Kapitel VI. Reihen. VI.1 Definitionen und Beispiele. Definition VI.1. Sei (a n ) n=1 K N eine Zahlenfolge. Dann heißt die Folge (s m ) m=1 K N, mit

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1 Kapitel VI Reihe VI.1 Defiitioe ud Beispiele Defiitio VI.1. Sei (a K N eie Zahlefolge. Da heißt die Folge (s m K N, mit m s m : a, (VI.1 Reihe i K. Ist (s m koverget, so schreibe wir { a : lim {s m m} lim a }. (VI. m m Eie Umschreibug des Cauchy-Kriteriums, Satz V.11, ud des Mootoiekriteriums, Satz V.5, vo Folge auf Reihe liefert Lemma VI.. Sei ( m a KN eie Reihe i K. Da gilt ( m a ist koverget ε > 0 0 N m 0 : m a k ε. k (VI.3 Lemma VI.3. Sei (a (R+ 0 N eie Folge ichtegativer Zahle. Da gilt { ( m } a ist koverget i R + 0 { ( m a } ist ach obe beschräkt. (VI.4 61

2 VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ KAPITEL VI. REIHEN Bemerkuge ud Beispiele. Wir beachte, dass ma icht ur Reihe als spezielle Folge gewie ka, soder dass ma auch umgekehrt Folge als spezielle Reihe auffasse ka, ämlich mit a : s s 1. Sei λ K mit 0 λ < 1. Da ist die geometrische Reihe ( m λ koverget m0 i K, ud es gilt λ 1 1 λ. (VI.5 Aus ( m (1 λ λ folgt ämlich für m. m λ s m : m m λ +1 m m+1 λ λñ 1 λ m+1 λ 1 λm+1 1 λ ñ1 1 1 λ, (VI.6 (VI.7 Die harmoische Reihe ( m 1 (R+ 0 N ist diverget, dies folgt aus Satz VI.13 vo Cauchy. I der Tat köe wir später leicht mit Hilfe der Itegralrechug zeige, dass m 1 l(m ubeschräkt wächst, falls m. Satz VI.13 liefert aber auch die Kovergez der Reihe ( m 1 α (R+ 0 N, für jedes α > 1. VI. Absolute Kovergez Defiitio VI.4. Eie Reihe ( m a i K heißt absolut koverget ( m : Die Reihe a ist koverget i R + 0. (VI.8 Lemma VI.5. Jede absolut kovergete Reihe ist koverget. Beweis. Ist die Reihe ( m a KN absolut koverget, so ist ( m a (R+ 0 N koverget. Zu jedem ε > 0 gibt es also ei 0 N, so dass m m 0 : a k ε. (VI.9 Mit der Dreiecksugleichug gilt da auch m m m 0 : a k a k ε, (VI.10 k k k also ist ach Lemma VI. ( m a koverget i K. 6

3 KAPITEL VI. REIHEN VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ Bemerkuge ud Beispiele. Nicht jede kovergete Reihe ist auch absolut koverget. Um dies zu sehe betrachte wir die Reihe ( m a mit a : ( R. Wir beobachte, dass für m k gilt s k k 1 1 k k k k+1 k+ } {{ } 0 s k+. (VI.11 Also ist die Folge (s k k1 der Summe mit gerader Zahl vo Summade mooto wachsed. Außerdem ist wege l(l 1 l s k k l1 ( 1 l 1 1 l k l1 1 k l(l 1 1 cost < l l1 (VI.1 beschräkt, da die Reihe ( k 1 l1 koverget ist. Somit ist die Folge (s l k1 k k1 koverget. Sei u ε > 0. Da (s k k1 koverget ist, gibt es ei k 0 N 0 so, dass l k k 0 : s l s k ε 3. (VI.13 Wir wähle 0 N so groß, dass 0 k 0 + ud 1 0 ε ist. Sid u m, N mit 3 m > 0, so gibt es eideutige Zahle l,k N, l k k 0 ud σ,τ {0,1}, sodass m l+σ ud k +τ gelte. Damit erhalte wir aus (VI.13 s m s s l+σ s k+τ s l+σ s l + s l s k + s k s k+τ 1 l + ε k ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. (VI.14 Also ist (s eie Cauchy-Folge ud daher auch koverget. Adererseits ist ( m ( icht absolut koverget, de ( m ( ( m ist diverget. 1 Eie fudametale Eigeschaft absolut kovergeter Reihe ist die Tatsache, dass auch Umorduge absolut kovergiere, ud zwar alle gege deselbe Grezwert. Defiitio VI.6. Seie (a,(b K N Zahlefolge. Die Reihe ( m b heißt Umordug der Reihe ( m a : Bijektio σ : N N N : b a σ(. (VI.15 63

