Grundlagen der Theoretischen Informatik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundlagen der Theoretischen Informatik"

Transkript

1 Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) Viorica Sofronie-Stokkermans 1

2 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre Sprachen 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen 5. Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen 6. Berechenbarkeit, (Un-)Entscheidbarkeit 7. Komplexitätsklassen P und NP 2

3 Umformung von Grammatiken Startsymbol nur links Ist das bei einer Grammatik nicht gegeben, kann man es wie folgt erreichen: Führe ein neues Startsymbol S neu ein Füge die Regel S neu S hinzu. Keine nutzlose Symbole Theorem (cf-grammatik ohne nutzlose Symbole) Ist G = (V, T, R, S) eine cf-grammatik mit L(G), dann existiert eine cf-grammatik G = (V,T,R,S ) mit: G ist äquivalent zu G. Jedes x (V T) ist erreichbar und co-erreichbar. 3

4 Normalform für Regeln Theorem (Normalform) Zu jeder Grammatik G (beliebigen Typs) existiert eine äquivalente Grammatik G, bei der für alle Regeln P Q R gilt: Q V und P beliebig Q T und P V Für alle Typen außer den linearen hat G denselben Typ wie G. Beweis: Für jedes t T erzeuge man eine neue Variable V t. V = V {V t t T} R entsteht aus R, indem für jede Regel P Q R in Q alle Vorkommen eines Terminals t durch die zugehörige Variable V t ersetzt werden. Außerdem enthält R für jedes t T eine neue Regel V t t. 4

5 Elimination von ε-regeln Idee: Variablen, aus denen ε ableitbar ist, sollten eliminiert werden 5

6 Elimination von ε-regeln Idee: Variablen, aus denen ε ableitbar ist, sollten eliminiert werden Definition (ε-regel, nullbare Variablen) Eine Regel der Form P ε (P eine Variable) heißt ε-regel. Eine Variable A heißt nullbar, falls A = ε Theorem (ε-regeln sind eliminierbar) Zu jeder cf-grammatik G existiert eine äquivalente cf-grammatik G ohne ε-regeln und nullbare Variablen, falls ε L(G), mit der einzigen ε-regel S ε und der einzigen nullbaren Variablen S, falls ε L(G) und S das Startsymbol ist. 6

7 Elimination von ε-regeln Algorithmus zur Berechnung der nullbaren Variablen Input: Grammatik G = (V,T,R,S) Output: nullbare Variablen S o.b.d.a. in keiner Regel rechts Alt := Neu := {A V A ε R} while Alt Neu { Alt := Neu für alle (P Q) R do { if Q = A 1...A n and A i Neu für 1 i n and P Neu, then Neu := Neu {P} } } output Neu 7

8 Elimination von ε-regeln Beweis (Forts.) Ausgangsgrammatik G habe die Normalform, bei der für jede Regel P Q: Q V oder Q T. Für jede Regel P A 1...A n generiere alle möglichen Kombinationen mit α i {ε,a i } falls A i nullbar P α 1...α n α i = A i falls A i nicht nullbar Dann Füge alle diese neuen Regeln zur Grammatik hinzu Entferne alle Regeln der Form A ε mit A S 8

9 Elimination von ε-regeln Beweis ((Forts.) Zu zeigen: Für die neue Grammatik G gilt: L(G ) = L(G) Vorgehen: G hat die Normalform: Für jede Regel P Q gilt Q V oder Q T. Wir beweisen die etwas stärkere Behauptung für alle A V für alle w (V T) {ε} ( (A = G w) gdw (A = G w)), Daraus folgt sofort L(G ) = L(G). 9

10 Elimination von ε-regeln Beweis (Forts.) letzte Vorlesung. Wir zeigen: Aus A = w folgt A G = G einer Ableitung von A nach w in G ): w (Induktion über Länge Induktionsanfang: Länge = 0. Dann ist w = A, und A = G A gilt immer. Induktionsschritt: Es gelte für alle Ableitungen A = G w einer Länge von höchstens n, dass A = G w. Ist A = w eine Ableitung der Länge n + 1, so gibt es ein l, G Wörter w 1,...,w l und Variablen A 1,...,A l mit A = G A 1...A l = w = w 1...w G l. Es gilt jeweils A i = w G i in höchstens n Schritten, und w i ε. 10

