Funktionen. Folgen und Reihen. Definitionen. Darstellung. Eigenschaften. Elementare reelle Funktionen und Kurven

Transkript

1 Funktionen Inhalt Funktionen Folgen und Reihen Definitionen Darstellung Eigenschaften Elementare reelle Funktionen und Kurven

2 Funktionen Inhalt Funktionen Folgen und Reihen! Der Begriff der Folge! Eigenschaften von Folgen! Arithmetische und geometrische Folgen! Der Begriff der Reihe! Konvergenz von Reihen! Spezielle Reihen Definitionen Darstellung Eigenschaften Elementare reelle Funktionen und Kurven

3 Funktionen Inhalt Funktionen Folgen und Reihen Definitionen! Umgangssprachliche Definition! Mengentheoretische Definition! Eindeutigkeit! Definition reeller Funktionen! Definitionsbereich! Intervall Darstellung Eigenschaften Elementare reelle Funktionen und Kurven

4 Funktionen Inhalt Funktionen Folgen und Reihen Definitionen Darstellung! Eindeutige Wertetabelle! Schaubild der Funktion Eigenschaften Elementare reelle Funktionen und Kurven

5 Funktionen Inhalt Funktionen Folgen und Reihen Definitionen Darstellung Eigenschaften! Achsenschnittpunkte! Funktionsverlauf! Verhalten im Unendlichen! Periodizität Elementare reelle Funktionen und Kurven

6 Funktionen Inhalt Funktionen Klassifizierung von Funktionen Folgen und Reihen Definitionen Darstellung Eigenschaften Elementare reelle Funktionen und Kurven! Algebraische Funktionen! Nichtalgebraische (transzendente) Funktionen! Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) Reelle Funktionen Algebraische Funktionen Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Nichtrationale Funktionen Nichtalgebraische Funktionen

7 Funktionen Folgen und Reihen Der Begriff der Folge Eine Folge ist eine Aufzählung unendlich vieler reeller Zahlen. Diese Zahlen werden durch Kommas getrennt aufgeführt. Wenn der Nummer eine reelle Zahl a, der Nummer die Zahl a usw., allgemein der Nummer n die Zahl a n zugeordnet wird, so sagt man, es liegt eine Zahlenfolge Beispiele n = =,,,, n also: a =, a = etc. 4. ( a ). ( a ) 3 n n =,,, K = 3 4 n + ( ) a a, a, a, K, a, n = 3 n K vor. Die einzelnen Werte werden Glieder der Folge genannt. Oft lassen sich die Glieder der Folge durch ein Bildungsgesetz, eine mathematische Formel, angeben. So hat die Folge ( ) a n =,, 3, 4, 5, K das Bildungsgesetz ( a ) ( n) n =, mit n N.

8 Funktionen Folgen und Reihen Eigenschaften von Folgen Bemerkung Je nachdem, wie sich die Glieder der Folge verhalten, können ihr verschiedene Eigenschaften zugeordnet werden. Die Eigenschaften, die hier für Folgen eingeführt werden, eignen sich auch zur Beschreibung von Funktionen. Hier seien einige angegeben:! Beschränktheit einer Folge! Monotonie einer Folge! Alternierende Folge! Konvergenz einer Folge

9 Funktionen Folgen und Reihen Beschränktheit einer Folge Beispiel Eine Folge heißt beschränkt, wenn zwei Zahlen gefunden werden können, zwischen denen alle Glieder der Folge liegen. Die größere der beiden Zahlen wird obere Schranke, die kleinere Zahl untere Schranke der Folge genannt. Diese Schranken müssen nicht die engsten sein, sie müssen nur garantieren, daß alle Glieder innerhalb der Schranken liegen. Mathematisch kann dies mit der Intervall-Schreibweise angegeben werden: Für alle Folgenglieder gilt: ( a n ) B A Obere Schranke Untere Schranke Die Glieder der dargestellten Folge befinden sich innerhalb zweier Schranken A und B (gestrichelte Linien) n [ ; ] a A B R

10 Funktionen Folgen und Reihen Monotonie einer Folge Beispiele Werden die Glieder einer Folge im gesamten Verlauf immer kleiner oder immer größer, so handelt es sich um eine streng monotone Folge. Bei monotonen Folgen kann das Folgeglied auch gleich dem vorhergehenden sein. Streng monotone Zahlenfolge:,, 3, 4, 5,... Monotone Zahlenfolge:,,, 3, 4, 4,... Es gibt vier Einteilungen:. Streng monoton steigend an+ > an, für alle n N. Monoton steigend an+ an, für alle n N 3. Streng monoton fallend an+ < an, für alle n N 4. Monoton fallend an+ an, für alle n N

11 Funktionen Folgen und Reihen Alternierende Folge Beispiel Wechseln die benachbarten Glieder einer Folge jeweils ihr Vorzeichen, so wird die Folge alternierend genannt. Die Glieder der Folge springen um die -Achse. ( a n ) Eine alternierende Folge kann erzeugt werden, indem z.b. n in eine Folge mit ausschließlich positiven Gliedern aufgenommen wird. der Faktor ( ) Es gilt: ( ) n = +, wenn n gerade, wenn n ungerade a n Die Glieder der Folge ( ) -Achse n ( ) = n springen um die

12 Funktionen Folgen und Reihen Konvergenz einer Folge Beispiel Umgangssprachliche Formulierung: Streben die Glieder der Folge einem festen Wert zu und kommen beliebig nah an diesen heran, so hat die Folge diesen Wert als Grenzwert und wird konvergent genannt. Eine Folge, die nicht konvergent ist, also keinen Grenzwert g besitzt, heißt divergent. ( a n ) Mathematische Formulierung: Eine reelle Zahlenfolge ( a n ) konvergiert genau dann gegen g, wenn es zu einer beliebig kleinen Zahl ε >0 einen Inde n 0 N gibt, so daß für alle n > n 0 gilt: Die Glieder der Folge ( an) = ( e n ) n dem Grenzwert an: lim ( e ) = nähern sich. n a n g < ε Man schreibt: lim an n = g.

13 Funktionen Folgen und Reihen Arithmetische und geometrische Folgen Veranschaulichung Arithmetische Folge: Ist eine Folge gegeben, in der jeweils das nächste Glied durch Addition der gleichen Konstante erhalten werden kann, so nennt man sie arithmetische Folge. Diese Eigenschaft wird durch folgende Formel ausgedrückt: an+ an = d, mit d konstant Geometrische Folge: Ist eine Folge gegeben, in der jeweils das nächste Glied durch Multiplikation mit der gleichen Konstante erhalten werden kann, so nennt man sie geometrische Folge. Diese Eigenschaft wird durch folgende Formel ausgedrückt: an a + = n q, mit q konstant 3, 6, 9,, 5 a a a a , 4, 8, 6, 3 a a a a Hier sind Ausschnitte aus einer arithmetischen Folge (oben) und einer geometrischen Folge (unten) dargestellt.

