Ergänzungen zu Physik I Universität Zürich, HS 2010, U. Straumann Version 26. Februar 2011

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ergänzungen zu Physik I Universität Zürich, HS 2010, U. Straumann Version 26. Februar 2011"

Transkript

1 Ergänzungen zu Physik I Universität Zürich, HS 2010, U. Straumann Version 26. Februar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Statik und Dynamik der Gase und Flüssigkeiten Fest, flüssig, gasförmig Der hydrostatische Druck Hydrostatischer Druck im äusseren Kraftfeld Beispiel zur Hydrostatik Strömungen, Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung: Die Eulergleichung Energiebetrachtung: Die Bernoulligleichung Zähigkeit, Newton sche Reibung und die Navier-Stokes-Gleichung Anwendungen mit reibungsbehafteten Strömungen Grenzflächen von Flüssigkeiten Kohäsion und Adhäsion Statik und Dynamik der Gase und Flüssigkeiten 1.1 Fest, flüssig, gasförmig Gase und Flüssigkeiten sind Systeme, die im strömungsfreien, makroskopischen Gleichgewichtszustand keine Schubspannungen aufweisen (τ = 0). Solche Systeme werden auch Fluide genannt. Während bei festen Körpern die Moleküle durch intermolekulare Kräfte an Gleichgewichtslagen gebunden sind, um die herum sie thermisch angeregte Schwingungen ausführen, befinden sich die Moleküle von Flüssigkeiten und Gasen in regelloser, ungebundener Bewegung. Ihre mittlere kinetische Energie ist grösser als die Bindungsenergie. Der Unterschied zwischen Flüssigkeit und Gas beruht auf der Grösse der intermolekularen Kräfte. In Flüssigkeiten sind die Moleküle dicht gepackt (siehe Abbildung 1.1. Sie bilden Tropfen mit einer definierten freien Oberfläche. Die Kompressibilität ist klein. Gase dagegen bilden keine Tropfen, sondern beanspruchen das ganze, ihnen zur Verfügung stehende Volumen. Die Kompressibilität ist im allgemeinen gross. 1.1

2 fest flüssig gasförmig H 2 O Abbildung 1.1: Die drei Zustandsformen von Wasser. 1.2 Der hydrostatische Druck Der Spannungszustand eines ruhenden Gases oder einer Flüssigkeit ist durch eine einzige Spannung, den hydrostatischen Druck p = p( r), eindeutig bestimmt. Um dies zu verdeutlichen kann man das in Abbildung 1.2 dargestellte Gedankenexperiment machen. In ein mit einer Flüssigkeit gefülltes Gefäss wird am Ort r ein kleiner Drucksensor eingebracht. Dieser Drucksensor besteht aus einem kleinen beweglichen Kolben mit der Fläche da, der an einer Feder befestigt ist. Aufgrund der äusseren Kraft df wird er in einem evakuierten Zylinder bewegt. Die Kraft df bzw. der Druck p = df/da kann aus der Deformation der Feder bestimmt werden. Der Drucksensor (d. h. die Lage des Flächenelements da) lässt sich am Ort r mit einem Mechanismus in jede beliebige Richtung drehen. Es zeigt sich, dass der Druck p = p( r) unabhängig von der Stellung des Flächenelements da ist, d. h. mit anderen Worten, dass der Druck im Gegensatz zur Kraft eine skalare Grösse ist. Drucksensor p p Drucksensor df da Druck p = df da x 2 F 2 x 1 F 1 Abbildung 1.2: Links: Gedankenexperiment zum hydrostatischen Spannungszustand; mit einem Druckmessgerät wird der lokale Druck in der Flüssigkeit gemessen. Rechts: Demonstration von Pascal s Prinzip mit einem mit Wasser gefüllten Kolben. Ist die Substanz frei von irgendwelchen Volumenkräften, insbesondere gewichtslos, so ist der Druck unabhängig vom Ort. Der Spannungszustand ist homogen. Man nennt dieses Erfahrungsgesetz auch Pascal s Prinzip, denn der französische Mathematiker, Physiker und Philosoph Blaise Pascal ( ) stellte 1652 fest, dass sich jede Änderung des Drucks, den man auf eine eingeschlossene Flüssigkeit ausübt, unvermindert auf jeden Teil der Flüssigkeit und die Wände des Behälters überträgt. Man kann Pascal s Prinzip mit einem mit Wasser gefüllten Gefäss demonstrieren (Abbildung 1.2), an dem ein Zylinder mit verschiebbarem Kolben der Fläche A 1 angebracht ist. Drückt 1.2

3 man diesen Kolben hinein, so strömt aus allen irgendwo angebrachten Löchern Wasser mit gleicher Intensität aus. Wenn eine solche Öffnung mit einem zweiten Zylinder mit Kolbenfläche A 2 versehen ist, dann bewegt sich dieser Kolben beim Hereinschieben des ersten hinaus. Da die Flüssigkeit inkompressibel ist, müssen die Volumenänderungen an den beiden Kolben einander kompensieren. Wenn der erste Kolben um die Distanz x 1 hineingeschoben wird, die Volumenabnahme also x 1 A 1 beträgt, muss sich der zweite Kolben um x 2 herausbewegen, sodass gilt: x 2 A 2 = x 1 A 1. Ausser der Volumenänderung muss noch die geleistete Arbeit an beiden Kolben die gleiche sein: x 2 F 2 = x 1 F 1. Damit ergibt sich x 2 F 2 x 2 A 2 = x 1F 1 x 1 A 1 F 2 A 2 = F 1 A 1 p Der Druck ist der gleiche, wie wir dies postuliert haben. Die Einheit des Drucks ist das Pascal. Andere gebräuchliche Einheiten sind Atmosphäre (atm), Torr (zu Ehren von Evangelista Torricelli ( )) und bar: 1 Pascal = 1 Pa = 1 Newton/m 2 = 10 5 bar, 1 atm = 760 Torr = bar = Pa, und 1 Torr = Druck einer 1 mm hohen Quecksilber-Säule (Hg) = Pa; zum Vergleich: Druck einer 1 mm hohen Wasser-Säule r (H 2 O) = 9.8 Pa. 1.3 Hydrostatischer Druck im äusseren Kraftfeld Die Druckverteilung und der Spannungszustand wird in dem Moment inhomogen, wenn sich die Flüssigkeit in einem Kraftfeld befindet, wie dies zum Beispiel im Gravitationsfeld der Erde der Fall ist. Es treten dann Druckgradienten auf, der Druck ist nicht mehr an jedem Ort derselbe. Er ist aber gemäss Definition immer noch eine skalare Grösse. Die freie Flüssigkeitsoberfläche wird zu einer Äquipotentialfläche des Kraftfeldes, wo die potentielle Energie konstant ist und die Kräfte senkrecht zu diesen Flächen wirken. Im Gravitationsfeld der Erde sind diese Flächen konzentrische Kugeln um den Erdmittelpunkt, im Nahbereich horizontale Ebenen, wie wir das von der Meeresoberfläche und der Oberfläche von Seen her kennen. Die Meeresoberfläche ist nur dann eine ideale Kugeloberfläche, wenn keine Schubspannungen auftreten, d. h. im statischen Fall. Im dynamischen Fall, z. B. bei Sturm, muss dies nicht so sein. Denken wir uns einen Zylinder als Teil eines Fluides mit Höhe dz und der Deckel- und Bodenfläche da, das sich in einem Kraftfeld, z.b. der Gravitation g, befindet. Auf diesen Zylinder wirken die Druckkräfte F auf den Deckel und den Boden, sowie das Gewicht G des Fluides (siehe Skizze zur vertikalen Flüssigkeitssäule auf der nächsten Seite). Die Komponenten in der Zylinderachse z lauten: F z = p(z) da p(z + dz) da G z = m g z = ρ V g z = ρ da dz g z 1.3

4 Im statischen Fall herrscht Gleichgewicht, das heisst das Gewicht und die Druckkräfte müssen sich gerade kompensieren: dp G z + F z = 0 dz = ρ g z Das gleiche Resultat bekommen wir für die anderen drei Raumrichtungen x und y, indem wir die Achse unseres gedachten Zylinders jeweils in die entsprechende Richtung drehen. Es gibt also drei Gleichungen für die drei Raumrichtungen. Wir können diese in Vektorschreibweise zusammenfassen: grad p = ρ g Die statische Druckverteilung bildet sich also so aus, dass ihr Gradient gerade gleich der Kraftdichte der Volumenkraft ist. Diese Gleichungen gelten auch dann, wenn das Kraftfeld nicht homogen ist und wenn die Dichte selbst vom Ort abhängig ist. 1.4 Beispiele zur Hydrostatik: In diesem Abschnitt werden ein paar, vorwiegend technische Beispiele aus der Hydrostatik behandelt, oder zum mindestens ihre physikalischen Grundlagen dargelegt. Beispiel hydraulische Presse oder Hebebühne: Man benützt hier die Konstanz des hydrostatischen Drucks. Der Kolben (K 2 ), der zum Pressen oder zum Heben dient, hat eine grosse Oberfläche (A 2 ), bewegt sich aber um kleine Distanzen (x 2 ). Der Kolben (K 1 ), der hineingedrückt wird, macht grosse Wege, hat eine kleine Oberfläche (A 1 ) und beansprucht eine kleinere Kraft (F 1 ). F 1 F 2 K 1 : F 1 = pa 1 K 2 : F 2 = pa 2 A 1 A 2 >> A 1 F 2 >> F 1, x 2 << x 1 p A 2 p Beispiel Druckverteilung in einer vertikalen Flüssigkeitssäule: Die Flüssigkeit befindet sich im Erdfeld, ihre Oberfläche ist horizontal, d. h. eine Äquipotentialfläche (mgh = U = const.). Auf die Flüssigkeit (Dichte ρ) drückt von aussen die Luft mit dem Druck p 0. Bei jedem Volumenelement dv = dxdydz im Innern müssen sich Volumen- und Oberflächenkräfte das Gleichgewicht halten. Der Druck p in Funktion der Wassertief z wird entsprechend dem vorhergehenden Abschnitt: dp dz = ρg z p 0 p(z) dv dg p(z+dz) 1.4

5 Für eine inkompressible Flüssigkeit ist ρ konstant und wir erhalten durch Integration p(z) = p 0 + ρgz Der Druck nimmt mit der Tiefe linear zu, bei Wasser z. B. um circa 1 atm pro 10 m (ρ = 1000 kg/m 3, dp/dz = 9810 Pa/m). Der eingangs erwähnte Unterschied zwischen Gasen und Flüssigkeiten zeigt sich, wenn man mit den gleichen Ansätzen wie oben die Druckverteilung in der Luft berechnet. Beispiel Druckverteilung in der Atmosphäre: Wir nehmen an, dass die Temperatur in der ganzen Luftsäule die gleiche ist. Die Dichte der Luft hängt allerdings vom Druck ab. Diese Abhängigkeit ergibt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase pv = RT. Diese Gleichung wird in der Thermodynamik im Abschnitt ausführlich diskutiert. Die Gleichung gibt den Zusammenhang wieder zwischen dem Druck p, dem Volumen V und der Temperatur T eines Mols eines idealen Gases, als das wir die Luft bei genügend kleinem Druck ansehen können. R ist eine Konstante, die ideale Gaskonstante. Man erhält für die Masse eines Mols ρv = M und damit p/ρ = RT/M = kt/m. m ist die Masse eines Moleküls (M = N 0 m), N 0 ist die Avogadro sche Zahl und k ist die Boltzmann sche Konstante (k = R/N 0 ). Bei fester Temperatur ist das Verhältnis von Dichte und Druck konstant. Die Gleichgewichtsbedingung ist wieder wie oben, nun allerdings mit z positiv nach oben gewählt, daher das negative Vorzeichen für dp/dz dp dz = ρ(z)g = mg kt p = Mg RT p Wir erkennen wieder eine Gleichung, wo die Änderung einer Grösse (hier eine Abnahme des Drucks mit der Höhe) proportional zur Grösse (hier Luftdruck) selber ist. Die Lösung der entsprechenden Gleichung ist dann eine Exponentialfunktion (siehe Abschnitt ): p(z) = p 0 exp( mgz kt ) ρ(z) = ρ 0 exp( mgz kt ) In dieser sogenannten barometrischen Höhenformel ist p 0 der Druck auf der Bezugshöhe (z = 0). Im Term mgz erkennen wir die potentielle Energie eines Moleküls der Masse m, kt hat daher ebenfalls die Dimension einer Energie. Für Luft erhält man bei T = K (15 0 C) mit p 0 = bar und ρ 0 = kgm 3 folgenden praktischen Ausdruck für die Barometerformel: Der Luftdruck fällt also in der Höhe der sog. Halbwertshöhe, auf die Hälfte ab. p(z) = bar exp( z 8432 m ) z 1/2 = ln m = 5844 m Der Exponent ( mgz/kt ) zeigt, dass der Druck für schwere Gase mit der Höhe schneller abnimmt als für leichte Gase. In der folgenden Tabelle sind einige Werte für den Partialdruck von Sauerstoff (O 2 ) und Wasserstoff (H 2 ) bei 0 0 C (273 K) für verschiedene Höhen z zusammengestellt: 1.5