11 Elimination von ε-regeln Beweis (Forts.) Nach der Induktionsvoraussetzung folgt daraus: für die Originalgrammatik G gibt es Ableitungen A i = G w i damit gibt es auch eine Ableitung A 1...A l = G w. Da es in G eine Ableitung A = G A 1...A l gibt, gibt es in R eine Regel A A 1...A l. Wie ist diese Regel aus R entstanden? 11

12 Elimination von ε-regeln Beweis (Forts.) Nach der Induktionsvoraussetzung folgt daraus: für die Originalgrammatik G gibt es Ableitungen A i = G w i damit gibt es auch eine Ableitung A 1...A l = G w. Da es in G eine Ableitung A = G A 1...A l gibt, gibt es in R eine Regel A A 1...A l. Wie ist diese Regel aus R entstanden? Eine Regel in R entsteht aus einer Regel in R, indem einige nullbare Variablen gestrichen werden. Es gab also in G nullbare Variablen B 1 bis B m, so dass R die Regel A A 1...A l1 B 1 A l A l2 B 2...A m B m A m+1...a l enthält. (m kann auch 0 sein, dann war die Regel selbst schon in R.) 12

13 Elimination von ε-regeln Beweis (Forts.) Also gilt in G: A = G A 1...A l1 B 1 A l A l2 B 2...A m B m A m+1...a l = A G 1...A l1 A l A l2...a m A m+1...a l = w G da ja B i = G ε möglich ist. 13

14 Elimination von ε-regeln Korollar. L 2 L 1 Das heißt, jede kontextfreie Sprache ist auch kontextsensitiv 14

15 Elimination von ε-regeln Korollar. L 2 L 1 Das heißt, jede kontextfreie Sprache ist auch kontextsensitiv Beweis. Regeln einer kontextsensitiven Grammatik müssen folgende Form haben: entweder uav uαv mit u,v,α (V T), α 1,A V oder S ε und S kommt in keiner Regelconclusio vor. Diesen Bedingungen genügt die kontextfreie Grammatik nach Elimination der ε-regeln. 15

16 Elimination von Kettenproduktionen 16

17 Elimination von Kettenproduktionen Definition. Eine Regel der Form A B mit A, B V heißt Kettenproduktion. Theorem. (Kettenproduktionen sind eliminierbar) Zu jeder cf-grammatik existiert eine äquivalente cf-grammatik ohne Kettenproduktionen. 17

18 Elimination von Kettenproduktionen Beweis. Sei G = (V,T,R,S) eine kontextfreie Grammatik ohne ε-regeln, außer ggf. S ε. Konstruiere neue Grammatik wie folgt: 1. Für alle Variablenpaare A,B V, A B mit A = B Regeln B α R, α V füge zu R hinzu: A α 2. Lösche alle Kettenproduktionen 18

19 Normalform für cf-grammatiken Theorem. Zu jeder cf-grammatik existiert eine äquivalente cf-grammatik ohne ε-regeln (bis auf S ε, falls ε zur Sprache gehört; in diesem Fall darf S in keiner Regelconclusio vorkommen), ohne nutzlose Symbole, ohne Kettenproduktionen, so dass für jede Regel P Q gilt: entweder Q V oder Q T. 19

20 Normalform für cf-grammatiken Beweis. 1. Man teste zunächst, ob S nullbar ist. Falls ja, dann verwende man S neu als neues Startsymbol und füge die Regeln S neu S ε zum Regelsatz hinzu. 2. Man eliminiere nutzlose Symbole. 3. Man eliminiere alle ε-regeln außer S neu ε. 4. Man bringe die Grammatik in die Normalform, bei der für jede Regel P Q gilt: entweder Q V oder Q T. 5. Man eliminiere Kettenproduktionen. 6. Zum Schluss eliminiere man noch einmal alle nutzlosen Symbole (wg. Schritt 3) 20

21 Normalformen Unterschied: Grammatiktypen und Normalformen Gemeinsamkeit: Sowohl Grammatiktypen als auch Normalformen schränken die Form von Grammatikregeln ein. Unterschied: Grammatiktypen (rechtslinear, kontextfrei usw.) führen zu unterschiedlichen Sprachklassen Normalformen führen zu den selben Sprachklassen 21

22 Normalformen Wozu dann Normalformen? Weniger Fallunterscheidungen bei Algorithmen, die mit Grammatiken arbeiten. Struktur von Grammatiken einfacher zu durchschauen 22

