Spiele in Normalform Koordinationsspiele, Spiele mit gemischten Motiven und Nash-Gleichgewicht

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1 Spiele in Normalform Koordinationsspiele, Spiele mit gemischten Motiven und Nash-Gleichgewicht

2 Koordinationsprobleme Warum fährt der ICE auf Schienen mit 1435 mm Spurweite? Handel und Globalisierung: Malcolm Mc Leans Erfindung von 1956, heute: 12,2 x 2,4 x 2,6m. DIN-A4-Format ISO 216. Viermalige Halbierung einer Seite mit einem Quadratmeter Flächeninhalt. Seitenverhältnis 1 : 2 nach Porstmann 1917, Übernahme in fast allen Ländern der Welt, ausser USA, Kanada (Kanada hat 200 Behördenvordrucke mit unterschiedlichen Formaten und 70 Umschlaggrössen. Die Kosten der Nichtkoordination sind beträchtlich! Verkehr: Welche Strassenseite?

3 Koordinationsspiel B (Spaltenspieler) Links Rechts A (Zeilenspieler) Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1 n = 2 Spieler Jeder Spieler hat zwei Strategien Für jede Strategienkombination gibt es eine Auszahlung (erste Zahl in einer Zelle ist die Auszahlung an den Zeilenspieler, zweite Auszahlung geht an den Spaltenspieler) 2 x 2 - Matrixspiel

4 Koordinationsspiel A (Zeilenspieler) B (Spaltenspieler) Links Rechts Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1 Spiel in Normalform (Strategieform) 1. n Spieler 2. Strategienmenge für jeden Spieler 3. Auszahlungsfunktion

5 Spiel in Normalform (Strategieform) 1. 1, 2,..., n Spieler 2. eine Menge S i von Strategien für Spieler i = 1, 2,..., n 3. eine Auszahlungsfunktion u i : S R s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 s 12 s 13 s 14 u 1ij, u 2ij Matrixform für n = 2 Spieler und endlich viele Strategien

6 Koordinationsspiel A (Zeilenspieler) B (Spaltenspieler) Links Rechts Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1 Spiel in Normalform (Strategieform) Beispiel Koordinationsspiel: 1. n = 2 2. S 1 = {l, r}, S 2 = {l, r} 3. Auszahlungsfunktion u(l,l) = (1,1) u(l,r) = (0,0) u(r,l) = (0,0) u(r,r) = (1,1)

7 Koordinationsspiel A (Zeilenspieler) B (Spaltenspieler) Links Rechts Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1

8 Koordinationsspiel A (Zeilenspieler) B (Spaltenspieler) Links Rechts Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1 Nash-Gleichgewichte: 1. s(l,l) 2. s(r,r) Eine Strategie eines Spielers i ist eine beste Antwort, wenn gegeben die Strategien der Mitspieler keine andere dem Spieler i verfügbare Strategie für ihn ein besseres Resultat liefert. Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategienprofil, bei dem alle Strategien wechselseitig beste Antworten darstellen. Bei einem Nash-Gleichgewicht hat kein Spieler einen Anreiz, einseitig von der Nash-Gleichgewichtsstrategie abzuweichen. Anreiztest. Bei Spielen in Matrixform lässt sich das Nash- Gleichgewicht auf diese Weise leicht ermitteln.

9 Nash-Gleichgewicht

10 Dominante Strategie 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

11 Dominante Strategie 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

12 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

13 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 Elimination dominierter Strategien 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

14 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

15 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

16 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

17 Dominierte Strategien 4, 2 3, 0 7, -1 12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 Die sukzessive Elimination dominierter Strategien liefert ein Nash- Gleichgewicht. 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3

18 Wenn alle Spieler über eine strikt dominante Strategie verfügen, gibt es eine eindeutige Lösung: Ein striktes Nash- Gleichgewicht in dominanten Strategien Sukzessive Elimination schwach dominierter Strategien: Das so ermittelte Nash-Gleichgewicht ist nicht notwendigerweise eindeutig! Beispiel: 1,1 0,1 1,0 1,1

