Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Übung 1

2 Inhalt der heutigen Übung Stichprobenraum und Ereignisse Unabhängige Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes Hausübung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 2

3 Aufgabe B.1 a) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Welche der folgenden Schreibweisen ergeben einen Sinn? P A BC PB P A P A P B P[ B] 3

4 Aufgabe B.1 a) Lösung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Welche der folgenden Schreibweisen ergeben einen Sinn? P A BC PB P A P A P B P[ B] P[ ] ist eine reelle Zahl, während ein Operator für eine Menge ist. P[ ] ist eine reelle Zahl, während ein Operator für eine Menge ist. Es lassen sich keine Schnittmengen für Wahrscheinlichkeiten bilden. omplementärereignisse beschreiben Mengen und keine Wahrscheinlichkeiten. 4

5 Aufgabe B.1 b) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Mit A, B und C werden Ereignisse bezeichnet. Beschreiben Sie in Worten die folgenden Ausdrücke, und sagen Sie, um was für mathematische Grössen es sich handelt (Zahlen oder Mengen). A B B C P A P ABC ABC 5

6 Aufgabe B.1 b) Lösung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Mit A, B und C werden Ereignisse bezeichnet. Beschreiben Sie in Worten die folgenden Ausdrücke, und sagen Sie, um was für mathematische Grössen es sich handelt (Zahlen oder Mengen). A B B C P A P ABC ABC Mengen Reelle Zahlen, genauer [0,1] Unmögliche Ereignis Nullmenge 6

7 Aufgabe B.1 c) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Stelle die folgende Ereignisse im angegebenen Diagramm dar: C D Ω D D \ C C A C B D A B 7

8 Aufgabe B.2 Der Einsturz eines Gebäudes in Tokyo kann durch zwei voneinander unabhängige Ereignisse verursacht werden: F 1 F 2 = ein grosses Erdbeben = ein starker Taifun Die jährlichen Auftretenswahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind: PF ( ) PF ( ) Berechne die jährliche Einsturzwahrscheinlichkeit eines Gebäudes 8

9 Aufgabe B.2 Lösungsschritte 1. Erkennen der einzelnen Ereignisse: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung F 1 F 2 = ein grosses Erdbeben = ein starker Taifun 2. Was ist gegeben? PF ( ) PF ( ) Was ist gesucht? Jährliche Einsturzwahrscheinlichkeit 9

10 Aufgabe B.2 Lösungsschritte 1. Erkennen der einzelnen Ereignisse: Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung F 1 F 2 = ein grosses Erdbeben = ein starker Taifun 2. Was ist gegeben? PF ( ) Jährliche Einsturzwahrscheinlichkeit: 1 PF ( ) PF ( F) PF ( ) PF ( ) PF ( F)

11 unabhängige Ereignisse P(A B) = P(A). P(B) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aber was bedeutet das eigentlich? PA ( Ç B) PAPB ( ) ( ) PB ( A) = = = PB ( ) PA ( ) PA ( ) Was ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, gegeben Ereignis A? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ohne Vorinformation? Die Information über das Ereignis A kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B nicht verändern. Oder die Information A ist nicht nützlich, wenn man etwas über B wissen will. 11

12 unabhängige Ereignisse Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Warum ist es wichtig, zu wissen, ob Ereignisse unabhängig voneinander sind oder nicht? Hierzu eine kleine Geschichte, die sich vor ein paar Jahrzehnten ereignete Präsidentschaftswahlen zwei andidaten A und B Radiosender wollten das Wahlergebnis im Voraus abschätzen. Sie befragten per Telefon die Leute nach dem Wählen, wen sie gewählt haben. Auf der Grundlage vieler, vieler Befragungen schlossen sie, dass A gewonnen hat. Nach der offiziellen Auszählung der Stimmen war jedoch B der Sieger. 12

13 unabhängige Ereignisse Was in Wirklichkeit geschah ist Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Leute, die ein Telefon besassen, waren zu dieser Zeit reich. Reiche Leute tendierten dazu, andidat A zu wählen. Ärmere Leute tendierten dazu, andidat B zu wählen. Es gab zu dieser Zeit wesentlich mehr arme als reiche Leute. Die Fernsehsender machten ihre Umfrage jedoch ausschließlich per Telefon. Wenn T das Ereignis ist, dass jemand ein Telefon besitzt und V A das Ereignis, dass andidat A gewählt wird, was ist dann die Wahrscheinlichkeit von V A : PV ( A )? Die bedingte Wahrscheinlichkeit von V A bei gegebenem T wurde per Telefon ermittelt: PV ( T) A PV ( ) ¹ PV ( T ) A A was bedeutet, dass V A und T nicht unabhängig sind! 13

