Newton: exp. Beobachtungen

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1 1. Dynamik Usache von Bewegungen (bzw. Bew.-Ändeungen) Käfte wiken auf Köpe mit Masse Gundlagen: Symmetie / Invaianzen Pinzip de kleinsten Wikung Enegie-, Impuls-, Dehimpulsehaltung 1..1 Newtonsche Gesetze 1. Tägheitsgesetz Newton: exp. Beobachtungen Ohne äußee Beeinflussung bleibt ein Köpe im Zust. de Ruhe ode de gleichfömig geadlinigen Bewegung ( v = const.) 3 Gesetze ( Axiome ): (...nicht steng beweisba!). Gundgesetz de Mechanik Die zeitliche Ändeung des Impulses p = m v ist gleich de esultieenden Kaft es p die auf den Köpe wikt = d [Gl.1..1.] es d t fü konstante Masse: d( mv) d = = m v es d t d t [Gl.1...] = ma es 3. Wechselwikungsgesetz ( "actio = eactio" ) Wikt ein Köpe A auf einen Köpe B mit de Kaft so wikt auch Köpe B auf AB Köpe A mit de Kaft. Beide Käfte haben den gleichen Betag abe BA entgegengesetzte Richtungen: AB = [Gl.1..3.] BA Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.1/16

2 Newton I Tägheit: Widestand gegen Bewegungsändeung Masse - "täge" Masse hie! - "schwee" Masse Exp.: beide gleich! Bewegungszustand (Betag u. Richtung de Geschw.) ändet sich nu, wenn KRAT wikt Tägheitsgesetz (TG) (u. II./III. N.-Ges.) gilt nu in bestimmten Bezugssystemen TG gilt nicht TG gilt in beschleunigten Bezugssystemen in einem "Inetialsystem" Auto in Kuve Anfahende Bus, Aufzug etc. a.) "ixstenhimmel" b.) gleichf. geadl. gegen a.) bewegt Ein Bezugssystem, in dem das TG gilt, heißt INERTIALSYSTEM Es existieen beliebig viele Inetialsysteme Diese bewegen sich gegeneinande und gegenübe dem ixstenen gleichfömig u. geadlinig. Alle Inetialsysteme sind gleichwetig, es gibt keine "absolute Ruhe" Newton II es. Kaft und Beschleunigung sind einande popotional: a Pop.-Konstante : (täge) Masse = m a Kaftmessung: a.) Def. eines Kaftstandads Vegleich mit Standad ( Käfte sind gleich, wenn sie den gleichen Köpe gleich beschleunigen) b.) pakt. Kaftmessung: Pinzip: elastische Vefomung mech./elekt./opt. Signal Bsp.: edewaage, DMS, Piezo-Kistall, Vegleich (Regelkeis, Nullabgl.) mit bek. Kaft (z.b. El..-Magnet) Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S./16

3 esultieende Kaft ALLE Käfte die auf Köpe wiken vektoiell addieen! 1 1 = K es 1 3 [Gl.1..4.] 3 4 es 4 3 Anwendung des II. Newtonschen Gesetzes Beschleunigung bekannt es beechnen mehee Käfte, eine davon unbekannt unbekannte Kaft beechnen Kaft / Käfte bekannt Beschleunigung beechnen innee Käfte zwischen Teilen beechnen 1. betachte inteessieenden Köpe isoliet. welche Käfte wiken auf diesen Köpe? 3. = es i 4. = ma es *? *? * besteht das System aus weiteen Teilen? * vebleiben noch unbekannte Gößen (innee Käfte zwischen Teilen) fü andee (Teil-) Köpe wiedeholen! Beispiele fü Anw. de Newton-Gesetze: Bsp. 0.) Waum bleibt de Köpe "B." in Ruhe, obwohl auf ihn die Gewichtskaft m g wikt? Welche andeen Käfte wiken auf das B.? Wie goß ist die esultieende Kaft? mg Bsp. 1.) Waum bleibt das Buch in Ruhe, obwohl auf das Buch die Kaft wikt? Pof Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.3/16

