Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf der Zahlengeraden

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1 Kapitel 5 Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 5.1 Schwache Konvergenz bzw. Verteilungskonvergenz Bezeichne W(, B 1 ie Menge aller W-Verteilungen auf (, B 1. Definition 5.1 (Schwache Konvergenz von W-Verteilungen Seien P n W(, B 1 n N un P W(, B 1. Bezeichne F n ie Verteilungsfunktion von P n für jees n N, bezeichne F ie Verteilungsfunktion von P unf C F ie Menge aller Stetigkeitsellen von F. Die Folge P n (n N heißt schwach konvergent gegen P, abkürzene Schreibweise: P n w P, wenn gilt: lim F n(x = F (x x C F. Bemerkung: Eineutigkeit er Limesverteilung Wenn P n w P un auch Pn w Q für eine Folge Pn W(, B 1 (n N un zwei W-Verteilungen P, Q W(, B 1, ann folgt P = Q. Mit Definition 5.1 folgt nämlich F P (x = F Q (x x C FP C FQ. Die Komplemente (C FP c un (C FQ c sin abzählbar, woraus man unschwer schließt: F P = F Q, also P = Q. Beispiel: Dirac-Verteilungen Für ein b i ie Dirac-Verteilung (oer Einpunkt-Verteilung im Punkt b gegeben urch δ b (A = 1 A (b A B 1, un bekanntlich i δ b W(, B 1. Seien nun a n (n N eine Folge in un a. Dann ergibt sich aus Definition 5.1 ie Äquivalenz: lim a w n = a δ an δa. 38

2 Norbert Gaffke: Vorlesung Einführung in ie Wahrscheinlichkeitheorie un Statiik, Wintersemeer 2012/13 Kapitel 5: Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 39 Beispiel: Diskrete Approximation er (0, 1-Verteilung Betrachte P = (0, 1 un P n = 1 n n δ j/n. j=1 Man zeigt leicht: P n w (0, 1. w Bemerkung: P n P i schwächer als punktweise Konvergenz von Pn gegen P Ein anerer zunäch vielleicht näher liegener Konvergenzbegriff für W-Verteilungen auf (, B 1 i ie punktweise Konvergenz im Sinne reeller Funktionen auf B 1,.h. lim P n(a = P (A A B 1. Die Beispiele von oben zeigen aber, ass ie schwache Konvergenz P n w P nicht ie punktweise Konvergenz impliziert. In er Tat i ie punktweise Konvergenz ärker als ie schwache Konvergenz: Wenn lim P n(a = P (A A B 1 w, ann P n P, (nicht aber umgekehrt. w Wenn P n P mit einer etigen Limesverteilung (.h. mit etiger Verteilungsfunktion F, ann i ie (punktweise Konvergenz er Verteilungsfunktionen F n in Definition 5.1 sogar gleichmäßig : Lemma 5.2 (Stetige Limesverteilung Seien P n W(, B 1 n N un P W(, B 1. w Wenn P n P un ie Verteilungsfunktion F von P etig i, ann gilt (mit Fn = Verteilungsfunktion von P n n N : ( lim sup Fn (x F (x = 0. x Lemma 5.3 (Eine schwach konvergente Folge i raff, engl. tight Seien P n W(, B 1 n N un P W(, B 1 w mit P n P. Dann gilt: Zu jeem ε > 0 exiiert ein kompaktes Intervall I, so ass P n (I 1 ε n N. Definition 5.4 (Verteilungskonvergenz von reellen Zufallsvariablen Seien (Ω, C, P ein W-aum, X n (n N eine Folge reeller Zufallsvariablen auf Ω un P W(, B 1. (i Die Folge X n heißt konvergent in Verteilung gegen P, abkürzene Schreibweise: X n P, wenn gilt: P X n w P. (ii Die Folge X n heißt konvergent in Verteilung gegen X, abkürzene Schreibweise: X n X, wenn gilt: P Xn w P X.

3 Norbert Gaffke: Vorlesung Einführung in ie Wahrscheinlichkeitheorie un Statiik, Wintersemeer 2012/13 Kapitel 5: Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 40 Bemerkung Hinsichtlich er Konvergenz in Verteilung in (ii, X n X, sei angemerkt, ass ie Limesvariable X keineswegs eineutig beimmt i (auch nicht P-f.s., sonern nur ihre Verteilung P X i eineutig beimmt. Der Konvergenzbegriff X n X i nur virtuell ein Konvergenzbegriff für Zufallsvariablen, tatsächlich hanelt es sich um einen Konvergenzbegriff (schwache Konvergenz für ie Verteilungen er Zufallsvariablen. Lemma 5.5 (Stochaische Konvergenz impliziert Konvergenz in Verteilung Seien X n (n N eine Folge reeller Zufallsvariablen auf Ω un X eine reelle Zufallsvariable auf Ω. Es gilt: (a Wenn X n X, ann X n X. (b Im Fall, ass X eine Konante i, gilt auch ie Umkehrung in (a,.h. für x 0 gilt ie Äquivalenz: x 0 X n x0 ( P X n w δ x0. X n 5.2 Weitere Beschreibungen er schwachen Konvergenz Für eine messbare Funktion g : un P W(, B 1 sagen wir, g sei P -fa überall etig, wenn P (C g = 1, wobei C g ie Menge aller Stetigkeitsellen von g bezeichnet. Theorem 5.6 (Äquivalente Beingungen für schwache Konvergenz Seien P n W(, B 1 n N un P W(, B 1. Bezeichne ϕ n ie charakteriische Funktion von P n (für jees n N un ϕ ie charakteriische Funktion von P. Die folgenen vier Beingungen (i - (iv sin äquivalent. (i P n w P. (ii (iii (iv lim ϕ n(t = ϕ(t t. lim h P n = h P für jee etige beschränkte Funktion h :. h P n = h P für jee messbare beschränkte un P -fa überall etige lim Funktion h :. Bemerkung: Konvergenz in Verteilung Sei (Ω, C, P ein W-aum. Für eine Folge X n, n N, von reellen Zufallsvariablen auf Ω un P W(, B 1 lassen sich ie äquivalenten Beingungen (i - (iv auch so formulieren (mit Verwenung er Transformationsformel von Theorem 3.10 : (i X n P. (ii (iii lim ϕ X n (t = ϕ P (t t. lim E P(h X n = E P (h für jee etige beschränkte Funktion h :.