23 Normalformen Wozu dann Normalformen? Weniger Fallunterscheidungen bei Algorithmen, die mit Grammatiken arbeiten. Struktur von Grammatiken einfacher zu durchschauen Zwei Normalformen Chomsky-Normalform: Baut auf den Umformungen des vorigen Teils auf. Greibach-Normalform: Ähnlich den rechtslinearen Grammatiken. 23

24 Chomsky-Normalform Definition. Eine cf-grammatik G = (V, T, R, S) ist in Chomsky- Normalform (CNF), wenn gilt: G hat nur Regeln der Form A BC mit A,B,C V und A a mit A V, a T (nicht ε!) Ist ε L(G), so darf G zusätzlich die Regel S ε enthalten. In diesem Fall darf S in keiner Regelconclusio vorkommen. G enthält keine nutzlosen Symbole. 24

25 Chomsky-Normalform Theorem. Zu jeder cf-grammatik existiert eine äquivalente cf-grammatik in Chomsky-Normalform. 25

26 Chomsky-Normalform Theorem. Zu jeder cf-grammatik existiert eine äquivalente cf-grammatik in Chomsky-Normalform. Beweis. Schritt 1: Wende auf G die Umformungen des letzten Abschnitts an. Ergebnis: G hat keine nutzlosen Symbole Alle Regeln haben die Form 1. A α mit A V und α V, α 2, und 2. A a mit A V, a T 26

27 Chomsky-Normalform Beweis (Forts.) Schritt 2: Regeln so umformen, dass keine Conclusio eine Länge größer 2 hat. Ersetze jede Regel durch: A A 1...A n mit A,A i V,n 3 A A 1 C 1 C 1 A 2 C 2. C n 2 A n 1 A n Dabei sind die C i neue Variablen in V. 27

28 Greibach-Normalform Definition. Eine cf-grammatik G = (V, T, R, S) ist in Greibach-Normalform (GNF), wenn gilt: G hat nur Regeln der Form A aα mit A V und a T und α V Ist ε L(G), so darf G zusätzlich die Regel S ε enthalten. In diesem Fall darf S in keiner Regelconclusio vorkommen. G enthält keine nutzlosen Symbole. 28

29 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen 29

30 Wiederholung Theorem (Pumping-Lemma für L 3 -Sprachen) Sei L RAT. Dann existiert ein n N, so dass: Für alle x L mit x n existiert eine Zerlegung x = uvw u,v,w Σ mit v 1 v < n uv m w L für alle m N 30

31 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Theorem (Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen) Sei L kontextfrei. Dann existiert ein n N, so dass: Für alle z L mit z n existiert eine Zerlegung z = uvwxy u,v,w,x,y Σ mit vx 1 vwx < n uv m wx m y L für alle m N 31

32 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Beweisidee: Bei der Ableitung eines hinreichend langen Wortes muss es eine Variable geben, die mehr als einmal auftaucht. Dies führt zu einer Schleife in der Ableitung, die aufgepumpt werden kann. 32

33 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Beweisidee: 33

34 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Anwendung des Pumping-Lemmas für cf-sprachen Wenn das cf-pumping-lemma für eine Sprache nicht gilt, dann kann sie nicht kontextfrei sein. 34

35 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Anwendung des Pumping-Lemmas für cf-sprachen Wenn das cf-pumping-lemma für eine Sprache nicht gilt, dann kann sie nicht kontextfrei sein. Beispiel (Sprachen, die nicht kontextfrei sind) Für folgende Sprachen kann man mit Hilfe des cf-pumping-lemmas zeigen, dass sie nicht kontextfrei sind: {a p p prim} {a n b n c n n N} {zzz z {a,b} }. 35

36 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen L 1 = {a p p prim} ist nicht kontextfrei. Beweis: Wir nehmen an, L 1 sei kontextfrei. Sei dann n die zugehörige Konstante aus dem Pumping-Lemma. Wir betrachten das Wort z = a p, wobei p prim und p n + 2. Es muss dann eine Zerlegung z = uvwxy geben, so dass: vx 1, vwx < n, uv i wx i y L 1 für alle i 0. Dann u = a i 1,v = a i 2,w = a i 3,x = a i 4,y = a i 5 mit i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 = p i 2 + i 4 1, i 2 + i 3 + i 4 < n i 1 + mi 2 + i 3 + mi 4 + i 5 prim für alle m 0. Sei m = i 1 + i 3 + i 5. Dann kann i 1 + mi 2 + i 3 + mi 4 + i 5 = (i 1 + i 3 + i 5 )(1 + i 2 + i 4 ) nicht prim sein, da i 1 + i 3 + i 5 = p (i 2 + i 4 ) p n 2 und 1 + i 2 + i 4 2. Also uv m wx m y L 1. Widerspruch. Also kann L 1 nicht kontextfrei sein. 36

