Kapitel 3: Das Gleichgewichtskonzept von Nash. Literatur: Tadelis Chapter 5

Transkript

1 Kapitel 3: Das Gleichgewichtskonzept von Nash Literatur: Tadelis Chapter 5

2 Kapitel 3.1: Nash Gleichgewichte in Reinen Strategien

3 Idee Ein Nash Gleichgewicht ist ein System, welches aus beliefs und Strategieprofilen besteht, wobei die Strategieprofile beste Antworten auf die beliefs sind die beliefs korrekt sind Anders ausgedrückt, wird verlangt, dass Spieler das Verhalten anderer Spieler korrekt vorhersagen können Dies ist eine starke Annahme Alternative Interpretation (ohne beliefs): Ein Nash Gleichgewicht besteht aus einem Strategieprofil, wobei die Strategie jedes Spielers eine beste Antwort auf die Strategien der anderen Spieler ist 3/1

4 Definition Nash Gleichgewicht Definition 1 Ein Strategieprofil aus reinen Strategien s = (s 1,s 2,...,s n) ist ein Nash Gleichgewicht, falls für jeden Spieler i N die Strategie s i eine beste Antwort auf s i ist: v i (s i,s i) v i (s i,s i) für alle s i S i. In einem Nash Gleichgewicht sind die Strategien der Spieler also gegenseitig beste Antworten Dieses Lösungskonzept wurde von John Nash ( ) entwickelt Das Lösungskonzept wird sehr häufig angewendet 4/1

5 Wie findet man Nash Gleichgewichte? Bei Spielen in Matrixform für zwei Spieler ist dies sehr einfach Schritt 1: Für jede Strategie von Spieler 2 bestimmen wir die beste Antwort/besten Antworten von Spieler 1 und markieren diese Schritt 2: Für jede Strategie von Spieler 1 bestimmen wir die beste Antwort/besten Antworten von Spieler 2 und markieren diese Schritt 3: Zellen mit zwei Markierungen sind Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien) 5/1

6 Frage 3.1 Bestimmen Sie für folgendes Spiel das Nash Gleichgewicht Spieler 1 Spieler 2 W X Y Z A 1,2 2,5 2,6 1,4 B 9,5 2,8 2,5 0,6 C 7,2 4,1 2,2 2,0 6/1

7 Frage 3.2 Bestimmen Sie für folgendes Spiel das Nash Gleichgewicht Spieler 1 Spieler 2 L C R U 4,3 5,1 6,2 M 2,1 8,4 3,6 D 3,0 9,6 2,8 Anmerkung: Der IESDS Prozess liefert das iterative-eliminierungs Gleichgewicht (U, L) 7/1

8 Frage 3.3 Bestimmen Sie für das Gefangenendilemma das Nash Gleichgewicht Spieler 1 Spieler 2 M F M 2, 2 5, 1 F 1, 5 4, 4 Anmerkung: Das Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien ist (F,F) 8/1

9 Ergebnis Wie folgende Proposition zeigt, sind die vorangegangenen Resultate kein Zufall Proposition 1 Betrachten Sie ein Strategieprofil s = (s1,s 2,...,s n). Falls s entweder 1 ein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien, 2 der einzige Überlebende des IESDS Prozesses oder 3 das einzige rationalisierbare Gleichgewicht dann ist s das einzige Nash Gleichgewicht. 9/1

10 Beweis Wir beweisen hier nur den ersten Teil: Wenn s ein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien ist, dann ist s das einzige Nash Gleichgewicht Wir schauen uns die Definition von strikter Dominanz an (und drücken diese geringfügig anders aus): Die Strategie s i S i ist strikt dominant für Spieler i wenn jede andere seiner Strategien durch s i strikt dominiert wird: v i (s i,s i ) > v i (s i,s i ) für alle s i S i,s i s i,s i S i Dann erfüllt s auch v i (s i,s i) v i (s i,s i) für alle s i S i,s i s i Und da v i (s i,s i ) = v i(s i,s i ) auch v i (s i,s i) v i (s i,s i) für alle s i S i 10/1