4 VI.. ABSOLUTE KONVERGENZ KAPITEL VI. REIHEN Satz VI.7 (Großer Umordugssatz. Seie ( m a eie Reihe i K ud ( m b eie Umordug vo ( m a. Da gilt (i (ii { ( m { ( m } a abs. kov. ist } a absolut koverget ist { ( m } b ist abs. kov., (VI.16 { a b }. (VI.17 Umgekehrt zeigt der u folgede Satz, dass jede kovergete, aber icht absolut kovergete Reihe i R so umgeordet werde ka, dass sie gege jede beliebige vorgegebe Grezwert kovergiert. Satz VI.8. Sei ( m a eie Reihe i R, die koverget, aber icht absolut koverget ist, ud seie α,β R,α β, beliebig. Da gibt es eie Umordug ( m b ( vo m a, so dass lim if {t m} α, limsup{t m } β, (VI.18 m m wobei (t m die Folge i R mit t m : m b ist. Eie Awedug vo Satz VI.7 ist das Cauchy-Produkt. ( Dazu betrachte wir zwei Zahlefolge (a,(b KN ud die zugehörige Reihe m a, ( m b i K, die wir als absolut koverget aehme. Wir bilde u c 0 : a 0 b 0, c 1 : a 0 b 1 + a 1 b 0, c : a 0 b + a 1 b 1 + a b 0,. c : a 0 b + a 1 b a b 0 a k b k, (VI.19 (VI.0 (VI.1 (VI. für N 0, ud betrachte die Reihe ( m c, das Cauchy-Produkt der Reihe ( m a ud ( m b. Satz VI.9 (Cauchy-Produkt. Seie ( m a,( m b zwei absolut kovergete Reihei Kud c : a kb k, für N 0. DaistdasCauchy-Produkt ( m c absolut koverget i K, ud es gilt c a k b k ( ( a b. (VI.3 64

5 KAPITEL VI. REIHEN VI.3. KONVERGENZKRITERIEN VI.3 Kovergezkriterie Für die Überprüfug, ob eie Reihe koverget oder diverget ist, diskutiere wir drei Kovergezkriterie: das Majoratekriterium, das Wurzelkriterium ud das Quotietekriterium. Satz VI.10 (Majoratekriterium. (i Ist (a KN eie Zahlefolge ud ist (b (R+ 0 N eie Folge ichtegativer Zahle, sodass ( m b (absolut koverget ist ud a b für alle N gilt, so ist auch ( m a absolut koverget i K. (ii Sid (a (R+ 0 N ud (b (R+ 0 N zwei Folge ichtegativer Zahle, sodass ( m b diverget ist ud a b für alle N gilt, so ist auch ( m a diverget. Beweis. (ii DieReihe über (a (R+ 0 N ud (b (R+ 0 N sid jeweils geau dakoverget, we(s m bzw. (t m achobebeschräkt ist,wobeis m : m a udt m : m b. Wege der Divergez vo ( m b ist (t m ubeschräkt somit auch (s m, da s m t m 0. Also ist auch ( m a diverget. Zu (i: Für ε > 0 gibt es, wege der Kovergez vo ( m b, ei 0 N, so dass m 0 : m a k m b k ε. (VI.4 k k Also ist ( m a absolut koverget ud somit auch koverget, ach Lemma VI.5. Satz VI.11 (Wurzelkriterium. Sei (a K N eie Zahlefolge. (i Gilt (ii Gilt so ist die Reihe ( m a so ist die Reihe ( m a { a } < 1, (VI.5 absolut koverget i K. { a } > 1, (VI.6 diverget i K. Beweis. { Zu (i Sei α : limsup a } < 1. Für ε : 1 α > 0 gibt es da ach Satz V.7 (ii ei 0 N, so dass 0 : a α+ε 1+α 65 < 1. (VI.7