14 Funktionen Folgen und Reihen Der Begriff der Reihe Beispiel Summiert man die einzelnen Glieder einer Folge, so entsteht eine sogenannte Reihe. Werden die Glieder bis zum Glied a n aufsummiert, so wird von einer endlichen Reihe gesprochen. Wird die Summation bis ins Unendliche fortgesetzt, so handelt es sich um eine unendliche Reihe. Für die Darstellung von Reihen wird das Summenzeichen benutzt. Eine endliche Reihe kann folgendermaßen geschrieben werden: s = a + a + a + K + a = a n 3 n i i = n Gegeben ist die Folge: ( ) a n = 3, 6, 9,, 5, K Die Summe der endlichen Reihe bis zum fünften Glied lautet: s 5 5 a k k = = = = 45

15 Funktionen Folgen und Reihen Konvergenz von Reihen Beispiel Eine unendliche Reihe ist konvergent, wenn ihre Summe einem Grenzwert zustrebt. Um dies zu beurteilen, betrachtet man den Verlauf der sogenannten Partialsummen. Sie geben die Summe einer Reihe bis zu einem bestimmten n an und n sind definiert als sn = ak. k = Für die Konvergenz von Reihen gilt: Eine Reihe a k heißt genau dann konvergent, wenn die k = Folge ihrer Partialsummen s n konvergiert. Ist s der Grenzwert dieser Folge, gilt also s = lim sn, so schreibt man n ak = s. k = s wird auch Summe der Reihe genannt. Die Reihe k = K hat folgende k = Partialsummen: s s = = + = 3 s3 = = 6 M n( n + ) sn = Die Reihe ist divergent, da gilt: n( n + ) lim sn = lim = n n Bemerkung Eine notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe ist: Die Reihenglieder a k bilden eine Folge mit Grenzwert Null. Es muß also gelten lim a k = 0, damit die k Reihe konvergiert.

16 Funktionen Folgen und Reihen Spezielle Reihen Hier werden die wichtigsten Reihen vorgestellt:! Arithmetische Reihe! Geometrische Reihe! Harmonische Reihe

17 Funktionen Folgen und Reihen Arithmetische Reihe Historie Summiert man die Glieder einer arithmetischen Folge auf, so entsteht die arithmetische Reihe: k 3 k = a = a + a + a + K Diese Reihe ist divergent. Sinnvollerweise wird hierbei nur die Summe der endlichen Reihe betrachtet. Um diese Summe zu erhalten, gibt es folgende Formel: s n n n = ak = k = ( a ( n ) d) Ist ak = k, so vereinfacht sich der Ausdruck zu: s n n n n = k = a + a n = + k = ( ) ( n) Carl Friedrich Gauß In der Klasse des neunjährigen Carl Friedrich Gauß soll von dem Lehrer die Aufgabe gestellt worden sein, die Zahlen von bis 00 zu addieren. Wahrscheinlich wollte der Lehrer seine Schüler für eine lange Zeit beschäftigt wissen. Aber kaum hatte sich der Lehrer nach dem Stellen der Aufgabe gesetzt, präsentierte Carl Friedrich Gauß schon die Lösung: Dar licht se. Sein Lehrer war sehr erstaunt, als die richtige Lösung (5050) vor ihm lag. Carl Friedrich Gauß hatte sie nach nebenstehender Formel ermittelt: 00 k = 00 ( + 00) = 50 0 = 5050 k =

18 Funktionen Folgen und Reihen Geometrische Reihe Beispiel Auch die geometrische Reihe kann aus der geometrischen Folge abgeleitet werden. Sie hat die Gestalt: k k = q = + q + q + q + K Ist q <, so konvergiert die unendliche Reihe. Als Grenzwert ergibt sich: 3 Gegeben sei ein Rechteck der Fläche. Es wird nun ein Rechteck mit halb so großer Fläche danebengelegt, und neben dieses wird wieder eins mit der halben Fläche gelegt. Diese Prozedur wird unendlich oft wiederholt. Wie groß wird die entstehende Fläche werden? 4 8 k q k = = q Veranschaulichung der Rechnung Als Gesamtfläche ergibt sich: k = k = K = =

19 Funktionen Folgen und Reihen Harmonische Reihe Beispiel Die Reihe k = k = K 3 Im folgenden wird die Summe einer endlichen harmonische Reihe berechnet: 5 k = k = wird harmonische Reihe genannt. Betrachtet man nur die einzelnen Glieder dieser Reihe, ohne daß sie aufsummiert werden, so bilden sie eine Nullfolge. Die Reihe selbst ist divergent, und die Folge ihrer Partialsummen ist nicht beschränkt = =

20 Funktionen Folgen und Reihen Übungsaufgaben. Finden Sie zu der dargestellten Folge das Bildungsgesetz: ( a n ) = 3579,,,,,K. Ist die folgende Reihe konvergent? i i + i = 3. Bestimmen Sie den Wert der nachfolgenden geometrischen Reihe: k = k

21 Funktionen Folgen und Reihen Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Finden Sie zu der dargestellten Folge das Bildungsgesetz: ( a n ) = 3579,,,,,K. Ist die folgende Reihe konvergent? i i + i = Bei Betrachtung der gegebenen Zahlenfolge läßt sich ein Zusammenhang zwischen der jeweiligen Position und dem Wert eines Folgegliedes erkennen. Der Zahlenwert an einer Stelle ergibt sich durch die Multiplikation der Positionsnummer n mit und anschließender Subtraktion von. Damit erhält man das Bildungsgesetz: ( a ) ( n ) n = 3. Bestimmen Sie den Wert der nachfolgenden geometrischen Reihe: k = k

22 Funktionen Folgen und Reihen Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Finden Sie zu der dargestellten Folge das Bildungsgesetz: ( a n ) = 3579,,,,,K. Ist die folgende Reihe konvergent? Die Reihe ist nicht konvergent, da die Glieder der Reihe keine Nullfolge bilden: n lim = n + n lim n + n n = i i + i = 3. Bestimmen Sie den Wert der nachfolgenden geometrischen Reihe: k = k

23 Funktionen Folgen und Reihen Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 3. Finden Sie zu der dargestellten Folge das Bildungsgesetz: ( a n ) = 3579,,,,,K. Ist die folgende Reihe konvergent? Durch Einsetzen in die Formel für die geometrische Reihe erhält man: k = k = = i i + i = 3. Bestimmen Sie den Wert der nachfolgenden geometrischen Reihe: k = k

24 Funktionen Definitionen Umgangssprachliche Definition Historie Eine Funktion wird oft erklärt als eine veränderliche Größe, die eindeutig von einer anderen veränderlichen Größe abhängt. So hängt z.b. die Helligkeit einer Glühlampe eindeutig von der Spannung, mit der sie betrieben wird, ab. Die Spannung stellt hierbei die unabhängige Variable dar. Ihr Wert kann beliebig geändert werden, und die Helligkeit ist davon abhängig. Daher wird die Helligkeit auch als abhängige Variable bezeichnet. Die nebenstehende Definition geht auf Leonard Euler zurück, der die Idee dazu schon im Jahr 749 formulieren konnte. Es hat sich folgende Zuordnung der Begriffe durchgesetzt: Die unabhängige Variable wird mit bezeichnet. Die abhängige Variable erhält y als Bezeichnung. Leonard Euler

