knn mn g(f(x)) bilden. Die Funktion mit Definitionsbereich D, die jedem x D den Wert g(f(x)) zuordnet, bezeichnet mn mit g f.

18 6 Reelle Zhlen und stetige Funktionen 6. Stetigkeit Eine stetige Funktion f stellt mn sich so vor, dss mn den Grph dieser Funktion ls nicht unterbrochene Linie zeichnen knn. Wenn der Punkt y dem Punkt x nhe kommt, dnn muss uch der Funktionswert f(y) dem Funktionswert f(x) nhe kommen. Um eine mthemtische Definition zu geben, verwenden wir Umgebungen. Definition: Sei f : D R eine Funktion und x D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt x, flls für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodss f(y) f(x) < ε für lle y (x δ, x + δ) D gilt. Mn sgt f ist stetig uf D, wenn f in jedem Punkt x D stetig ist. Einfche Beispiele für stetige Funktionen sind linere Funktionen, die Definitionsbereich D = R hben. Ist f(x) = c für lle x R und ε > 0 vorgegeben, dnn knn mn δ > 0 wählen, wie mn will. Es gilt immer f(y) f(x) = 0 < ε für lle y (x δ, x + δ). Ist 0 und f(x) = x + b für lle x R, dnn knn mn zu vorgegebenem ε > 0 immer δ = ε wählen. Für y (x δ, x + δ), ds sind j die y mit y x < δ, gilt dnn f(y) f(x) = y x < ε. Dmit ist gezeigt, dss f in jedem Punkt x R stetig ist. Bei komplizierteren Funktionen knn die Whl von δ schwieriger sein, wie ds folgende Beispiel zeigt. Beispiel: Die Funktion f(x) = x ist stetig in jedem Punkt x R. Wir prüfen die Definition nch. Sei ε > 0 vorgegeben. Hier hängt die Whl von δ nicht nur von ε, sondern ε uch von x b. Wir können δ = min( + x, ) wählen. Ist dnn y (x δ, x + δ), lso y x < δ, so folgt y + x = y x + x y x + x + x und dmit erhlten wir f(y) f(x) = y x = y + x y x < ( + x )δ ε. Um die Stetigkeit von Funktionen nicht so mühsm nchrechnen zu müssen, führen wir im nächsten Stz die Stetigkeit uf Grenzwerte zurück. Für jede Folge (x n ) n, deren Glieder x n im Definitionsbereich einer Funktion f liegen, können wir die Folge der Funktionswerte f(x n ) untersuchen. Stz.9: Sei f : D R eine Funktion und x D. Dnn sind äquivlent () f ist im Punkt x stetig (b) für jede Folge (x n ) n in D mit lim n x n = x gilt lim n f(x n ) = f(x). Beweis: Der Beweis besteht us zwei Teilen. Wir beginnen mit () (b). Unter der Vorussetzung der Stetigkeit von f im Punkt x müssen wir lim n f(x n ) = f(x) zeigen. Wir wählen ε > 0 beliebig und suchen n 0. D f im Punkt x stetig ist, gibt es ein δ > 0, sodss f(y) f(x) < ε für lle y (x δ, x + δ) D gilt. Wegen lim n x n = x finden wir jetzt ein n 0, sodss x n (x δ, x + δ) für lle n n 0 gilt. D x n D für lle n vorusgesetzt wird, gilt mit diesem n 0, dss f(x n ) f(x) < ε für lle n n 0 erfüllt ist, womit lim n f(x n ) = f(x) gezeigt ist. Wir zeigen (b) () durch einen indirekten Beweis. Wir nehmen n, dss () nicht gilt und zeigen, dss dnn uch (b) nicht gelten knn. Sei lso () nicht erfüllt, ds heißt f ist im Punkt x nicht stetig. Nch Definition der Stetigkeit existiert ein ε > 0, sodss, gnz egl wie klein wir δ > 0 wählen, immer ein y (x δ, x + δ) D existiert mit f(y) f(x) ε. Insbesondere können wir δ = n wählen und finden ein y n (x n, x + n ) D mit f(y n ) f(x) ε. Somit hben wir eine Folge (y n ) n in D gefunden, deren Grenzwert x ist nch Stz.7, d j x n y n x + n für lle n gilt. Andererseits gilt