4 Antw.: Es wiken insges 4 Käfte auf das Buch ein (welche? waum? welche Richtung haben diese Käfte?), die sich vetoiell zu Null addieen! K K K 0 es = Pof = 0 = 0 0 = 0 a = 0! es Pof Bsp..) 3 Köpe, mit Seilen/Stangen vebunden, an Köpe a wid mit Kaft gezogen. Beechnen Sie die Beschleunigung a und die Seilkäfte!???? m c m b m a Bezeichnen Sie die Käfte in de Skizze! ( 1, - 1 etc.) Welche Käfte wiken auf Newton II fü... a) KKK= m a b) KKK= m a c) KKK= mc a Summe: ( ) a b KKK= m + m + m a Köpe a? Köpe b? Köpe c? a b c Daaus egibt sich die Beschleunigung a zu: a=... sowie die "inneen Käfte" 1 =... und =... Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.4/16

5 Bsp. 3.) Ein ahzeug duchfäht einen "Looping" (R = 0 m) mit konst. Geschwindigkeit a.) v = 10 m / s ( b.) v = 0 m / s ) Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungs-Vekto in den Positionen A, B, C u. D! Bestimmen Sie jeweils den Vekto de auf eine im ahzeug sitzende Peson (m ) wikenden esultieenden Kaft K = 150 kg es! Welche einzelnen Käfte wiken auf m? = K+ K K es Bestimmen Sie jeweils den Kaft-Vekto (x-,y- Komp.) sowie den Betag de Käfte! C B y x D A Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.5/16

6 1.. Lösung de Bewegungsgleichung Kaft gegeben Bewegung gesucht KRATGESETZ: Kaft abhängig von Ot, Geschwindigkeit, Zeit,... =, v, t, K ( ) Bewegung: gesucht ist kt. = () t d m = t t, d,, K (*) d d t [Gl.1..5.] Gundgesetz de Mechanik: (Newton II ma = ) Bem. zu Gl (*): Vektogleichung, statt dei Gl.(,, ) nu eine Gl.! x y z "gesucht", d.h. Lösung de Gl. ist nicht (nu) eine Zahl, xt ( ) sonden eine unktion t () = yt () zt () Die Gleichung enthält neben de gesuchten unktion t ( ) deen d Ableitungen d, d t d t D iffeential GLeichung ( DGl ) 4mm Die "Gundaufgabe" de Dynamik des Massepunkts ist, die DGl (*) zu lösen! Die Lösung diese DGl ist seh einfach = const., z.b. = m g Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.6/16

7 d m = m g d t d = gt + v d t 0 = 1 gt + v t+ 0 0 mg Lsg. de DGl. ist nicht eindeutig ( Integationskonstanten!); aus de Menge de mathematisch möglichen Lösungen muß die heausgefischt weden, die bestimmte Anfangsbedingungen efüllt! ode einfach d x m = c x d t c xt () = a cos m t + ϕ 0 m ode abe nicht ganz so einfach mm Gavitation: ( ) = γ 1 e Satelliten-/ Planetenbahnen (Keis, Ellipse, Hypebel, Paabel) v jedoch in manchen ällen wiklich so ganz einfach nun doch wiede nicht - wenn man als Hilfsmittel nu Bleistift/ Papie/ Papula zu Vefügung hat - Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.7/16

8 Bsp.: Röntgenbildvest., Bahn de Elektonen im inhomogenen elekt. eld numeisch beechnet! Elektonenbahnen Elektoden de Elektonenoptik einfallende Röntgenstahlung Ausgangsleuchtschim 0 V Anodenspannung +5 bis + 35 kv Photokathode Weitee Beispiele / Übungsaufg., bei denen sich DGl egeben, die noch zu uß lösba sind : alle Aten von ham. Oszillatoen (Pendel, U-Roh, Masse + x-eden, ; siehe auch Kap. Schwingungen und Wellen!) Seil, Papieblatt o.ä, utscht vom Tisch Köpe wid duch viskose Reibung gebemst (Reibungskaft pop. zu v) Dynamik de Dehbewegung Kaft wikt auf dehbaen Köpe waum kommt es auf den Angiffspunkt de Kaft an? wann fängt de Köpe an, sich zu dehen, wann nicht? a) b) Wenn eine Kaft auf Köpe wikt, de Köpe sich abe nicht bewegt, so muß nach Newton II noch (mindestens) eine weitee Kaft wiken, so daß es = 0! Welche Kaft ist das?... Käftepaa: Es sei 1+ = 0, totzdem bewiken die Käfte etwas de Köpe deht sich! 1 Bei ausgedehnten (nicht punktfömigen!) Köpen kommt es auf den Punkt an, an dem eine Kaft angeift. Gundgesetz de Dynamk (N. II) wa p = d d t (spez. falls m=const. = ma) Bauchen fü Dehbew. Gößen, die Kaft bzw. Bewegungsgöße (Impuls) entspechen, abe den Angiffspunkt beücksichtigen Eine Vektogöße, die Kaft und Angiffspunkt zusammenfaßt ist das Dehmoment M = [Gl.1..6.] Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.8/16