25 Funktionen Definitionen Mengentheoretische Definition Funktionen ordnen den Elementen einer Definitionsmenge D eindeutig Elemente aus einer dazugehörigen Wertemenge W zu. Diese Zuordnung wird auch als Abbildung bezeichnet und läßt sich graphisch durch Pfeile veranschaulichen. Das Ergebnis der Zuordnung kann als Menge von geordneten, y aufgefaßt werden. Paaren ( ) Beispiel Das Wetteramt liefert eine Meßtabelle, in der jedem Zeitpunkt (Uhrzeit) ein Meßwert (Temperatur) zugeordnet wird. Der Wertebereich beinhaltet dabei die möglichen Temperaturen, während die Uhrzeiten die Definitionsmenge darstellen. Die Zuordnung stellt eine Funktion dar. Wichtig ist, daß es sich um eine eindeutige Zuordnung handelt. Dabei wird die Eindeutigkeit nur in einer Richtung gefordert (von der Definitionsmenge zur Wertemenge). 700 : 900 : : 00 0: 00 4 C 5 C 8 C 6 C Zuordnung der Elemente zweier Mengen

26 Funktionen Definitionen Eindeutigkeit Beispiel Jedem Element der Definitionsmenge darf höchstens ein Element der Wertemenge zugeordnet werden. Dies bedeutet, daß von einem Element der Definitionsmenge nur ein Zuordnungspfeil abgeht. Dabei können Elemente der Wertemenge auch mehrfach zugeordnet sein. Es dürfen also mehrere Zuordnungspfeile von verschiedenen Elementen der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Wertemenge weisen. 3 4 Definitionsmenge y y y 3 y 4 Wertemenge Beispiel für eine eindeutige Zuordnung 3 4 y y y 3 y 4 Definitionsmenge Wertemenge Beispiel für eine mehrdeutige Zuordnung

27 Funktionen Definitionen Definition reeller Funktionen Beispiel Eine Vorschrift, die jedem aus einer Definitionsmenge D R genau ein y aus einer Wertemenge W R zuordnet, heißt eine Funktion (oder Abbildung) von D in W. Dies kann folgendermaßen dargestellt werden: Gegeben sei eine lineare Funktion: f : D W Diese lautet z.b. f : D W f() = Alternativ ist auch diese Schreibweise üblich: y = () f oder y = wobei folgendes gilt : y heißt Funktionswert an der Stelle. D = y W = R R Das heißt, es kann für jeder beliebige reelle Zahlenwert eingesetzt werden, und daraus ergibt sich ein reeller Funktionswert für y.

28 Funktionen Definitionen Definitionsbereich Durch Festlegen des Definitionsbereiches einer Funktion ergibt sich die größtmögliche Menge an Werten, die für eingesetzt die Funktionsvorschrift sinnvoll erfüllen. Sinnvoll bedeutet hierbei, daß der Definitionsbereich alle mathematisch möglichen Werte für die unabhängige Variable enthält. Zum Beispiel kann die Wurzel nur aus positiven Zahlen gezogen werden, wenn das Ergebnis reell sein soll. Daraus ergibt sich für die Funktionsgleichung y= der Definitionsbereich: Beispiele. f() 3 = D = R. + f() = ln D = R = { R > 0} 3. y = 4 D = { R } oder in Intervallschreibweise: D = [ ; ]. D { R } = 0. Bei konkreten Beispielen wird der mathematisch festgelegte Definionsbereich meist durch Randbedingungen weiter eingeschränkt. Die Funktion y = 3 beschreibt z.b. das Volumen eines Würfels der Kantenlänge. Da es keine negativen Kantenlängen gibt, ist der Definitionsbereich in diesem konkreten Fall: D { R } = 0.

29 Funktionen Definitionen Intervall Die Intervallschreibweise ist eine nützliche Kurzschreibweise einer reellen Zahlenmenge. Definition: Ein Intervall ist eine Menge von reellen Zahlen zwischen zwei gegebenen Zahlen a und b. Man unterscheidet geschlossene und offene bzw. halboffene Intervalle, in Abhängigkeit davon, ob die Grenzen noch zur Menge gehören oder nicht. Es gilt: [ ab ; ] { a b} = Geschlossenes Intervall ] ab ; [ { a b} = < < Offenes Intervall [ ab ; [ { a b} = < Halboffenes Intervall ] ab ; ] { a b} = < Halboffenes Intervall Beispiele. [ π π ] π ; ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen (einschließlich) und π (einschließlich).. [ 3 [ ; ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen 3 (einschließlich) und (ausschließlich). Bemerkungen Die durch Intervalle beschriebenen Mengen sind stets unendlich groß, da es sich um reelle Zahlenbereiche handelt. Für offene Intervalle wird statt ] ; [ Bezeichnung ( ab ; ) verwendet. ab oft auch die

30 Funktionen Darstellung Eindeutige Wertetabelle Wenn man eine Funktion in einem Schaubild darstellen möchten, so kann man zuerst eine eindeutige Wertetabelle für diese Funktion aufstellen. In dieser Wertetabelle werden einer bestimmten Anzahl von Elementen der Definitionsmenge ( -Werte) bestimmte Funktionswerte ( y -Werte) zugeordnet und tabellarisch aufgeschrieben. Diese Werte können anschließend in eine graphische Darstellung überführt werden. Diese Darstellung nennt man Funktionsgraph oder Graph der Funktion.! Aufstellen der Wertetabelle

31 Funktionen Darstellung Aufstellen der Wertetabelle Bei Kenntnis der Funktionsvorschrift f() setzt man verschiedene Werte für die Variable ein. Der dann entstehende Ausdruck wird für jeden eingesetzten Wert berechnet, und es ergibt sich als Funktionswert eine bestimmte Zahl. Die entstandenen Wertepaare, die aus den -Werten und den berechneten Werten bestehen, werden in Form einer geordneten Tabelle dargestellt. Beispiel Hier werden Wertepaare der Funktion f() = + 4 tabellarisch dargestellt: + 4 Ergebnis - ( ) ( )

32 Funktionen Darstellung Schaubild der Funktion Darstellung Um einen bestimmten Punkt (Koordinate) in einer Ebene durch ein Wertepaar festzulegen, bedient man sich eines Koordinatensystems. Häufig wird das rechtwinklige Koordinatensystem benutzt, das entsteht, wenn zwei Zahlenstrahlen mit gleichem oder unterschiedlichem Maßstab sich im Nullpunkt (Ursprung) schneiden und senkrecht aufeinander stehen. y Um das Schaubild der Funktion zu erhalten, werden alle -Werte in der Waagerechten abgetragen und die zugehörigen Funktionswerte in der Senkrechten. Man spricht auch von der - und der y -Achse (Abszisse und Ordinate). Schaubild der Funktion y = + 4 Da die Wertetabelle nicht vollständig ist, erhält man zunächst ein Schaubild, das aus einzelnen Punkten besteht. Anschliessend kann durch diese Punkte der Funktionsgraph gelegt werden.

33 Funktionen Darstellung Übungsaufgaben. Ist die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion? D 3 4 W Bestimmen Sie die Funktionswerte der Funktion 3 g = + an den Stellen: () = 3, =, =, = 0, =, =, = 3 Berechnen Sie: g( 5, ) 3. Was bedeutet die Angabe : () y = f = mit Z und y R?