6 Höhe Partialdruck von O 2 Partialdruck von H 2 z (m) p O2 (z)/p O2 (0) p H2 (z)/p H2 (0) Der Partialdruck von O 2 fällt bei einer Höhenzunahme um 5000 m auf die Hälfte, der Partialdruck von H 2 dagegen nimmt nur um ca. 4 % ab. Für kleine Höhen z, d.h. für z p 0 /(ρ 0 g) 8000 m, kann die Barometerformel vereinfacht werden, indem man die Exponentialfunktion entwickelt: exp( x) 1 x für x 1. Mit x = ρ 0 gz/p 0 erhält man p(z) p 0 ρ 0 gz Abgesehen vom negativen Vorzeichen (infolge Druckabnahme mit steigender Höhe) ist dieser Ausdruck identisch mit dem Ausdruck für die Druckverteilung in einer vertikalen Flüssigkeitssäule. In der Herleitung der Barometerformel wurde angenommen, dass die Atmosphäre isotherm sei. Dies ist aber nicht der Fall. Für 1000 m Höhenzunahme sinkt die Temperatur um rund C und erreicht in einer Höhe von m einen Wert von 56 0 C. Bis etwa m bleibt die Temperatur fast konstant und nimmt anschliessend wieder markant zu. Die Abweichungen des tatsächlichen Druckverlaufs in der Atmosphäre von demjenigen entsprechend der Barometerformel betragen aber nur einige Prozent, so dass die Barometerformel als eine gute Näherung betrachtet werden kann. Auftrieb: Eine Konsequenz der Druckzunahme mit zunehmender Höhe der Wassersäule über einem eingetauchten Objekt, ist der Auftrieb. Ein starrer Körper erfährt in einer Flüssigkeit (oder in einem Gas) an seiner Oberfläche Druckkräfte, die, wie wir eben gesehen haben, mit der Tiefe zunehmen. Ihre Resultierende, der sogenannte Auftrieb, ist daher nach oben gerichtet. Um den Auftrieb zu berechnen, denken wir uns den Körper ersetzt durch die von ihm verdrängte Flüssigkeit, das sogenannte Déplacement. Da es genau die gleiche Oberfläche hat wie der Körper, erfährt es den gleichen Auftrieb. Da die Flüssigkeit ruht, ist das Déplacement im Gleichgewicht: A + G D = 0 A = G D = ρ F l gdv Der Auftrieb ist entgegengesetzt gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit und greift wie dieses im Schwerpunkt S D des Déplacements an. Dieses Gesetz ist als Archimedes sches Prinzip bekannt. Auf den eingetauchten Körper beträgt die Gesamtkraft somit F = A + G K = ( ρ F l + ρ K ) gdv 1.6

7 Ist die Dichte des Körpers grösser als die der Flüssigkeit, ρ K > ρ F l, so sinkt er auf den Grund, ist sie kleiner, ρ K < ρ F l, so steigt er solange, bis er teilweise auftaucht. Weist die Flüssigkeit (oder das Gas) ein Dichtegefälle auf, ρ F l = ρ F l (h), so schwebt der Körper in der Höhe h, wo ρ K = ρ F l. A A A Wasser Stein Holz mg mg mg Beispiel Suspensionen: In einer Flüssigkeit suspendierte Moleküle einer gelösten Substanz oder Körner irgendeines Stoffs mit der Masse m s verhalten sich wie ein verdünntes Gas. (siehe auch Osmose, Abschnitt der Thermodynamik). Für die entsprechende Konzentrationsverteilung gilt im Schwerefeld ebenfalls die barometrische Höhenformel: ρ(z) = ρ 0 exp( m gz kt ) Wegen des Auftriebs ist statt m s die effektive Masse m einzusetzen: m = (ρ s ρ F l )dv Ist m gz max << kt, so ist die Suspension homogen. Ist m gz >> kt, sinken die suspendierten Körner auf den Grund, für m gz < 0 steigen sie zur Oberfläche. Beispiel Torricelli sches Ausflusstheorem: Fliesst aus einer Öffnung eines Gefässes Flüssigkeit, so hängt die Ausflussgeschwindigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem Loch ab. Mit abnehmender Höhe nimmt auch die Ausflussmenge pro Zeiteinheit ab. In der Zeit dt strömt die Menge dm = ρadx = ρavdt aus dem Loch mit Querschnitt A aus. Ihre kinetische Energie ist dt = ρavdt v2 2 Diese kinetische Energie ist die Folge der Arbeit dw, die von den Oberflächenkräften geleistet wird, hier von (p p 0 )A. h p 0 dw = (p p 0 )Adx = (p p 0 )Avdt = dt Mit p p 0 = ρgh v 2 = 2 p p 0 ρ = 2 ρgh ρ = 2gh Diese Formel hatten wir schon einmal angetroffen. Eine von der Höhe h frei fallendes Objekt erreicht den Boden mit der Geschwindigkeit v = 2gh. p p 0 v p 0 dv=adx Bei der sogenannten Mariotte schen Flasche bleibt die Ausströmgeschwindigkeit konstant v = 2gh bis der Flüssigkeitsstand niedriger als h ist. h' v p 0 1.7

8 Beispiel Rotierende Flüssigkeit: Wenn ein Zylinder, der mit einer Flüssigkeit der Dichte ρ gefüllt ist, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse rotiert, die Flüssigkeit steigt gegen aussen hoch. Die Oberfläche, die, wie wir schon wissen, eine Äquipotentialfläche ist, nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. Befinden sich in der Flüssigkeit gelöste oder eingetauchte Substanzen, so wandern diese, wenn ihre Dichte grösser ist als die des Wassers, nach aussen und wandern nach innen, auf die Drehachse zu, wenn ihre Dichte kleiner ist. Dieser Effekt wird in Ultrazentrifugen zur Trennung von Makromolekülen benutzt. Beide Beobachtungen lassen sich auf die radiale Druckzunahme in der rotierenden Flüssigkeit zurückführen. Diese kann aus der Analyse der Kräfte auf ein Volumenelement der Flüssigkeit abgeleitet werden. In vertikaler Richtung hatten wir vorher gefunden: dp dz = ρg wegen (p(z + dz) p(z))da = ρgdzda Auf das Volumenelement dv = dzda wirkt das Gewicht dg = gρdv, das durch den Druckunterschied in vertikaler Richtung (multipliziert mit der Oberfäche da) aufgehoben werden muss. In Funktion der Wassertiefe z nahm der Druck linear zu p(z) = p(z = 0) + ρgz = p 0 + ρgz Rotiert das Volumenelement auf einer Kreisbahn mit Radius r mit Winkelgeschwindigkeit ω, so ist die Zentripetalbeschleunigung v 2 /r = rω 2. Die Zentripetalkraft muss von einem radialen Druckunterschied (multipliziert mit der Oberfläche) geliefert werden: (p(r + dr) p(r))da = rω 2 dm = rω 2 ρdrda dp dr = ρω2 r In radialer Richtung ist also die Druckzunahme proportional zum Abstand vom Drehzentrum, der Druck selber nimmt quadratisch mit dem Radius zu bei festem z p(r) = p(r = 0) ρω2 r 2 = p ρω2 r 2 Aus den Kräften lassen sich die entsprechenden Kurven der potentiellen Energie und umgekehrt berechnen (siehe Abschnitt 2.6.3) r U(z, r) = ρdv (gz + ω2 r 2 2 ) Für die Oberfläche ist U konstant, also gz + ω2 r 2 2 = const. Setzt man für r = 0, z = z 0, so folgt z = z 0 ω2 r 2 2g da z 0 da' dz dg z p(z) dz p(r) p(r+dr) dv dr p(z+dz) 1.8

9 Die Oberfläche hat wie behauptet die Form eines Paraboloids. Vergleicht man wieder die vertikale mit der radialen Richtung, so kann auch die Wirkung des sogenannten Zentrifugalauftriebs erklärt werden nennt. In einer ruhenden Flüssigkeit nimmt der Druck mit der Tiefe zu. Die resultierende Auftriebskraft zeigt nach oben und hat den gleichen Betrag wie das Gewicht des Déplacements. In der rotierenden Flüssigkeit nimmt der Druck radial nach aussen zu, die Auftriebskraft zeigt daher nach innen und hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft auf das verdrängte Wasservolumen: A Z = r ρ r F l rω 2 dv Für ρ K > ρ F l bewegt sich das Objekt K nach aussen, für ρ K < ρ F l hin zur Drehachse. Der Zentrifugalauftrieb führt in Zentrifugen zu einer Trennung von Teilchen verschiedener Dichte. Zentrifugen werden in Laboratorien und in technischen Betrieben eingesetzt, z. B. zur Abscheidung von Niederschlägen oder Bakterien, zur Abtrennung der Blutkörperchen vom Serum oder zur Abtrennung des Fettes von der Milch. Mit sog. Ultrazentrifugen, mit denen man bis zu Umdrehungen/s erreicht, ist es gelungen, bei Eiweissmolekülen und anderen makromolekularen Verbindungen den Sedimentationsprozess so detailliert zu verfolgen, dass man das Molekulargewicht und die Molekülform bestimmen konnte. Erfährt ein Mensch bei der Bewegung auf einer gekrümmten Bahn extreme Normalbeschleunigungen (a N > g, z. B. Akrobatikflug, Raumfahrt), so entsteht ein Druckgefälle im Blut, das je nach Richtung zu einem Über- oder Unterdruck im Kopf führt. 1.5 Strömungen, Kontinuitätsgleichung Überlagert sich der statistischen, thermischen Bewegung von Gas- oder Flüssigkeitsmolekülen eine korrelierte, d. h. geordnete Driftbewegung, so spricht man von einer Strömung. Sie kann durch ein Stromlinienbild (Abbildung 1.3) veranschaulicht werden. Die Stromlinien sind die über die thermische Bewegung ausgemittelten Bahnen der einzelnen Teilchen oder eines Probekörpers, der von der Strömung mitgeführt wird. Die Driftgeschwindigkeit ist somit tangential zu den Stromlinien. Die Geschwindigkeitsvektoren einer Strömung bilden ein Vektorfeld v( r, t). Die Stromlinien sind die Feldlinien dieses Feldes. Ist das Stromlinienbild zeitlich unveränderlich, so spricht man von einer stationären Strömung, d.h. an einem bestimmten Ort r ist die Strömungsgeschwindigkeit v( r) zeitunabhängig. Die Geschwindigkeit eines mit der Strömung mitschwimmenden Teilchens, das ja seinen Ort verändert, braucht dabei keineswegs zeitlich konstant zu sein. Zeigt eine Strömung ein glattes Stromlinienbild, so nennt man sie laminar. Sind die Stromlinien verwirbelt, so nennt man die Strömung turbulent. Bei realen Gasen und Flüssigkeiten erfolgt beim Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit v K bei der Um- oder Durchströmung eines Hindernisses ein Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. qursache der Turbulenz sind dynamische Schubspannungen als Folge der Viskosität. Im folgenden wollen wir uns auf laminare Strömungen beschränken. 1.9

