AVWL I (Mikro) 5-31 Prof. Dr. K. Schmidt Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Rechts 1, 3 0, 1 2, 1 1, 0 Figur 5.4: Auszahlungsmatrix eines Spiels Wen

Transkript

1 AVWL I (Mikro) 5-30 Prof. Dr. K. Schmidt 5.7 Einfuhrung in die Spieltheorie Ein \Spiel" besteht aus: einer Menge von Spielern einer Menge von moglichen Strategien fur jeden Spieler, einer Auszahlungsfunktion, die angibt, welche Auszahlung ein Spieler erhalt in Abhangig- davon, welche Strategien von allen Spielerkeit gewahlt worden sind. werden uns hier nur mit einfachen 2 2 Spielen Wir beschaftigen, d.h. 2 Spieler mit jeweils 2 moglichen Strategien Spiele konnen in Form einer Auszahlungsmatrix Solche dargestellt werden:

2 AVWL I (Mikro) 5-31 Prof. Dr. K. Schmidt Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Rechts 1, 3 0, 1 2, 1 1, 0 Figur 5.4: Auszahlungsmatrix eines Spiels Wenn Spieler 1 \Unten" spielt und Interpretation: 2 \Rechts" spielt, dann erhalt Spieler 1 ei- Spieler Auszahlung von 1 und Spieler 2 eine Auszahlunne von Dominante Strategien beide Spieler mussen gleichzeitig Angenommen, unabhangig voneinander ihre Strategie auswahlen. und Was ist dann die optimale Strategie fur Spieler 1? Wenn Spieler 2 \Links" spielt, ist \Unten" bes-

3 AVWL I (Mikro) 5-32 Prof. Dr. K. Schmidt ser als \Oben" Wenn Spieler 2 \Rechts" spielt, ist \Unten" als \Oben" besser Es ist eine dominante Strategie fur Spieler ) 1 \Unten" zu spielen. Was ist die optimale Strategie fur Spieler 2? Wenn Spieler 1 \Oben" spielt, ist \Links" besser als \Rechts" Wenn Spieler 1 \Unten" spielt, ist \Links" besser als \Rechts" Es ist eine dominante Strategie fur Spieler ) 2 \Links" zu spielen. diesem Spiel werden rationale Spieler immer In Kombination (\Unten", \Links") spielen. Die- die Kombination ist ein \Gleichgewicht in dominantese Strategien".

4 AVWL I (Mikro) 5-33 Prof. Dr. K. Schmidt Spieler 1 Oben Unten Spieler 2 Links Rechts 1, 3 0, 1 2, 1 1, 2 5.5: Spieler 2 hat keine dominante Figur Strategie diesem Spiel hat sich nur die Auszahlung von In 2 \rechts-unten" von 0 auf 2 erhoht. ) Spieler Wenn Spieler 1 \Oben" spielt, ist \Links" immer noch besser als \Rechts", aber: Wenn Spieler 1 \Unten" spielt, ist \Rechts" als \Links" besser ) Spieler 2 hat keine dominante Strategie mehr. Was sollte Spieler 2 tun?

5 andern. AVWL I (Mikro) 5-34 Prof. Dr. K. Schmidt Spieler 2 wei, da es fur Spieler 1 eine dominante Strategie ist, \Unten" zu spielen. Spieler 2 sollte \Rechts" spielen ) Das einzige Nash-Gleichgewicht in die- ) sem Spiel ist (\Unten, Rechts") 5.9 Nash-Gleichgewichte Nash-Gleichgewicht: Ein Nash- Def: ist ein Paar von Strategien Gleichgewicht (s 1 ; s 2 ) fur das gilt: Gegegeben die Strategie s 1 von Spieler 1 die Strategie s 2 von Spieler 2 optimal ist (\eine beste Antwort"). Gegegeben die Strategie s 2 von Spieler 2 die Strategie s 1 von Spieler 1 optimal. ist heit, in einem Nash-Gleichgewicht hat Das Spieler einen Anreiz, sein Verhalten zu kein

6 AVWL I (Mikro) 5-35 Prof. Dr. K. Schmidt Bemerkung: Beachten Sie, da kein Spieler wei, welche 1) sein Gegenuber gewahlt hat. Seine Strategie Strategie hangt also davon ab, was optimale von seinem Gegenuber erwartet. er Nash-Gleichgewicht kann als ein Paar von Ein Erwartungen interpretiert wer- konsistenten Wenn sich jeder Spieler entsprechend der den: seines Gegenuber verhalt, dann hat Erwartung Spieler einen Anreiz, sein Verhalten zu kein andern. Das Cournot-Gleichgewicht entspricht genau 2) Denition eines Nash-Gleichgewichts. der Betrachten Sie jetzt das folgende Spiel:

7 AVWL I (Mikro) 5-36 Prof. Dr. K. Schmidt Sie Ballett Boxen Er Ballett Boxen 2, 1 0, 0 0, 0 1, 2 Figur 5.6: \Kampf der Geschlechter" dieses Spiels: Eine Frau (\Sie") Interpretation ein Mann (\Er") konnen an einem Abend ins und Ballett oder zum Boxen gehen. Sie geht lieber zum Ballett. Er geht lieber zum Boxen. Sie geht lieber mit ihm zum Boxen als allein Ballett. ins Er geht lieber mit ihr ins Ballett als allein zum Boxen.