6 VI.3. KONVERGENZKRITERIEN KAPITEL VI. REIHEN Also ist, für alle m 0, m a k k m ( k ak k k m ( 1+α k ( 1+α k ( 1+α α ( 1+α ( 1+α j0 j (. (VI.8 1 α {( Wege 1+α < 1 folgt lim 1+α } 0, ud somit ist ach dem Cauchy-Kriterium für Reihe ( m a absolut koverget. (Gemäß (VI.7 ist a ( 1+α eie summierbare Majorate ud die Behauptug hätte sich ach (VI.7 auch direkt aus Satz VI.10 (i ergebe. Zu (ii Seie α : lim sup { a } > 1 ud ε : α 1 > 0. Da gibt es eie Teilfolge (a j j1 mit Da sid j N : j a j > α ε α+1 j N : a j > 1. (VI.9 ( α+1 j 1. (VI.30 Um zu zeige, dass ( m a divergiert, beweise wir, dass das Cauchy-Kriterium icht erfüllt ist. Seie ämlich δ : 1 ud 0 N irged eie atürliche Zahl. Da gibt es ei j N, so dass j 0, ud j k j a j a j 1 > δ. (VI.31 Für m : : j 0 ergibt sich daraus ei Widerspruch zum Cauchy-Kriterium. Bemerkuge ud Beispiele. Für limsup a 1 gibt es keie allgemeie Aussage. Beispielsweise ist mit, für alle p > 0, es ist aber ( m ( m 1 diverget i R. 1 Satz VI.1 (Quotietekriterium. Sei (a KN \{0} eie Zahlefolge. 1 1, p (absolut koverget i R ud (i Für { } a+1 a < 1 (VI.3 ist die Reihe ( m a absolut koverget. 66

7 KAPITEL VI. REIHEN VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN (ii Gibt es ei 0 N, so dass 0 : a +1 a 1, (VI.33 so ist die Reihe ( m a diverget. Bemerkuge ud Beispiele. Ei Vergleich mit Bedigug (VI.6 aus dem Wurzelkriterium für die Divergez eier Reihe würde, übertrage auf das Quotietekriterium, die Bedigug { } a+1 > 1 (VI.34 a für die Divergez eier Reihe suggeriere. Dies ist jedoch falsch, 1 wie das folgede Gegebeispiel illustriert. Für a : { 3, falls ugerade ist, +1, falls gerade ist, (VI.35 ist (a sicher koverget, da a die summierbare Majorate +1 besitzt, aber { } a+1 a limsup k { } ak+1 a k limsup k VI.4 Expoetialfuktio ud trigoometrische Fuktioe { } k 3 k {( limsup 3 k }. k (VI.36 Eie der wichtigste Aweduge der obige Kovergezkriterie ist die Darstellug bzw. Defiitio elemetarer Fuktioe durch Potezreihe. Wir begie mit der Expoetialfuktio. Seie z C\{0} ud a : z /!. Wir beobachte, dass a +1 a z +1! (+1! z z (+1 0,. (VI.37 Also ist { } a+1 a { } z limsup +1 { } z lim +1 0 < 1. (VI.38 1 Ich dake Ch. Brauer ud B. Komader für diese Hiweis. 67

8 VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN KAPITEL VI. REIHEN MitHilfedesQuotietekriteriums, SatzVI.1,sehewiralso,dassdieReihe ( m z! absolut kovergiert. De Limes dieser Reihe ee wir Expoetialfuktio, exp : C C, exp[z] : z!. (VI.39 Dabei vereibare wir, dass exp[0] : 1, d.h. hier ist Kovetio sivoll ud die Reihe für exp[0] besitzt ur eie icht-verschwidede Summade. Aalog seie z C \ {0} ud c k : ( 1 k z k /(k! sowie s k : ( 1 k z k+1 /(k + 1!. Da sid { } { } ck+1 z limsup 0 < 1, (VI.40 k c k k (k +(k +1 { } { } sk+1 z limsup 0 < 1, (VI.41 k s k k (k +3(k + ud die zugehörige Reihe, die Kosiusreihe cos[z] ud die Siusreihe si[z], cos[z] : ( 1 k z k, si[z] : (k! ( 1 k z k+1, (VI.4 (k +1! sid absolut koverget für z C\{0}. Für z 0 ergibt sich cos[0] 1 ud si[0] 0. Weiterhi beobachte wir, dass wege i k ( 1 k e iz : exp[iz] für alle z C gilt. i z! ( 1 k z k (k! Isbesodere sid da ( 1 k ( z k cos[ z], (k! si[ z] + i i k z k (k! + ( 1 k z k ( 1 k ( z k+1, (k +1! ( 1 k z k+1 (k +1! (k! i k+1 z k+1 (k +1! cos[z]+i si[z] (VI.43 cos[z], (VI.44 ( 1 k z k+1, si[z], (VI.45 (k +1! woraus 1 e ( iz +e iz 1 ( cos[z]+isi[z]+cos[ z]+isi[ z] cos[z], (VI.46 1 e i( iz e iz 1 ( cos[z]+isi[z] cos[ z] isi[ z] si[z] i (VI.47 folge. 68