10 A 1 v 1 A 2 v 2 P v Stromlinie Abbildung 1.3: Bild einer Flüssigkeitströmung um einen Zylinder herum, das mit Einfärbung der Flüssigkeit sichtbar gemacht wurde (links). Der Geschwindigkeitsvektor der strömenden Flüssigkeitsmenge ist immer parallel zur Stromlinie (rechts). Abbildung 1.4: Im engen Querschnitt unter der Brücke drängen sich die Stromlinien zusammen (rechts). Dies bedeutet auch eine höhere Strömungsgeschwindigkeit, solange der Fluss überall gleich tief ist, und die Oberflächenverteilung der Stromlinien den Vorgang beschreibt. Das gleiche Bild und der gleiche Effekt zeigen sich bei einer Verengung einer Wasserröhre (links). Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen: Wird die Anzahl der Stromlinien pro Flächeneinheit grösser, die Stromdichte, wie wir diese Grösse nennen wollen, grösser, so entspricht dies auch einer grösseren Geschwindigkeit. Abbildung 1.3 erinnert an eine uns vermutlich bekannte Beobachtung des Anwachsens der Strömungsgeschwindigkeit in der Nähe einer Einschnürung des Flussbetts. Die physikalische Grundlage dieser Beobachtung ist die Erhaltung des Gesamtflusses, die einfliessende Wassermenge pro Zeiteinheit muss gleich der ausfliessenden sein. Bei kleinerem Querschnitt muss daher die Durchflussgeschwindigkeit grösser werden. Die mathematische Form dieser Erfahrung ist die Kontinuitätsgleichung. Für die mathematische Definition des Flussbegriffes betrachten wir eine sogenannte Stromröhre innerhalb einer stationären Strömung, d. h. einen durch Stromlinien begrenzten Schlauch mit Eintrittsfläche A 1 und Austrittsfläche A 2. In der Zeit dt fliessen durch A 1 und A 2 die Wassermengen dm 1 = ρ 1 v 1 A 1 dt und dm 2 = ρ 2 v 2 A 2 dt B C A 1 A

11 Im stationären Fall muss wegen der Erhaltung der Materie bei A 1 gleichviel hinein wie bei A 2 hinaus fliessen. Daher gilt die Kontinuitätsgleichung : ρ 1 v 1 A 1 = ρ 2 v 2 A 2 Bei Flüssigkeiten kann ρ als konstant angenommen werden, ρ = ρ 1 = ρ 2, so dass gilt v 1 A 1 = v 2 A 2 d. h. der Fluss des v-feldes längs einer Stromröhre ist konstant, bzw. der Fluss durch eine geschlossene Fläche gleich Null. Wir haben hier die Ein- und Austrittsfläche senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit gewählt, was einem Spezialfall entspricht. Für diesen Fall lautet dann die Aussage der Kontinuitätsgleichung: Die Geschwindigkeit längs einer stationären, laminaren Strömung ist umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt. In etwas allgemeinerer Form definieren wir als Fluss durch eine Fläche A (mit d A ˆndA) Φ = A v da A ( v ˆn)dA = A v n da = A v cos αda Der Einheitsvektor ˆn steht senkrecht auf dem Flächenelement da, v n ist die Normalkomponente der Geschwindigkeit v. v nˆ da vcos= v da da Diese Definition des Begriffs Fluss (Φ) schliesst die Möglichkeit ein, dass die Geschwindigkeit nicht an allen Orten der Fläche A gleich ist und ferner, dass die Fläche nicht notwendigerweise normal zu den Flusslinien steht. Für A v (α = π/2) ist der Fluss minimal, für A v (α = 0) ist der Fluss maximal. Für eine beliebig gestellte Querschnittsfläche A der Stromröhre ist dann der Fluss Φ konstant. Diese Definition des Flusses erlaubt uns eine allgemeinere Formulierung der Kontinuitätsgleichung für den Massenfluss einers Fluides: Wählen wir als Fläche, für die wir für das Flussintegral auswerten, eine geschlossene Oberfläche A V, die das Volumen V begrenzt. Dann besagt die Massenerhaltung, dass der einkommende Fluss gleich dem ausgehenden Fluss sein muss. Der Gesamtfluss ist also gleich null. Vorausgesetzt wird dabei, dass sich im Innern des Volumens keine Massenquelle oder -Senke befindet. Kontinuitätsgleichung : Φ = ρ v da = A V ρ v n da = 0 A V Diese Form der Kontinuitätsgleichung gilt für beliebige Formen von Volumen, und auch im Falle, dass die Dichte ortsabhängig ist. Die Definition des Flusses kann auf beliebige Vektorfelder erweitert werden, anstelle des Geschwindigkeitsfeldes v tritt dann z. B. das elektrische Feld E, das Magnetfeld B, oder auch das Gravitationsfeld g. Fluss eines Vektorfelds S : Φ S da = S n da 1.11 A A

12 Abbildung 1.5 zeigt ein Vektorfeld ( E Feld in diesem Fall), den oberen Teil einer solchen geschlossenen Oberfläche A V (man nennt sie auch eine Gauss sche Fläche) und einige Flächenelemente auf der Oberfläche zur Illustration wie der Fluss zu berechnen ist. Gauss'sche Fläche da 1 E 2 da E da 3 E Abbildung 1.5: Eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche (Gauss sche Fläche), die in ein Vektorfeld (hier das E Feld) hineingelegt wird. Drei ausgewählte Flächenelemente sind gezeigt, die verschiedene Orientierungen des Feldvektors und der Fläche zeigen. 1.6 Bewegungsgleichung: Die Eulergleichung Das zweite Newton sche Prinzip sagt uns, wie sich Massen unter Einfluss von Kräften bewegen. Betrachten wir wieder einen kleinen Zylinder mit Volumen dv = da dz und Masse dm = ρ dv, dessen Achse parallel zur z-richtung liegt, genau wie im Falle der Hydrostatik (Abschnitt 1.3). Sei p der Druck auf Deckel und Boden, und df eine Volumenkraft (z.b. Gewicht: df = dm g). Im Gegensatz zur Hydrostatik müssen sich die Kräfte nun nicht mehr unbedingt aufheben; wenn die Summe der Kräfte verschieden von null ist, ergibt sich eine Beschleunigung der Masse dm. In z-richtung gilt also die Bewegungsgleichung: dm z = p(z)da p(z + dz)da + df z Dividieren wir diese Gleichung durch das Volumen dv = da dz, definieren die Kraftdichte f = F /dv (im Gravitationsfeld ist f = ρ g)und setzen die Beschleunigung durch die Ableitung der Geschwindigkeit v z, erhalten wir: ρ dv z dt = p z + f z 1.12

13 Diese Ueberlegung können wir auch in die x und y Richtung ausführen, und erhalten so drei Gleichungen für die drei Raumrichtungen x, y, und z. In Vektorschreibweise fassen wir die drei Gleichungen zusammen, und erhalten damit die Eulergleichung der Fluiddynamik : ρ d v dt = grad p + f Sie beschreibt die allgemeine Geschwindigkeitsverteilung einer reibungsfreien Flüssigkeit. Im Geschwindigkeitsfeld v(x, y, z, t) begegnen wir einem typischen Beispiel einer (vektorwertigen) Funktion mehrerer Variablen, wie sie in der Mathematik für Naturwissenschafter besprochen wurden. Die partielle Ableitung (Storrer, Seite 334) nach der Zeit hat hier eine besondere Bedeutung. Es gilt nämlich: v t = 0 stationaer Eine Strömung hatten wir ja stationär genannt, wenn das Stromlinienbild nicht von Zeit abhängt. In der Tat, wenn wir an einem festen Ort (x,y,z) sitzen, und die Veränderung in der Zeit boebachten, dann ist das gerade die partielle Ableitung. Sie verschwindet genau dann, wenn sich das Stromlinienbild im Laufe der Zeit nicht ändert. Im Gegensatz dazu nennt man die Ableitung, die in der Eulergleichung vorkommt, auch die substantielle Ableitung. Sie beschreibt die Aenderung der Geschwindigkeit, die man sieht, wenn man mit einem Massenteilchen mitgeht. Die partielle und die substantielle Ableitung sind natürlich völlig verschieden. Analog wie in der Mechanik der Massenpunkte liegt auch hier bei der Integration dieser Gleichung oft das Hauptproblem bei der Bestimmung der Randbedingungen. 1.7 Energiebetrachtung: Die Bernoulligleichung Wie in der Mechanik der Massenpunkte kann das System statt mit den Bewegungsgleichungen auch durch Energieerhaltung beschrieben werden. Das vereinfacht oft die Lösung des Problems, und erlaubt uns auch direkter anwendbare Gesetze zu formulieren. Wir betrachten eine laminare, stationäre Strömung einer inkompressiblen, hier nun auch reibungsfreien Flüssigkeit in einer Röhre variablen Querschnitts und dazu variabler Höhenlage. Diese Röhre muss nicht notwendigerweise reell existieren, sondern kann durch eine Gruppe von zusammengefassten Stromlinien gebildet werden. Die Eintrittsfläche A 1 und die Austrittsfläche A 2 sind senkrecht zur Strömung gewählt, und ferner soll auch die Geschwindigkeit nicht über den Bereich der Flächen variieren. Gemäss der Kontinuitätsgleichung erhaltem wir für die im Zeitintervall dt die Flächen passierende Flüssigkeitsmenge dm y y Eingang v 1 y 1 p 1 L Ideale Flüssigkeit x Ausgang v 2 p 2 y 2 dm = dm 1 = ρv 1 A 1 dt = dm 2 = ρv 2 A 2 dt x 1.13

14 Wir wollen nun eine Energiebilanz aufstellen für den Zeitraum dt. Die vom Druck netto geleistete Arbeit dw (Druck Fläche Weg) ist gleich der Zunahme von kinetischer und potentieller Energie: dw = dt + du. dw = p 1 A 1 v 1 dt p 2 A 2 v 2 dt dt = dm 2 (v2 2 v 2 1) du = gdm(y 2 y 1 ) p 1 p 2 = ρ( v2 2 2 v gy 2 gy 1 ) p 1 + ρ 2 v2 1 + ρgy 1 = p 2 + ρ 2 v2 2 + ρgy 2 Da die Orte 1 und 2 völlig willkürlich gewählt waren, folgt die Konstanz dieses Ausdrucks längs der ganzen Strömung (y h): p + ρ 2 v2 + ρgh = const. Bernoulli sche Gleichung Die vom Schweizer Physiker und Mathematiker Daniel Bernoulli ( ) formulierte Beziehung gilt entlang der Stromlinien einer reibungslosen, inkompressiblen Flüssigkeit. Verläuft die Stromlinie entlang einer Äquipotentialfläche der Gravitationskraft, so reduziert sich die Bernoulli sche Gleichung auf den Ausdruck ρv p = const. p 0 p ist der wirkliche, von einem in der Strömung liegenden Manometer gemessene Druck, der Term ρv 2 /2 hat ebenfalls die Dimension eines Druckes und heisst dynamischer Druck oder Staudruck. p 0 bezeichnet man als den Gesamtdruck. In Worten lautet also die Bernoulli sche Gleichung: Statischer Druck (p) plus Staudruck (ρv 2 /2) ergibt den Gesamtdruck (p 0 ) Die Bernoulli sche Gleichung ist die Basis für das Verständnis verschiedener Alltagsphänomene und technischer Instrumente. Einige von ihnen wollen wir nun näher betrachten. Beispiel Messung von Strömungsgeschwindigkeiten mit dem Pitot-Rohr: Beim Pitot-Rohr handelt es sich um einen stromlinienförmigen Hohlkörper, bei dem die Druckdifferenz zwischen dem Staupunkt A vorn und einer seitlichen Öffnung B gemessen wird. In A ist die Strömungsgeschwindigkeit null, bei der seitlichen Öffnung dagegen v. Es gilt dann (ρ A =Dichte der Luft, ρ M = Dichte der Manometerflüssigkeit) Luft v Staupunkt A B B h A : v = 0, p 0 = p A B : p 0 = p B + ρ A 2 v2 p A p B = ρ A 2 v2 = ρ M gh 1.14