34 Funktionen Darstellung Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Ist die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion? D 3 4 W Die dargestellte Wertetabelle stellt eine Funktion dar, da jedem Element aus D nur ein Element aus W zugeordnet wird. Die Zuordnung ist also eindeutig. Anders sieht die Situation aus, wenn zum Beispiel dem Element aus D die Elemente 0 und 0 gleichzeitig zugeordnet würden. Eine solche Zuordnung ist nicht eindeutig.. Bestimmen Sie die Funktionswerte der Funktion 3 g = + an den Stellen: () = 3, =, =, = 0, =, =, = 3 Berechnen Sie: g( 5, ) 3. Was bedeutet die Angabe : () y = f = mit Z und y R?

35 Funktionen Darstellung Übungsaufgaben. Ist die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion? D 3 4. Bestimmen Sie die Funktionswerte der Funktion 3 g = + an den Stellen: () W = 3, =, =, = 0, =, =, = 3 Berechnen Sie: g( 5, ) Lösung zu Aufgabe ( ) ( ) 3 g 3 = 3 + = 7 + = 6 g( ) = 7 g( ) = 0 g() 0 = g() = g() = 9 g() 3 = 8 ( ) ( ) 3 g, 5 =, 5 + = 3, = 4, Was bedeutet die Angabe : () y = f = mit Z und y R?

36 Funktionen Darstellung Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 3. Ist die folgende Zuordnungsvorschrift eine Funktion? D 3 4 W Umgangssprachlich ausgedrückt bedeutet die Angabe, daß für nur ganze Zahlen eingesetzt werden dürfen und die entstehenden Funktionswerte f() reelle Zahlen sind.. Bestimmen Sie die Funktionswerte der Funktion 3 g = + an den Stellen: () = 3, =, =, = 0, =, =, = 3 Berechnen Sie: g( 5, ) 3. Was bedeutet die Angabe : () y = f = mit Z und y R?

37 Funktionen Eigenschaften Achsenschnittpunkte Schnittpunkt kann hier der Schnittpunkt des Graphen mit der y -Achse oder die Schnittpunkte des Graphen mit der -Achse, die auch Nullstellen genannt werden, sein. Schnittpunkt des Graphen mit der y -Achse: Der Schnittpunkt des Graphen mit der y -Achse wird durch Berechnen des Funktionswertes für = 0 bestimmt. Der gesuchte Schnittpunkt ist dann P 0; f() 0. ( ) Nullstellen (Schnittpunkte mit der -Achse): Die Nullstellen werden ermittelt, indem die Funktionsvorschrift gleich Null gesetzt wird und dann die Lösungen dieser Gleichung berechnet werden. Beispiel Die Funktion f() = 6 3 ist gegeben. Schnittpunkt des Graphen mit der y-achse: f () 0 = 3 P( 0; 3) Nullstellen bestimmen: () f = 6 3 = 0 Man löst die Gleichung mit Hilfe der p-q-formel und erhält:, = ± 6 5 Die Nullstellen liegen bei: = 0, 744 und = 0, 4

38 Funktionen Eigenschaften Funktionsverlauf Bemerkung Die hier auszugsweise behandelten Eigenschaften von Funktionen beschreiben den Verlauf und das Aussehen der Funktionen, ohne auf genauere Details des Funktionsverlaufs einzugehen. So lassen sich Gemeinsamkeiten im Funktionsverlauf von verschiedenen Funktionen finden. Eigenschaften werden häufig für bestimmte Intervalle des Definitionsbereiches angegeben. Zu den wichtigsten und hier behandelten Eigenschaften des Funktionsverlaufes gehören: Durch die Angabe der Eigenschaften einer Funktion ist es möglich, sich ein grobes Bild über das Verhalten der Funktion zu machen. Hier sind einige Funktionseigenschaften beispielhaft angegeben:. Von einer Funktion, die stetig ist, kann man sofort sagen, daß sie keine Sprünge macht.. Von einer Funktion, die gerade ist, weiß man, daß sie an der Stelle den gleichen Funktionswert hat wie an der Stelle. 3. Zu einer Funktion, die streng monoton ist, kann man eine Umkehrfunktion finden.! Stetigkeit/Unstetigkeit! Monotonie! Symmetrien! Umkehrbarkeit Anhand der Kenntnis des Funktionsverlaufes kann man Funktionen in Klassen einordnen.

39 Funktionen Eigenschaften Stetigkeit Beispiele Anschaulich formuliert bedeutet Stetigkeit, daß der Graph einer Funktion als durchgehende Linie erscheint. y 0. Stetigkeit wird oft nur für ein Intervall von a bis b angegeben, so daß der Rest der Funktion nicht weiter betrachtet wird. Ohne Angabe eines Intervalles gilt sie im gesamten Definitionsbereich Unstetigkeit Diese Funktion ist stetig im Intervall ab ; = 05, ; 05, [ ] [ ] Eine Funktion, deren Funktionswert plötzlich springt, wird als unstetig bezeichnet. Als Unstetigkeitsstellen bezeichnet man die -Werte, an denen ein Sprung stattfindet. y Folgende Unstetigkeitsstellen sind möglich:! Definitionslücke! Polstelle! Sprungstelle Diese Funktion ist unstetig im Intervall ab ; = 05, ; 05, [ ] [ ]

40 Funktionen Eigenschaften Definitionslücke Beispiel Ist eine Funktion für einen Wert 0 der unabhängigen Variablen nicht definiert, so liegt an dieser Stelle eine sogenannte Definitionslücke vor. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist dies bei jedem -Wert der Fall, bei dem der Nenner gleich Null ist. Die Funktion f ( )= ist eine gebrochenrationale Funktion. Hierbei ist der Definitionsbereich eingeschränkt: {} D = R \ 0

41 Funktionen Eigenschaften Polstelle Ist D eine Definitionslücke einer Funktion, so kann man prüfen, ob dort auch eine Polstelle vorliegt. Durch Bilden des Grenzwertes läßt sich feststellen, ob die Funktionswerte uneingeschränkt wachsen bzw. fallen. Wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert bei D gegen ± laufen (uneigentlicher Grenzwert), ist D eine Polstelle. Es muß also gelten: lim ( ) = ± und lim f ( ) + D D f = ± Beispiel Die Funktion f() D = R \{} 0. = hat den Definitionsbereich An der Definitionlücke D = 0 liegt eine Polstelle vor. Es gilt: lim = und lim =. 0 + Hinweise 0 Ähnlich wie der Grenzwert einer Folge ist der Grenzwert einer Funktion definiert: Eine Funktion f() hat an der Stelle = 0 den Grenzwert g, wenn es zu einer beliebigen Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 gibt, so daß für alle mit 0 < δ gilt: f( 0) < ε. Man schreibt: lim f() = g. 0 Beim rechtsseitigen Grenzwert läuft von rechts lim f. gegen 0, man schreibt ( ) + 0 Für den linksseitigen Grenzwert gilt umgekehrt: läuft von links gegen 0 : lim f ( ). 0

42 Funktionen Eigenschaften Sprungstelle Beispiel Bei einer Sprungstelle springt der Funktionswert beim Fortschreiten auf der -Achse plötzlich von einem Wert auf einen anderen. Die Sprungstelle ist eine Unstetigkeitsstelle, jedoch keine Definitionslücke. Die sogenannte Sprungfunktion f ( ) = für < 0 für 0 hat eine Sprungstelle bei = 0. f ( ) + 0 Sprungfunktion