19 Frnz Hofbuer 7 lim n f(y n ) = f(x) nicht, d f(y n ) für jedes n ußerhlb der ε-umgebung von f(x) liegt. Dmit ist gezeigt, dss (b) nicht gilt. Mit diesem Stz und den Rechenregeln für Grenzwerte erhält mn den folgenden Stz, der besgt, dss Summe, Differenz, Produkt und Quotient von stetigen Funktionen wieder stetig sind. Stz.0: Seien f : D R und g : D R Funktionen, die im Punkt x D stetig sind. Dnn sind uch die Funktionen f + g, f g und fg im Punkt x stetig. Ist g(x) 0, dnn ist uch f g im Punkt x stetig. Beweis: Der Definitionsbereich der Funktionen f + g, f g und f g ist ebenflls D. Sei (x n ) n eine beliebige Folge in D mit Grenzwert x. D f und g im Punkt x stetig sind, folgt lim n f(x n ) = f(x) und lim n g(x n ) = g(x) us Stz.9. Aus Stz.6 folgt lim n f(x n ) + g(x n ) = f(x) + g(x), lim n f(x n ) g(x n ) = f(x) g(x) und lim n f(x n )g(x n ) = f(x)g(x). Wegen Stz.9 heißt ds ber, dss die Funktionen f + g, f g und fg im Punkt x stetig sind. Um den Definitionsbereich E der Funktion f g zu erhlten, muss mn us D noch lle Punkte usschließen, in denen g null ist. D g(x) 0 vorusgesetzt wird, liegt x in E. Wählt mn eine beliebige Folge (x n ) n in E mit Grenzwert x, so gilt g(x n ) 0 für lle n. Außerdem gilt lim n f(x n ) = f(x) und lim n g(x n ) = g(x) wegen Stz.9. f(x Aus Stz.6 (d) folgt lim n ) n g(x n ) = f(x) g(x). Wegen Stz.9 heißt ds ber, dss die Funktion f g im Punkt x stetig ist. Mit Hilfe dieses Stzes knn mn für viele Funktionen zeigen, dss sie stetig sind. Die Funktion f(x) = x ist für lle x R stetig. Durch Produktbildung folgt, dss uch die Funktionen x x, x x 3,... uf gnz R stetig sind. D konstnte Funktionen stetig sind, sind uch die Funktionen x cx n mit c R und n N stetig. Durch Bilden von Summen folgt dnn, dss lle Polynome uf gnz R stetig sind. Drus erhält mn wieder die Stetigkeit von rtionlen Funktionen in llen Punkten, wo ds Nennerpolynom nicht null ist. Treppenfunktionen sind Beispiele für Funktionen, die nicht überll stetig sind. Die Funktion f : [0, ] R definiert durch f(x) = 3 für x [0, ) und f(x) = für x [, ] ist ein einfches Beispiel für eine Treppenfunktion. Sie ist im Punkt unstetig. Ist x n = n für n, dnn ist (x n ) n eine Folge in [0, ] mit f(x n ) = 3 für lle n, sodss uch lim n f(x n ) = 3 gilt. Andererseits gilt f() =, sodss f wegen Stz.9 im Punkt unstetig ist. Zum Abschluss behndeln wir noch die Stetigkeit bei Hintereinnderusführen von zwei Funktionen. Stz.: Seien f : D R und g : D R Funktionen. Für lle x D gelte f(x) D. Wenn f in x D und g in f(x) D stetig sind, dnn ist uch g f in x stetig. Beweis: Sei (x n ) n eine beliebige Folge in D mit Grenzwert x. Dnn ist (f(x n )) n eine Folge in D. D f in x stetig ist, ht diese Folge wegen Stz.9 den Grenzwert f(x). D g im Punkt f(x) stetig ist, folgt lim n g(f(x n )) = g(f(x)) wieder us Stz.9. Ds ber bedeutet wieder wegen Stz.9 die Stetigkeit von g f im Punkt x.

20 8 Reelle Zhlen und stetige Funktionen 7. Zwischenwertstz und Umkehrfunktion Der wichtigste Stz über stetige Funktionen ist der Zwischenwertstz. Liegt der Funktionswert in einem Punkt unterhlb eines Wertes y und in einem nderen Punkt b oberhlb von y, dnn muss der Grph der Funktion, der j eine nicht unterbrochene Linie ist, n einer Stelle zwischen und b den Wert y überschreiten. Stz. (Zwischenwertstz) Sei f : [, b] R stetig. Es gelte f() < y < f(b) oder f() > y > f(b). Dnn existiert ein x (, b) mit f(x) = y. Der Beweis dieses Stzes verwendet die Intervllschchtelungseigenschft f(b) und wird in einem späteren Kpitel gemeinsm mit nderen Beweisen gebrcht. Die nebenstehende Zeichnung illustriert die Aussge des Zwischenwertstzes. Ist y eine Zhl, die zwischen den Funktionswerten y f() und f(b) liegt, dnn ht die Gleichung f(x) = y eine Lösung x im Intervll (, b). Wie die Zeichnung f() zeigt, muss diese Lösung je- doch nicht eindeutig sein. Um eindeutige Lösungen zu hben, muss die Funktion neben der Stetigkeit noch eine ndere Vorussetzung erfüllen. x b Wir müssen uns mit dem Monotonieverhlten von Funktionen beschäftigen. Definition: Sei D R. Eine Funktion f : D R heißt () konstnt, wenn ein c R existiert mit f(x) = c für lle x D (b) monoton wchsend, wenn gilt: u, v D und u < v f(u) f(v) (c) streng monoton wchsend, wenn gilt: u, v D und u < v f(u) < f(v) (d) monoton fllend, wenn gilt: u, v D und u < v f(u) f(v) (e) streng monoton fllend, wenn gilt: u, v D und u < v f(u) > f(v) Stz.3: Sei f : [, b] R stetig und streng monoton wchsend oder fllend. Für jedes y, ds zwischen f() und f(b) liegt, ht dnn die Gleichung f(x) = y genu eine Lösung x (, b). Beweis: Die Existenz von x folgt us Stz.. Für x x knn ber f( x) = f(x) nicht gelten, d eine streng monotone Funktion in zwei verschiedenen Punkten nicht den selben Funktionswert hben knn. Schließlich führen wir noch die Umkehrfunktion zu einer Funktionen f : I R ein, wobei I ein beliebiges Intervll ist, zum Beispiel I = [, b], I = (, b), I = [, ), I = R oder sonst eines. Die Umkehrfunktion g ist uf dem Wertebereich f(i) = {f(x) : x I} definiert. Sie weist jedem Element y = f(x) von f(i) den Wert x zu, kehrt lso die Zuordnung, die f durchführt, um. Mn berechnet g, indem mn die Gleichung y = f(x) nch x uflöst und g(y) = x setzt. Vorussetzung ist, dss die Lösung x eindeutig ist. Es gelten dnn die Gleichungen g(f(x)) = x für lle x I und f(g(y)) = y für lle y f(i).