15 v = 2(p A p B ) 2ghρM = ρ A ρ A Hier haben wir den am Manometer abgelesenen Druckunterschied (Höhe h) bereits eingesetzt. Beispiel Hydrodynamisches Paradoxon: Strömt ein Gas aus einer Druckflasche gegen eine bewegliche Platte, so wird diese angesaugt und nicht etwa weggeblasen. Infolge der hohen Geschwindigkeit des Gases zwischen den beiden Platten ist dort der Druck kleiner als der Luftdruck aussen. Die beiden Platten werden zusammen gepresst. Beispiel: Druckverteilung in einem Venturi-Rohr: Ein Rohr mit variablem Querschnitt schliesst eine stationäre Strömung ein. Der Druck p im Rohr variiert ebenfalls mit dem Querschnitt. Die Kombination von Kontinuitätsgleichung und Bernoulli scher Gleichung liefert v 1 v 2 = A 2 A 1 ρ 2 v2 1 + p 1 = ρ 2 v2 2 + p 2 = ρ 2 v2 1( A 1 A 2 ) 2 + p 2 p 2 = p 1 + ρ 2 v2 1(1 A2 1 A 2 ) < p 1 2 Mit A 1 = A 3 folgt p 1 = p 3. Im Experiment, ob nun das Rohr von Luft durchströmt oder von Wasser durchflossen wird, sind die Drucke p 2 und p 3 kleiner als berechnet. Man beobachtet selbst bei einem Rohr mit unveränderlichen Querschnitt einen linearen Druckabfall. Dies kommt daher, dass eine der Voraussetzungen der Bernoulli schen Gleichungen, nämlich die Absenz von Schubkräften und Reibung nicht erfüllt ist. p 1 p 2 p3 p 1 p2 v p 3 v 1 v 2 v 1 Im Alltag verwendete Varianten des Venturi-Rohrs sind Zerstäuber (a), Wasserstrahlpumpe (b), und Bunsenbrenner (c). An der Düsenöffnung (kleiner Querschnitt) ist die Geschwindigkeit gross, der Druck klein, so dass der Strahl eine Saugwirkung ausübt. Der erreichbare Enddruck der Wasserstrahlpumpe ist nicht beliebig klein, sondern begrenzt durch den Dampfdruck p D des Wassers (bei 20 C p D = 23 mbar). Mit Öl- oder Quecksilber-Strahlpumpen bei tiefen Temperaturen können Enddrucke bis zu etwa 10 8 mbar erreicht werden. Beim Bunsenbrenner hilft der Unterdruck in der Nähe des an der Düse austretenden Gases die für das Aufrechterhalten des Verbrennungsvorgangs notwendige Luft anzusaugen. Düse Luft Gas Luft Düse 1.15

16 1.8 Zähigkeit, Newton sche Reibung und die Navier-Stokes-Gleichung Bei der Einführung der Reibungskräfte haben wir bereits erwähnt und in verschiedenen Beispielen (Kugel im Öl, Schiff) auch benützt, dass reale Flüssigkeiten nicht reibungsfrei sind. Die Bremswirkung auf sich in der Flüssigkeit bewegende Objekte hing ab von der Zähigkeit der Flüssigkeit einerseits charakterisiert durch die Viskositätskonstante η und der Form und Beschaffenheit der Oberfläche andererseits. In einer realen Flüssigkeit treten also Schubspannungen auf, an den Oberflächen und im Innern zwischen einzelnen Flüssigkeitsschichten. In einem Modell, wo man sich die Flüssigkeitsmoleküle durch harte Kugeln ersetzt denkt, wie in Abbildung 1.6 dargestellt, ist diese Reibung dadurch erklärbar, dass beim Gleiten der einzelnen Schichten übereinander lauter kleine Potentialberge (siehe auch Abbildung 2.39) überwunden werden müssen. Beim Beispiel der rotierenden Füssigkeit im Schwerefeld, das wir vorher behandelt haben, hätte die Rotation des Gefässes sich ohne Reibung gar nicht auf die Flüssigkeit übertragen lassen. W W 2 x Um den quantitativen Zusammenhang zwischen Reibungskräften und der Viskosität einer Flüssigkeit zu erhalten, machen wir einen Modellversuch. Zwischen zwei parallel gestellten Platten, die sich mit der Geschwindigkeit v 0 zueinander bewegen, befindet sich ein Gas oder eine Flüssigkeit. Ist v 0 unterhalb einer kritischen Geschwindigkeit v K, so haften an beiden Platten die Grenzschichten. Dazwischen stellt sich eine laminare Strömung mit einer linearen Geschwindigkeitsverteilung v(x) = ax ein (x=horizontale Koordinate in der Zeichnung). Die Schubspannungen und Reibungskräfte zwischen den benachbarten Flüssigkeitsschichten sind, wie dies Newton erstmals formulierte, proportional zum Geschwindigkeitsgradienten Newton sches Reibungsgesetz Abbildung 1.6: Wenn eine Flüssigkeitsschicht bestehend aus den die Moleküle darstellenden Kugeln über die darunterliegende gleitet, hat sie Potentialberge der angegebenen Form zu überwinden. Von einer Schicht auf die nächste wird dabei Impuls übertragen, und daher eine Kraft ausgeübt. Die Höhe ɛ der Buckel bestimmt die Viskosität η der Flüssigkeit. Um eine Schicht ganz von der Oberfläche abzulösen muss die Energie 2ɛ aufgewendet werden. Wand d v Platte F R v 0 τ = η dv dx mit dv dx = a = v 0 d Betrachten wir nun eine Scheibe der Fläche da, der Dicke dx und der Masse dm = ρ da dx, die sich in der Zeichnung in vertikaler (z-)richtung mit der Geschwindigkeit v z bewegt. Ihre Bewegungsgleichung lautet dm dv z dt = τ(x + dx) da τ(x) da 1.16

17 wenn wir vorläufig nur die Reibungskraft berücksichtigen. Dividieren durch dv ergibt: ρ dv z dt = τ x Wir setzen das Newton sche Reibungsgesetz ein und erhalten: ρ dv z dt = η 2 v z x 2 Macht man die gleiche Ueberlegungen in allen drei Raumrichtungen, fasst das Resultat in Vektorschreibweise zusammen und nimmt auch noch den Druckgradienten grad p und die Volumenkraftdichte f wie in der Eulergleichung dazu, erhält man die vollständige Bewegungsgleichung, die sogenannte Navier-Stokes-Gleichung (hier in der Form für inkompressible Flüssigkeiten): mit der Definition für den Laplaceoperator: ρ d v dt = grad p + f + η v v z = 2 v z x v z y v z z 2 und v = ( v x, v y, v z ) Die Navier-Stokes-Gleichung kann man analytisch in der Regel nicht lösen, stattdessen werden numerische Methoden und Computer eingesetzt. Im Gegensatz zur Betrachtung bei den reibungsfreien Strömungen führt uns hier die Energieerhaltung nicht auf ein praktisches Gesetz: Wegen der Reibung geht ein Teil der Energie ja in Wärme über. Diese Newton sche Reibungsgesetz hat die gleiche Form wie die Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung, die wir im Sommersemester in der Thermodynamik antreffen werden. Bei diesen Prozessen handelt es sich ebenfalls um Transportphänomene. Wärmeleitung kommt durch Energieübertragung und Energietransport zustande, der bei den Stössen der Moleküle untereinander sowohl in der Flüssigkeit wie im Gas auftritt. Diffusion bedeutet Materietransport. Für Gase steigt, für Flüssigkeiten sinkt η mit zunehmender Temperatur. Für Gase ist η druckunabhängig. Typische Werte der Viskositätskonstante η sind in Tabelle 1.1 aufgeführt. Als Einheit der Viskosität wird normalerweise benützt 1 Poise = 0.1 Nsm 2 Beispiel Messung von η: Eine kleine Al-Platte wird durch ein mit Öl gefülltes Gefäss gezogen. Bei konstanter Kraft, bestimmt durch das Gewicht der an dem Faden hängenden Masse, lässt sich η aus der Geschwindigkeit der Platte bestimmen. Die Geschwindigkeit nimmt vom Beginn der Bewegung zunächst exponentiell ansteigend zu (siehe Abschnitt ), und erreicht dann die Grenzgeschwindigkeit, wo sich Antrieb und Reibung die Waage halten. 1.17

18 Substanz η [Poise] 0 C 20 C 50 C 100 C Luft H 2 O Rhizinusöl 9.50 Glycerin C 23 C 30 C 37 C Blut 0.04 Blutplasma Tabelle 1.1: Viskositätskonstante für verschiedene Substanzen Die Gleichgewichtbedingungen lauten Faden : F mg = 0 Platte : F 2Aτ m g = 0 m = d A(ρ Al ρöl ) τ = η dv dx = 2v 0η d m g ist das um den Auftrieb verminderte Gewicht der Platte, 2Aτ ist Schubspannung Fläche die bremsende Reibungskraft. Es ergibt sich Al A d' G F L Öl G m η = (m m )g 4A d v 0 d d'<<d Stoke sches Reibungsgesetz für eine Kugel: Wird eine Kugel von einem viskosen Fluid umströmt, so kann man die gesamte Kraft auf die Kugel mit dem Newton schen Reibungsgesetz berechnen. Sie ist wie oben proportional zur Geschwindigkeit v und der Zähigkeit η. Die geometrischen Faktoren sind schwieriger zu brechnen; als Resultat erhält man für die gesamte Kraft auf die Kugel mit Radius r: F S = 6π r η v Stoke sche Reibung Übergang zu Turbulenz: Die kritische Geschwindigkeit v K, bei der die laminare Strömung in eine turbulente umschlägt, hängt auch von der Viskosität η ab, dazu von der Dichte ρ und einer charakteristischen Länge L (Gefässdimension, Durchmesser des Hindernisses usw.). In unserem Beispiel wäre L der Plattenabstand. Auf Grund empirischer Resultate ergibt sich v K = R e η ρl R e ist eine charakteristische Konstante, die dimensionslose Reynold sche Zahl. Für glatte Rohre findet man z. B. R e = Ist der Rohrdurchmesser L = 1 cm, so erhält man die folgenden kritischen Geschwindigkeiten: v K = 23 cm/s für Wasser v K = 320 cm/s für Luft In der turbulenten Strömung wird die die Widerstandskraft proportional zur Dichte und zum Quadrat der Geschwindigkeit und hängt im übrigen stark von der geometrischen Form des Körpers ab. 1.18