11 Da dies für die Strategien s i aller Spieler gilt, ist s ein Nash Gleichgewicht: v i (s i,s i) v i (s i,s i) für alle s i S i und i N Kann es noch ein weiteres Nash Gleichgewicht geben? Wir beweisen per Widerspruch Wir nehmen an, dass mit s = ( s 1, s 2,..., s n ) s ein weiteres Nash Gleichgewicht existiert Dann muss gelten: v i ( s i, s i ) v i (s i, s i ) für alle s i S i und i N (1)

12 Da aber s ein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien ist, gilt für alle Spieler i N: v i (si,s i ) > v i (s i,s i ) für alle s i S i,s i si,s i S i Und damit auch, dass v i (si, s i ) > v i ( s i, s i ) für alle i N (2) (??) widerspricht (??) Es kann daher kein weiteres Nash Gleichgewicht geben

13 Anderes Ergebnis Proposition 2 Ist ein Strategieprofil s = (s 1,s 2,...,s n) ein Nash Gleichgewicht, dann ist s sowohl ein iteratives-eliminerungs Gleichgewicht, als auch ein rationalisierbares Gleichgewicht. Beweis: Beim IESDS Prozess werden strikt dominierte Strategien (im vollständigen Spiel oder in reduzierten Spielen) nach und nach eliminiert Da s i per Definition des Nash Gleichgewichts eine beste Antwort auf s i ist, sind die Strategien s 1,s 2,...,s n niemals strikt dominiert und können daher niemals eliminiert werden Daher überlebt s den IESDS Prozess und ist deswegen ein iteratives-eliminerungs Gleichgewicht 13/ 1

14 Wir müssen noch beweisen, dass ein Strategieprofil, welches ein Nash Gleichgewicht ist, auch ein rationalisierbares Gleichgewicht ist Wenn wir iterativ Strategien eliminieren, welche niemals beste Antworten sind, erhalten wir die Strategieprofile, die ein rationalisierbares Gleichgewicht sind Da s i per Definition des Nash Gleichgewichts eine beste Antwort auf s i ist, können die Strategien s 1,s 2,...,s n niemals eliminiert werden Daher überlebt s die iterative Eliminierung von Strategien, welche niemals beste Antworten sind s muss deswegen ein rationalisierbares Gleichgewicht sein

15 Anmerkung Die Umkehrung der Proposition gilt nicht D.h. nicht jedes iterative-eliminerungs Gleichgewicht oder rationalisierbare Gleichgewicht ist ein Nash Gleichgewicht Siehe die folgende Analyse zum Spiel Kampf der Geschlechter 15/1

16 Frage 3.4 Bestimmen Sie für den Kampf der Geschlechter das Nash Gleichgewicht bzw. die Nash Gleichgewichte Anmerkungen Es gibt hier kein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien Alle Strategien überleben den IESDS Prozess, weshalb alle Strategieprofile d.h. (O,O), (O,F), (F,O), (F, F) iterative-eliminierungs Gleichgewichte sind Alle Strategieprofile sind rationalisierbare Strategien Alex Chris O F O 2,1 0,0 F 0,0 1,2 16/1

17 Frage 3.5 Bestimmen Sie für folgendes Spiel das Nash Gleichgewicht Spieler 1 Spieler 2 L C R U 7,7 4,2 1,8 M 2,4 5,5 2,3 D 8,1 3,2 0,0 17/1

18 Fragen 3.6 Gibt es im vorangegangenen Spiel auch Gleichgewichte in strikt dominanten Strategien? Antwort: Gibt es im vorangegangenen Spiel iterative-eliminierungs Gleichgewichte? Antwort: 18/1

19 Wie gut ist das Lösungskonzept? Wie wir beim Kampf der Geschlechter erkennen konnten, kann es mehrere Nash Gleichgewichte geben Das Kriterium self-enforcement ist erfüllt: Jeder Spieler ist vollständig mit seiner Entscheidung zufrieden und will diese nicht ändern Eine Stärke des Gleichgewichtskonzepts ist, dass unter sehr allgemeinen Bedingungen mindestens ein Nash Gleichgewicht existiert (sofern man auch gemischte Strategien erlaubt, siehe Kapitel 4) Das Nash Gleichgewichtskonzept macht mindestens so präzise Voraussagen wie die anderen vorgestellten Konzepte (vergleiche Proposition 1) und ist häufig präziser (vergleiche Beispiele) 19/1