9 KAPITEL VI. REIHEN VI.4. EXPONENTIALFUNKTION UND TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN So erhalte wir für alle z C die hyperbolische Fuktioe aus de trigoometrische durch cosh[z] : cos[iz] 1 ( e z +e z Kosius Hyperbolicus, (VI.48 sih[z] : 1 i si[iz] 1 ( e z e z Sius Hyperbolicus. (VI.49 Defiiere wir außerdem die Biomialkoeffiziete ( m m! m, N 0,m : :!(m!, (VI.50 so gilt m N 0 z,w C : (z +w m m ( m z w m. (VI.51 Setze wir a : z ud b! : w, da erhalte wir also für das Cauchy-Produkt! c m : m a b m 1 m! m z! w m (m! m m! z w m!(m! }{{} ( m Also gilt das Additiostheorem für die Expoetialfuktio (z +wm. (VI.5 m! z,w C : exp[z] exp[w] ( ( a b m0 ( c m m0 exp[z +w]. (VI.53 Schließlich erhalte wir die Additiostheoreme für die trigoometrische Fuktioe ud komplexe Argumete z,w C, etwa cos[z] cos[w] si[z] si[w] 1 ( e iz +e iz( e iw +e iw 1 ( e iz e iz( e iw e iw 4 4i 1 ( e iz+iw +e iz+iw +e iz iw +e iz iw +e iz+iw e iz+iw e iz iw +e iz iw 4 1 ( e i(z+w +e i(z+w cos[z +w], (VI.54 ud geauso si[z +w] si[z]cos[w]+cos[z]si[w]. 69

10 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN VI.5 Ergäzuge VI.5.1 Der Satz vo Cauchy zur Kovergez vo Reihe ichtegativer, mootoer Summade Satz VI.13 (Cauchy. Sei (a (R+ 0 N eie mooto fallede Folge ichtegativer Zahle. Da gilt { ( m } { ( l } a ist koverget i R + 0 k a k ist koverget i R + 0. l1 Beweis. Wir setze s m : k1 m a ud t l : (VI.55 l k a k. (VI.56 Kovergez vo ( m a bzw. ( l k1 k a k ist da ach Lemma VI.3 äquivalet l1 zur Beschräktheit vo (s m ud (t l l1 ach obe. Es geügt also zu zeige, dass ] ] [(s m ist ach obe beschräkt. [(t l l1 ist ach obe beschräkt. (VI.57 Für m < l ist s m a 1 +(a +a 3 +(a 4 +a 5 +a 6 +a ( a l +a l a l+1 1. (VI.58 }{{} l Summade Wege a a +1 sid k1 a 1 a 1, a +a 3 a, a 4 +a 5 +a 6 +a 7 4a 4, Also gilt ud somit...,a l +a l a l+1 1 l a l. s m a 1 +a +4a l a l t l sup { s m m N } sup { t l l N }. (VI.59 (VI.60 (VI.61 Für m > l ist jedoch s m a 1 +a +(a 3 +a 4 +(a 5 +a 6 +a 7 +a ( a l a l a l }{{} l 1 Summade 1 a 1 +a +a 4 +4a l 1 a l 1 ( a1 +a +4a l a l 1 t l, (VI.6 70