19 Nichtnewton sche Flüssigkeiten: Viele Flüssigkeiten erfüllen das Newton sche Reibungsgesetz nicht, d. h. die Viskosität η ist nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmendem Geschwindigkeitsgradienten zu oder ab. Solche sogenannten Nicht-Newtonschen Flüssigkeiten sind z. B. Blut, Speichel, Dispersionsfarben, Pasten, Salben, Gele. 1.9 Anwendungen mit reibungsbehafteten Strömungen Strömung und Geschwindigkeitsverteilung in einem zylindrischen Rohr: In vielen Anwendungen trifft man auf die folgende Situation: Die Strömung einer Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr wird durch einen Druckunterschied an den beiden Enden des Rohrs aufrechterhalten. Die alltägliche Erfahrung lehrt, dass die Durchflussmenge vom Rohrdurchmesser einerseits und vom Druck andererseits abhängt. Ferner ist die Geschwindigkeitsverteilung in dem Rohr inhomogen. In der Mitte ist die Geschwindigkeit am grössten. Beide Befunde finden wir in den Hagen-Poiseuille schen Gesetzen ausgedrückt. Für ein Rohr mit Radius R der Länge L, in dem durch einen Druckunterschied p eine laminare Strömung unterhalten wird, finden wir ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil v(r) = 1 p 4 ηl (R2 r 2 ) Die Durchflussmenge ergibt sich zu Q = π p R4 8ηL [m 3 s 1 ] p 1 F p R r v Zum Beweis der beiden Beziehungen denken wir uns aus der Flüssigkeit eine zylindrische Stromröhre mit Radius r herausgeschnitten: Infolge des Druckunterschieds p wirkt auf diesen Zylinder eine Kraft in der Strömungsrichtung F p = πr 2 (p 1 p 2 ) = πr 2 p Durch das radiale Geschwindigkeitsgefälle dv/dr an der Mantelfläche eine entgegengerichtete Reibungskraft F τ = η2πr dv dr Im stationären Fall herrscht Gleichgewicht v 0 F p + F τ = 0 πr 2 p + 2πrLη dv dr = 0 p 2 dv dr = p 2ηL r Integration : v(r) = r2 p 4ηL + C 1.19

20 Die Integrationskonstante C erhalten wir aus der Randbedingung Damit ist die erste Beziehung bewiesen. v(r = R) = 0 C = R2 4ηL Die Durchflussmenge berechen wir zunächst für einen Hohlzylinder mit gleichem Radius wie die Stromröhre, aber mit der Wandstärke dr. In diesen Hohlzylinder tritt am Ende im Zeitintervall t durch die Eintrittsfläche 2πrdr das Wasservolumen dv = 2πrdr v(r)t ein. dv t = v(r)2πrdr = π p(r2 r 2 ) rdr 2ηL Was im gleichen Zeitintervall durch den gesamten Rohrquerschnitt eintritt erhält man durch Integration: Q V t = π p R (R 2 r 2 )rdr = πr4 p 2ηL 0 8ηL Die Wassermenge M ergibt sich aus Q durch Multiplikation mit der Dichte ρ. Bei einer konstanten mittleren Geschwindigkeit v wäre die Durchflussmenge Q = πr 2 v. Setzen wir die wahre Durchflussmenge Q gleich der mittleren Durchflussmenge Q so ergibt sich für die mittlere Geschwindigkeit v = R2 p 8ηL Diesen Zusammenhang können wir benützen, um die gesamte Kraft zu berechnen, die aufgrund der Flüsssigkeitsreibung auf das Rohr wirkt. Die auf ein Stück Rohr der Länge L und der Querschnittsfläche πr 2 wirkende Kraft R v ist gleich der Fläche mal Druckunterschied, also: R v = πr 2 p = 8πηLv wobei wir die obige Formel für die mittlere Geschwindigkeit verwendet haben. Wie bei der Stoke schen Reibung an der Kugel, ist auch hier die totale Kraft proportional zu η und v. Damit die Strömung laminar bleibt, muss v < v K gelten. Überschreitet v die kritische Geschwindigkeit, so wird die Strömung turbulent. Bei einer turbulenten Strömung ist die Durchflussmenge kleiner, die Reibung grösser als beim laminaren Fall. Weitere Kräfte in Strömungen Dynamischer Auftrieb und Widerstand: Wird ein Körper von einem Gas oder einer Flüssigkeit umströmt, so treten neben den schon behandelten auch Kräfte auf, die proportional dem Quadrat der Anströmgeschwindigkeit sind. Von einem Stromlinienbild, wie z. B. dem für ein Flügelprofil in Abbildung 1.7, kann die Geschwindigkeitsverteilung (Kontinuitätsgleichung) und damit die Druckverteilung (Bernoulli sche Gleichung) der umströmenden Substanz abgelesen werden. Der aufgerichtete Flügel lenkt den Luftstrom nach unten ab. Das Ablenken entspricht einer Kraft des Flügels auf den Luftstrom, und nach dem 3. Newton schen Prinzip übt der Luftstrom eine entgegengesetzt gleiche Kraft auf den Flügel aus. Die vertikale Komponente (allgemeiner die Komponente normal zu v) dieser 1.20

21 Kraft nennt man den dynamischen Auftrieb A D, die horizontale Komponente (allgemeiner die Komponente parallel zu v) nennt man den dynamischen Widerstand R D. Da die Dichte der Stromlinien oberhalb des Flügels grösser ist als unterhalb, ist die Geschwindigkeit dort höher, der Druck kleiner und die resultierende Kraft daher aufwärts gerichtet, wie es uns die Bernoulli sche Gleichung lehrt. Der dynamische Auftrieb hat nichts mit dem statischen Auftrieb in Gasen und Flüssigkeiten zu tun, auf den das Prinzip von Archimedes hinweist und der Ballone fliegen und Eisberge schwimmen lässt. Der dynamische Auftrieb entsteht nur, wenn Strömung und umströmtes Objekt relativ zueinander in Bewegung sind. Luftwiderstand Auftrieb Anstellwinkel v 2 v 1 Abbildung 1.7: Stromlinienverteilung für einen Flugzeugflügel der gegenüber der Horizontalen leicht geneigt ist. Die resultierende Kraft hat eine vertikale Komponente (dynamischer Auftrieb) und eine horizontale Komponente (dynamischer Widerstand). In einer reibungsfreien Flüssigkeit wäre der dynamische Widerstand null, mit Reibung haben wir eine Stoke sche Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit. Diese Kraft genügt jedoch nicht, um den dynamischen Widerstand zu erklären, der mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt. R D = C R v 2 Die Ursache dieser Kraft ist die Wirbelbildung hinter dem umströmten Hindernis, d. h. diese Kraft tritt erst dann auf, wenn der Übergang von der laminaren zur turbulenten Strömung (v > v K ) schon vollzogen ist. Die sich an den Grenzflächen bildenden Wirbel tragen kinetische Energie mit, die dem Flugobjekt entzogen wird. Der Koeffizient C R hängt sehr stark von der Geometrie des Profils ab. Welche Geometrie die günstigste ist lehrt uns die Natur, für einen stromlinienförmigen Hai ist C R sicher kleiner als für einen Kugelfisch. In Tabelle 1.2 sind die Werte für verschiedene flächengleiche Profile miteinander verglichen. Der dynamische Auftrieb macht sich auch bemerkbar bei der Bewegung von rotierenden Objekten. Ein rotierendes Objekt hat eine andere Flugbahn als ein Objekt, das sich nicht dreht. Abbildung 1.8 demonstriert die Ursache dieser Beobachtung, die man den Magnus-Effekt nennt. Der rotierende Ball nimmt die Luft an seiner Oberfläche mit, und erzeugt dadurch eine asymmetrische Geschwindigkeitsverteilung und eine entsprechende Kraft, die je nach Drehrichtung nach unten gerichtet (top-spin, kürzere Flugbahn), noch oben gerichtet (bottom spin im Golf, slice im Tennis, längere Flugbahn) oder, häufig unerwünscht, wenn die Drehung nicht um eine horizontale Achse erfolgt, seitwärts gerichtet ist. In diesem Fall bekommt man in der horizontalen Projektion gekrümmte Flugbahn. 1.21

22 v 2 v 1 F Luftwiderstand Auftrieb Abbildung 1.8: Die Stromlinienverteilung für einen sich nicht drehenden Ball (oben) ist symmetrisch bezüglich einer horizontalen Achse. Für einen sich drehenden Ball führt die Zähigkeit des Mediums zu einer Zirkulationsströmung um den Ball herum (Mitte). Der anströmende Luftstrom wird durch die Zirkulation abgelenkt und die entsprechende Kraft ist für diese Drehrichtung aufwärts gerichtet (unten). v 2 v 1 Widerstandskoeffizient C R Tabelle 1.2: Vergleich verschiedener flächengleicher Profile Grenzflächen von Flüssigkeiten Kohäsion und Adhäsion Unter Kohäsionskräften verstehen wir die inneren, intermolekularen Kräfte in einer Substanz, welchen wir schon öfters begegnet sind. Der abstossende Anteil wirkt nur zwischen benachbarten Molekülen. Die Reichweite der anziehenden Kraft wirkt sich über mehrere Moleküle hinweg aus, über Distanzen von ca m. Im Innern einer Flüssigkeit ist ein Molekül den anziehenden Kräften benachbarter Moleküle von allen Seiten ausgesetzt. Die resultierende Kraft F tot ist null. Anders liegen die Verhältnisse für ein Molekül nahe der Oberfläche. Hier ergibt sich eine in das Innere der Flüssigkeit gerichtete resultierende Kraft F tot. F tot F tot = 0 ~1nm Die nach innen gerichteten, intermolekularen Kräfte ziehen die Flüssigkeit zusammen und erzeugen somit in der Flüssigkeit einen Binnendruck p i, dessen Grösse von den Molekularkräften 1.22

23 abhängt. Der Binnendruck führt zu einem Korrekturterm der Zustandsgleichung für reale Gase (Van der Waalsgleichung, siehe Thermodynamik). Adhäsionskräfte heissen die intermolekularen Kräfte, wenn sie zwischen Molekülen verschiedener Substanzen, also vor allem an Grenzflächen auftreten. Je nach Art der beteiligten Moleküle kann die Adhäsion (A) grösser oder kleiner sein als die entsprechende Kohäsion (K). A > K: Zwei Flüssigkeiten vermischen sich. Eine Flüssigkeit benetzt einen festen Körper. (Experiment: Essig Wasser) A < K: Zwei Flüssigkeiten entmischen sich. Keine Benetzung eines festen Körpers durch eine Flüssigkeit. (Experiment: Paraffinöl Wasser) Durchmischung zweier Flüssigkeiten Entmischung zweier Flüssigkeiten Grenzfläche A> K A > K Oberflächenspannung: Grenzt eine Flüssigkeit an Vakuum so treten keine Adhäsionskräfte auf. Wenn keine anderen äusseren Kräfte vorhanden sind, so bewirkt die Kohäsion, dass alle Molekülabstände möglichst klein werden, d. h. die Flüssigkeit wird Kugelform annehmen (Regentropfen, Hg-Tropfen, Experiment: schwebende Olivenölkugel in einer Alkohol-Wasser- Mischung, siehe Abbildung 1.9). Eine Energiebetrachtung führt zum gleichen Resultat. Jede Bindung an ein Nachbarmolekül liefert einen negativen Beitrag ( E B ) zur potentiellen Energie. Diese ist daher kleiner, je mehr solcher Bindungen vorhanden sind. Den Oberflächenmolekülen fehlen jedoch nach aussen die Nachbarn, d. h. es fehlen Bindungen. Die gesamte Energie ist daher minimal, wenn möglichst wenige Moleküle an der Oberfläche sitzen, d. h. das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen minimal ist, was wieder zur Kugelform führt: Kugel : V = 4 3 πr3, A = 4πr 2 A V = 3 r = 3 3 4π 3V = V Würfel : V = a 3, A = 6a 2 A V = 6 a = 6 3 V > V Will man die Oberfläche vergrössern, so muss man Energie in die Flüssigkeit hineinstecken. Dies lässt sich mit einem Drahtbügel, der in eine Seifenlösung eingetaucht wird und dabei eine Lamelle aufspannt, quantitativ zeigen (Abbildung 1.10). Der Bügel hängt an einer Waage, die ohne Lamelle einen kleineren Ausschlag zeigt. Die Oberfläche wird um den Betrag da = 2Ldx vergrössert. Die Kraft F ergibt sich aus der Differenz der Anzeigen mit und ohne Lamelle. Die beim 1.23