14 Aufgabe B.3 In einer Alpenregion gibt es 25 sehr hohe Berggipfel. Diese sind das ganze Jahr über mit Schnee bedeckt und es besteht an jedem Tag die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Loslösen einer Lawine. Diese beträgt 1/40 pro Tag und Berggipfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in dieser Alpenregion an einem Tag zu mindestens zwei Lawinenabgängen kommt? Annahmen: An einem Berggipfel kann sich an einem Tag nur eine Lawine loslösen. Die Wahrscheinlichkeiten eines Lawinenabgangs auf verschiedenen Berggipfeln sind voneinander unabhängig. 14

15 Aufgabe B.3 Lösung Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in dieser Alpenregion an einem Tag zu mindestens zwei Lawinenabgängen kommt? Wahrscheinlichkeit, dass keine Lawine 1 Lawine 2 Lawinen gesuchte Wahrscheinlichkeit 25 Lawinen Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. 15

16 Aufgabe B.3 Lösung Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in dieser Alpenregion an einem Tag zu mindestens zwei Lawinenabgängen kommt? Zur Lösung dieser Aufgabe ist es am einfachsten, die Wahrscheinlichkeit des omplementärereignisses zu berechnen und von 1 (=Summe aller Wahrscheinlichkeiten) abzuziehen. Es gibt folglich 2 mögliche Ereignisse: Ereignis A: Ereignis B: kein Lawinenabgang in dieser Alpenregion, an einem bestimmten Tag. Wahrscheinlichkeit PA ( ) von Ereignis A nur 1 Lawine in dieser Alpenregion, an einem bestimmten Tag. Wahrscheinlichkeit PB ( ) von Ereignis B 16

17 Aufgabe B.3 Lösung Wahrscheinlichkeit ( ) von Ereignis P A A: Wahrscheinlichkeit, dass eine Lawine an einem bestimmten Berggipfel j auftritt 1 Pj ( Lawine) 0.025, j 1,2,..., n n25 40 Wahrscheinlichkeit, dass keine Lawine an einem bestimmten Berggipfel j auftritt 1 Pj ( keine Lawine) 1 ( ) 0.975, j 1,2,..., n n Wahrscheinlichkeit, dass keine Lawine in der Alpenregion auftritt P( A) (1- P ( Lawine)) (1- P ( Lawine)) (1- P ( Lawine))

18 Aufgabe B.3 Lösung Wahrscheinlichkeit ( ) von Ereignis PB B : Wahrscheinlichkeit, dass eine Lawine nur an einem und sonst keinem Berggipfel auftritt: P ( Lawine nur am Berggipfel j) P( Lawine) (1 P( Lawine)) j Wahrscheinlichkeit, dass eine Lawine in der Alpenregion auftritt: 25 P( B) P( Lawinenur an Berggipfel j) j1 18

19 Aufgabe B.3 Lösung Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in dieser Alpenregion an einem Tag zu mindestens zwei (>=2) Lawinenabgängen kommt? PC ( ) 1 PA ( ) PB ( )

20 Satz der totalen Wahrscheinlichkeiten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sei der Ereignisraum aufgeteilt in n sich gegenseitig ausschliessende Ereignisse E 1, E 2,, E n... PAPA E PA E PA E 1 2 n... PAE PE PAE PE PAE PE n n Satz der totalen Wahrscheinlichkeit n i1 PAE PE ( ) i i 20

21 Aufgabe B.4 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Beobachtung einer Verkehrskreuzung hat gezeigt, dass sich n1 50 Fahrzeuge auf der Hauptstrasse in Richtung 1 bewegen. Davon biegen m1 25 Fahrzeuge in die Nebenstrasse ab. n2 200 Fahrzeuge bewegen sich auf der Hauptstrasse in die entgegengesetzte Richtung 2, wovon m2 40 Fahrzeuge in die Nebenstrasse abbiegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug, das sich auf der Hauptstrasse bewegt, in die Nebenstrasse abbiegt? Nebenstrasse m m 1 2 n 1 Hauptstrasse n 2 21

22 Aufgabe B.4 Lösung n1 50 m1 25 n2 200 m2 40 Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 1. biegen davon in die Nebenstrasse ab. Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 2. biegen davon in die Nebenstrasse ab. Das Ereignis, dass ein Fahrzeug auf der Hauptstrasse in Richtung 1 fährt wird, mit A 1 und in Richtung 2 mit A 2 bezeichnet. Das Ereignis, dass ein Fahrzeug in die Nebenstrasse abbiegt, wird mit B bezeichnet. B PB ( ) PB ( A) PB ( A) 1 2 A 2 A 1 22