43 Funktionen Eigenschaften Monotonie Monoton steigend bedeutet, daß der Funktionswert f() einer Funktion bei Vergrößerung des -Wertes immer größer wird oder gleich bleibt. Monoton fallend heißt, daß der Funktionswert f() einer Funktion bei Vergrößerung des -Wertes immer kleiner wird oder gleich bleibt. Streng monoton steigend (streng monoton fallend) heißt die Funktion, wenn bei Vergrößerung des -Wertes der Funktionswert tatsächlich immer größer (kleiner) wird. Die Funktionswerte bleiben an keiner Stelle gleich. Monotonie kann für ein bestimmtes Intervall definiert sein. Eine Funktion, die innerhalb eines Intervalls streng monoton fallend ist, könnte in einem anderen Intervall streng monoton steigend sein. Beispiel - - Die Normalparabel f() = ist im Intervall ] ;0 ] streng monoton fallend und im Intervall [ 0; [ streng monoton steigend. 4 3 f() Für streng monotone Funktionen läßt sich eine Umkehrfunktion finden.

44 Funktionen Eigenschaften Symmetrien Beispiele Es werden zwei Symmetriearten unterschieden.. Gerade Funktionen 0.5 f() Eine Funktion, die bezüglich der y -Achse spiegelsymmetrisch ist, nennt man gerade. Spiegelsymmetrisch zur y -Achse bedeutet, daß der Funktionswert f() an der Stelle 0 der gleiche ist wie an der Stelle Funktionen, für die alle -Werte die folgende Gleichung erfüllen, bezeichnet man als gerade: f() = f( ) Gerade Funktion f(). Ungerade Funktionen Eine ungerade Funktion ist auf den Ursprung bezogen punktsymmetrisch. Es gilt die Bedingung: f() = f( ) Ungerade Funktion -

45 Funktionen Eigenschaften Umkehrbarkeit Darstellung Gegeben sei die streng monotone Funktion: f() = Will man zu einem gegebenen y -Wert den zugehörigen - Wert bestimmen, bildet man die Umkehrfunktion, indem man die Gleichung nach auflöst. Das führt zu ( ) Die Funktion f ( y) f y = = y + heißt Umkehrfunktion zu f(). Vertauscht man in der Gleichung für f ( y) y mit, kann man die ursprüngliche Funktion f() und die Umkehrfunk- f y in ein Koordinatensystem zeichnen. tion ( ) Es gilt der Satz: Jede auf einem Intervall streng monotone Funktion besitzt für dieses Intervall eine Umkehrfunktion. Zeichnet man die links behandelte Funktion und ihre Umkehrfunktion f ( ) = f ( ) = + in ein Koordinatensystem, kann man leicht erkennen, daß die Funktion durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden in die Umkehrfunktion übergeht. Das Bilden einer Umkehrfunktion bedeutet geometrisch betrachtet, daß die Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird (Geradenspiegelung). f () Winkelhalbierende f - ()

46 Funktionen Eigenschaften Verhalten im Unendlichen Funktionen weisen unterschiedliches Verhalten auf, wenn gegen ± läuft. Auf folgende Fälle wird hier eingegangen:! Asymptote! Uneigentlicher Grenzwert! Polynom als Asymptote Beispiel Gegeben ist die Funktion f ( ) =, D = R \{} 0. Wird größer, nähert sich f ( ) immer mehr Null an. Wird kleiner (negativer), nähert sich f ( ) ebenfalls Null an. 3 f() Funktion: f ( ) =

47 Funktionen Eigenschaften Uneigentlicher Grenzwert Laufen die Funktionswerte für unbeschränkt gegen + bzw., ordnet man der Funktion den entsprechenden uneigentlichen Grenzwert + bzw. zu. Man schreibt: lim ( ) f = bzw. lim f ( ) = Beispiele. ( ). f( ) f = lim = lim = + = lim = f( ) lim ( ) = + + = + lim 3 ( ) + = Analog gilt: lim ( ) f = bzw. lim f ( ) =, wenn die Funktionswerte für unbeschränkt gegen + bzw. laufen.

48 Funktionen Eigenschaften Asymptote Nähern sich die Funktionswerte für + oder für einem konstanten Wert a, bezeichnet man a als Asymptote. Dies kann man mit Hilfe des Grenzwertes beschreiben: lim ± () f = a Beispiele. f ( ) lim lim = = = 0 +. f ( ) = lim = f ( ) = lim + lim = 3 = 3

49 Funktionen Eigenschaften Polynom als Asymptote Die Funktionswerte einer unecht gebrochenrationalen Funk- f nähern sich für ± immer asymptotisch tion ( ) den Funktionswerten einer ganzrationalen Funktion an. Beispiel 3 + Die Funktion f ( )= ist eine unecht gebrochenrationale Funktion. 6 Asymptote dieser Funktion ist das Polynom f mit Hilfe der Polynomdivision in Zur Berechnung der Asymptote muß die unecht gebrochenrationale Funktion ( ) eine Summe aus einer ganzrationalen Funktion ( ) nom) und einer echt gebrochenrationalen Funktion ( ) gespalten werden: f() = g() + r(). Für ± strebt r () 0, und ( ) asymptotisch der ganzrationalen Funktion ( ) g (Poly- r auf- f nähert sich g. Eine echt gebrochenrationalen Funktion f ( ) nähert sich für ± immer der -Achse. Die Gleichung der Asymptote ist somit g () = 0. g ( ) = , weil gilt: 3 + lim = = lim = g() f () und Funktion f() und deren Asymptote g ()

50 Funktionen Eigenschaften Periodizität Beispiele Eine Funktion heißt periodisch mit der Periode T, wenn sie folgende Beziehung erfüllt: f() f() = f( + n T) n Z Die Funktion hat an der Stelle und an einer Stelle, die um ein ganzzahliges Vielfaches der Periode T verschoben ist, den gleichen Funktionswert. Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die Sinusund die Cosinus-Funktion: sin ( ) sin( π) = + n n Z Die π -periodische Funktion sin( ) f() ( ) cos( π) cos = + n n Z Sinus und Cosinus sind daher beide π -periodisch, T = π = 6, 8385K Die π -periodische Funktion cos( )

51 Funktionen Eigenschaften Übungsaufgaben. Ist die zusammengesetzte Funktion g () = + für = ] ;0] g () = für = [ 0; [ stetig?. Ist die Funktion ( ) = sin( ) + cos ( ) f periodisch? 3. Erstellen Sie zu folgender Funktion die zugehörige Umkehrfunktion. Die Funktion und die Umkehrfunktion stellen Sie dann als farblich gekennzeichnete Funktionsgraphen dar. f ( ) = +

52 Funktionen Eigenschaften Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Ist die zusammengesetzte Funktion g () = + für = ] ;0] g () = für = [ 0; [ stetig? Diese Funktion ist stetig, da sie an keiner Stelle einen Sprung macht. Insbesondere ist die Funktion stetig an der Nahtstelle = 0. () g. Ist die Funktion ( ) = sin( ) + cos ( ) f periodisch? Erstellen Sie zu folgender Funktion die zugehörige Umkehrfunktion. Die Funktion und die Umkehrfunktion stellen Sie dann als farblich gekennzeichnete Funktionsgraphen dar. Graph der zusammengesetzten Funktion g () f ( ) = +