24 Flüssigkeitstropfen (unstabil) Flüssigkeitstropfen (stabil) Oberfläche Flüssigkeit Abbildung 1.9: Illustration zur Tropfenbildung bei Flüssigkeiten. Herausziehen des Bügel geleistete Arbeit ist dw = 2F dx. Das Verhältnis der hineingesteckten Energie (geleisteten Arbeit) zur Oberflächenvergrösserung nennt man Oberflächenspannung γ. γ = de da dw da = 2F dx 2Ldx = F L [ ] [ ] Energie Kraft = Fläche Länge L Lamelle F=G m F=G m dx F F F Abbildung 1.10: Messung der Oberflächenspannung. Grenzt die Flüssigkeit nicht an Vakuum, sondern an ein anderes Medium, so gelten die obigen Überlegungen wenigstens näherungsweise, wenn dieses sehr verdünnt ist, wie z. B. ein Gas. Typische Werte für γ an Flüssigkeitsoberflächen, über welchen sich Luft befindet, sind in Tabelle 1.3 aufgeführt. Die Oberfächenspannung ist temperaturabhängig. Sie kann z. B. für Wasser durch sogenannte Detergentien stark verringert werden. An ebenen Oberflächen ist die Resultierende der Oberflächenspannung gleich Null. Auf ein konvexes Flächenelement dagegen resultiert eine Kraft nach innen, auf ein konkaves eine solche nach aussen. In beiden Fällen strebt die gestörte Oberfläche zur ebenen, minimalen Form zurück. 1.24

9.Vorlesung EP WS2009/10

9.Vorlesung EP WS2009/10 9.Vorlesung EP WS2009/10 I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität 6. Hydro- und Aerodynamik

Mehr

Einführung in die Physik

Einführung in die Physik Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Übung : Vorlesung: Tutorials: Montags 13:15 bis 14 Uhr, Liebig-HS Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Montags

Mehr

Grenzflächen-Phänomene

Grenzflächen-Phänomene Grenzflächen-Phänomene Oberflächenspannung Betrachtet: Grenzfläche Flüssigkeit-Gas Kräfte Fl Fl grösser als Fl Gas im Inneren der Flüssigkeit: kräftefrei an der Oberfläche: resultierende Kraft ins Innere

Mehr

Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung. Massenerhaltung: ρ. Massenfluss. inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms : v

Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung. Massenerhaltung: ρ. Massenfluss. inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms : v Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung A2, rho2, v2 A1, rho1, v1 Stromröhre Massenerhaltung: ρ } 1 v {{ 1 A } 1 = ρ } 2 v {{ 2 A } 2 m 1 inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms

Mehr

14. Strömende Flüssigkeiten und Gase

14. Strömende Flüssigkeiten und Gase 14. Strömende Flüssigkeiten und Gase 14.1. orbemerkungen Es gibt viele Analogien zwischen Flüssigkeiten und Gasen (wegen der freien erschiebbarkeit der Teilchen); Hauptunterschied liegt in der Kompressibilität

Mehr

Münze auf Wasser: Resultierende F gegen Münze: Wegrdrängen der. der Moleküle aus Oberfl. analog zu Gummihaut.

Münze auf Wasser: Resultierende F gegen Münze: Wegrdrängen der. der Moleküle aus Oberfl. analog zu Gummihaut. 5.3 Oberflächenspannung mewae/aktscr/kap5_3_oberflsp/kap5_3_s4.tex 20031214 Anziehende Molekularkräfte (ànm) zwischen Molekülen des gleichen Stoffes: Kohäsionskräfte,...verschiedene Stoffe: Adhäsionskräfte

Mehr

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten In Anwesenheit eines äußeren magnetischen Felds B entsteht in der paramagnetischen Phase eine induzierte Magnetisierung M. In der ferromagnetischen Phase führt B zu einer Verschiebung der Magnetisierung

Mehr

9.Vorlesung EP WS2008/9

9.Vorlesung EP WS2008/9 9.Vorlesung EP WS2008/9 I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität 6. Hydro- und Aerodynamik

Mehr

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Unterrichtsmaterial - schriftliche Informationen zu Gasen für Studierende - Folien Fach Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer Thermodynamik

Mehr

Oberflächenspannung I

Oberflächenspannung I Oberflächenspannung I In einer Flüssigkeit wirkt auf ein Molekül von allen Seiten die gleiche Wechselwirkungskraft mit anderen Molekülen. Diese Symmetrie ist an der Oberfläche verletzt. Ein Molekül hat

Mehr

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden.

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden. PCG-Grundpraktikum Versuch 8- Reale Gas Multiple-Choice Test Zu jedem Versuch im PCG wird ein Vorgespräch durchgeführt. Für den Versuch Reale Gas wird dieses Vorgespräch durch einen Multiple-Choice Test

Mehr

Auf vielfachen Wunsch Ihrerseits gibt es bis auf weiteres die Vorlesungen und Übungen und Lösung der Testklausur im Internet:

Auf vielfachen Wunsch Ihrerseits gibt es bis auf weiteres die Vorlesungen und Übungen und Lösung der Testklausur im Internet: uf vielfachen Wunsch Ihrerseits gibt es bis auf weiteres die Vorlesungen und Übungen und Lösung der Testklausur im Internet: http://www.physik.uni-giessen.de/dueren/ User: duerenvorlesung Password: ******

Mehr

I. Mechanik. I.4 Fluid-Dynamik: Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen. Physik für Mediziner 1

I. Mechanik. I.4 Fluid-Dynamik: Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen. Physik für Mediziner 1 I. Mechanik I.4 Fluid-Dynamik: Strömungen in Flüssigkeiten und Gasen Physik für Mediziner Stromdichte Stromstärke = durch einen Querschnitt (senkrecht zur Flussrichtung) fließende Menge pro Zeit ( Menge

Mehr

Lernziele zu SoL: Druck, Auftrieb

Lernziele zu SoL: Druck, Auftrieb Lernziele zu SoL: Druck, Auftrieb Theoriefragen: Diese Begriffe müssen Sie auswendig in ein bis zwei Sätzen erklären können. a) Teilchenmodell b) Wie erklärt man die Aggregatzustände im Teilchenmodell?

Mehr

Der atmosphärische Luftdruck

Der atmosphärische Luftdruck Gasdruck Der Druck in einem eingeschlossenen Gas entsteht durch Stöße der Gasteilchen (Moleküle) untereinander und gegen die Gefäßwände. In einem Gefäß ist der Gasdruck an allen Stellen gleich groß und

Mehr

Physik für Oberstufenlehrpersonen Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen

Physik für Oberstufenlehrpersonen Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen Peter Robmann Physik für Oberstufenlehrpersonen Statik und Dynamik von Flüssigkeiten und Gasen Physik-Institut der Universität Zürich Die einzelnen Kapitel in dieser Vorlesung sind Auszüge aus dem Skript

Mehr

107 Oberflächenspannung (Bügel- und Steighöhenmethode)

107 Oberflächenspannung (Bügel- und Steighöhenmethode) 107 Oberflächenspannung (Bügel- und Steighöhenmethode) 1. Aufgaben 1.1 Bestimmen Sie die Oberflächenspannung von Wasser und von Spülmittellösungen unterschiedlicher Konzentrationen mit der Abreißmethode!

Mehr

3.4. Oberflächenspannung und Kapillarität

3.4. Oberflächenspannung und Kapillarität 3.4. Oberflächenspannung und Kapillarität Aus dem Experiment: Flüssigkeitsfaden, Moleküle der Flüssigkeit zeigen Zusammenhalt. Eigenschaften kondensierter Materie: Zwischen den Molekülen herrschen starke

Mehr

Formel X Leistungskurs Physik 2005/2006

Formel X Leistungskurs Physik 2005/2006 System: Wir betrachten ein Fluid (Bild, Gas oder Flüssigkeit), das sich in einem Zylinder befindet, der durch einen Kolben verschlossen ist. In der Thermodynamik bezeichnet man den Gegenstand der Betrachtung

Mehr

2.8 Grenzflächeneffekte

2.8 Grenzflächeneffekte - 86-2.8 Grenzflächeneffekte 2.8.1 Oberflächenspannung An Grenzflächen treten besondere Effekte auf, welche im Volumen nicht beobachtbar sind. Die molekulare Grundlage dafür sind Kohäsionskräfte, d.h.

Mehr

Physikalisches Grundpraktikum

Physikalisches Grundpraktikum Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald / Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Praktikum für Mediziner M1 Viskose Strömung durch Kapillaren Name: Versuchsgruppe: Datum: Mitarbeiter der Versuchsgruppe:

Mehr

3. Mechanik deformierbarer Körper Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte

3. Mechanik deformierbarer Körper Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte Gasdruck: Gesetz von Boyle-Mariotte Bei konstanter Teilchenzahl und Temperatur ist das Produkt aus Druck p und Volumen V konstant VL 13/1 30.10.2012 Brustkorb Lungenaktion 3. Mechanik deformierbarer Körper

Mehr

Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten

Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten An dieser Stelle müssen wir dringend eine neue physikalische Größe kennenlernen: den Druck. SI Einheit : Druck = Kraft Fläche p = F A 1 Pascal

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 1

Grundlagen der Elektrotechnik 1 Grundlagen der Elektrotechnik 1 Kapitel 5: Elektrisches Strömungsfeld 5 Elektrisches Strömungsfeld 5.1 Definition des Feldbegriffs 5. Das elektrische Strömungsfeld 3 5..1 Strömungsfeld in einer zylindrischen

Mehr

Vordiplomsklausur Physik

Vordiplomsklausur Physik Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU-Clausthal; Prof. Dr. W. Schade Vordiplomsklausur Physik 14.Februar 2006, 9:00-11:00 Uhr für den Studiengang: Maschinenbau intensiv (bitte deutlich

Mehr

Einführung in die Physik I. Wärme 2 Kinetische Gastheorie

Einführung in die Physik I. Wärme 2 Kinetische Gastheorie Einführung in die Physik I Wärme Kinetische Gastheorie O. von der Lühe und U. Landgraf Kinetische Gastheorie - Gasdruck Der Druck in einem mit einem Gas gefüllten Behälter entsteht durch Impulsübertragung

Mehr

Die Oberflächenspannung

Die Oberflächenspannung Die Oberflächenspannung Theoretische Grundlagen Kohäsionskraft Die Kohäsionskraft, ist diejenige Kraft, die zwischen den Molekülen der Flüssigkeit auftritt. Jedes Molekül übt auf die Umliegenden ein Kraft

Mehr

σ ½ 7 10-8 cm = 7 10-10 m σ ½ 1 nm

σ ½ 7 10-8 cm = 7 10-10 m σ ½ 1 nm Zahlenbeispiele mittlere freie Weglänge: Λ = 1 / (σ n B ) mittlere Zeit zwischen Stößen τ = Λ / < v > Gas: Stickstoff Druck: 1 bar = 10 5 Pa Dichte n = 3 10 19 cm -3 σ = 45 10-16 cm 2 σ ½ 7 10-8 cm = 7