37 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen L 2 = {a m b m c m m N} ist nicht kontextfrei Beweis: Wir nehmen an, L 2 sei kontextfrei. Sei dann n die zugehörige Konstante aus dem Pumping-Lemma. Wir betrachten das Wort z = a n b n c n. Es muss dann eine Zerlegung z = uvwxy geben, so dass: vx 1, vwx < n, uv i wx i y L 2 für alle i 0. Da vwx < n, enthält das Wort vwx höchstens zwei verschiedene Buchstaben. Da vx 1, kann uv 2 wx 2 y nicht von allen drei Buchstaben gleich viele enthalten. Also kann L 2 nicht kontextfrei sein. 37

38 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen L 3 = {zzz z {a,b} } ist nicht kontextfrei. Beweis: Wir nehmen an, L 3 sei kontextfrei. Sei dann n die zugehörige Konstante aus dem Pumping-Lemma. Wir betrachten das Wort z = a n ba n ba n b. Es muss dann eine Zerlegung z = uvwxy geben, so dass: vx 1, vwx < n, uv i wx i y L 3 für alle i 0. Da vwx < n, enthält das Wort vwx höchstens ein b. Fall 1: vwx = a k. Dann wird durch aufpumpen von v,x eine a Sequenz länger als die anderen, so uv 2 wx 2 y L 3. Fall 2: vwx = a k ba m. Fall 2.1: b kommt nicht in v oder x vor. Dann sind in uv 2 wx 2 y zwei a Sequenzen länger als die dritte, so uv 2 wx 2 y L 3. Fall 2.2: b kommt in v oder x vor. Dann enthält uv 0 wx 0 y nur zwei b s, d.h. uv 0 wx 0 y L 3. Also kann L 3 nicht kontextfrei sein. 38

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (II) 11.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (I) 3.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches 1. Teilklausur: Mittwoch,

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (IV) 31.05.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 23.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Dank. 1 Ableitungsbäume. 2 Umformung von Grammatiken. 3 Normalformen. 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. 5 Pushdown-Automaten (PDAs)

Dank. 1 Ableitungsbäume. 2 Umformung von Grammatiken. 3 Normalformen. 4 Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen. 5 Pushdown-Automaten (PDAs) ank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert iese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 17. Januar 2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 18.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der

Mehr

Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik. Aufgabenblatt 7 Lösungen. Wiederholung: Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen

Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik. Aufgabenblatt 7 Lösungen. Wiederholung: Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik Dennis Peuter 01. Juni 2017 Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik Aufgabenblatt 7 Lösungen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Ausgabe 10. Januar 2018 Abgabe 23. Januar 2018, 11:00 Uhr (im

Mehr

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 18. Januar 2018 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 18.01.2018 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen

Mehr

Informales Beispiel. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 6 Eigenschaften kontextfreier Sprachen. Grammatiken. Anmerkungen

Informales Beispiel. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 6 Eigenschaften kontextfreier Sprachen. Grammatiken. Anmerkungen Informales Beispiel Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 6 Eigenschaften kontextfreier Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 22. April 2014 I L IL ID L a b c D 0 1 2 3 4 Eine

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.11.2005 5. Vorlesung 1 Überblick: Kontextfreie Sprachen Formale Grammatik Einführung, Beispiele Formale

Mehr

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 7

Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt Lösungsskizze 7 Prof. J. Esparza Technische Universität München S. Sickert, J. Krämer KEINE ABGABE Einführung in die theoretische Informatik Sommersemester 2017 Übungsblatt 7 Übungsblatt Wir unterscheiden zwischen Übungs-

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 16.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Organizatorisches Literatur Motivation und Inhalt Kurzer

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 20.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches 1. Teilklausur: Mittwoch, 10.06.2015, D028,

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004. Mit Lösung!