19 Wenn alle Spieler über eine strikt dominante Strategie verfügen, gibt es eine eindeutige Lösung: Ein striktes Nash- Gleichgewicht in dominanten Strategien Sukzessive Elimination schwach dominierter Strategien: Das so ermittelte Nash-Gleichgewicht ist nicht notwendigerweise eindeutig! Beispiel: 1,1 0,1 1,0 1,1

20 Wenn alle Spieler über eine strikt dominante Strategie verfügen, gibt es eine eindeutige Lösung: Ein striktes Nash- Gleichgewicht in dominanten Strategien Sukzessive Elimination schwach dominierter Strategien: Das so ermittelte Nash-Gleichgewicht ist nicht notwendigerweise eindeutig! Beispiel: 1,1 0,1 1,0 1,1 1,1 0,1 1,0 1,1

21 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 3, 1 0, 1 1, 1 6, 2 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3

22 Maximin-Strategie Minima Zeile 4, 2 3, 0 7, -1-12, , 1 0, 1 1, 1 6, 2 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3

23 Maximin-Strategie Minima Zeile 4, 2 3, 0 7, -1-12, , 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3

24 Maximin-Strategie Minima Zeile 4, 2 3, 0 7, -1-12, , 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2

25 Maximin-Strategie Minima Zeile 4, 2 3, 0 7, -1-12, , 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2 Maximum der Minima

26 Maximin-Strategie Minima Zeile 4, 2 3, 0 7, -1-12, , 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 Maximin- Strategie des Zeilenspielers 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2 Maximum der Minima

27 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 Maximin- Strategie des Spaltenspielers Minima Zeile -12 3, 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 Maximin- Strategie des Zeilenspielers 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2 Minima Spalte: Maximum der Minima

28 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 Maximin- Strategie des Spaltenspielers Minima Zeile -12 3, 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 Maximin- Strategie des Zeilenspielers 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2 Minima Spalte: Maximum der Minima Maximin ist die Sicherheitsstrategie oder Worst-Case-Strategie Aber: Maximin ist nicht notwendigerweise eine Gleichgewichtsstrategie! Sollte ein rationaler Zeilenspieler Maximin wählen?

29 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 Maximin- Strategie des Spaltenspielers Minima Zeile -12 3, 1 0, 1 1, 1 6, 2 0 Maximin- Strategie des Zeilenspielers 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 2 Minima Spalte: Maximum der Minima Maximin ist die Sicherheitsstrategie oder Worst-Case-Strategie Aber: Maximin ist nicht notwendigerweise eine Gleichgewichtsstrategie! Sollte ein rationaler Zeilenspieler Maximin wählen?

30 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 3, 1 2, 1 2, 1 6, 2 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 Und hier?

31 Maximin-Strategie 4, 2 3, 0 7, -1-12, 4 3, 1 2, 1 2, 1 6, 2 2, 0 2, 1 6, 2 5, 3 Zeile hat zwei Maximin-Strategien!

32 Maximin-Strategie

33 Pareto-Optimum Pareto inferior: Mindestens ein Spieler kann sich bei einem alternativen Strategienprofil verbessern, ohne dass sich einer der anderen Spieler verschlechtert. Pareto-Optimum: Das Strategienprofil ist nicht Paretoinferior. In der Ökonomie: Pareto-Optimum = effizientes Strategienprofil, Pareto inferior = ineffizientes Strategienprofil. Vilfredo Pareto, Ingenieur, Soziologe und Ökonom, , Lehrstuhl in Lausanne, legte mit Léon Walras das Fundament der Wohlfahrtsökonomie. Statistiker kennen die rechtsschiefe Pareto-Verteilung.

34 b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 4, 2 3, 0 7, -1 0, 0 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3 Pareto-optimale und Pareto-inferiore Strategienprofile?