20 Kapitel 3.2: Nash Gleichgewichte: Einige Klassische Anwendungen

21 Hirsch und Hase Zwei Jäger müssen sich entscheiden, ob sie Hirsche oder Hasen jagen wollen Die Hirschjagd ist nur erfolgreich, wenn sie dabei zu zweit sind Auf Hirschjagd zu gehen ist also eine riskante Strategie Spieler 1 Spieler 2 Hirsch Hase Hirsch 5, 5 0, 3 Hase 3,0 3,3 Im Spiel Hirsch und Hase gibt es zwei Nash Gleichgewichte, nämlich 21/1

22 Interpretation Die Hirschjagd erfordert vertrauen: ein Jäger wird nur auf Hirschjagd gehen wenn er glaubt, dass der andere Jäger auch auf Hirschjagd gehen wird In einer kooperativen Gesellschaft herrscht vertrauen und das Pareto dominante Nash Gleichgewicht (Hirsch, Hirsch) wird erreicht Das Gleichgewicht ist selbsterfüllend: wenn beide erwarten, dass der andere auf Hirschjagd gehen wird, werden beide tatsächlich auch auf Hirschjagd gehen In einer individualistischen Gesellschaft herrscht keine Vertrauen, weshalb nur das Nash Gleichgewicht (Hase, Hase) erreicht wird Gesellschaften welche sich von ihrer Ausstattung, Technologie etc. ähneln oder sogar gleichen können daher sehr unterschiedliche Ergebnisse erreichen 22/1

23 Güter in Gemeinschaftseigentum Es gibt n Spieler/Firmen, welche bei der Produktion von Gütern saubere Luft verbrauchen (oder saubere Luft verschmutzen) Die Gesamtmenge an sauberer Luft ist K Jeder Spieler i wählt die Menge k i an Luft, welche er verbraucht Der Nutzen von Spieler i aus der Produktion ist ln(k i ) Die verbleibende Menge an sauberer Luft ist daher K n j=1 k j Luft wird auch ( zum atmen benötigt und der Nutzen jedes Spielers hiervon ist ln K ) n j=1 k j Die Auszahlung von Spieler i ist daher ( v i (k i,k i ) = ln(k i )+ln K ) n k j j=1 23/1

24 Analyse Wir maximieren v i um die beste Antwort Funktion zu bekommen: dv i (k i,k i ) = dk i k i K n j=1 k j Auflösen liefert, dass Spieler i optimalerweise ( 1) = 0 wählt k i = K j i k j 2 Seine beste Antwort auf das Strategieprofil k i ist also BR i (k i ) = K j i k j 2 24/1

25 Zwei-Spieler-Fall Wir konzentrieren uns nun auf den Fall mit n = 2 Spielern Dann ist und k 1 (k 2 ) = K k 2 2 k 2 (k 1 ) = K k 1 2 (3) (4) 25/1

26 Frage 3.7 Wie sehen die beste Antwort Funktionen grafisch aus? Fertigen Sie ein Diagramm mit den Achsen k 1 und k 2 an Antwort: 26/1

27 Nash Gleichgewicht Der Schnittpunkt der beste Antwort Funktionen bildet das Nash Gleichgewicht: die Strategien der Spieler sind hier gegenseitig beste Antworten Formal: Wir haben zwei Gleichungen, (??) und (??), und zwei Unbekannte, k 1 und k 2 Wir können die Unbekannten bestimmen, indem wir beispielsweise Gleichung (??) in Gleichung (??) einsetzen: Auflösen liefert k 2 = K/3 k 2 = K K k Einsetzen in k 1 (k 2 ) liefert k 1 = K/3 27/1

28 Nash Gleichgewicht Pareto Effizient Ist das Nash Gleichgewicht (K/3,K/3) Pareto effizient Wir maximieren die Summe von v 1 und v 2 : max k 1,k 2 ln(k 1 )+ln(k 2 )+2ln(K k 1 k 2 ) Wir erhalten die Lösung k 1 = k 2 = K/4 Jeder Spieler hat dann eine Auszahlung von lnk/4+lnk/2 Im Nash Gleichgewicht hat jeder Spieler lediglich eine Auszahlung von lnk/3+lnk/3 = 2lnK/3 Beispiel K = 12: lnk/4+lnk/2 2,89, 2lnK/3 2,77 28/1