53 Funktionen Eigenschaften Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Ist die zusammengesetzte Funktion g () = + für = ] ;0] g () = für = [ 0; [ stetig?. Ist die Funktion ( ) = sin( ) + cos ( ) f periodisch? 3. Erstellen Sie zu folgender Funktion die zugehörige Umkehrfunktion. Die Funktion und die Umkehrfunktion stellen Sie dann als farblich gekennzeichnete Funktionsgraphen dar. f ( ) = + Diese Funktion ist periodisch mit der Periode π, da sie die Gleichung ( + n π) sin( n π) cos( n π) cos( n π) sin( ) cos( ) cos( ) f( ) f = = + = erfüllt Graph der Funktion f ( ) = sin( ) + cos ( ) f()

54 Funktionen Eigenschaften Übungsaufgaben. Ist die zusammengesetzte Funktion g () = + für = ] ;0] g () = für = [ 0; [ Lösung zu Aufgabe 3 f( ) = y = + + = = y y stetig?. Ist die Funktion ( ) = sin( ) + cos ( ) f Durch formales Tauschen der Variablen erhält man wieder die Schreibweise y ( ). Die erhaltene Funktion f : g ( ) ist somit Umkehrfunktion zu ( ) g ( ) =. periodisch? 3. Erstellen Sie zu folgender Funktion die zugehörige Umkehrfunktion. Die Funktion und die Umkehrfunktion stellen Sie dann als farblich gekennzeichnete Funktionsgraphen dar. f ( ) = + f () g() Ausgangsfunktion f( ) und Umkehrfunktion g ( )

55 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Algebraische Funktionen Klassifizierung von Funktionen Um einfach auf die mathematischen Eigenschaften einer gegebenen Funktion schließen zu können, ist es nützlich, sie einer bestimmten Klasse von Funktionen zuordnen zu können. Algebraische Funktionen sind eine wichtige Klasse der reellen Funktionen. Man unterscheidet rationale und nichtrationale Funktionen. Ihre Definitionen und Eigenschaften werden hier beschrieben:! Rationale Funktionen! Nichtrationale Funktionen Reelle Funktionen Algebraische Funktionen Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Nichtrationale Funktionen Nichtalgebraische Funktionen

56 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Rationale Funktionen Die Zuordnungsvorschrift rationaler Funktionen weist nur endlich viele Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division auf. Rationale Funktionen sind generell in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und beliebig oft differenzierbar. Man unterscheidet zwischen ganz- und gebrochenrationalen Funktionen. Ganzrationale Funktionen:! Einführung! Polynom 0-ten Grades (konstante Funktion)! Polynom -ten Grades (Gerade)! Polynom -ten Grades (Parabel)! Ganzrationale Potenzfunktion Gebrochenrationale Funktionen:! Einführung! Einfach gebrochene Funktion! Polynomdivision! Partialbruchzerlegung! Gebrochenrationale Potenzfunktion

57 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Einführung: Ganzrationale Funktionen Beispiel Ganzrationale Funktionen werden auch Polynome genannt. Ein Polynom n-ten Grades hat folgende Form: () f = a + + a + a+ a n n K f ( ) Die Zahlen an, a, a a Polynoms. K 0 heißen Koeffizienten des Der Definitionsbereich umfaßt die reellen Zahlen. Der Grad des Polynoms wird durch die größte Potenz bestimmt Die Funktion f() = ist ein Polynom 3.-ten Grades mit den Koeffizienten: a3 = 5, a = 0, a = und a 0 = 5.

58 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Polynom 0-ten Grades (konstante Funktion) Beispiel Ein Polynom mit dem Grad 0 hat die Form: f() = a 0 Jedem wird der gleiche Funktionswert f ( ) zugeordnet. Die graphische Darstellung ergibt eine Parallele zur -Achse f ( ) Funktion: f ( ) =

59 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Polynom -ten Grades (Gerade) Beispiel Ein Polynom -ten Grades hat die Form: () f = a + a 0 f ( ) Es wird lineare Funktion oder Gerade genannt. Der Koeffizient a 0 bestimmt den Schnittpunkt mit der y -Achse und der Koeffizient a die Steigung der Geraden. Funktion: f ( ) = +

60 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Polynom -ten Grades (Parabel) Beispiel Ein Polynom -ten Grades hat die Form: () f = a + a + a 0 Es wird quadratisches Polynom oder Parabel genannt. 7 f ( ) Funktion: f ( ) = 5 + Hinweis Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms berechnet man mit der p,q-formel.

61 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Ganzrationale Potenzfunktion Beispiele Eine ganzrationale Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f() c n = mit c R, n N Sie wird Parabel n -ter Ordnung genannt. () f = c, c 0 nennt man also Parabel. Ordnung, f() = heißt Einheitsparabel oder Normalparabel. f () Die Funktionen f() = und g () g() = 4 3 Die Funktionsgraphen ganzrationaler Potenzfunktionen sind y-achsensymmetrisch, wenn n gerade ist, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn n ungerade ist.

62 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Einführung: Gebrochenrationale Funktionen Beispiel Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen: 5 f ( ) f() = n a n + K + a + a+ a b m + K + b + b + b m 0 0 Der Definitionsbereich umfaßt die reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms. Ist der Grad m des Nennerpolynoms größer als der Grad n des Zählerpolynoms, so wird von einer echt gebrochenenrationalen Funktion gesprochen. Andernfalls heißt die Funktion unecht gebrochenrational. Vereinfachungen lassen sich mittels Polynomdivision und Partialbruchzerlegung vornehmen Echt gebrochenrationale Funktion: f ( ) =

63 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Einfach gebrochene Funktion Beispiel Eine einfach gebrochene Funktion hat die Form: f ( ) = a b mit b 40 0 f ( ) Dabei bewirkt eine Veränderung des Parameters a ein Strekken oder Stauchen des Graphen. Ein Vorzeichenwechsel führt zur Spiegelung an der -Achse Das Variieren des Parameters b führt zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen in -Achsenrichtung. An der Stelle = b ist die Funktion nicht definiert. Funktion: f( ) = -40 mit

64 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Polynomdivision Beispiele Die Polynomdivision wird angewandt, um. eine gebrochenrationale Funktion zu kürzen. eine unecht gebrochenrationale Funktion in eine Summe aus einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen Funktion umzuwandeln Es wird wie beim schriftlichen Dividieren stellenweise vorgegangen: Jedes Glied des Zählerpolynoms entspricht einer Stelle des Dividenden. Es wird mit dem Glied der höchsten Potenz begonnen. Das Ergebnis jeder Teildivision wird als Übertrag für das nächste Glied aufgeschrieben. Die Rechnung ist beendet, wenn man als Übertrag Null oder eine echt gebrochenrationale Funktion erhält.. Kürzen einer gebrochenrationalen Funktion: 3 ( ): ( ) 3 ( ) ( ) = ( 3 6) ( 3) ( ) ( 4 8) 4 ( ). Polynomdivision einer unecht gebrochenrationalen Funktion: ( ): ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 5 +

