2. Parallel- und Reihenschaltung. Resonanz

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1 Themen: Parallel- und Reihenschaltungen RLC Darstellung auf komplexen Ebene Resonanzerscheinungen // Schwingkreise Leistung bei Resonanz Blindleistungskompensation 1

2 Reihenschaltung R, L, C R L C U L U R U C U Lm U m U Xm ϕ m U Rm U Cm 2

3 Reihenschaltung R, L, C R, X L, X C, Z immer positiv, Vorzeichen + X Blindwiderstand Z komplexer Widerstand X L > X C, dann ist ϕ > 0, positiv, induktiv X L < X C, dann ist ϕ < 0, negativ, kapazitiv 3

4 Parallelschaltung R, L, C R L C U(t) R U C U L Cm m Xm ϕ U m Rm Lm 4

5 Parallelschaltung R, L, C R, X L, X C, Z immer positiv, Vorzeichen + G Leitfähigkeit Z komplexer Widerstand G L > G C, dann ist ϕ > 0, positiv, induktiv G L < G C, dann ist ϕ < 0, negativ, kapazitiv 5

6 Beispiel zur Parallel- und Reihenschaltung R, L, C R L C R L U L C U(t) R L U C U U R U C Gegeben: R = 10 Ohm X L = 20 Ohm X C = 30 Ohm m = 1A Gegeben: R = 10 Ohm X L = 20 Ohm X C = 30 Ohm U m = 10V X -?, Z -?, U Rm, U Lm, U Cm, U m -? G X -?, G -?, Rm, Lm, Cm, m -? 6

7 Komplexe Zahl +j b α α a +1 7

8 Darstellung einer sin-funktion auf komplexer Ebene +j ω ϕ ϕ+ωt +1 8

9 Umrechnung Zeitfunktionen zu komplexen Funktionen 9

10 Ohmsches Gesetz in komplexer Form R L C U L U R U C 10

11 Beispiel für eine Berechnung in komplexer Form U(t) L C R -1j 2 3j 11

12 Beispiel für eine Berechnung in komplexer Form U(t) C R L

13 Komplexe Leistung +j ϕ P +1 13

14 Leistungsanpassung Quelle Last Z U 0 Z L 14

15 Wirkungsgrad Quelle Last Z U 0 Z L Fazit: Der Übertragungswirkungsgrad wird _nicht_ von den Blindwiderständen im Kreis beeinflusst! 15

16 Blindleistungskompensation U Quelle Z Leitung Last Z U U Quelle Z Leitung ` Last Z U +j +j

17 Resonanz Definition: bei einer Resonanz gibt s KENE Phasenverschiebung zwischen dem Strom und der Spannung am Eingang einer Schaltung. Typen: - Resonanz im Reihenschwingkreis - Resonanz im Parallelschwingkreis - Phasenresonanz 17

18 Resonanz im Reihenschwingkreis R L C U L U R U C 18

19 Resonanz im Reihenschwingkreis R U R L U L C U C Beispiel: U = 10 V R = 1 Ohm X L = X C = 10 Ohm U R, U L, U C -? j U R U L U C +1 19

20 Resonanz im Reihenschwingkreis R L C U L U R U C j R X L δ +1 20

21 Resonanz im Reihenschwingkreis Frequenzabhängige Eigenschaften: 21

22 Resonanz im Reihenschwingkreis 22

23 Resonanz im Reihenschwingkreis j Ortskurve f R induktiv f 0 +1 kapazitiv f - 23

24 Resonanz im Reihenschwingkreis 24

25 Dualität Definition: Zwei Strukturen, Elemente oder Schaltungen sind zueinander dual, wenn deren Gesetzmäßigkeiten durch Vertauschen von Spannung und Strom ineinander übergehen. U 1 U 2 U U U 2 U 1 Y 1 Y 2 25

26 Resonanz im Parallelschwingkreis R L C U(t) R U C U L 26

27 Resonanz im Parallelschwingkreis R L C Beispiel: U(t) R L U C U U = 10 V G = 0,1 Sm Y L = Y C = 1 Sm R, L, C -? j U R C L +1 27

28 Resonanz im Parallelschwingkreis R L C U(t) R U C U L 28

29 Resonanz im Parallelschwingkreis 29

30 Phasenresonanz eines komplexen Zweipols U S 30

31 Phasenresonanz eines komplexen Zweipols U R L 1 L 2 C 31

32 Aufgabe 2.1 Effektivwert Gegeben ist die dargestellte Spannung: a) Ermitteln Sie die Frequenz der Grundschwingung! b) Berechnen Sie den Gleichrichtwert der Spannung! c) Berechnen Sie den Effektivwert der Spannung! d) Nun wird die dargestellte Spannung an einen ohmschen Widerstand von 100 Ω angelegt. Welche Verlustleistung tritt im Widerstand auf? 32