29 Interpretation Die Verschmutzung von Luft verursacht einen negativen externen Effekt, weshalb die Spieler zu viel Luft verschmutzen (wenn man sie lässt) Die Wohlfahrt kann erhöht werden, indem weniger Luft verschmutzt wird Dies kann z.b. durch einen Regulator geschehen Ein mögliches Problem ist, das im Allgemeinen nicht sichergestellt ist, dass der Regulator wirklich die Wohlfahrt maximiert Ein guter Regulator kann die Wohlfahrt erhöhen, ein schlechter kann diese vermindern 29/1

30 Mengenwettbewerb Es gibt zwei Firmen, 1 und 2 Die inverse Marktnachfrage ist P(q) = a bq, wobei q = q 1 +q 2 Die Kosten von Firma i {1,2} sind c i (q i ) = c i q i Jede Firma maximiert ihre Auszahlung, d.h. ihren Gewinn Firma i maximiert: maxv i (q i,q i ) = (a bq i bq i )q i c i q i q i Wir erhalten die beste Antwort Funktion BR i (q i ) = a bq i c 1 2b Im Nash Gleichgewicht gilt: q 1 = BR 1 (q 2 ), q 2 = BR 2 (q 1 ) 30/1

31 Für den Fall a = 100, b = 1 und c 1 = c 2 = 10 erhalten wir Daher ist BR i (q i ) = 100 q i 10 2 q 1 = 100 q 2 10, q 2 = 100 q Einsetzen liefert das Nash Gleichgewicht q 1 = q 2 = 30 Alternativer Lösungsweg: Aus Kapitel 2 wissen wir, dass das iterative-eliminierungs Gleichgewicht q 1 = q 2 = 30 ist Aus Proposition 1 folgt daher, dass das Nash Gleichgewicht q 1 = q 2 = 30 ist

32 Frage 3.8 Wie sehen die beste Antwort Funktionen grafisch aus? Fertigen Sie ein Diagramm mit den Achsen q 1 und q 2 an Antwort: 32/1

33 Frage 3.9 Bestimmen Sie die Auszahlungen im Nash Gleichgewicht Antwort: 33/1

34 Preiswettbewerb Beim Mengenwettbewerb wählen die Firmen ihre Produktionsmengen Der Preis wird dann durch die Markträumungsbedingung Marktangebot=Marktnachfrage bestimmt Beim Preiswettbwerb wählen die Firmen ihre Preise Die Käufer decken ihre Nachfrage bei der günstigeren Firma Bei gleichen Preisen verteilen sich die Käufer gleichmäßig auf beide Firmen Wir betrachten wieder den Fall mit zwei Firmen, 1 und 2, der inversen Marktnachfrage p(q) = 100 q und Kosten von c i (q i ) = 10q i für i {1,2} 34/1

35 Frage 3.10 Stellen Sie das Spiel in Normalform dar Hinweis: Um die Auszahlungen auszurechnen ist es hilfreich zuerst die Nachfrage bei jeder Firma zu bestimmen Antwort: 35/1

36 Analyse Betrachten wir zuerst Situationen bei denen mindestens ein Preis niedriger als 10 ist Für p 1 < p 2 kaufen alle Konsumenten bei Firma 1, welche dann einen Verlust macht, v 1 < 0 Wichtige Erkenntnis: Jede Firma kann sich einen Gewinn von Null sichern indem sie einen Preis von 10 wählt Daher ist p 1 < p 2 kein Nash Gleichgewicht; Firma 1 will ihren Preis erhöhen Für p 1 = p 2 machen beide Firmen einen Verlust, v 1,v 2 < 0 Kein Nash Gleichgewicht; beide Firmen wollen ihre Preise erhöhen Für p 1 > p 2 macht Firma 2 einen Verlust, v 2 < 0 Kein Nash Gleichgewicht; Firma 2 will ihren Preis erhöhen 36/1