4 Norbert Gaffke: Vorlesung Einführung in ie Wahrscheinlichkeitheorie un Statiik, Wintersemeer 2012/13 Kapitel 5: Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 41 (iv lim E P(h X n = E P (h für jee messbare beschränkte un P -fa überall etige Funktion h :. Theorem 5.7 (CMT für schwache Konvergenz bzw. Konvergenz in Verteilung (a Seien P n W(, B 1 n N un P W(, B 1 w mit P n P. Sei g : eine P -fa überall etige Funktion. Dann: (P n g w P g. (b Seien (Ω, C, P ein W-aum un X n n N un X reelle Zufallsvariablen auf Ω mit X n X. Sei g : eine P X w -fa überall etige Funktion. Dann: g X n g X. Lemma 5.8 Seien (Ω, C, P ein W-aum, X n, n N, un Y n, n N, zwei Folgen reeller Zufallsvariablen auf Ω un P W(, B 1. Es gilt: (a Wenn X n P un Yn 0, ann X n + Y n P un Xn Y n 0. (b Wenn X n P un Yn 1, ann X n Y n P. 5.3 Zentraler Grenzwertsatz Sei (Ω, C, P ein W-aum, un sei X i L 2 (P, i N, eine Folge von ochaisch unabhängigen un ientisch verteilten (u.i.v. reellen Zufallsvariablen auf Ω. Bezeichne β := E(X i un σ := Var(X i, un es sei σ > 0. Unser Interesse i auf as asymptotische (n Verhalten er Verteilung er Summenvariablen n S n = X i, n N, i=1 gerichtet. Um Verteilungskonvergenz zu erhalten, betrachten wir ie anarisierten Summenvariablen: S n nβ n σ, n N. Offensichtlich haben ie anarisierten Summenvariablen alle en Erwartungswert 0 un Varianz gleich 1.

5 Norbert Gaffke: Vorlesung Einführung in ie Wahrscheinlichkeitheorie un Statiik, Wintersemeer 2012/13 Kapitel 5: Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 42 Lemma 5.9 (Taylor-Approximation zweiter Ornung er charakteriischen Funktion Für ie charakteriische Funktion ϕ = ϕ X1 gilt: oer aners ausgerückt: ϕ(t = 1 + iβt 1 2 (σ2 + β 2 t 2 + o(t 2 für t 0, lim t 0, t 0 1 ( t 2 ϕ(t [ 1 + iβt 1 2 (σ2 + β 2 t 2] = 0. Theorem 5.10 (Zentraler Grenzwertsatz, Stanar-Version Für ie Folge er anarisierten Summenvariablen gilt: S n nβ n σ N(0, 1. Bemerkung: Gleichmäßige Konvergenz er Verteilungsfunktionen Gemäß Definition 5.1 sagt er zentrale Grenzwertsatz: ( lim P Sn nβ n σ z = Φ(z, z, wobei Φ ie Verteilungsfunktion von N(0, 1 bezeichnet. Nach Lemma 5.2 i ie Konvergenz gleichmäßig in z,.h. ( Sn nβ sup P z Φ(z ( 0. n σ z Daraus ergibt sich as folgene Korollar. Korollar 5.11 (Asymptotik er Verteilung er Summenvariablen sup P ( S n z ( z nβ ( Φ 0. n σ z Anmerkung: Für großes n haben wir aher als Approximation für ie Verteilungsfunktion er Summenvariablen: P ( S n z ( z nβ Φ z. n σ Beispiel: Normal-Approximation von Binomial-Verteilungen Betrachten wir en Spezialfall von u.i.v. 0-1-wertigen Zufallsvariablen: X i Bi(1, p i N, u.i.v., mit einem p ( 0, 1. Dann i β = p un σ = p(1 p. Also haben wir (für großes n ie Approximation P ( S n z ( z np Φ. np(1 p

6 Norbert Gaffke: Vorlesung Einführung in ie Wahrscheinlichkeitheorie un Statiik, Wintersemeer 2012/13 Kapitel 5: Schwache Konvergenz von W-Verteilungen auf er Zahlengeraen 43 Wegen S n Bi(n, p i ies ie Normal-Approximation er Bi(n, p-verteilung. Da ie Verteilungsfunktion von Bi(n, p auf en Intervallen z [ k, k + 1 jeweils konant gleich P ( S n k i (für jees k = 0, 1,..., n 1, ergibt sich für ie Wahl z = k : ( k P( S n k Φ np np(1 p für k = 0, 1,..., n 1, ( Normalapproximation er Binomialverteilung mit Ganzzahligkeitskorrektur. Im folgenen weiteren Korollar wir bei er Stanarisierung er Summenvariablen S n nicht ie exakte Stanarabweichung σ verwenet, sonern eine konsiente Folge von Schätzern σ n (n N. Korollar 5.12 Sei außerem σ n, n N, eine Folge positiver reeller Zufallsvariablen auf Ω mit σ n S n nβ n σn N(0, 1. σ. Dann gilt: