Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal

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1 1 Gleichungen dritten und vierten Grades und Konstruktionen mit mehr als Zirkel und Lineal Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) url: HU Berlin, 7. April 013; Tag der Mathematik

2 Einführung Geometrie Algebra Entgegengesetzte Methoden Lösung von Gleichungen Konstruierbarkeit Algebraisches geometrisches Lösen von Gleichungen Erweiterung der Zahlenbereiche

3 Vom Lösen von Gleichungen 3 Eine lineare Gleichung Gleichung ax = b. Schnittpunkt einer Geraden mit der x-achse. Rationale Zahlen. Geht s allgemeiner? Geometrisch oder algebraisch Geometrische Verallgemeinerung: Systeme linearer Gleichungen ax + by = A cx + dy = B Schnittpunkt von zwei Geraden a 11 x + a 1 y + a 13 z = b 1 a 1 x + a y + a 3 z = b a 31 x + a 3 y + a 33 z = b 3 Schnittpunkt von drei Ebenen Weiter:... Schnittpunkt von vier Räumen Rationale Zahlen reichen aus. Algebraische Verallgemeinerung: Gleichungen höheren Grades

4 Quadratische Gleichungen 4 Algebraische Lösung einer quadratischen Gleichung Wir lösen die Gleichung x + px + q = 0 Lösung nach p, q-formel x 1, = 1 p ± 1 p 4q Rationale Zahlen = Reelle Zahlen gebrochen lineare Funktionen f (x) = cx+d ax+b Rekursive Folgen. Ordnung: z.b. F n = F n 1 + F n periodische Kettenbrüche: Lösung von 3x = 6x + ist = Nicht alle reellen Zahlen: z.b. nicht π, e, 3

5 Quadratische Gleichungen 5 Geometrische Lösung einer quadratischen Gleichung Geometrisches Wurzelziehen: c = a + b oder a = c b mit Satz des Pythagoras. h = p q Höhensatz Mit Zirkel und Lineal konstruierbar z.b., 4 Konstruktion der Lösungen der Gleichungen x + px + q = 0 = x 1, = p ± p 4q x + ax + b = 0 x + ax b = 0 Es sind die Längen a + 4b bzw. a 4b zu konstruieren.

6 Mit Zirkel und Lineal und... 6 Nicht konstruierbar mit Zirkel und Lineal Zwei berühmte nicht lösbare Probleme aus der Antike Würfelverdopplung = x 3 =, Konstruktion von 3. Winkeldreiteilung: Gegeben ϕ, gesucht α = ϕ/3 sin ϕ = sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α = x x sin ϕ = 0 Nicht konstruierbar weil Gleichung dritten Grades!

7 Mit Zirkel und Lineal und... 7 Winkeldreiteilung nach Archimedes Konstruktionsmethode: α = ϕ/3 A α C r r α r α α ϕ α D M B Warum ist das keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal? Konstruktion mit Zirkel, Lineal und Stift!

8 Gleichungen dritten Grades 8 Lösung einer Gleichung dritten Grades Lösung der Gleichung x 3 + ax + bx + c = 0 bedeutet Finden der Nullstellen des Polynoms f (x) = x 3 + ax + bx + c Übliche Lösungsmethode: Eine Lösung erraten, dann Polynomdivision. Beispiel : 0 = x 3 + 3x 4

9 Gleichungen dritten Grades 8 Lösung einer Gleichung dritten Grades Lösung der Gleichung x 3 + ax + bx + c = 0 bedeutet Finden der Nullstellen des Polynoms f (x) = x 3 + ax + bx + c Übliche Lösungsmethode: Eine Lösung erraten, dann Polynomdivision. Beispiel : 0 = x 3 + 3x 4 = (x 1)(x + x + 4) Beispiel 1: 0 = x 3 + 6x Gleichungaufstellen ist leichter als lösen: 0 = (x x 1 )(x x )(x x 3 ) = = x 3 (x 1 + x + x 3 )x + (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 )x x 1 x x 3

10 Gleichungen dritten Grades 9 Bild eines Polynoms dritten Grades Polynom 3. Grades: f (x) = x 3 + ax + bx + c Beispiele für f (x): Normalerweise eine oder drei Nullstellen.

11 Gleichungen dritten Grades 10 Normalform (Beseitigung des Gliedes zweiten Grades) Allgemeine Gleichung: x 3 + ax + bx + c = 0 Normalform: x 3 + px + q = 0 Durch Transformation x x a/ = Summe der Nullstellen ergibt 0. Entspricht quadratischer Ergänzung: Transformation x x a/ ( x + ax + b = 0 = x a ) ( a ) 4 b = 0 40

12 Gleichungen dritten Grades 11 Algebraische Lösung einer Gleichung dritten Grades Gesucht: Lösung der Gleichung x 3 + px + q = 0 Trick: Setze x = u v und suche kubische Ergänzung x 3 + p x + q = 0 (u v) 3 + 3uv(u v) + v 3 u 3 = 0 q = v 3 u 3 p = 3uv ( u 3 + v 3 ) ( u = u 3 v v 3 ) Lösungsformel von Cardano ( ) und Tartaglia ( ) x = 3 q p q q p q 4

13 Gleichungen dritten Grades 1 1. Beispiel: x 3 + 6x = 0 Cardanoformel mit p = 6, q = x = 3 q p q q p q 4 ergibt Lösung x = = Polynomdivision ergibt: (x 3 + 6x ) : (x ) = = x + x( )

14 Gleichungen dritten Grades 13. Beispiel: x 3 + 3x 4 = 0 Lösung raten: x = 1, (x 3 + 3x 4) : (x 1) = (x + x + 4) Cardanoformel mit p = 3, q = 4 x = 3 q p q q p q 4 ergibt Lösung x = Wir stellen fest, daß ( ) 3 5 = + 5 und ( 1 1 ) 3 5 = 5 Hieraus folgt x = ( 1 5 = + 1 ) ( ) 5 = 1

15 Gleichungen dritten Grades Beispiel: x 3 6x + 4 = 0 Geratene Lösung: x =, ergibt (x 3 6x + 4) : (x ) = x + x Hat drei reelle Lösungen:, 1 + 3, 1 3. Cardanoformel mit p = 6 und q = 4 x = Es sei i so ein Objekt (Zahl?), daß (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i 3 = + i = + 4 Das klappt, wenn i = 1, i 3 = i, i = 4 Dann ist x = = = 3 (1 + i) (1 i) 3 = (1 + i) + (1 i) =

16 Gleichungen dritten Grades 15 Eine Gleichung dritten Grades mit drei reellen Lösungen Wir geben uns die Lösungen a, b und a b vor: (x + a + b)(x a)(x b) = x 3 (a + ab + b )x + ab(a + b) = 0 Die Cardanoformel x = 3 q p q q p q 4 ergibt [ p q... =... (a + ab + b ) 3 ab(a + b)] +... = =... 1 [ ]... (a b)(a + b)(a + b) 108 Genau dann, wenn alle Lösungen reell sind, kann man die Lösung ohne komplexe Zahlen nicht ermitteln!

17 Gleichungen vierten Grades 16 Algebraische Lösung einer Gleichung vierten Grades Normalform der Gleichung: x 4 + px + qx + r = 0 Keine Ergänzung 4. Grades, keine Lösungsformel. Aber wir haben Glück: Zusammenhang mit Kombinatorik und Dreiecksgeometrie.

18 Gleichungen vierten Grades 17 Seitenabschnitte p A, p B, p C am Inkreis eines Dreiecks p A = a + b + c p B = a b + c p C = a + b c p = a + b + c S = pp A p B p C p C C p B pc r A I A p A r I r r p B p C r A r A A p A I C p B B p C A B

19 Gleichungen vierten Grades 18 Algebraische Lösung einer Gleichung vierten Grades Normalform der Gleichung: x 4 + px + qx + r = 0 Dreieck ABC mit Seiten a, b, c. R-Umkreisradius, S-Flächeninhalt x 4 1 (a + b + c )x + 4RSx + S = 0 Lösung dieser Gleichung sind der negative halber Umfang p und die Seitenabschnitte am Inkreis p A, p B, p C. Aus den Lösungen der Gleichung (3. Grades) 0 = (z + a )(z + b )(z + c ) = = z 3 + (a + b + c )z + (a b + c a + b c )z + a b c kann man einfach die Lösungen der Gleichung 4. Grades bestimmen. Wenn man auch noch die Koeffizienten der Gleichungen ineinander umrechnen könnte...

20 Gleichungen vierten Grades 19 Lösungsmethode von Gleichungen vierten Grades Wir wolen die Gleichungen x 4 + px + qx + r = 0 x 4 + px qx + r = 0 lösen und betrachten hierzu folgende Hilfsgleichung 3. Grades z 3 pz + (p 4r)z + q = 0 und bestimmen die Lösungen z 1, z und z 3. Dann sind die Lösungen der Gleichungen 4. Grades die 8 Zahlen Danach Probe! ± z 1 ± z ± z 3

21 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 0 Geometrische Lösung von Gleichungen vierten Grades In der Gleichung x 4 = px + qx + r setzen wir x = y und betrachten das Gleichungssystem y py qx = r y = x im zweidimensionalen Koordinatensystem (Einheiten!). Die Lösungsmenge der zweiten Gleichung ist eine Standardparabel. (Zeichnen mit genormter Schablone.) Die Lösungsmenge der ersten Gleichung ist ein Kreis (nach Subtraktion beider Gleichungen). y (p + 1)y + x qx = r Schnittpunkte von Parabel und Kreis

22 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 1 Konstruktion des Kreises y Kreisgleichung: (y b) + (x a) = R Kreis um den Punkt (a, b) mit Radius R. b R y (p + 1)y + x qx = r ( y p + 1 ) ( + x q ) = r + 0 ( p + 1 ) ( q ) + Das ( ist die ) Gleichung eines Kreises mit dem Zentrum im Punkt p+1, q und dem Radius ( ) p + 1 ( q ) R = r + + a x

23 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone Der Fall r = 0 (Gleichung 3. Grades: x 4 = px + qx) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) p+1 R = AE = ( ) p+1 ( + q ) A x

24 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 3 Der Fall r > 0, klein (vier reelle Lösungen) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) + r p+1 R = EH = AE + r 1 A r r H x

25 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 4 Der Fall r > 0, groß (zwei reelle Lösungen) y = x y D p+1 r q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) + r R = EH = AE + r 1 A r H x

26 Konstruktion mit Zirkel, Lineal und... Parabelschablone 5 Der Fall r < 0 (vier reelle Lösungen) y = x y D q E ( y p+1 ) ( + x q ) = ( ) = p+1 ( + q ) r p+1 R = EH = AE r r H A x

27 Wie geht es weiter? 6 Gleichungen höheren Grades Gibt es explizite Lösungen der allgemeinen Gleichungen 0 = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 0 = a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0. Nein! Theorie von Galois und Abel Keine explizite Lösung von x 5 x + a = 0. Aber: Fundamentalsatz der Algebra Gleichungen n-ten Grades hat n Lösungen im Komplexen.

28 Zusammenfassung 7 Erweiterung der Zahlenbereiche Zahlenbereiche: N, Z, Q, R und C, das war s. Was sind negative Zahlen? 5 ( 3) = ( 3) 5 = 15 Was sind rationale Zahlen? Was ist 8 /3? Was sind irrationale Zahlen? Lückenfüller. Natürlich sind nur die natürlichen Zahlen. Was sind Zahlen? Objekte mit denen man rechnen kann D.h., + und und Rechengesetze (Kommut., Assoz., Distr.) Wichtig beim Arbeiten mit Zahlen: Nicht nachdenken, sondern rechnen. (Richtig rechnen, d.h., an die Regeln halten)

29 Zusammenfassung 8 Komplexe Zahlen Lösung unlösbarer Konstruktionsaufgaben Z.B. Konstruktion eines Dreiecks aus 3 Winkelhalbierenden Quantenmechanik (Doppelspaltexperiment). Ohne komplexe Zahlen kann man das Experiment erst recht nicht verstehen. Die komplexen Zahlen sind nicht anschaulich, aber man kann die Welt ohne sie nicht verstehen. Durch Beobachtung allein kann man die Welt nicht verstehen. Die Welt ist komplex, aber wir beobachten nur ihren Realteil. Eulersche Gleichung (die 5 wichtigsten mathematischen Konstanten in einer Formel): e πi + 1 = 0