D Spieltheorie und oligopolistische Märkte

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1 D Spieltheorie und oligopolistische Märkte Verhaltensannahmen in der Markttheorie, die bisher analysiert wurden Konkurrenz: viele sehr kleine Wirtschaftssubjekte, die für sich genommen keinen Einfluss auf das Marktergebnis haben. Monopol: Ein Anbieter bestimmt das Marktergebnis alleine. Spieltheorie: Das Verhalten der anderen Markteilnehmer ist relevant für die eigene Entscheidung und wird bei der Optimierung einbezogen. Jeder Einzelne beeinflusst das Ergebnis für die anderen. Strategische Interaktion von Wirtschaftssubjekten Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 1

2 17 Spiele in Normalform Beispiel: Zwei Gemeinden wollen eine Kläranlage bauen. Diese hat eine für beide Gemeinden ausreichende Kapazität. Zahlungsbereitschaft jeder Gemeinde für die Kläranlage: 8 [Mio DM] Kosten der Kläranlage: 10 [Mio DM]. Entscheidungsregel: Jede Gemeinde gibt an, ob sie für oder gegen die Kläranlage ist. Wenn mindestens eine Gemeinde dafür ist, wird die Kläranlage gebaut, sonst nicht. Die Kosten werden unter den Befürwortern aufgeteilt. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 2

3 Formulierung des Beispiels als Spiel in Normalform: Spieler = die Gemeinden Strategien = die Entscheidungsmöglichkeiten dafür und dagegen Auszahlungen = Zahlungsbereitschaft Kostenanteil, falls die Kläranlage gebaut wird 0 sonst Auszahlungsmatrix Gemeinde 2 für Kl. gegen Kl. Gemeinde 1 für Kl. gegen Kl. 3, 3 8, -2-2, 8 0, 0 Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 3

4 Optimierung durch Gemeinde 1 Wenn Gemeinde 2 für die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde 1 3, wenn Gemeinde 1 auch dafür ist. 8, wenn Gemeinde 1 dagegen ist. Wenn Gemeinde 2 für die Kläranlage ist, dann ist es besser für Gemeinde 1, dagegen zu sein. Die Strategie gegen Kläranlage ist beste Antwort der Gemeinde 1 auf die Strategie für Kläranlage der Gemeinde 2. Wenn Gemeinde 2 gegen die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde 1-2 bei Wahl der Strategie für Kläranlage 0 bei Wahl der Strategie gegen Kläranlage Die Strategie gegen Kläranlage ist auch beste Antwort auf die Strategie für Kläranlage. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 4

5 Ergebnis: Wie immer Gemeinde 2 sich entscheidet, für Gemeinde 1 ist es optimal, sich gegen den Bau der Kläranlage auszusprechen. Eine Strategie, die für jede mögliche Strategie des anderen Spielers optimal ist, heißt dominante Strategie. Gleichgewicht Wegen der Symmetrie des Spiels ist gegen Kläranlage auch eine dominante Strategie für Gemeinde 2. (gegen Kläranlage, gegen Kläranlage) ist ein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Im Gleichgewicht wird die Kläranlage nicht gebaut. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 5

6 Gefangenendilemma Nach einer gemeinsam begangenen Straftat werden die beiden Täter getrennt voneinander verhört. Nur wenn einer gesteht, kann beiden die Tat nachgewiesen werden. Lohnt es sich, zu leugnen? Auszahlungsmatrix Gefangener 2 Leugnen Gestehen Leugnen -1, -1-6, 4 Gefangener 1 Gestehen 4, -6-4, -4 Im Gleichgewicht in dominanten Strategien gestehen beide Gefangenen und werden verurteilt. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 6

7 Nash-Gleichgewicht Viele Spiele haben kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Beispiel: Kampf der Geschlechter Er Theater Kino Theater 2, 1 0, 0 Sie Kino 0, 0 1, 2 Beste Antwort auf Theater ist Theater, beste Antwort auf Kino ist Kino. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 7

8 Ihre optimale Entscheidung hängt von ihrer Erwartung über seine Strategie ab. Seine optimale Entscheidung hängt von seiner Erwartung über ihre Strategie ab. Wenn beide erwarten, daß der/die andere ins Theater geht und sich dementsprechend optimal verhalten, dann werden die Erwartungen bestätigt. rationale Erwartungen Gleichgewichtsprinzip (Theater, Theater) ist ein Nash-Gleichgewicht. Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination mit der Eigenschaft, dass jeder Spieler eine beste Antwort auf die Strategien der anderen wählt. Kein Spieler hat einen Anreiz, von einem Nash- Gleichgewicht abzuweichen. Auch (Kino,Kino) ist ein Nash-Gleichgewicht. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 8