11 KAPITEL VI. REIHEN VI.5. ERGÄNZUNGEN wiederum wege a a +1. Somit ist sup { s m m N } 1 sup{ t l l N }. (VI.63 VI.5. Beweis des Große Umordugssatzes VI.7 Zu (i: Seie σ : N N,σ 1 : N N Bijektioe, so dass N : a σ( b, a b σ 1 (. (VI.64 Für m N setze wir A(m : max { σ(1,σ(,...,σ(m }, B(m : max { σ 1 (1,σ 1 (,...,σ 1 (m }. (VI.65 (VI.66 Wir betrachte u die mooto steigede Folge (s m,(t m i R, wobei m m s m : a, t m : b. (VI.67 Wir beobachte, dass, für jedes m N, Somit ist t m : s m : m a σ( m b σ 1 ( A(m B(m a s A(m, (VI.68 b t B(m. (VI.69 also sup m N {t m } sup{s A(m } sup{s m } sup{t B(m } sup{t m }, (VI.70 m N m N m N m N sup m N {s m } sup{t m }, (VI.71 ud (s m ist geau da koverget, we (t m koverget ist, ach Satz V.5 (i. Zu (ii: Seie m N ud B(m wie i (VI.66. Da ist B(m m ud { σ 1 (1,σ 1 (,...,σ 1 (m } {1,,...,B(m}, (VI.7 m N was {1,,...,m} { σ ( σ 1 (1,σ ( σ 1 (,...,σ ( σ 1 (m } { σ( 1,,...,B(m } {1,,...,A(B(m} (VI.73 71

12 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN impliziert. Also ist Q m : {σ(} B(m {1,...,m} B(m b m a k Q m a k ud wege Q m {1,,...,A B(m} ist da k {1,...,m} a k k Q m\{1,...,m} a k, (VI.74 B(m b m a k Q m\{1,...,m} a k A B(m m+1 a m+1 a. (VI.75 Ist u ε > 0, ud ist m 0 N so groß, dass da sid, wege B(m m, m m 0 : m m 0 +1 a, m m 0 +1 b ε 3, (VI.76 m 0, a a b Also ist mit (VI.77 ud (VI.75 b a b ε 3 + B(m 0 m 0 +1 B(m 0 b + B(m 0 b ε 3. (VI.77 m 0 m 0 b a + a a a ε. (VI.78 Da ε > 0 beliebig klei gewählt werde ka, folgt b b a. a VI.5.3 Beweis vo Satz VI.9 zum Cauchy-Produkt 0, also (VI.79 Seie a : a, b : b, A : a, B : b. Sei weiterhi ε > 0. Wege der absolute Kovergez vo ( a ud ( m0 b gibt es ei m0 0 N, so dass, für alle 0, a A a k ε, a k ε A+B, b b k ε, 7 B b k ε A+B. (VI.80 (VI.81

13 KAPITEL VI. REIHEN VI.5. ERGÄNZUNGEN Wir beobachte u, dass für M m, M,m N M m c M a k b k m m M a α b β + α0 βm M M a α b β. (VI.8 αm β0 Also ist, für M m m 0, M m c ( m α0 a α }{{} A ( (A+B ( M βm b β }{{} ε/a+b ε A+B + ( M Somit ist ( m c absolut koverget. Außerdem ist m0 ab m αm a α }{{} ε/a+b ( m β0 b β }{{} B ε. (VI.83 ( ab m ( m ( m ( m c a α b β + a α b β a + α0 β0 α0 m m b m a α b + a α b β α0 ( m α0 ( m a α βm α0 b β + β0 αm β0 β0 ( m ( m a α b β m c ε ( b +A+A+B ( A+B ε, (VI.84 also gilt auch (VI.3. VI.5.4 Rückführug des Quotietekriteriums auf das Wurzelkriterium Beweis vo Satz VI.1 [Quotietekriterium]. { } Zu (i Sei β : limsup a+1 a R + 0. Da gibt es zu jedem ε > 0 ei 0 N, so dass 0 : a +1 a β +ε, (VI.85 ach Satz V.7 (ii. Also ist, 0 : a a a 1 a 1 a a 0 +1 a 0 a 0 (β +ε 0 a 0, (VI.86 73

14 VI.5. ERGÄNZUNGEN KAPITEL VI. REIHEN ud daher a (β +ε a 0 (β +ε 0 β +ε, für. (VI.87 Somit erhalte wir, dass Mit ε 0 folgt damit, dass ud (i folgt u aus dem Wurzelkriterium. Zu (ii Sid umgekehrt 0 N ud { a } β +ε. (VI.88 { a } { a+1 } β lim, (VI.89 a 0 : a +1 a β ε, (VI.90 so ist 0 +1 : a a a 1 a 1 a a 0 +1 a 0 a 0 (β ε 1 0 a 0. (VI.91 Also ist a (β ε a 0 (β ε 1 0, (VI.9 ud daraus folgt, dass Im Limes ε 0 impliziert dies { a } lim { (β ε a 0 (β ε 1 0 ud (ii folgt abermals aus dem Wurzelkriterium. } β ε. (VI.93 { } a β, (VI.94 74