65 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Partialbruchzerlegung Um eine echt gebrochenrationale Funktion der Form mit m f() = a + K + a + a+ a n n b + K + b + b + b m m 0 0 > n in Partialbrüchen der Form ( ) f A = + c 0 B + + c n A A ( c ) ( c ) B 0 B ( c ) ( c ) n + L+ + L+ r 0 0 r n n r 0 r n + L aufschreiben zu können, verwendet man die Partialbruchzerlegung. c 0 K c n sind dabei die Nullstellen des Nennerpolynoms von () f (Hinweise). Eine r-fach auftretende Nullstelle wird dabei durch r Partialbrüche repräsentiert. Die Partialbruchzerlegung wird z.b. bei der Integration von rationalen Funktionen oder bei der Laplacetransformation benötigt. Fortsetzung Beispiel Die Funktion f() = hat im Nennerpolynom die zweifache Nullstelle = und die einfachen Nullstellen = und = 3. Die Partialbruchzerlegung dieser Funktion ist f() = ( ). ( ) ( + ) 8 ( + 3) Hinweise Auf die Nullstellenberechnung wird hier nicht weiter eingegangen. Die üblichen Aufgabenstellungen beschränken sich auf Nennerpolynome dritten Grades, bei denen man die erste Nullstelle durch Raten bzw. Ausprobieren und die beiden anderen z.b. mit der p-q- Formel ermittelt. Beachten muß man, daß ein Polynom vom Grad n immer n Nullstellen hat, die auch komple sein können. Die Partialbrüche entsprechender r -facher kompleer Nullstellen haben die Form A + B + p + q, L, A+ B r ( + p + q) r. r

66 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Partialbruchzerlegung (Fortsetzung) Die Zerlegung der Funktion f() in Partialbrüche umfaßt folgende Rechenschritte:. Berechnung der Nullstellen c 0, K, c n des Nennerpolynoms, so daß die Funktion in der Form f() = a + K+ a + a+ a n n r n n ( c ) K ( c ) K ( c ) K ( c ) aufgeschrieben werden kann.. Für jede Nullstelle, die r-fach auftritt ( r = eingeschlossen!), werden r Partialbrüche aufgeschrieben. r n Beispiel Berechnung von f() + 3 = Durch Ausprobieren ermittelt man die erste Nullstelle des Nennerpolynoms bei =. Um die weiteren Nullstellen zu berechnen, führt man eine Polynomdivision durch: ( )( ) : = Mit der p-q-formel löst man 4+ 4= 0 und erhält wieder = als Nullstelle. Da ein Polynom dritten Grades immer drei Nullstellen hat, ist = aber nicht nur -fache, sondern sogar 3-fache Nullstelle. Die Funktion lautet somit: () f = + 3 ( ) 3. Die entsprechenden Partialbrüche sehen so aus: () f A A A = ( ) ( ) 3 Fortsetzung Fortsetzung

67 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Partialbruchzerlegung (Fortsetzung) Beispiel (Fortsetzung) 3. Berechnung der unbekannten Koeffizienten in den Zählern der Partialbrüche durch Koeffizientenvergleich: a) Partialbrüche auf einen Hauptnenner bringen und ausmultiplizieren b) Das entstandene Zählerpolynom nach Potenzen geordnet aufschreiben c) Die Koeffizienten dieses Polynoms bilden die rechte Seite eines linearen Gleichungssystems (LGS), dessen Lösungen die gesuchten Koeffizienten sind. Auf der linken Seite des LGS stehen die bekannten Koeffizienten des Zählerpolynoms der Ausgangsfunktion () wird von den Koeffizienten einer Potenz der Polynome f. Jede Zeile des LGS gebildet. Die Lösung kann zum Beispiel mit dem Gauß- Algorithmus erfolgen. 3. Bestimmung der Koeffizienten A, A und A 3 : A a) f() = ( ) A ( ) A ( ) ( ) ( ) ( 4 ) 4 3 ( ) A + A A + A A + A3 = b) Mit dem ausführlich geschriebenen Zählerpolynom von f() erhält man: ( ) = A + A 4A + 4A A + A 3 c) LGS: 0 = A = A 4A 3= 4A A + A3 A = 0, A =, A = 5 3 Die Partialbruchzerlegung von f() lautet somit: + 3 f() = + = ( ) ( ) 3 3

68 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Gebrochenrationale Potenzfunktion Beispiele Eine gebrochenrationale Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f() c = = c n n Sie wird allgemeine Hyperbel genannt. f ( ) c = mit c > 0 wird als gleichseitige Hyperbel bezeichnet. mit c R, n N, 0 Die Funktionsgraphen gebrochenrationaler Potenzfunktionen sind y-achsensymmetrisch, wenn n gerade ist, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn n ungerade ist. Die Funktionen f() Hinweis f () g().5 = und g () = 4 3 Der Funktionsgraph der hier definierten gleichseitigen Hyperbel hat den gleichen Verlauf wie der im Kapitel Kurven zweiter Ordnung behandelte, als gleichseitige Hyperbel bezeichnete, Kegelschnitt.

69 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Nichtrationale Funktionen: Wurzelfunktion Beispiele Die einzige einfache nichtrationale algebraische Funktion ist die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Potenzfunktion:.5 () q f = c = c p p q g() f () Der Definitionsbereich ist weit eingeschränkt: 0 für pq, Z, p k q mit k Z, p> 0, q > 0 > 0 für pq, Z, p k q mit k Z, p< 0, q > Die Funktionen f() 0.5 = 3 + und g () =

70 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Nichtalgebraische (transzendente) Funktionen Klassifizierung von Funktionen Alle nichtalgebraischen Funktionen heißen transzendente Funktionen. Die wichtigsten transzendenten Funktionen sind:! Trigonometrische Funktionen! Eponential-Funktion! Logarithmus-Funktion Reelle Funktionen Algebraische Funktionen Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Nichtrationale Funktionen Nichtalgebraische Funktionen

71 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Trigonometrische Funktionen Beispiel Zur Gruppe der trigonometrischen Funktionen gehören die Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion. Während die geometrische Definition trigonometrischer Funktionen und die Anwendung am Dreieck im Kapitel Trigonometrie behandelt werden, folgt hier die funktionstheoretische Sichtweise:! Sinus-Funktion! Cosinus-Funktion! Tangens-Funktion! Cotangens-Funktion Animation: Ableitung der Sinuskurve aus einer Kreisbewegung Weiterführende Themen:! Additionstheoreme

72 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Sinus-Funktion Beispiel Die Funktion f ( ) = sin( ) ist ursprünglich für den Definitionsbereich von 0 bis π erklärt. Der Definitionsbereich wird in der Art erweitert, daß sich die Funktionswerte periodisch wiederholen. Die Eigenschaft der Periodizität wird durch folgende Formel wiedergegeben: f ( ) π π sin ( + k ) = sin( ) π, mit k Z Funktion: f ( ) = sin( ) Es werden sämtliche Funktionswerte von bis durchlaufen.