35 b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 4, 2 3, 0 7, -1 0, 0 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3 Pareto-optimale Strategienprofile: s(a 1,b 3 ), s(a 3,b 3 ), s(a 3,b 4 ) Nash-Gleichgewichte?

36 b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 4, 2 3, 0 7, -1 0, 0 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3 Pareto-optimale Strategienprofile: s(a 1,b 3 ), s(a 3,b 3 ), s(a 3,b 4 ) Die Nash-Gleichgewichte sind Pareto-inferior, d.h. ineffizient!

37 b 1 b 2 b 3 b 4 a 1 a 2 a 3 4, 2 3, 0 7, -1 0, 0 3, 1 0, 1 1, 1 5, 2 0, 0 2, 1 6, 2-5, 3 Die Pareto-optimale Lösung muss nicht notwendigerweise fair und gerecht sein. Man kann auch Pareto-optimal verhungern! Z.B. ist s(a 3,b 4 ) nicht gerade günstig für den Zeilenspieler. Für diesen ist es sogar das schlechteste Ergebnis!

38 Problem: Mehrere Nash-Gleichgewichte Tagesanzeiger, 22. Oktober 2010

39 Koordinationsspiel A (Zeilenspieler) B (Spaltenspieler) Links Rechts Links 1,1 0,0 Rechts 0,0 1,1 Nash-Gleichgewichte: 1. s(l,l) 2. s(r,r) Problem: Mehrere Nash-Gleichgewichte Nash-Gleichgewicht liefert nicht immer eine eindeutige Lösung für ein Spiel Gleichgewichtsauswahltheorie: Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts

40 Spiele mit gemischten Motiven 2 x 2-Spiele mit strikter Rangordnung der Präferenzen: 4,3,2,1, d.h = 576 Spiele. Berücksichtigt man Vertauschungen von Zeilen und Spalten und der Nummerierung der Spieler erhält man 78 verschiedene Spiele (Rapoport und Guyer 1966). Wichtige Typen: a) Koordinationsspiele gemeinsame Interessen b) Spiele mit gemischten Motiven 1. Kampf der Geschlechter 2. Hirschjagd teils gemeinsame, teils 3. Gefangenendilemma konfligierende Interessen 4. Chickenspiel c) Nullsummenspiele antagonistische Interessen

41 Kampf der Geschlechter (Battle of Sex) Sie Kino Fussball Er Kino 4,3 2,2 Fussball 1,1 3,4

42 Kampf der Geschlechter (Battle of Sex) (Variante, Grundform ) Sie Kino Fussball Er Kino 4,3 0,0 Fussball 0,0 3,4

43 Kampf der Geschlechter (Battle of Sex) Sie Kino Fussball Er Kino 4,3 2,2 Fussball 1,1 3,4 Sozialpsychologie: Thibaut & Kelley Evolution von Normen bei wiederholtem Spiel

44 Auch eine Lösung! Hier kommentiert der Hund Fred Basset, alias Wurzel, in der Berner Zeitung vom

45 Auch eine Lösung! Hier kommentiert der Hund Fred Basset, alias Wurzel, in der Berner Zeitung vom Faire Selbstschädigung!

46 Die Lösung von Roger Cicero

47 Die Lösung von Roger Cicero Sie Kino 4,3 0,0 0,0 Er Disco 0,0 3,4 0,0 Kino Disco Spiel- Casino Spiel- Casino 0,0 0,0 4,4

48 Die Lösung von Roger Cicero Sie Kino 4,3 0,0 0,0 Er Disco 0,0 3,4 0,0 Casino 0,0 0,0 4,4 Kino Disco Spiel- Casino Spiel- Auszahlungsdominantes Nash-Gleichgewicht

49 Hirschjagd-Spiel (Stag Hunt, Assurance Game) Jean Jaques Rousseau, 1755, Über den Ursprung und die Grundlagen der Ungleichheit unter den Menschen Zwei Jäger gehen auf die Jagd. Sie können entweder zusammen einen Hirsch jagen oder jeder einzeln einen Hasen. Präferenzen: ½ Hirsch (3) > Hase (2) > keine Beute (1) Hirsch (C) Hase (D) Hirsch (C) 3,3 1,2 Hase (D) 2,1 2,2