1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004. Mit Lösung! Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 23/4 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 2. Februar 24. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 23/24 Mit Lösung! Beachten Sie:

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 16.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik

Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Reguläre Ausdrücke Kommen in der Praxis immer dann vor, wenn standardisierte Eingaben erforderlich sind: Telefonnummern: +Land (0) Ort Anschluß Dateinamen: (A-Z,

Mehr

Tutoraufgabe 1 (ɛ-produktionen):

Tutoraufgabe 1 (ɛ-produktionen): Prof aa Dr J Giesl Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Hausaufgaben sollen in Gruppen von je 2 Studierenden aus dem gleichen Tutorium

Mehr

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Für eine Grammatik G = (N, T, P, S) führen wir die folgenden drei Komplexitätsmaße ein: Var(G) = #(N), Prod(G) = #(P ), Symb(G) = ( α + β + 1). α β

Mehr

Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik. Aufgabenblatt 2 Lösungen. Wiederholung: von einer Grammatik erzeugte Sprache

Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik. Aufgabenblatt 2 Lösungen. Wiederholung: von einer Grammatik erzeugte Sprache Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik Dennis Peuter 27. April 2017 Übung zur Vorlesung Grundlagen der theoretischen Informatik Aufgabenblatt 2 Lösungen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Chomsky-Grammatiken 16. Chomsky-Grammatiken

Chomsky-Grammatiken 16. Chomsky-Grammatiken Chomsky-Grammatiken 16 Chomsky-Grammatiken Ursprünglich von Chomsky in den 1950er Jahren eingeführt zur Beschreibung natürlicher Sprachen. Enge Verwandschaft zu Automaten Grundlage wichtiger Softwarekomponenten

Mehr

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik, Blatt 12 LÖSUNGEN

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik, Blatt 12 LÖSUNGEN Universität Heidelberg / Institut für Informatik 7. Juli 24 Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Nadine Losert Übungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik, Blatt 2 LÖSUNGEN Aufgabe Verwenden

Mehr

Definition 4 (Operationen auf Sprachen) Beispiel 5. Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A + = n 1 An

Definition 4 (Operationen auf Sprachen) Beispiel 5. Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A + = n 1 An Definition 4 (Operationen auf Sprachen) Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A 0 = {ɛ}, A n+1 = AA n A = n 0 An A + = n 1 An Beispiel 5 {ab, b}{a, bb} = {aba, abbb,

Mehr

Informatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 6. Vorlesung

Informatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 6. Vorlesung Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 6. Vorlesung 10.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Kapitel IV Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Grammatik Informatik III 6. Vorlesung

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 15.01.2015 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 15.01.2015 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Musterlösung Informatik-III-Klausur

Musterlösung Informatik-III-Klausur Musterlösung Informatik-III-Klausur Aufgabe 1 (1+4+3+4 Punkte) (a) 01010 wird nicht akzeptiert: s q 0 q 1 q 2 f q 2 10101 wird akzeptiert: s q 2 q 2 f q 2 f (b) ε: {s, q 0, q 1, q 2 }, {f} 0: {s, q 0,

Mehr

Kontextfreie Sprachen

Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Sprachen Bedeutung: Programmiersprachen (Compilerbau) Syntaxbäume Chomsky-Normalform effiziente Lösung des Wortproblems (CYK-Algorithmus) Grenzen kontextfreier Sprachen (Pumping Lemma) Charakterisierung

Mehr

2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik

2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik 2. Teilklausur zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik Ulrich Furbach Claudia Schon Christian Schwarz Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau

Mehr

Motivation natürliche Sprachen

Motivation natürliche Sprachen Motivation natürliche Sprachen (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase) (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase)(Objektphrase) (Substantivphrase) (Artikel)(Substantiv) (Verbphrase) (Verb)(Adverb) (Substantiv)

Mehr

Reguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer,

Reguläre Sprachen. R. Stiebe: Theoretische Informatik für ING-IF und Lehrer, Reguläre Sprachen Reguläre Sprachen (Typ-3-Sprachen) haben große Bedeutung in Textverarbeitung und Programmierung (z.b. lexikalische Analyse) besitzen für viele Entscheidungsprobleme effiziente Algorithmen

Mehr

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen (EI)

Algorithmen und Datenstrukturen (EI) Algorithmen und Datenstrukturen (EI) ADS Zentralübung Stefan Schmid 4. Februar 2009 Einturnen... Ein heutiger Computer aus dem Saturn ist im Prinzip eine Turing Maschine? Nein. Zum Beispiel Sprache L =

Mehr

Theoretische Informatik Mitschrift

Theoretische Informatik Mitschrift Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Theoretische Informatik

Zentralübung zur Vorlesung Theoretische Informatik SS 2015 Zentralübung zur Vorlesung Theoretische Informatik Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2015ss/theo/uebung/ 7. Mai 2015 ZÜ THEO ZÜ IV Übersicht: 1.