33 Aufgabe 2.2 Effektivwert 1. Berechnen Sie den Effektivwert dieser Sinus- Spannung mit Phasenanschnitt. Es gilt: sin 2 x = 0,5-0,5 cos(2x) 2. Gegeben ist eine periodische Rechteckspannung mit der Periodendauer von 10 ms. Berechnen Sie den Effektivwert, wenn der arithmetische Mittelwert gleich Null ist. 33

34 Aufgabe 2.3 Wechselstromleistung Zwei Wechselstrom-Zweipole werden parallel an einer idealen Spannungsquelle U 0 = 100 V, f 0 = 400 Hz angeschlossen. Bei dieser Frequenz haben die beiden Zweipole folgende mpedanzen: Z1 = 100 Ω, ϕ(z1) = +30 ; Z2 = 200 Ω, ϕ(z2) = -60 a) Ermitteln Sie für jeden Zweipol einzeln die Wirk-, die Blind- und die Scheinleistung. b) Ermitteln Sie die Wirk-, die Blind- und die Scheinleistung der Parallelschaltung beider Zweipole. c) Sind diese Werte gleich den Summen der in a) ermittelten Einzelleistungen? d) Ermitteln Sie für jeden Zweipol einzeln die komplexe Leistung. e) Ermitteln Sie die komplexe Leistung der Parallelschaltung. f) st die Summe der komplexen Leistungen der Einzelzweipole gleich der komplexen Leistung der Parallelschaltung? 34

35 Aufgabe 2.4 Schaltkreise mit Wechselstrom n der Schaltung gemäß Bild ist die Spannung UC gegeben. Werte: U C = 5V, 50Hz, R 1 = 50Ω, R 2 = 100Ω, C = 16µF a) Ermitteln Sie auf zeichnerischem Weg (Zeigerdiagramme) die Größe der Spannung U 0 und deren Phasenwinkel zum Gesamtstrom. b) Ermitteln Sie die von der Schaltung aufgenommene Blindleistung. c) Ermitteln Sie die von der Schaltung aufgenommene Wirkleistung. 35

36 Aufgabe 2.5 Schaltkreise mit Wechselstrom n der Schaltung gemäß Bild ist die obige Schaltung aus Widerstand und Kondensator mit der Eingangsspannung Ue = 10V gegeben. a) Wie groß ist die Spannung Ua bei der Frequenz ω 1 =2πf 1 =1/RC? b) Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf der Spannung Ua über der Frequenz f mit Markieren des Punktes f 1! 36

37 Aufgabe 2.6 Parallel- und Reihenschaltung Der Eingangswiderstand eines linearen Zweipols beträgt bei der Frequenz f = 800 Hz Z = 600 Ω, sein Phasenwinkel ist ϕ = 30 induktiv. a) Berechnen Sie die Schaltelemente Rr und Lr der gleichwertigen Reihenersatzschaltung! b) Berechnen Sie die Schaltelemente Rp und Lp der gleichwertigen Parallelersatzschaltung! c) Wie ändern sich die Scheinersatzwiderstände (Betrag und Phase) beider Ersatzschaltungen, wenn die Frequenz f'= 600 Hz beträgt? 37

38 Aufgabe 2.7 Parallel- und Reihenschaltung An einem Verbraucher liegt die Spannung u(t) = 310V sin(ωt+55 ) an, er nimmt einen Strom von i(t) = 8,5 A cos (ωt) auf. a) Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Momentanwertes der Verbraucherleistung b) Berechnen Sie die Schein- Wirk- und Blindleistung 38

39 Aufgabe 2.8 Parallel- und Reihenschaltung Aus den drei gemessenen sinusförmigen Spannungen U, U N, und U sp lassen sich die Werte RL und L einer Spule bestimmen. Es sind bekannt: U = 100 V U N = 60 V U sp = 70 V R N = 60 Ω ; f = 50 Hz. a) Zeichnen Sie ein qualitatives Zeigerdiagramm der Spannungen! b) Bestimmen Sie R L und L! 39

40 Aufgabe

41 Aufgabe 2.10 Resonanz L Berechnen Sie die Resonanzfrequenz des abgebildeten Zweipols. L=12 mh C=2 µf R=160 Ohm C R 41

42 Aufgabe 2.11 Resonanz Von einem RLC-Reihenschwingkreis ist die Abhängigkeit (f) gegeben, sh. Kennlinie. Der Schwingkreis wird von einer konstanten sinusförmigen Spannung gespeist mit U = 100 V. Bestimmen Sie die Bauelemente R, L, und C! Sie dürfen auch mit der Näherung Güte >>1 rechnen. 42

43 Aufgabe 2.12 Resonanz Für diese Schaltung, die sich im Resonanzzustand befindet, sind folgende Werte bekannt: L=10 mh U=20 V R=20 Ohm f 0 =800 Hz 1. Welche Kapazität C muss der Kondensator im Resonanzfall haben? 2. Wie groß ist hierbei der von der Spannungsquelle gelieferte Strom? U R L C 43