50 Hirschjagd-Spiel (Stag Hunt, Assurance Game) Wechselseitige Wahl von Hirsch ergibt payoffdominantes (Auszahlungsdominantes) Nash-Gleichgewicht. Stag Hunt (Hirschjagd) Hirsch (C) Hase (D) Hirsch (C) 3,3 1,2 Hase (D) 2,1 2,2

51 Gefangenendilemma Problem: Eine illegale Transaktion anonym durchzuführen. Die Bande A hat Diamanten im Wert von 2 Mio geklaut, der Hehler B will dafür 1 Mio zahlen, um sie später für einen höheren Preis weiterzuverkaufen. A und B wollen unerkannt bleiben. Sie verabreden, dass A die Diamanten nachts in einer Schachtel auf eine Parkbank legt und B die Schachtel gegen eine Box mit dem Geld austauscht (Hofstadter 1985).

52 Kooperation (C) Diamanten 1 Mio Kooperation (C)

53 Kooperation (C) Diamanten 1 Mio Kooperation (C) Defektion (D) Kiesel steine 1 Mio Kooperation (C)

54 Kooperation Diamanten 1 Mio Kooperation Defektion Kiesel steine 1 Mio Kooperation Kooperation Diamanten Papier schnitzel Defektion

55 Kooperation durch Eigennutz? Kooperation Diamanten 1 Mio Kooperation Defektion Kiesel steine 1 Mio Kooperation Kooperation Diamanten Papier schnitzel Defektion Defektion Kiesel steine Papier schnitzel Defektion

56 Kooperation durch Eigennutz? Gefangenen- Dilemma DD ist das Nash-Gleich- Gewicht, aber CC wäre für beide besser! C D C R,R S,T D T,S P,P T = Gewinn von Diamanten bzw 1 Mio ohne Gegenleistung R = Gewinn durch Tausch P = gegenseitiger Betrug S = Verlust von Diamanten bzw. 1 Mio T > R > P > S T = Temptation R = Reward P = Punishment S = Sucker s payoff Defektion (D) Kiesel steine Papier schnitzel Defektion (D)

57 Gefangenendilemma C D C R,R S,T D T,S P,P T > R > P > S 1. D ist eine dominante Strategie 2. D ist eine Maximin-Strategie 3. D ist eine Nash-Gleichgewichtsstrategie s* = (s 1 *, s 2 *) = (D, D) 4. u(s*) = (2,2) ist nicht Pareto optimal (das Gleichgewicht ist ineffizient). Pareto-Optimum: s p = (C,C) mit u(s p ) = (3,3)

58 Diamantenhandel in Zürcher Hotelzimmern Das Beispiel ist offenbar nicht ganz unrealistisch! Aus dem Tagesanzeiger,

59 Woher das Gefangenendilemma seinen Namen hat Zwei Gefangenen werden ein leichtes und ein schweres Verbrechen zur Last gelegt. Das leichte Verbrechen kann der Staatsanwalt beweisen, doch für das schwere Verbrechen benötigt er das Geständnis eines der beiden Angeklagten. Die Gefangenen sitzen separat in ihren Zellen und können sich nicht absprechen. Der Staatsanwalt lockt mit einer Art Kronzeugenregelung. Gesteht ein Gefangener und der andere nicht, so wird der geständige Gefangene freigelassen, der andere aber für das schwere Verbrechen zu zehn Jahren Gefängnis verurteilt. Gestehen beide, lautet der Urteilsspruch auf fünf Jahre Haft. Schweigen hingegen beide Angeklagte, können sie nur wegen des leichteren Verbrechens zu einer Strafe von einem Jahr Gefängnis verurteilt werden. Was sollen sie tun? «Schweigen» ist hier die kooperative Strategie und «gestehen» die «defektive», betrügerische Strategie. Letztere ist die dominierende Nash-Gleichgewichtsstrategie. Man kann durch den Vergleich der Rangfolge der Auszahlungen erkennen, dass die Situation der Gefangenen die gleiche Struktur aufweist wie das durch die Matrix definierte Gefangenendilemma