8 AVWL I (Mikro) 5-37 Prof. Dr. K. Schmidt diesem Spiel hat kein Spieler eine dominante In Strategie. gibt es ein Nash-Gleichgewicht: \Ballett, Dennoch Ballett" Gegeben, da sie ins Ballett geht, ist es fur ihn optimal, ins Ballett zu gehen. ebenfalls Gegeben, da er ins Ballett geht, ist es fur sie auch optimal, ins Ballett zu gehen. naturlich existiert aber noch ein zweites Unglucklicherweise \Boxen, Boxen", denn gege- Nash-Gleichgewicht: da er zum Boxen geht, ist es fur sie auch ben, zum Boxen zu gehen, und umgekehrt. optimal, es mehrere Nash-Gleichgewichte gibt, Wenn es nicht oensichtlich, ob uberhaupt ein und ist wenn ja welches Nash-Gleichgewicht gespielt wird. Literatur uber Verfeinerungen des Nash- ) (Harsanyi, Selten). Gleichgewichts

9 AVWL I (Mikro) 5-38 Prof. Dr. K. Schmidt Gleichgewichte in gemischten Strategien 5.10 Sturmer Links Rechts Torwart Links Rechts -1, 1 1, -1 1, -1-1, 1 Figur 5.7: Das \Elf-Meter Spiel" Der Elf-Meter Schutze (der Sturmer) Interpretation: entscheiden, ob er in die linke oder rechte mu zielt. Simultan mu der Torwart entscheiden, Halfte ob er nach links oder rechts springt. Wenn der Sturmer nach links schiet und der nach links springt, halt der Torwart Torwart ) (-1,1)

10 AVWL I (Mikro) 5-39 Prof. Dr. K. Schmidt Wenn der Sturmer nach links schiet und der nach rechts springt, fallt ein Tor ) Torwart (1,-1), etc. Spiel scheint kein Nash-Gleichgewicht (in Dieses Strategien) zu haben. reinen es hat ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Aber Strategien: Jeder Spieler randomi- und wahlt mit Wahrscheinlichkeit 50% \Links" siert mit 50% rechts. ) und Gegeben, da der Sturmer so randomisiert, ist Torwart gerade indierent, ob er nach links der oder rechts springen soll es ist fur den Torwart optimal, selber mit ) zu randomisieren. 50:50 Gegeben, da der Torwart so randomisiert, ist Sturmer gerade indierent, ob er nach links der oder rechts schieen soll es ist fur den Sturmer optimal, selber mit ) zu randomisieren. 50:50

11 Gestehen Leugnen AVWL I (Mikro) 5-40 Prof. Dr. K. Schmidt 5.11 Das Gefangenendilemma Gestehen 1 Spieler Leugnen Spieler 2-3, -3 0, -5-5, 0-1, -1 Figur 5.8: Das \Gefangenen-Dilemma" Zwei Einbrecher, die gemeinsam Interpretation: \Bruch" auf dem Gewissen haben, sind ver- einen worden und sitzen in getrennten Zellen. Au- haftet illegalem Waenbesitz kann man ihnen aber er nachweisen. Jeder uberlegt, ob er den \Bruch" nichts oder leugnen soll: gestehen Wenn beide leugnen, bekommen beide 1 Jahr illegalen Waenbesitzes. wegen

12 AVWL I (Mikro) 5-41 Prof. Dr. K. Schmidt Wenn beide gestehen, bekommen beide 3 Jahre wegen Einbruchs mit mildernden Umstanden (weil sie gestanden haben). Wenn einer gesteht und der andere leugnet, der gestandige freigesprochen (Kronzeu- wird wahrend der andere 5 Jahre absitzegenregelung), mu. in dominanten Strategien: Nash-Gleichgewicht Bemerkungen: \Gestehen, Gestehen". Aus Sicht der Gefangenen wird das Gleichgewichtsergebnis 1) Pareto-dominiert von \leugnen, leugnen". Trotzdem gelingt es den Spielern nicht, ihr Verhalten 2) zu koordinieren. Das Gefangenendilemma ist eine Parabel, die 3) Scheitern von Kooperation und Koordina- das

13 AVWL I (Mikro) 5-42 Prof. Dr. K. Schmidt sehr gut erklart. Dieselbe Spielstruktur ndet tion sich in vielen okonomischen und politischen Problemen wieder. Beispiele: Kartellverhalten: Jedes Kartellmitglied hat { Anreiz seinen Preis zu senken, obwohl einen besser gestellt sind, wenn alle den Preis alle halten. hoch Abrustung: Jede Supermacht hat Anreiz zur { obwohl alle besser daran sind, Aufrustung, wenn nicht aufgerustet wird. Oentliche Guter: Niemand mochte zur Bereitstellung { etwas beitragen, obwohl es allen besser geht, wenn jeder sich beteiligt. { etc. Das Gefangenendilemma kann uberwunden werden, 4) wenn die Parteien Vertrage schreiben konnen, die { Verhalten festlegen, ihr die Parteien sehr oft miteinander interagieren { (wiederholtes Spiel).