Mehr

Umformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.

Umformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Informatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung

Informatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung 09.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Äquivalenzklassen Definition und Beispiel Definition Für eine Sprache L Σ* bezeichnen

Mehr

q 0 q gdw. nicht (q A) (q A) q i+1 q gdw. q i q oder ( a Σ) δ(q, a) i δ(q, a) L = {a n b n : n N} für a, b Σ, a b

q 0 q gdw. nicht (q A) (q A) q i+1 q gdw. q i q oder ( a Σ) δ(q, a) i δ(q, a) L = {a n b n : n N} für a, b Σ, a b Kap. 2: Endliche Automaten Myhill Nerode 2.4 Minimalautomat für reguläre Sprache Abschnitt 2.4.3 L Σ regulär der Äuivalenzklassen-Automat zu L ist ein DFA mit minimaler Zustandszahl (= index( L )) unter

Mehr

Grammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht

Grammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht Zusammenhang: Formale Sprache Grammatik Formale Sprache kann durch Grammatik beschrieben werden. Zur Sprache L = L(G) gehören nur diejenigen Kombinationen der Zeichen des Eingabealphabets, die durch die

Mehr

Kontextfreie Sprachen

Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Sprachen besitzen große Bedeutung im Compilerbau Chomsky-Normalform effiziente Lösung des Wortproblems (CYK-Algorithmus) Grenzen kontextfreier Sprachen (Pumping Lemma) Charakterisierung durch

Mehr

2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik

2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 2013 Aufgabe 1 Geben Sie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden Sprachen erzeugt, sowie einen Ableitungsbaum

Mehr

Rekursiv aufzählbare Sprachen

Rekursiv aufzählbare Sprachen Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben

Mehr

Klammersprache Definiere

Klammersprache Definiere Klammersprache w=w 1...w n {(,)}* heißt korrekt geklammert, falls die Anzahl ( ist gleich der Anzahl ). in jedem Anfangsstück w 1,...,w i (i n) ist die Anzahl ( nicht kleiner als die Anzahl ). Definiere

Mehr

Automaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier

Automaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier Automaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 2. Juni 2013 1 Automaten und Formale Sprachen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Endliche

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte

Mehr

kontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung

kontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung Theoretische Informatik Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. Juli 2009 1 / 40 2 / 40 Beispiele: Aus den bisher gemachten Überlegungen ergibt sich: aus der Chomsky-Hierarchie bleiben

Mehr

Was bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen

Was bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen Was bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen (Kontextsensitive) Sprachen L 2 Menge aller kontextfreien

Mehr

4.2 Die Chomsky Normalform

4.2 Die Chomsky Normalform 4.2 Die Chomsky Normalform Für algorithmische Problemstellungen (z.b. das Wortproblem) aber auch für den Nachweis von Eigenschaften kontextfreier Sprachen ist es angenehm, von CFG in Normalformen auszugehen.

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Teil II. Terminologie. Vorlesung

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Teil II. Terminologie. Vorlesung Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.02.2006 28. und letzte Vorlesung 1 Die Chomsky-Klassifizierung Chomsky-Hierachien 3: Reguläre Grammatiken

Mehr

A : z z A : z z : ( z, x, z ) δ

A : z z A : z z : ( z, x, z ) δ Informatik IV, SoS2003 1 Definition 1.1 Ein Quintupel A =(X,Z,z 0,δ,Z f )heißt nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA): 1. X, Z sind endliche nichtleere Mengen. 2. z 0 Z 4. δ Z X Z Informatik IV,

Mehr

Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive

Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G

Mehr

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004

Lösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004 Lösung zur Klausur Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004 1. Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten an, der die Sprache aller Wörter über dem Alphabet {0, 1} akzeptiert,

Mehr

PROBEKLAUSUR SoSe 2016

PROBEKLAUSUR SoSe 2016 Die Anzahl der Aufgaben, das Punkteschema, die Themenschwerpunkte, etc. können sich in der echten Klausur unterscheiden! Universität Osnabrück/ FB6 / Theoretische Informatik Prof. Chimani, Beyer Informatik

Mehr

Aufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!"# v 1

Aufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!# v 1 Info4 Stoff Aufgabentypen: Grammatik CH einordnen NFA DFA Grammatik Chomsky-NF CYK-Algorithmus: Tabelle / Ableitungsbäume Grammatik streng kf. Grammatik Grammatik Pumping Lemma Beweis, dass Gr. nicht reg,

Mehr

Formale Sprachen. Grammatiken. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Grammatiken: Ableitung

Formale Sprachen. Grammatiken. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Grammatiken: Ableitung Formale Sprachen rammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marion OSWALD rammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind rammatiken.