37 Betrachten wir als nächstes Situationen bei denen beide Preise höher als 10 sind Für p 1 < p 2 gilt: v 1 > 0, v 2 = 0 Kein Nash Gleichgewicht, da sich Firma 2 verbessern kann wenn sie p 2 = p 1 wählt Für p 1 > p 2 gilt: v 2 > 0, v 1 = 0 Kein Nash Gleichgewicht, da sich Firma 1 verbessern kann wenn sie p 1 = p 2 wählt Für p 1 = p 2 gilt: v 1 = v 2 > 0 Kein Nash Gleichgewicht, da sich Firma 1 verbessern kann wenn sie den Preis etwas senkt Dann kaufen alle Konsumenten bei Firma 1, anstatt nur der Hälfte Der Gewinn von Firma 1 verdoppelt sich daher nahezu Gleiches gilt für Firma 2

38 Verbleibende Möglichkeiten 1 Ein Preis ist 10, der andere höher als 10 Beide Firmen machen einen Gewinn von 0, v1,v 2 = 0 Wenn die Firma mit dem Preis von 10 diesen etwas erhöht, steigt ihr Gewinn Die Strategien bilden also kein Nash Gleichgewicht 2 Beide Preise sind 10: p 1 = p 2 = 10 Beide Firmen machen einen Gewinn von 0, v1,v 2 = 0 Firma 1 kann sich nicht verbessern, wenn sie einen anderen Preis wählt, gegeben p 2 = 10 Auch Firma 2 kann sich nicht verbessern, wenn sie einen anderen Preis wählt, gegeben p 1 = 10 Die Strategien (p1 = 10,p 2 = 10) sind daher das einzige Nash Gleichgewicht

39 Interpretation Im Nash Gleichgewicht setzen die Firmen Preise welche den Grenzkosten entsprechen Im vorangegangen Beispiel sind die Grenzkosten und damit die Preise im Nash Gleichgewicht 10 Die Firmen machen Gewinne von Null Dies ist auch der Fall bei vollkommenem Wettbewerb (siehe Mikrovorlesung: es gibt sehr viele Firmen, welche den Preis als gegeben hinnehmen) Bei Preiswettbewerb reicht es also aus zwei Firmen zu haben um das Wettbewerbsgleichgewicht zu erreichen Dies wird auch als Bertrand Paradox bezeichnet 39/1

40 Frage 3.11 Betrachten Sie das vorangegangene Spiel mit n = 3 statt n = 2 Firmen und bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte Antwort: 40/1

41 Frage 3.12 Betrachten Sie das vorangegangene Spiel mit zwei Firmen, aber nehmen Sie an, dass die Preis nur in Euro und Cent angegeben werden können. Bestimmen Sie wieder alle Nash Gleichgewichte Antwort: 41/1

42 Politischer Wettbewerb Es gibt zwei Kandidaten, welche zu einer Wahl antreten Der Kandidat mit den meisten Wählerstimmen gewinnt Es gibt 101 Wähler, welche durchnummeriert sind von -50 bis +50 Die Nummer eines Wählers gibt dessen politisches Ideal wieder Interpretation: -50 ist extrem links, +50 extrem rechts Jeder Kandidat kann seine Politik festlegen, welche durch eine ganze Zahl zwischen -50 und +50 bestimmt ist Die Kandidaten wollen in erster Linie gewinnen Der Einfachheit halber nehmen wir daher an, dass den Kandidaten die festgelegte Politik egal ist 42/1

43 Die Wähler wählen den Kandidaten, dessn Politik ihrem eigenen Ideal am nächsten kommt Bei Indifferenz werfen die Wähler eine Münze Beispiel: Kandidat 1 legt sich auf die Politik a1 = 15, Kandidat 2 auf a 2 = +22 Dann werden alle Wähler zwischen -50 und +3 Kandidat 1 wählen Und die Wähler zwischen +4 und +50 Kandidat 2

44 Analyse Welche Politik ist eine beste Antwort von Kandidat i auf die Politik von Kandidat j, wobei i j? Wenn Kandidat j die Politik a j > 0 festlegt, dann verliert Kandidat i wenn er die Politik ai > a j festlegt gewinnt Kandidat i mit Wahrscheinlichkeit 0,5 wenn er die Politik a i = a j festlegt gewinnt Kandidat i mit Sicherheit wenn er die Politik a i [ a j +1,a j 1] festlegt Die beste Antwort auf die Strategie a j > 0 ist also die Strategie a i [a j 1, a j +1] 44/1