14 xqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq xq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqxq l r l r AVWL I (Mikro) 5-43 Prof. Dr. K. Schmidt 5.12 Sequentielle Spiele hatten wir Situationen betrachtet, in denen Bisher Parteien simultan uber ihre Strategie ent- beide mussen (wie schon im Cournot-Modell). scheiden betrachten wir Spiele, in denen eine Partei Jetzt zieht. Der zweite Spieler beobachtet diesen zuerst und entscheidet erst dann uber seine eigene Zug Strategie (wie im Stackelberg-Modell). die zeitliche Struktur zum Ausdruck zu bringen, Um werden wir sequentielle Spiele mit einem Spielbaum beschreiben: A q Spieler A L R A Spieler B 0 0 Figur 5.8: Ein Spielbaum 1 A q A

15 AVWL I (Mikro) 5-44 Prof. Dr. K. Schmidt sequentielles Spiel mu von hinten durch Ruckwartsinduktion Ein gelost werden. Spieler B: Wenn A \Links" gewahlt hat, wird B \links" { spielen. Wenn A \Rechts" gewahlt hat, wird B \rechts" { spielen. Spieler A: Wenn A \Links" spielt, wird B \links" spielen { und A bekommt 1. Wenn A \Rechts" spielt, wird B \rechts" { und A bekommt 2. spielen Nash-Gleichgewicht: A wird \Rechts" spielen ) und B wird darauf mit \rechts" reagieren. Dieses Spiel hat noch ein zweites Nash-Gleichgewicht: B spielt \links" unabhangig davon wie A gespielt hat.

16 Uberprufen, da tatsachlich ein Nashgleichgewicht! AVWL I (Mikro) 5-45 Prof. Dr. K. Schmidt A spielt ebenfalls \Links". diesem Gleichgewicht droht B damit, \links" In spielen. A glaubt die Drohung und spielt auch zu \Links". Gleichgewicht ist zwar ein Nash-GG, aber Dieses ist nicht sehr uberzeugend. A sollte vorausse- es da B's Drohung nicht glaubwurdig ist. hen, A einmal \Rechts" gewahlt hat, soll- Nachdem B seine Drohung vergessen und optimal mit te reagieren. \rechts" zweite Gleichgewicht ist nicht \teilspielperfekt" Das (Selten) Ein Marktzutrittsspiel Sie das folgende sequentielle Spiel zwischen Betrachten einem Monopolisten und einem potentiellen Marktzutreter: Der Marktzutreter entscheidet, ob er eintritt

17 xqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq xq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqxq k n k n AVWL I (Mikro) 5-46 Prof. Dr. K. Schmidt (E) oder drauen bleibt (D). Der Monopolist entscheidet, ob er kampft (k) einen Preiskrieg fuhrt oder nicht kampft und (n) und sich den Markt teilt A q Zutreter D E 0 10 Ruckwartsinduktion: Monopolist 1 A Figur 5.9: Martkzutrittsspiel Martkzutritt ) Monopolist kampft nicht kein Marktzutritt ) Entscheidung egal, Monopolist bekommt Monopolgewinn. ) Marktzutreter wird zutreten. 1 A q A

18 AVWL I (Mikro) 5-47 Prof. Dr. K. Schmidt Nash-Gleichgewicht, in dem der Monopolist Zweites droht, immer zu kampfen, aber diese Drohung ist nicht glaubwurdig. der Monopolist seinen Markt schutzen will, Wenn mu er sich binden, immer zu kampfen. Z.B.: dann Aufbau von Uberkapazitaten, die es ex post machen, eine hohe Menge zu produ- optimal zieren. Aufbau einer \Reputation" fur kampferisches Verhalten, Vertrag mit dem Manager seiner Firma, so da Manager nicht nach dem Gewinn, sondern der dem Marktanteil (unabhangig vom Gewinn) nach entlohnt wird ) Fur den Manager ist es optimal zu kampfen. Literatur: Varian, Kapitel 26 und 27.

19 Ubungsaufgaben: AVWL I (Mikro) 5-48 Prof. Dr. K. Schmidt Finden Sie zwei Situationen, in denen ein \Gefangenendilemma" 1) auftritt. Beschreiben Sie die- Situationen als Spiel mit einer Auszahlungsmatrise und uberprufen Sie, ob es tatsachlich eindeutiges Gleichgewicht in dominanten ein gibt, da zu einem inezienten Er- Strategien gebnis fuhrt. Betrachten Sie das Elf-Meter Spiel als sequentielles 2) Spiel: Der Torwart springt zuerst, dann schiet der a) Sturmer. Der Sturmer schiet zuerst, dann springt der b) Torwart. Sie die entsprechenden Spielbaume Zeichnen losen sie die Spiele durch Ruckwartsinduk- und tion.