Mehr

PHYSIK. HYDROMECHANIK Statik, Dynamik, Kinematik der Flüssigkeiten ANGEWANDTE HYDROMECHANIK. HYDRAULIK Rohrleitung, Gerinne Eindimensionale Strömung

PHYSIK. HYDROMECHANIK Statik, Dynamik, Kinematik der Flüssigkeiten ANGEWANDTE HYDROMECHANIK. HYDRAULIK Rohrleitung, Gerinne Eindimensionale Strömung PHYSIK HYDROMECHANIK Statik, Dynamik, Kinematik der Flüssigkeiten HYDROSTATIK Ruhende Flüssigkeit HYDRODYNAMIK Dreidimensionale Flüssigkeitsbewegung ANGEWANDTE HYDROMECHANIK Hydrostatische Systeme HYDRAULIK

Mehr

Probeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker

Probeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker Technische Universität Braunschweig Institut für Geophysik und extraterrestrische Physik Prof. A. Hördt Probeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker

Mehr

Kräfte zwischen Teilchen (Atomen) eines Gases und deren Idealisierung

Kräfte zwischen Teilchen (Atomen) eines Gases und deren Idealisierung kinetische Gastheorie Zurückführung der makroskopischen Zusammenhänge: p(v,t) auf mikroskopische Ursachen. Atomistische Natur der Gase lange umstritten, Akzeptanz Ende 19. Jahrh., Boltzmann. Modell des

Mehr

Physik für Pharmazeuten und Biologen FLUIDE. Ruhende Flüssigkeiten und Gase Grenzflächeneffekte Bewegte Flüssigkeiten und Gase

Physik für Pharmazeuten und Biologen FLUIDE. Ruhende Flüssigkeiten und Gase Grenzflächeneffekte Bewegte Flüssigkeiten und Gase Physik für Pharmazeuten und Biologen FLUIDE Ruhende Flüssigkeiten und Gase Grenzflächeneffekte Bewegte Flüssigkeiten und Gase Flüssigkeiten Nahordnung frei beweglich geringe thermische Bewegung kleiner

Mehr

Metallring Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit (Wasser +/-Pril)

Metallring Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit (Wasser +/-Pril) Name: PartnerIn in Crime: Datum : Versuch: Oberflächenspannung und innere Reibung 1105B Einleitung: Oberflächenspannung wird durch zwischenmolekulare Kräfte kurzer Reichweite hervorgerufen (Kohäsionskräfte).

Mehr

Aufbau der Materie: Oberflächenspannung von Flüssigkeiten EÖTVÖSsche Regel

Aufbau der Materie: Oberflächenspannung von Flüssigkeiten EÖTVÖSsche Regel Hochschule Physikalische Chemie Vers.Nr. 11 Emden / Leer Praktikum Sept. 2005 Aufbau der Materie: Oberflächenspannung von Flüssigkeiten EÖTVÖSsche Regel In diesem Versuch soll die Oberflächenspannung einer

Mehr

Tropfenkonturanalyse

Tropfenkonturanalyse Phasen und Grenzflächen Tropfenkonturanalyse Abstract Mit Hilfe der Tropfenkonturanalyse kann die Oberflächenspannung einer Flüssigkeit ermittelt werden. Wird die Oberflächenspannung von Tensidlösungen

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

1. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr

1. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr Bernoulli - Gleichung. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr Sie sagt aus, dass jedes Teilchen in einer Stromröhre denselben Wert der spezifischen

Mehr

2.6 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

2.6 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 2.6 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ist ein Satz über die Eigenschaften von Maschinen die Wärmeenergie Q in mechanische Energie E verwandeln. Diese Maschinen

Mehr

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie 24.09.2014 Brückenkurs Physik:

Mehr

Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur

Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur Experimentalphysik I: Lösung Übungsklausur 3. Januar 1 1 (5 Punkte) Eine Punktmasse, welche sich zum Zeitpunkt t = am Koordinatenursprung befindet, bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = α cos t δ βt

Mehr

Innere Reibung von Gasen

Innere Reibung von Gasen Blatt: 1 Aufgabe Bestimmen Sie die Viskosität η von Gasen aus der Messung der Strömung durch Kapillaren. Berechnen Sie aus den Messergebnissen für jedes Gas die Sutherland-Konstante C, die effektiven Moleküldurchmesser

Mehr

Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe

Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe Gase, Flüssigkeiten, Feststoffe Charakteristische Eigenschaften der Aggregatzustände Gas: Flüssigkeit: Feststoff: Nimmt das Volumen und die Form seines Behälters an. Ist komprimierbar. Fliesst leicht.

Mehr

5 Gase...2. 5.1 Das ideale Gasgesetz...2. 5.2 Kinetische Gastheorie...3. 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5. 5.2.2 Diffusion...

5 Gase...2. 5.1 Das ideale Gasgesetz...2. 5.2 Kinetische Gastheorie...3. 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5. 5.2.2 Diffusion... 5 Gase...2 5.1 Das ideale Gasgesetz...2 5.2 Kinetische Gastheorie...3 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5 5.2.2 Diffusion...5 5.2.3 Zusammenstöße...6 5.2.4 Geschwindigkeitsverteilung...6 5.2.5 Partialdruck...7

Mehr

Thermodynamik I. Sommersemester 2012 Kapitel 3, Teil 1. Prof. Dr.-Ing. Heinz Pitsch

Thermodynamik I. Sommersemester 2012 Kapitel 3, Teil 1. Prof. Dr.-Ing. Heinz Pitsch Thermodynamik I Sommersemester 2012 Kapitel 3, Teil 1 Prof. Dr.-Ing. Heinz Pitsch Kapitel 3, Teil 1: Übersicht 3 Energiebilanz 3.1 Energie 3.1.1 Formen der Energie 3.1.2 Innere Energie U 3.1.3 Energietransfer

Mehr

Ideale und Reale Gase. Was ist ein ideales Gas? einatomige Moleküle mit keinerlei gegenseitiger WW keinem Eigenvolumen (punktförmig)

Ideale und Reale Gase. Was ist ein ideales Gas? einatomige Moleküle mit keinerlei gegenseitiger WW keinem Eigenvolumen (punktförmig) Ideale und Reale Gase Was ist ein ideales Gas? einatomige Moleküle mit keinerlei gegenseitiger WW keinem Eigenvolumen (punktförmig) Wann sind reale Gase ideal? Reale Gase verhalten sich wie ideale Gase

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

- potentiell E pot. Gesamtenergie: E = U + E kin + E pot. 3 Energiebilanz. 3.1 Energie. 3.1.1 Formen der Energie

- potentiell E pot. Gesamtenergie: E = U + E kin + E pot. 3 Energiebilanz. 3.1 Energie. 3.1.1 Formen der Energie 3 Energiebilanz 3.1 Energie 3.1.1 Formen der Energie Innere Energie: U - thermisch - latent Äußere Energien: E a - kinetisch E kin - potentiell E pot Gesamtenergie: E = U + E kin + E pot 3.1-1 3.1.2 Die

Mehr

Physikalische Grundlagen der Hygrometrie

Physikalische Grundlagen der Hygrometrie Den Druck der durch die verdampfenden Teilchen entsteht, nennt man auch Dampfdru Dampfdruck einen gewissen Wert, so können keine weiteren Teilchen aus der Flüssigk Physikalische Grundlagen der Hygrometrie

Mehr

6 Mechanik deformierbarer Körper

6 Mechanik deformierbarer Körper 6-1 6 Mechanik deformierbarer Körper 6.1 Deformierbarer fester Körper Rechtsstehende Abbildung (Bild 2-85 HMS) zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines Federstahls, wobei die relative Dehnung ε l ε

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW) Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren

Mehr

Strömungen. Kapitel 10

Strömungen. Kapitel 10 Kapitel 10 Strömungen In Kapitel 9 behandelten wir die statistische Bewegung einzelner Moleküle in einem Gas, aber noch keine makroskopische Bewegung des Mediums. Der Mittelwert der Impulse aller Teilchen

Mehr

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch 1: Viskosität. Durchgeführt am 26.01.2012. Gruppe X

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch 1: Viskosität. Durchgeführt am 26.01.2012. Gruppe X Praktikum Physik Protokoll zum Versuch 1: Viskosität Durchgeführt am 26.01.2012 Gruppe X Name 1 und Name 2 (abc.xyz@uni-ulm.de) (abc.xyz@uni-ulm.de) Betreuerin: Wir bestätigen hiermit, dass wir das Protokoll

Mehr

Warum braucht ein Flugzeug eine Start- und Landebahn? Wolfgang Oehme, Jens Gabke, Axel Märcker Fakultät für Physik und Geowissenschaften

Warum braucht ein Flugzeug eine Start- und Landebahn? Wolfgang Oehme, Jens Gabke, Axel Märcker Fakultät für Physik und Geowissenschaften Warum braucht ein Flugzeug eine Start- und Landebahn? Wolfgang Oehme, Jens Gabke, Axel Märcker Fakultät für Physik und Geowissenschaften Wettstreit zwischen Gewicht und Auftrieb U-Boot Wasser in den Tanks

Mehr

Physik * Jahrgangsstufe 8 * Druck in Gasen

Physik * Jahrgangsstufe 8 * Druck in Gasen Physik * Jahrgangsstufe 8 * Druck in Gasen Ein Fahrradschlauch oder ein aufblasbares Sitzkissen können als Hebekissen dienen. Lege dazu auf den unaufgepumpten Schlauch ein Brett und stelle ein schweres

Mehr

Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum. 9.1.2013 Thermische Isolierung 1

Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum. 9.1.2013 Thermische Isolierung 1 Thermische Isolierung mit Hilfe von Vakuum 9.1.2013 Thermische Isolierung 1 Einleitung Wieso nutzt man Isolierkannen / Dewargefäße, wenn man ein Getränk über eine möglichst lange Zeit heiß (oder auch kalt)

Mehr

4 Dynamik der Rotation

4 Dynamik der Rotation 4 Dynamik der Rotation Fragen und Probleme: Was versteht man unter einem, wovon hängt es ab? Was bewirkt ein auf einen Körper einwirkendes? Welche Bedeutung hat das Massenträgheitsmoment eines Körpers?

Mehr

TUD. 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang. Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil. Wasser, Temperatur knapp über 0 C

TUD. 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang. Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil. Wasser, Temperatur knapp über 0 C 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen

Mehr

Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 9. Dezember 2009

Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 9. Dezember 2009 Physik für Studierende der Biologie und Chemie Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann Version 9. Dezember 2009 Inhaltsverzeichnis 4.2 Zustandsgleichungen von Gasen und kinetische Gastheorie........