23 Aufgabe B.4 Lösung P( B) P( BA) P( BA ) 1 2 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit PB ( ) PA ( ) PB ( A) PA ( ) PB ( A) n1 50 m1 25 n2 200 m2 40 Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 1. biegen davon in die Nebenstrasse ab. Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 2. biegen davon in die Nebenstrasse ab. B Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Fahrzeug in eine bestimmte Richtung bewegt, ist: n 50 n2 200 PA PA ( 2) = = 0.8 (n +n ) (50+200) 1 ( 1) = 0.2 (n 1+n 2) (50+200) 1 2 A 2 A 1 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrzeug in die Nebenstrasse abbiegt, beträgt (in Abhängigkeit von der Richtung): m1 25 PB ( A1 ) = = 0.5 n1 50 Daraus ergibt sich letztendlich: PB ( ) PA ( ) PB ( A) PA ( ) PB ( A) PB A m 40 2 ( 2) = = 0.2 n

24 Aufgabe B.4 Lösung n1 50 m1 25 n2 200 m2 40 Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 1. biegen davon in die Nebenstrasse ab. Fahrzeuge auf Hauptstrasse in Richtung 2. biegen davon in die Nebenstrasse ab. Zum Vergleich mit der frequentistischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: Gesamtanzahl der Autos die abbiegen P B ( ) m1 + m = = = n + n Gesamtanzahl der Autos, die auf der Hauptstrasse fahren Dabei ist B das Ereignis, dass ein Fahrzeug, egal aus welcher Richtung, in die Nebenstrasse abbiegt. 24

25 Satz von Bayes Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Aus P( AE) PAE ( ) PE ( ) PE ( APA ) ( ) i i i i Likelihood A Priori folgt PE ( A) i PAE ( i) PE ( i) PAE ( i) PE ( i) n PA ( ) PAE ( ) PE ( ) i1 i i A Posteriori Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Reverend Thomas Bayes ( ) 25

26 Aufgabe B.5 Mit einem besonderen Messgerät können Messungen im Labor durchgeführt werden. Aufgrund der hohen Nachfrage werden 20% dieser Geräte im Land A und 80% von ihnen im Land B produziert. Alle produzierten Geräte sind baugleich und werden nach einem einheitlichen Verfahren durch das IAC (Institute for Atmosphere and Climate) getestet. Die Testergebnisse zeigen, dass 5% der Geräte aus Land A ungenau arbeiten, während für Land B diese Ungenauigkeit nur bei 2% der Geräte in Erscheinung tritt. Eine Studentin führt Messungen mit einem Gerät durch, von dem sie nicht weiss, in welchem Land es hergestellt wurde. Dabei entdeckt sie Messungenauigkeiten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Messungen mit einem Gerät durchgeführt wurden, das im Land A hergestellt wurde? 26

27 Aufgabe B.5 Lösung 20% hergestellt in Land A. 80% hergestellt in Land B. 5% der Geräte aus Land A sind ungenau. 2% der Geräte aus Land B sind ungenau. 1. Vereinfachen der Aufgabenstellung A = Gerät aus Land A B = Gerät aus Land B D = ungenaues Gerät 2. Was wissen wir??? 3. Was ist gesucht??? PA ( ) 0.2 PB ( ) 0.8 PAD ( )? und die Wahrscheinlichkeit, ein ungenaues Gerät zu benutzen: D PD ( A) 0.05 PD ( B) 0.02 A A D B D B 27

28 Aufgabe B.5 Lösung 20% hergestellt in Land A. 80% hergestellt in Land B. 5% der Geräte aus Land A sind ungenau. 2% der Geräte aus Land B sind ungenau. PA ( ) 0.2 PB ( ) 0.8 D PD ( A) 0.05 PD ( B) 0.02 A A D B D B PAD ( ) P( AD) P( A) P( D A) PD ( ) PD ( ) Satz der totalen Wahrscheinlichkeit PA ( ) PD ( A) PAD ( ) PA ( ) PD ( A) PB ( ) PD ( B)

29 Aufgabe B.6 Eine zerstörungsfreie Prüfmethode wird herangezogen, um herauszufinden, ob das abel einer Brücke korrodiert ist. Auf Grund von Experimenten kann man annehmen, dass das abel mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% korrodiert ist. Ist das abel korrodiert, so wird dies vom Prüfgerät zuverlässig angezeigt. Allerdings zeigt dieses Gerät in 10% aller Fälle auch einen orrosionszustand an, obwohl das abel nicht korrodiert ist. Das zerstörungsfreie Prüfverfahren zeigt orrosion an Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das abel tatsächlich korrodiert ist? 29