73 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Cosinus-Funktion Beispiel Die Cosinusfunktion () = cos () f ist, wie die Sinusfunktion, für alle reellen Zahlen definiert. Der Graph der Cosinus-Funktion ist gegenüber der Sinus- Funktion um 90 ( π ) verschoben. Es gilt: sin () = cos π ( ) f ( ) Funktion: f ( ) = cos( ) π π

74 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Tangens-Funktion Beispiel Die Tangens-Funktion () = tan () f f ( ) 4 ist als Quotient aus der Sinus- und der Cosinus-Funktion definiert: tan () = sin cos () () - -4 π π 3 π Die Tangens-Funktion ist erklärt für alle reelle Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen der Cosinus-Funktion: { π k π} D = + mit k Z. Funktion: f ( ) = tan( )

75 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Cotangens-Funktion Beispiel Die Cotangens-Funktion () = cot () f f ( ) 4 ist die reziproke Funktion zur Tangensfunktion: cot () () () tan () cos = = sin - -4 π π 3 π Sie ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen der Sinusfunktion definiert: D = { } k π, mit k Z. Funktion: f ( ) = cot( )

76 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Eponential-Funktion Beispiel Die Funktion f ( ) = mit a R, a 0 a f ( ) wird als Eponentialfunktion bezeichnet. Die Basis a bestimmt das Steigungsverhalten: f ( ) ist monoton und umgekehrt für < 0. steigend für > 0 und fallend a > 0< a < 4 X Funktion: f ( ) = Eine besondere Rolle nimmt die Eponentialfunktion mit der Basis e ein. Diese Funktion ist identisch mit ihrer Ableitung (Differentialrechnung).

77 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Logarithmus-Funktionen Beispiele Die Funktion f ( ) = log, mit R, 0 a wird Logarithmusfunktion zur Basis a genannt und ist die Umkehrfunktion zur Eponentialfunktion. Für die häufig verwandte dekadische Logarithmusfunktion (Basis 0) und natürliche Logarithmusfunktion (Basis e ) gibt es folgende Abkürzungen: log0 = lg log e = ln f ( ) Funktion: f( ) = ln f ( ) X Funktion: f( ) ( ) = ln + 3 +

78 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) Beispiel Funktionsgraphen, die aus sogenannten algebraischen Gleichungen zweiter Ordnung der Form a0 + ay + ay + a3 + a4y + a5 = 0 abgeleitet werden, heißen Kurven zweiter Ordnung bzw. Kegelschnitte. Geometrisch gesehen entsteht ein Kegelschnitt, wenn man den Rand der gemeinsamen Schnittfläche einer Ebene und einem geraden Kreiskegel betrachtet. Ein Kegelschnitt ist kein Funktionsgraph im eigentlichen Sinn. Der Kurvenverlauf entsteht nicht durch eine eindeutige Zuordnung der Form f: y, sondern ist mehrdeutig definiert. Ein -Wert wird in den folgenden Beispielen zwei y - Werten zugeordnet. Da man die Kurven aber aus Funktionsgraphen zusammensetzen kann, ist die Nennung von Kegelschnitten bei den elementaren Funktionen gerechtfertigt. Animation: Entstehung des Kegelschnittes Hyperbel! Einheitskreis! Ellipse! Hyperbel

79 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Einheitskreis Beispiel Die folgende algebraische Funktion beschreibt einen Einheitskreis (Radius = ) in impliziter Darstellung: y + y = 0.5 ; die diese Gleichung erfüllen, tatsächlich auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius liegen. Mit dem Thaleskreis wird deutlich, daß die Punkte ( y) Löst man die Gleichung nach y auf, ergibt sich die eplizite Darstellung: bzw. y = für [ ; ] (oberer Halbkreis) Funktion: y = (oberer Halbkreis ) bzw. y = für [ ; ] (unterer Halbkreis) für [ ; ] y = für [ ; ] (unterer Halbkreis)

80 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Ellipse Beispiel Die Funktion a y + =, mit a > 0, b > 0 b beschreibt eine Ellipse. Die beiden Konstanten a, b geben die Schnittpunkte mit den Achsen an. Sie werden große und kleine Halbachse genannt. Die Funktion läßt sich nach y auflösen: y bzw. = b a a, für [ a a ] ; (oberer Teil) Funktion: y = bzw. y = y für [ ; ] für [ ; ] y = b a a, für [ a a ] ; (unterer Teil)

81 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Hyperbel Beispiel Die Funktion a y =, mit a > 0, b > 0 b beschreibt eine allgemeine Hyperbel. Die beiden Konstanten a, b werden Halbachsen genannt. Die Bedeutung kann aus der nebenstehenden Grafik entnommen werden. Für a = b ergibt sich die gleichseitige Hyperbel. Die Funktion läßt sich nach y auflösen: bzw. y y b = a, mit a a b = a, mit a a (oberer Hyperbelteil) (unterer Hyperbelteil) 0.5 b Funktion: y = mit Hinweis - bzw. y = mit Die hier definierte gleichseitige Hyperbel ist nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen gebrochenrationalen Potenzfunktion. Allerdings weisen beide Typen den gleichen Verlauf der Funktionsgraphen auf. y a

82 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Übungsaufgaben. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen gerade und welche ungerade sind. () = () () = () () = 3, () = f sin, f cos, f f e. Wie lautet die Funktion für eine Gerade mit folgenden Eigenschaften? Schnittpunkt mit der -Achse bei 3 Schnittpunkt mit der y-achse bei 4 3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf ihre Richtigkeit: tan = cos

83 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen gerade und welche ungerade sind. () = () () = () () = 3, () = f sin, f cos, f f e. Wie lautet die Funktion für eine Gerade mit folgenden Eigenschaften? f ( ) = sin( ) ist ungerade f ( ) = cos( ) ist gerade f ( ) = 3 ist ungerade f ( ) = ist nicht symmetrisch und deshalb weder gerade noch ungerade e Schnittpunkt mit der -Achse bei 3 Schnittpunkt mit der y-achse bei 4 3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf ihre Richtigkeit: tan = cos

84 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen gerade und welche ungerade sind. () = () () = () () = 3, () = f sin, f cos, f f e. Wie lautet die Funktion für eine Gerade mit folgenden Eigenschaften? Schnittpunkt mit der -Achse bei 3 Schnittpunkt mit der y-achse bei 4 Die allgemeine Gleichung für eine Gerade lautet: f( ) = a + b Die Gerade schneidet die y-achse bei = 0: ( ) f = 0 = 0 + b = 4 b = 4 Die Gerade schneidet die -Achse bei f( ) = 0 : ( ) f = 3 = a = 0 a 3 = 4 4 a = 3 3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf ihre Richtigkeit: Die Geradengleichung lautet somit: 4 f( ) = tan = cos

85 Funktionen Elementare reelle Funktionen und Kurven Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 3. Geben Sie an, welche der folgenden Funktionen gerade und welche ungerade sind. () = () () = () () = 3, () = f sin, f cos, f f e. Wie lautet die Funktion für eine Gerade mit folgenden Eigenschaften? Die Tangensfunktion ist der Quotient aus der Sinusund der Cosinusfunktion. Multipliziert man den entsprechenden Term aus, erhält man eine trigonometrische Identität. () () sin cos = cos sin = cos sin + cos = Schnittpunkt mit der -Achse bei 3 Schnittpunkt mit der y-achse bei 4 3. Überprüfen Sie die folgende Gleichung auf ihre Richtigkeit: tan = cos