60 Gefangenendilemma in der Oper Hören Sie Tosca und entdecken Sie ein Gefangenendilemma zwischen Tosca und Scarpia!

61 Gefangenendilemma in der Oper In Puccinis Oper «Tosca» sind der Polizeichef Scarpia und Tosca Akteure in einem Gefangenendilemma. Rapoport (1962) hat in einem Artikel über den «Gebrauch und Missbrauch der Spieltheorie» dieses Beispiel zur Illustration angeführt. Toscas Liebhaber Cavaradossi wurde von Scarpia gefangen genommen und soll von einem Exekutionskommando erschossen werden. Nun erklärt sich Scarpia zu folgendem Handel bereit. Wenn Tosca einwilligt, mit ihm die Nacht zu verbringen, will er dafür sorgen, dass die Gewehre des Erschießungskommandos mit Platzpatronen geladen werden. Tosca ist bereit, auf das Angebot einzugehen, und sucht Scarpia auf. Allerdings hat sie einen Dolch dabei, mit dem sie den üblen Gesellen Scarpia tötet. Scarpia hat seinerseits die Abmachung ignoriert. Cavaradossi stirbt im Kugelhagel des Exekutionskommandos. Tosca und Scarpia wollten jeweils das beste Ergebnis erzielen und landeten in der «Falle» des zweitschlechtesten Ergebnisses. Spieltheoretisch gesehen haben beide die Nash-Gleichgewichtsstrategie gewählt.

62 Gegenseitige Selbstschädigung im einmaligen Gefangenendilemma Gefangenendilemma: 0, 0 ist das Nash-Gleichgewicht, aber 5, 5 wäre für beide besser! Scarpia C = Platzpatronen D = echte Munition Tosca C = Sex mit Scarpia 5, 5-10,10 C = Cooperation D = Defektion D = Scarpia erdolchen 10, -10 0, 0 Resultat beidseitiger Defektion (D): Scarpia wird erdolcht, Cavaradossi wird erschossen. Rapoport (1962)

63 Koordinationsspiele Einige Begriffe Normalform von Spielen Strategienprofile Dominante Strategie Elimination strikt dominierter Strategien Nash-Gleichgewicht Maximin-Strategie Pareto-Optimum Mixed Motive Games : Hirschjagd, Battle of Sex, Gefangenendilemma

64 Al Jazeera Interview mit John Nash Szene Nashgleichgewicht:

65 Wie die Mathematik beim Flirten hilft Die Weltwoche vom In der lustigen Studentenrunde befindet sich der brillante junge Mathematiker John Forbes Nash. Er analysiert die Lage und schlägt seinen Freunden eine kluge Alternative zum Rennen um die Schönste vor. Wenn sich alle um den ersten Preis bemühen, kommt es lediglich zu einer Rauferei und alle verlieren. Schlimmer noch: Da niemand zweite Wahl sein möchte, verspielen die Männer auch ihre Chancen bei den anderen Frauen, und alle gehen solo nach Hause. Besser also, die Attraktivste von vornherein links liegen zu lassen und sich mit ihren Freundinnen zufrieden zu geben. Die Szene stammt aus dem Film A Beautiful Mind mit Russell Crowe als John Nash in der Hauptrolle. Sie ist Hollywoods Interpretation eines komplexen mathematischen Problems,

66 Die NZZ am Sonntag versteht mehr von Spieltheorie: Leider stellt die vom Drehbuch vorgeschlagene Lösung kein Gleichgewicht im Sinne des echten Nash dar (NZZ am Sonntag, ). Frage: 1) Warum nicht? 2) Wie könnte man die Situation formal in einem Spiel in Normalform darstellen? 3) Welche Lösung(en) (Nash-Gleichgewichte) gibt es dann?