9 Gemischte Strategien Es gibt Spiele, in denen keine Strategiekombination ein Nash-Gleichgewicht ist. Beispiel: Spaltenspieler links rechts oben 0, 0 0, -1 Zeilenspieler unten 1, 0-1, 4 Gemischte Strategie Mehrere (reine) Strategien werden mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt. Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: Jeder Spieler wählt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien, die optimal ist, gegeben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen Spieler. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 9

10 Bestimmung der Nash-Gleichgewichte Beispiel: Kampf der Geschlechter Es seien r die Wahrscheinlichkeit, dass sie Theater wählt und c die Wahrscheinlichkeit, dass er Theater wählt. Ihre Auszahlung ist 2 rc +0 r(1-c) + 0 (1-r)c + 1 (1-r)(1-c) = 1 - c + r(3c - 1). > steigt Wenn 3c 1 0, dann ihre Auszahlung, < fällt wenn r steigt. Wenn 3c 1 = 0, dann ist sie indifferent zwischen beiden reinen Strategien. Zwischenergebnis: Ihre beste Antwort auf c ist 0 wenn c < 1/3 beliebig zwischen br () c = wenn c = 1/3 0 und 1 1 wenn c > 1/3 Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 10

11 Analog ergibt sich für seine Auszahlung 1 cr +0 c(1-r) + 0 (1-c)r + 2 (1-c)(1-r) = 2(1 - r) + c(3r - 2). Seine beste Antwort auf r ist 0 wenn r < 2/3 beliebig zwischen bc () r = wenn r = 2/3 0 und 1 1 wenn r > 2/3 Definition: (r*, c*) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn b r (c*) = r* und b c (r*) = c*. Es gilt b r (0) = 0 und b c (0) = 0, sowie b r (1) = 1 und b c (1) = 1. Die Strategiekombinationen r* = c* = 0 und r* = c* = 1 sind also Nash- Gleichgewichte. Ein weiteres Nash-Gleichgewicht ist gegeben durch r* = 2/3 und c*= 1/3. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 11

12 Grafische Darstellung der besten Antworten Beispiel: Kampf der Geschlechter c 1 b c (r) Nash-Gleichgewichte 1/3 b r (c) 0 2/3 1 r Übung: Bestimme das Nash-Gleichgewicht im Spiel auf Seite 9 dieses Kapitels. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 12

13 Anwendungen Wettrüsten UdSSR Abrüsten Aufrüsten Abrüsten 4, 4 1, 3 USA Aufrüsten 3, 1 2, 2 Im Gleichgewicht rüsten beide auf oder beide ab. Pünktlichkeit Ein Gremium mit einer großen Zahl n von Mitgliedern hält eine Sitzung ab. Mitglied i=1,2,...,n trifft zum Zeitpunkt t i 0 ein. Die Sitzung beginnt, sobald 50% der Mitglieder anwesend sind. Dieser Zeitpunkt sei t 0. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 13

14 Auszahlung des Mitglieds i: -(t i - t 0 ) 2 - t 0 Wenn der einzelne keinen Einfluss auf den Zeitpunkt des Sitzungsbeginns hat, dann erfüllt die optimale Strategie des Auszahlung des Mitglieds i: - 2(t i - t 0 ) = 0. Beste Antwort auf Strategien der anderen, die zum Sitzungsbeginn t 0 führen, ist t i = t 0. In jedem Nash-Gleichgewicht treffen alle Mitglieder genau zum tatsächlichen Sitzungsbeginn ein. Für jedes t gibt es ein Gleichgewicht, in dem zu diesem Zeitpunkt alle eintreffen (t i = t) und die Sitzung beginnt (t = t 0 ). Wettrüsten und das Pünktlichkeitsspiel sind Koordinationsspiele. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 14

15 Schutz des Regenwaldes Durch Boykottaufrufe sinkt die Nachfrage nach Tropenholz. Industriestaaten Tropenholz kaufen kein Tropenholz kaufen Staaten mit Regenwald Tropenholz verkaufen Ackerbau 5, x 2, 0 0, 0 2, 0 Bei x > 0 ist (Tropenholz verkaufen, Tropenholz kaufen) ein Nash-Gleichgewicht, bei x < 0 ist (Ackerbau, kein Tropenholz kaufen) das einzige Nash-Gleichgewicht. Es wird möglicherweise mehr Wald gerodet, um Anbaufläche zu erhalten. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 15