45 Wenn Kandidat j die Politik a j < 0 festlegt, dann verliert Kandidat i wenn er die Politik ai < a j festlegt gewinnt Kandidat i mit Wahrscheinlichkeit 0,5 wenn er die Politik a i = a j festlegt gewinnt Kandidat i mit Sicherheit wenn er die Politik a i [a j +1, a j 1] festlegt Die beste Antwort auf die Strategie a j > 0 ist also die Strategie a i [a j +1, a j 1]

46 Wenn Kandidat j die Politik a j = 0 festlegt, dann verliert Kandidat i wenn er die Politik ai a j = 0 festlegt gewinnt Kandidat i mit Wahrscheinlichkeit 0,5 wenn er die Politik a i = a j = 0 festlegt Die beste Antwort auf die Strategie a j = 0 ist also die Strategie a i = 0

47 Wir fassen zusammen: Die beste Antwort Korrespondenz von Kandidat i ist [ a j +1,a j 1] für a j > 0, BR i (a j ) = 0 für a j = 0, [a j +1, a j 1] für a j < 0 Das einzige Nash Gleichgewicht ist daher (a 1 = 0,a 2 = 0)

48 Interpretation Legt sich ein Kandidat auf eine andere Politik fest als das Ideal des Medianwählers, ist die beste Antwort des anderen Kandidaten näher am Ideal des Medianwählers und letzterer Kandidat gewinnt die Wahl Daher legen sich beide Kandidaten im Nash Gleichgewicht auf die Politik fest, welche der Medianwähler präferiert Dieses Ergebnis ist auch als Medianwähletheorem bekannt Es wurde von Harold Hotelling bereits im Jahr 1929 erkannt Hinweis: Diese Modell wird auch häufig in der Industrieökonomik verwendet, um Märkte mit differenzierten Gütern zu analysieren 48/1

49 Stau Diese Anwendung ist nicht im Lehrbuch enthalten Es gibt 1000 Pendler, welche morgens aus einem Vorort in die Innestadt wollen Jeder Pendler kann sich zwischen der Bahn und dem Auto als Transportmittel entscheiden Jeder Pendler versucht seine Fahrzeit zu minimieren Andere Aspekte spielen der Einfachheit halber keine Rolle 49/1

50 Fahrzeiten Mit der Bahn beträgt die Fahrzeit 30 Minuten Die Fahrzeit der Bahn ist daher unabhängig von der Anzahl der Nutzer Mit dem Auto 10+x/40 Minuten, wobei x die Anzahl der Autofahrer bezeichnet Die Fahrzeit der Autofahrer ist daher abhängig von der Anzahl der Nutzer (es kann Stau geben) 50/1

51 Fragen Bestimmen Sie ein Nash Gleichgewicht und die Struktur der Nash Gleichgewichte 2 Ist das Nash Gleichgewicht effizient, im Sinne das die Gesamtfahrzeit der Pendler minimiert wird? 3 Interpretieren Sie Ihr Ergebnis 4 Wie könnte man die Pendler dazu bringen freiwillig die effiziente Lösung zu wählen? 51/1

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54 Zusammenfassung In einem Nash Gleichgewicht sind die Strategien gegenseitig beste Antworten Ist ein Strategieprofil ein Gleichgewicht in strikt dominanten Strategien, der einzige Überlebende des IESDS Prozesses oder das einzige rationalisierbare Gleichgewicht, dann ist es auch das einzige Nash Gleichgewicht Ist ein Strategieprofil ein Nash Gleichgewicht, dann ist es sowohl ein iteratives-eliminerungs Gleichgewicht, als auch ein rationalisierbares Gleichgewicht Die Umkehrung gilt nicht Das Nash Gleichgewichtskonzept macht häufig präzise Voraussagen und hat viele Anwendungsbereiche 54/1

55 Übungsaufgaben Wir behandeln folgende Übungsaufgaben aus dem Buch: 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10, /1