9 Mathe-omelsammlung Regeln fü Vektop. M, M, (wenn M = 0 ) Analog wid eine (Deh-) Bewegungsgöße definiet : Dehimpuls L = p [Gl.1..7.] Bem.: Beide Definitionen enthalten den Otsvekto. Dehmoment u. Dehimpuls sind damit abhängig von de Wahl eines Koodinatensystems. Meistens ist es sinnvoll, den Uspung auf die Dehachse zu legen! Bsp. Punkt mit festem Abstd. v. Dehachse auf Keisbahn: v = ω L = p= ( mv) = m ( ω ) = m ω (da ω!) v L ist also wie ω ein Vekto; Richtung (hie!): Dehachse! L = mr { ω, J ist das Tägheitsmoment. J ω v m ü eine Punktmasse, die sich im Abstand R von de Dehachse bewegt, gilt: J = mr [Gl.1..8.] Bei ausgedehnten Köpen ist die Beechnung von J = etwas kompliziete, es muß übe das Volumen den Köpes integiet weden ( stae Köpe)! d L d Ändet sich de Dehimpuls mit de Zeit? ( p) d d p = = p + = M d t d t 13 d t { d t = v mv = = 0 d L Ja, wenn ein Dehmoment wikt! = M [Gl.1..9.] d t Mit d( J ) ω d ω L= J ω egibt sich = M. Wenn J konstant ist : J = M bzw. M = J α d t d t Vegleich Tanslation Rotation Otsvekto Winkel ϕ Geschwindigkeit v = & Winkelgeschw. ω = & ϕ ( ω Dehachse! ) Beschleunigung Kaft a = v& = && Winkelbeschleunig. α = & ω = && ϕ ( α = ω & ) Dehmoment M = Masse m (Massen-)Tägheitsmoment J (Massenpkt. J = mr ) Impuls p = m v Dehimpuls L = p L= J ω = p& & M = L ( = m a falls mkonst.! ) ( M = J α falls Jkonst.!) Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.9/16

10 1..4 Anwendungsbsp. de Newton-Gesetze m Schiefe Ebene Bew.-Richtung N mg G θ mg θ G θ Auf den Köpe wiken Käfte: 1. Gewichtskaft mg. Nomalkaft de Untelage (senk. auf Ebene keine Reibung!) Gewichtskaft aufspalten in long./tansv. Komp. N tans. Komp. wid duch N kompensiet G = es G = es =mgsinθ esultieende Kaft = G G a = gsinθ Käfte in Seilen, Teibiemen, Ketten etc. Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.10/16

11 a.) Seil mit Masse: = = ma es 1 a = 1 m [Gl ] > a> 0 ( ) 1 < a< 0 ( ) 1 + Seilichtung = Kaftichtung!! (beachte Vozeichenwahl!) Wähle Zählichtung + 1 b.) "masseloses"seil (Masse des Seils venachlässigba gegen "Last") = = 0 a = 0! es 1 [Gl ] =! 1 Kaft im "masselosen" Seil ist an beiden Enden gleich! (= Seilkaft, Zugkaft : S, T ) c.) Seile und Rollen (Masse v. Seil u. Rolle ven.!) N. II: = mg= ma 1 s 1 1 es = mg = ma s es Waum ist a beidesmal gleich? Was ändet sich, wenn "lose Rollen" mit ins Spiel kommen? ( ) ( m m g= m + m a 1 1 m m a = 1 m + m g 1 a einsetzen in : m s ( a g) m m m = + = g 1 1 m + m 1 mm = 1 m + m g 1 ) [Gl.1..1.] m 1 s m 1 g s m m g Reibungskäfte Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.11/16