16 Elfmeter Der Schütze entscheidet sich, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores schießt. Der Torwart entscheidet sich, ob er sich in die linke oder rechte Ecke wirft. Die Auszahlungen ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit eines Tores: nach links Torwart nach rechts nach links 0,5; -0,5 0,8; -0,8 Schütze nach rechts 0,9; -0,9 0,2; -0,2 Es gibt kein Gleichgewicht in reinen Strategien. Es seien p bzw. q die Wahrscheinlichkeiten des Schützen bzw. des Torwarts für die Strategie nach links. Im Gleichgewicht in gemischten Strategien muss gelten: Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 16

17 Indifferenz des Schützen: 0,5q +0,8(1-q) = 0,9q +0,2(1-q) q* = 0,6 Indifferenz des Torwarts: -0,5p - 0,9(1-p) = -0,8p -0,2(1-p) p* = 0,7 Knobeln Spieler 2 Papier Schere Stein Papier 0, 0-1, 1 1, -1 Spieler 1 Schere 1, -1 0, 0-1, 1 Stein -1, 1 1,-1 0, 0 Im Gleichgewicht in gemischten Strategien spielen beide jede Strategie mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Elfmeter und Knobeln sind Nullsummenspiele. Die Summe der Auszahlungen ist eine Konstante, d.h. der Gewinn des einen ist der Verlust des anderen. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 17

18 Spieltheorie in der Biologie Falken und Tauben Die Population einer Tierart bestehe aus Individuen, die genetisch entweder aggressiv ( Falken ) oder defensiv ( Tauben ) veranlagt sind. Wenn zwei Individuen aufeinander treffen, ergeben sich folgende Auszahlungen ( Fitness ): Individuum 2 aggressiv defensiv Individuum 1 aggressiv defensiv -2, -2 0, 4 4, 0 2, 2 Es sei p die Anzahl der Individuen, die sich aggressiv verhalten. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 18

19 Fitness der aggressiven Individuen H = -2p + 4(1-p) = 4-6p Fitness der defensiven Individuen D = 0 p +2(1-p) = 2-2p Fitness 4 H 2 D 0 p* = 1/2 2/3 1 p Die Individuen mit der höheren Fitness vermehren sich schneller und vererben ihr Verhalten an die Nachkommen. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 19

20 Wenn der Anteil der aggressiven Individuen p* = 1/2 beträgt, ändert sich die Zusammensetzung der Population nicht mehr. Ausgehend von jeder anderen Zusammensetzung wird p* = 1/2 erreicht. Die Strategie p* = 1/2 ist eine evolutionär stabile Strategie: a) Wenn die Population die Strategie p* spielt, kann kein Mutant sie infiltrieren (d.h. keine andere Strategie erzielt eine höhere Fitness, wenn alle p* spielen). b) Wenn eine Population eine andere Strategie als p* spielt, die beste Antwort auf p* ist, dann setzt sich ein Mutant durch, der p* spielt (d.h. die Fitness von p* ist in einer solchen Population höher als die Fitness dieser Population) Jede evolutionär stabile Strategie ist ein Nash- Gleichgewicht, aber nicht umgekehrt. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 20

21 Pareto-Effizienz und Nash- Gleichgewicht Auszahlungen in einigen Beispielen Gefangenendilemma Gleichgewicht: (-4,-4) wenn beide leugnen würden: (-1,-1) Das Gleichgewicht ist nicht Pareto-effizient. Kampf der Geschlechter Gleichgewichte: (2,1) oder (1,2) sonst: (0,0) Beide Gleichgewichte in reinen Strategien sind Pareto-effizient. Elfmeter, Knobeln Die Summe der Auszahlungen ist in jeder Strategiekombination 0 (Nullsummenspiel). Alle Strategiekombinationen sind Paretoeffizient. Fazit Nash-Gleichgewichte sind manchmal Paretoeffizient, manchmal nicht. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 21

22 Zusammenfassung Die Spieltheorie analysiert strategische Interaktionen zwischen Wirtschaftssubjekten aller Art. Eine dominante Strategie ist optimal, unabhängig davon, welche Strategie die anderen Spieler wählen. Im Nash-Gleichgewicht wählt jeder Spieler eine Strategie, die optimal ist, gegeben die Strategie der anderen Spieler. In einem Gleichgewicht in gemischten Strategien wählen die Spieler Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die möglichen reinen Strategien. Evolutionär stabile Strategien sind Nash- Gleichgewichte. Nash-Gleichgewichte können sowohl Paretoeffizient als auch ineffizient sein. Mikroökonomik II: 17 Normalformspiele 22