Mehr

Übungsblatt Nr. 3. Lösungsvorschlag

Übungsblatt Nr. 3. Lösungsvorschlag Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 3 Aufgabe 1: Karlsruhe ist nicht genug

Mehr

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18 Ausgabe 24. Januar 2018 Abgabe 6. Februar 2018, 11:00 Uhr (im

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 5: Reguläre Ausdrücke und Grammatiken schulz@eprover.org Software Systems Engineering Reguläre Sprachen Bisher: Charakterisierung von Sprachen über Automaten

Mehr

Grundlagen der Informatik II

Grundlagen der Informatik II Grundlagen der Informatik II Tutorium 3 Professor Dr. Hartmut Schmeck Miniaufgabe * bevor es losgeht * Wie stellt man in einem regulären Ausdruck die Sprache dar, die das leere Wort enthält? a) Als λ b)

Mehr

1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14

1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welche der folgenden Aussagen zu Normalformen einer aussagenlogischen Formel A ist falsch? A. Für Formel A existiert eine KNF K, sodass

Mehr

Aufgabe Mögliche Punkte Erreichte Punkte a b c d Σ a b c d Σ x1 13

Aufgabe Mögliche Punkte Erreichte Punkte a b c d Σ a b c d Σ x1 13 Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 2003/04 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 14. April 2004 2. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2003/2004 Hier Aufkleber

Mehr

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2014/2015

2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2014/2015 2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2014/2015 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnummer anbringen Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Beachten Sie: Bringen Sie

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Übung am 02.02.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 06.02.2012 Universität des Andrea Landes Schumm Baden-Württemberg - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Nachklausur zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik

Nachklausur zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik Universität Heidelberg 11. Oktober 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling Nachklausur zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik Musterlösungen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten

Mehr

3 kontextfreie Sprachen

3 kontextfreie Sprachen Hans U. Simon Bochum, den 7.10.2008 Annette Ilgen Beispiele zur Vorlesung Theoretische Informatik WS 08/09 Vorbemerkung: Hier findet sich eine Sammlung von Beispielen und Motivationen zur Vorlesung Theoretische

Mehr

Grundlagen der Informatik II

Grundlagen der Informatik II Grundlagen der Informatik II Dr.-Ing. Sven Hellbach S. Hellbach Grundlagen der Informatik II Abbildungen entnommen aus: Dirk W. Hoffmann: Theoretische Informatik; Hanser Verlag 2011, ISBN: 978-3-446-42854-6

Mehr

Kapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung

Kapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung Gliederung 1. Berechenbarkeitstheorie 2. Grundlagen 3. Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie 4. Die Komplexitätsklassen P und NP 5. Die Komplexitätsklassen RP und BPP 3.1. Ressourcenkompression

Mehr

Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung

Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger 2006 8 1 1 Definitionen

Mehr

Pumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc.

Pumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Pumping-Lemma Beispiel Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Sie erzeugt z.b. das Wort aabbcc: S asbc aabcbc aabhbc aabhcc

Mehr

Andererseits ist L kontextfrei, wie die einfache kontextfreie Grammatik G = ({a, b},{s}, S, P) mit den Regeln

Andererseits ist L kontextfrei, wie die einfache kontextfreie Grammatik G = ({a, b},{s}, S, P) mit den Regeln REG versus CF Theorem REG ist echt in CF enthalten. Beweis: Wir wissen: L = {a m b m m 1} ist nicht regulär. Andererseits ist L kontextfrei, wie die einfache kontextfreie Grammatik G = ({a, b},{s}, S,

Mehr

16. Die Chomsky-Hierarchie

16. Die Chomsky-Hierarchie 16. Die Chomsky-Hierarchie Die Chomsky-Sprachen sind gerade die rekursiv aufzählbaren Sprachen: CH = RA Da es nicht rekursive (d.h. unentscheidbare) r.a. Sprachen gibt, ist das Wortproblem für Chomsky-Grammatiken,

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (V) 15.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Einführung in die Computerlinguistik