12 a. ) äußee Reibung Reibung an de Genzfläche zw. Köpen A u. B abhängig von Mateialien A u. B Obeflächenbeschaffenheit (tocken, feucht, geölt, poliet, aufgeauht Nomalkaft N unabhängig von de läche! (waum?) N A B k H HN 1999 Bemekung: Das (anschauliche) Bild eine auhen Obefläche sollte nicht so intepetiet weden, daß die Reibungskaft allein daduch zustande kommt, daß Höhenunteschiede übewunden weden müssen. Vielmeh spielen elektische Käfte zwischen den Atomen an de Obefläche (chem. Bindungskäfte) eine viel gößee Rolle bei de Entstehung de Reibungskäfte! Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.1/16

13 Spezialfälle: I Kaft auf A kleine als Genzwet, Köpe A beweget sich nicht, Kaft und Reibungskaft R kompensieen sich, A u. B haften aneinande bis ein Maximum übescheitet: Hafteibung = µ R H N [Gl ] II Köpe gleiten: Gleiteibung = µ R G N [Gl ] Waum stehen hie "Betagsstiche"? : Nomalkaft, z.b. N Gewicht des Köpes A: = m g N A schiefe Ebene: = m g cosθ N A bei äußee Reibung: Reibungskaft (näheungsweise) unabhängig von de R Geschwindigkeit, (allein ode zusammen mit andeen konstanten Käften) gleichf. R beschleunigte Bewegung! µ < µ! G H µ H Haft- µ G Gleit- Stoffpaa Reibungszahl Stahl - Stahl Stahl - Holz Gummi-Asphalt Gummi - Eis b.) innee Reibung Reibung bei Vefomung im Innen eines (festen, flüssigen ode gasfömigen) Köpes! geschwindigkeitsabhängig, (v = 0 = 0), R i. allg. keine gleichf. beschleunigte Bewegung!!! v 0 Öl D v R 0 = η R { A v 0 (A: läche de Platte) [Gl ] D Viskosität Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.13/16

14 Innee Reibung in estköpen Bsp. ede: statisch: = cs el bei Bewegung: Daht wid gebogen zusätzliche Reibungskaft (innee Reibung im Daht) R = b v [Gl ] v Innee Reibung abhängig von de Geschwindigkeit! spez. Newton sche Reibung : R v c.) tubulente Reibung in Stömungen v Stömung Wibelbildung Reibungskaft v R c ρa v [Gl ] R = 1 w Realität: Mischung aus äußee, innee, tubulente Reibung! = const. R v R v R edekäfte elastische Käfte a =0 s a el elastische Beeich : Kaft Defomation ("Hookesches Gesetz") s elast. Kaft de ede wikt Auslenkung s entgegen: = cs [Gl ] el c (oft auch: D): "edekonstante", "Richtgöße", [c] = N/m = =+ cs [Gl ] a el a Anw.: Kaft-, Duckmessung etc. (edewaage) Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.14/16

15 Lineaes Kaftgesetz: Defomation Längenändeung Winkel Kaft (bzw. Dehmoment) 3 Beispiele fü "lin. Kaftgesetz": a.) Blattfede s s b.) "Schneckenfede": ϕ bzw. mit Dehmoment: M = R und "Winkelichtgöße" c * : M = c * ϕ [Gl.1..0.] R= c * ϕ a φ c.) Tosionsstab: M = c * ϕ R= c * ϕ [Gl.1..1.] φ Paallel- u. Seien- Schaltung von eden Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.15/16

16 eden paallel : KRÄTE addieen sich 1 a eden in Seie : edewege addieen sich ( ) ( ) ( c c ) s = + = c s + c s 1 1 = + 1 = cs c= c + c 1 [Gl.1...] s 1 s =0 a s= s + s = + = c c c c 1 1 = c = + c c c 1 [Gl.1..3.] Dynamik des Masse-ede-Systems: Köpe mit Tägheit (Masse) bewegt sich unte dem Einfluß eine edekaft: von "x" abhängige Kaft keine konst. Beschleunigung sonden aus II. Newton-Gl. egibt sich eine DGL (siehe Kap. 1..!) Lösung : HARMONISCHE OSZILLATOR (s. auch Schwingungen und Wellen!) Physik_1 Dynamik.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN, :04 S.16/16