Mehr

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit

Mehr

Grundwissen Physik (8. Klasse)

Grundwissen Physik (8. Klasse) Grundwissen Physik (8. Klasse) 1 Energie 1.1 Energieerhaltungssatz 1.2 Goldene egel der Mechanik Energieerhaltungssatz: n einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie konstant. Goldene egel der Mechanik:

Mehr

Themengebiet: Thermodynamik. mol K. mol. ] eines Stoffes bestehend aus n Mol mit der Masse m gilt. M = m n. (2)

Themengebiet: Thermodynamik. mol K. mol. ] eines Stoffes bestehend aus n Mol mit der Masse m gilt. M = m n. (2) Seite 1 Themengebiet: Thermodynamik 1 Literatur D. Meschede, Gerthsen Physik, Springer F. Kohlrausch, Praktische Physik, Band 2, Teubner R.P. Feynman, R.B. Leighton und M. Sands, Feynman-Vorlesungen über

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Grundlagen der Mechanik

Grundlagen der Mechanik Ausgabe 2007-09 Grundlagen der Mechanik (Erläuterungen) Die Mechanik ist das Teilgebiet der Physik, in welchem physikalische Eigenschaften der Körper, Bewegungszustände der Körper und Kräfte beschrieben

Mehr

9. Vorlesung Wintersemester

9. Vorlesung Wintersemester 9. Vorlesung Wintersemester 1 Die Phase der angeregten Schwingung Wertebereich: bei der oben abgeleiteten Formel tan φ = β ω ω ω0. (1) ist noch zu sehen, in welchem Bereich der Winkel liegt. Aus der ursprünglichen

Mehr

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die

Mehr

Gase. Der Druck in Gasen. Auftrieb in Gasen. inkl. Exkurs: Ideale Gase

Gase. Der Druck in Gasen. Auftrieb in Gasen. inkl. Exkurs: Ideale Gase Physik L17 (16.11.212) Der Druck in n inkl. Exkurs: Ideale uftrieb in n 1 Wiederholung: Der Druck in Flüssigkeiten Der Druck in Flüssigkeiten nit it zunehender Tiefe zu: Schweredruck Die oberen Wasserschichten

Mehr

2. Arbeit und Energie

2. Arbeit und Energie 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen. Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen

Mehr

Energieumsatz bei Phasenübergang

Energieumsatz bei Phasenübergang Energieumsatz bei Phasenübergang wenn E Vib > E Bindung schmelzen verdampfen Q Aufbrechen von Bindungen Kondensation: Bildung von Bindungen E Bindung Q E Transl. E Bindung für System A B durch Stöße auf

Mehr

11.1 Kinetische Energie

11.1 Kinetische Energie 75 Energiemethoden Energiemethoden beinhalten keine neuen Prinzipe, sondern sind ereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Durch Projektion

Mehr

1.3 Ein paar Standardaufgaben

1.3 Ein paar Standardaufgaben 1.3 Ein paar Standardaufgaben 15 1.3 Ein paar Standardaufgaben Einerseits betrachten wir eine formale und weitgehend abgeschlossene mathematische Theorie. Sie bildet einen Rahmen, in dem man angewandte

Mehr

Inertialsysteme keine keine

Inertialsysteme keine keine Inertialsysteme Physikalische Vorgänge kann man von verschiedenen Standpunkten aus beobachten. Der Beobachter wird i.d.r. mit dem Bezugssystem identifiziert, so dass das Koordinatensystem am Beobachter

Mehr

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III)

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) 07.03.2012 14.00 Uhr 17.00 Uhr Moritz / Pauer Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) Die folgende Tabelle dient Korrekturzwecken und darf vom Studenten nicht ausgefüllt werden. 1 2 3 4 5 6

Mehr

DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR.

DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR. Weitere Files findest du auf www.semestra.ch/files DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR. Messung von c und e/m Autor: Noé Lutz Assistent:

Mehr

Physik SOL-Projekt Juni 2011. Der Druck: Teil 3

Physik SOL-Projekt Juni 2011. Der Druck: Teil 3 Der Druck: Teil 3 3 Der Auftrieb Ein Stein geht unter, wenn man ihn ins Wasser wirft. Ein Eisenkugel auch. Ein Schiff ist auch aus Eisen, voll gepackt mit tonnenschweren Containern, geht aber nicht unter.

Mehr

Fluidmechanik Hydrostatik

Fluidmechanik Hydrostatik 2 Hydrostatik... 2 2.1 Grundlagen... 2 2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase... 2 2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten... 6 2.1.3 Druckeinheiten... 8 2.1.4 Hydrostatischer

Mehr

Schulversuchspraktikum WS2000/2001 Redl Günther 9655337. Elektromagnet. 7.Klasse

Schulversuchspraktikum WS2000/2001 Redl Günther 9655337. Elektromagnet. 7.Klasse Schulversuchspraktikum WS2000/2001 Redl Günther 9655337 Elektromagnet 7.Klasse Inhaltsverzeichnis: 1) Lernziele 2) Verwendete Quellen 3) Versuch nach Oersted 4) Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiter

Mehr

Die innere Energie eines geschlossenen Systems ist konstant

Die innere Energie eines geschlossenen Systems ist konstant Rückblick auf vorherige Vorlesung Grundsätzlich sind alle möglichen Formen von Arbeit denkbar hier diskutiert: Mechanische Arbeit: Arbeit, die nötig ist um einen Massepunkt von A nach B zu bewegen Konservative

Mehr

Klausur zur Vorlesung E1 Mechanik (6 ECTS)

Klausur zur Vorlesung E1 Mechanik (6 ECTS) Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Klausur zur Vorlesung E1 Mechanik WS 2013/2014 17. Feb. 2014 für Studierende im Lehramt und Nebenfach Physik (6 ECTS) Prof. J. Rädler, Prof. H.

Mehr

6. Welche der folgenden Anordnungen von vier gleich großen ohmschen Widerständen besitzt den kleinsten Gesamtwiderstand?

6. Welche der folgenden Anordnungen von vier gleich großen ohmschen Widerständen besitzt den kleinsten Gesamtwiderstand? 1 1. Welche der folgenden Formulierungen entspricht dem ersten Newton schen Axiom (Trägheitsprinzip)? Ein Körper verharrt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter gleichförmiger Geschwindigkeit, wenn die

Mehr

von Feldausbildungen und Stromdichteverteilungen (zweidimensional)

von Feldausbildungen und Stromdichteverteilungen (zweidimensional) Katalog Katalog von Feldausbildungen und Stromdichteverteilungen (zweidimensional) Inhalt 1 Leiter bei Gleichstrom (Magnetfeld konstanter Ströme) Eisenleiter bei Gleichstrom 3 Leiter bei Stromanstieg 4

Mehr

Physik für Mediziner im 1. Fachsemester

Physik für Mediziner im 1. Fachsemester Physik für Mediziner im 1. Fachsemester #12 10/11/2010 Vladimir Dyakonov dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Konvektion Verbunden mit Materietransport Ursache: Temperaturabhängigkeit der Dichte In Festkörpern

Mehr

Physik 1 MW, WS 2014/15 Aufgaben mit Lösung 6. Übung (KW 03/04) Aufzugskabine )

Physik 1 MW, WS 2014/15 Aufgaben mit Lösung 6. Übung (KW 03/04) Aufzugskabine ) 6. Übung (KW 03/04) Aufgabe (M 9. Aufzugskabine ) In einem Aufzug hängt ein Wägestück der Masse m an einem Federkraftmesser. Dieser zeigt die Kraft F an. Auf welche Beschleunigung a z (z-koordinate nach

Mehr

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale 300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle

Mehr

Physik für Mediziner und Zahmediziner

Physik für Mediziner und Zahmediziner Physik für Mediziner und Zahmediziner Vorlesung 03 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1 Arbeit: vorläufige Definition Definition der Arbeit (vorläufig): Wird auf

Mehr

mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl

mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl mentor Abiturhilfen mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Mechanik von Erhard Weidl 1. Auflage mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE ACHBUCHHANDLUNG

Mehr

Kapillarität und Viskosität

Kapillarität und Viskosität Physikalisches Praktikum für das Hauptfach Physik Versuch 05 Kapillarität und Viskosität Sommersemester 2005 Name: Daniel Scholz Mitarbeiter: Hauke Rohmeyer EMail: physik@mehr-davon.de Gruppe: 13 Assistent:

Mehr

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation

Skizze zur Veranschaulichung der Legendretransformation 9 Die thermodynamischen Funktionen G und H Ehe das Schema des vorherigen Abschnittes zur Konstruktion weiterer thermodynamischer Potentiale zu Ende gebracht wird, kurz einige Erläuterungen zur Legendretransformation.

Mehr

Kinetische Gastheorie

Kinetische Gastheorie Kinetische Gastheorie Mikroskopischer Zugang zur Wärmelehre ausgehend on Gesetzen aus der Mechanik. Ziel: Beschreibung eines Gases mit ielen wechselwirkenden Atomen. Beschreibung mit Mitteln der Mechanik:

Mehr

2. Arbeit und Energie

2. Arbeit und Energie 2. Arbeit und Energie Zur Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung müssen mehr oder weniger komplizierte Integrale berechnet werden. Bei einer Reihe von wichtigen Anwendungen treten die

Mehr

Technische Universität München Lehrstuhl I für Technische Chemie

Technische Universität München Lehrstuhl I für Technische Chemie Technische Universität München Lehrstuhl I für Technische Chemie Klausur WS 2012/2013 zur Vorlesung Grenzflächenprozesse Prof. Dr.-Ing. K.-O. Hinrichsen, Dr. T. Michel Frage 1: Es ist stets nur eine Antwort

Mehr

Versuch M9 für Physiker Oberflächenspannung

Versuch M9 für Physiker Oberflächenspannung Versuch M9 für Physiker Oberflächenspannung I. Physikalisches Institut, Raum 103 Stand: 17. Juli 2012 generelle Bemerkungen bitte Versuchsaufbau (rechts, links) angeben bitte Versuchspartner angeben bitte

Mehr

Warum benutzt man verdrillte Leitungspaare in LANs und nicht Paare mit parallel geführten Leitungen?

Warum benutzt man verdrillte Leitungspaare in LANs und nicht Paare mit parallel geführten Leitungen? Warum benutzt man verdrillte Leitungspaare in LANs und nicht Paare mit parallel geführten Leitungen? Das kann man nur verstehen, wenn man weiß, was ein magnetisches Feld ist und was das Induktionsgesetz

Mehr

1 Allgemeine Grundlagen

1 Allgemeine Grundlagen 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Gleichstromkreis 1.1.1 Stromdichte Die Stromdichte in einem stromdurchflossenen Leiter mit der Querschnittsfläche A ist definiert als: j = di da di da Stromelement 1.1.2 Die

Mehr

Angewandte Strömungssimulation

Angewandte Strömungssimulation Angewandte Strömungssimulation 8. Vorlesung Stefan Hickel Visualisierung Prinzipien zur sinnvollen Ergebnisdarstellung! Achsen immer beschriften Einheiten angeben! Bei Höhenliniendarstellungen und Konturdarstellungen

Mehr

M4 Oberflächenspannung Protokoll

M4 Oberflächenspannung Protokoll Christian Müller Jan Philipp Dietrich M4 Oberflächenspannung Protokoll Versuch 1: Abreißmethode b) Messergebnisse Versuch 2: Steighöhenmethode b) Messergebnisse Versuch 3: Stalagmometer b) Messergebnisse

Mehr

Die Keplerschen Gesetze

Die Keplerschen Gesetze Die Keplerschen Gesetze Franz Embacher Fakultät für Physik der Universität Wien Didaktik der Astronomie, Sommersemester 009 http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/lehre/didaktikastronomie/ss009/ 1

Mehr

HYGROMETRIE. Im Folgenden werden vier unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung der relativen Luftfeuchtigkeit vorgestellt. 1.

HYGROMETRIE. Im Folgenden werden vier unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung der relativen Luftfeuchtigkeit vorgestellt. 1. Versuch 7/1 HYGROMETRIE 04.06.2012 Blatt 1 HYGROMETRIE Im Folgenden werden vier unterschiedliche Verfahren zur Bestimmung der relativen Luftfeuchtigkeit vorgestellt. 1. Grundbegriffe Die Luftfeuchtigkeit

Mehr

Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der Phasen eines Systems existiert die Gibbs sche Phasenregel: F = K P + 2

Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der Phasen eines Systems existiert die Gibbs sche Phasenregel: F = K P + 2 hasengleichgewichte Definitionen: hase: Homogener Raumbereich, innerhalb dessen sich keine physikalische Größe (z.b. Dichte, Zusammensetzung, emperatur...) sprunghaft ändert. Das Berührungsgebiet zweier

Mehr

5. Arbeit und Energie

5. Arbeit und Energie Inhalt 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie 5.1 Arbeit 5.1 Arbeit Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von

Mehr