Einführung in die Computerlinguistik Einführung in die Computerlinguistik Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen, Abschlußeigenschaften kontextfreier Sprachen und die Komplexität natürlicher Sprachen Dozentin: Wiebke Petersen WS 2004/2005

Mehr

2. Gegeben sei folgender nichtdeterministischer endlicher Automat mit ɛ-übergängen:

2. Gegeben sei folgender nichtdeterministischer endlicher Automat mit ɛ-übergängen: Probeklausur Automatentheorie & Formale Sprachen WiSe 2012/13, Wiebke Petersen Name: Matrikelnummer: Aufgabe A: Typ3-Sprachen 1. Konstruieren Sie einen endlichen Automaten, der die Sprache aller Wörter

Mehr

Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG

Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Algorithmen mit konstantem Platzbedarf: Die Klasse REG Sommerakademie Rot an der Rot AG 1 Wieviel Platz brauchen Algorithmen wirklich? Daniel Alm Institut für Numerische Simulation Universität Bonn August

Mehr

Zusammenfassung. Endliche Sprachen. Fazit zu endlichen Automaten. Teil 4: Grammatiken und Syntaxanalyse

Zusammenfassung. Endliche Sprachen. Fazit zu endlichen Automaten. Teil 4: Grammatiken und Syntaxanalyse Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für L. Zusammenfassung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen:

Mehr

Maike Buchin 18. Februar 2016 Stef Sijben. Probeklausur. Theoretische Informatik. Bearbeitungszeit: 3 Stunden

Maike Buchin 18. Februar 2016 Stef Sijben. Probeklausur. Theoretische Informatik. Bearbeitungszeit: 3 Stunden Maike Buchin 8. Februar 26 Stef Sijben Probeklausur Theoretische Informatik Bearbeitungszeit: 3 Stunden Name: Matrikelnummer: Studiengang: Geburtsdatum: Hinweise: Schreibe die Lösung jeder Aufgabe direkt

Mehr

Abschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution

Abschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen

Mehr

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit. Zugangsnummer: 9201

Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit.  Zugangsnummer: 9201 Informatik IV Theoretische Informatik: Formale Sprachen und Automaten, Berechenbarkeit und NP-Vollständigkeit Wiederholung Kapitel 3 und 4 http://pingo.upb.de Zugangsnummer: 9201 Dozent: Jun.-Prof. Dr.

Mehr

Klausur SoSe Juli 2013

Klausur SoSe Juli 2013 Universität Osnabrück / FB6 / Theoretische Informatik Prof. Dr. M. Chimani Informatik D: Einführung in die Theoretische Informatik Klausur SoSe 2013 11. Juli 2013 (Prüfungsnr. 1007049) Gruppe: Batman,

Mehr

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie 1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 139 Unentscheidbarkeit Überblick Zunächst einmal definieren wir formal

Mehr

Automatentheorie und formale Sprachen

Automatentheorie und formale Sprachen Automatentheorie und formale Sprachen VL 8 Chomsky-Grammatiken Kathrin Hoffmann 23. Mai 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 23.5. 2012 250 Wortproblem Wortproblem ist das

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen II Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 24. März 24 Pumping Lemma Pumping Lemma: Motivation Man kann zeigen, dass eine Sprache regulär ist, indem man

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Kapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken

Kapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken Kapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken 1. Begriffe und Notationen Sei Σ ein (endliches) Alphabet. Dann Definition 42 1 ist Σ das Monoid über Σ, d.h. die Menge aller endlichen Wörter über Σ; 2 ist

Mehr

Kontextfreie Grammatiken

Kontextfreie Grammatiken Kontextfreie Grammatiken Bisher haben wir verschiedene Automatenmodelle kennengelernt. Diesen Automaten können Wörter vorgelegt werden, die von den Automaten gelesen und dann akzeptiert oder abgelehnt

Mehr

Endliche Automaten. δ : Z Σ Z die Überführungsfunktion, z 0 Z der Startzustand und F Z die Menge der Endzustände (Finalzustände).

Endliche Automaten. δ : Z Σ Z die Überführungsfunktion, z 0 Z der Startzustand und F Z die Menge der Endzustände (Finalzustände). Endliche Automaten Endliche Automaten Definition Ein deterministischer endlicher Automat (kurz DFA für deterministic finite automaton ) ist ein Quintupel M = (Σ, Z, δ, z 0, F), wobei Σ ein Alphabet ist,

Mehr