30 Aufgabe B.6 Lösung 1. Erkennen der einzelnen Ereignisse: I = abel ist korrodiert = Test indiziert orrosion 2. Was ist gegeben??? = abel ist nicht korrodiert = Test indiziert keine orrosion Die Wahrscheinlichkeit, dass das abel korrodiert ist beträgt 1% Wenn das abel korrodiert ist, wird das immer vom Test angezeigt. I Es gibt eine 10% ige Wahrscheinlichkeit, dass der Test orrosion anzeigt, obwohl keine orrosion vorliegt. 30

31 Aufgabe B.6 Lösung P ( ) 0.01 P ( ) 0.99 PI ( ) 1.00 PI ( ) 0.00 PI ( ) 0.10 PI ( )

32 Aufgabe B.6 Lösung P ( ) 0.01 P ( ) 0.99 PI ( ) 1.00 PI ( ) 0.00 PI ( ) 0.10 PI ( ) 0.90 PI ( ) P ( ) P ( I ) PI ( ) P ( ) PI ( ) P ( ) tatsächlicher Zustand Anzeige 1.00 P( I ) 0 P( I ) I 0.10 P( I ) 0.90 P( I ) I 32

33 Aufgabe B.7 Hausübung Aufgrund von steigendem Trink und Nutzwasserverbrauchs entstehen Diskussionen über den Grundwasserspiegel. Das Szenario einer Absenkung des Grundwassers soll analysiert werden, wobei angenommen wird, dass diese Absenkung von der Dicke h der Lehmschicht unterhalb des Grundwassers abhängig ist. Diese wird wie folgt klassifiziert: C 0h20cm C : 2 20cm h 40cm C : 3 40cm h 1 : Ein Geologe schätzt aufgrund seiner Erfahrung, dass die a priori Wahrscheinlichkeit der Lehmschichtdicke an einem bestimmten Ort wie folgt abgeschätzt werden kann: PC ( 1) 0.2 PC ( 2) 0.47 PC ( )

34 Aufgabe B.7 Hausübung Ein geo elektrischer Test kann verwendet werden, um die a priori Wahrscheinlichkeit zu aktualisieren, obwohl das Testergebnis nicht immer korrekt ist. Die Erfahrungen vergangener Tests zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit einer richtig/falsch Indikation wie in folgender Tabelle gegeben ist: lasse der Lehmschichtdicke C 1 C 2 C 3 Indikation für die lasse der Lehmschichtdicke I C1 I I C 2 C P( IC1 C1) 0.03 P( IC3 C1) 0.09 P( I C ) 0.77 P( I C ) C1 2 C P( I C ) 0.89 C 2 3 P( I C ) C3 3 34

35 Aufgabe B.7 Hausübung 1 : Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr viele Informationen deshalb Vereinfachung hilfreich: Die Senkung des Grundwasserspiegels ist abhängig von der Dicke der Lehmschicht h. Einstufung der Lehmschicht (Ereignis): C 0h20cm C : 2 20cm h 40cm C : 3 40cm h a priori Wahrscheinlichkeiten (bekannte Wahrscheinlichkeiten): PC ( 1) 0.2 PC ( 2) 0.47 PC ( ) Tests werden durchgeführt, um die a priori Wahrscheinlichkeit zu aktualisieren, dabei kann es vorkommen, dass das Testergebnis nicht immer richtig indiziert. Wahrscheinlichkeiten von richtig/falschen Anzeigen: siehe Tabelle vorherige Folie 35

36 Aufgabe B.7 Hausübung Was ist gesucht??? a) Vervollständigen der Tabelle: lasse der Lehmschichtdicke C 1 C 2 C 3 Indikation für die lasse der Lehmschichtdicke I C1 I I C 2 C P( IC1 C1) 0.03 P( IC3 C1) 0.09 P( I C ) 0.77 P( I C ) C1 2 C P( I C ) 0.89 C 2 3 P( I C ) C3 3 b) Ein geo elektrischer Versuch wurde durchgeführt und hat als Lehmschichtdicke angezeigt. Was sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, dass die tatsächliche Lehmschichtdicke C, C oder entspricht? Tipp: 1 2 PI ( C ) PI ( C ) PI ( C ) 1 C1 1 C2 1 C3 1 C 3 Tipp: Satz von Bayes, Skript Abschnitt B.5 C 3 36

37 Aufgabe B.7 Hausübung Ablauf: Heute: Ausgabe der Hausübung. Dienstag: Abgabe der Hausübung (in der Vorlesung). Donnerstag: Rückgabe der korrigierten Hausübung. Vorrechnen der Hausübung. Wichtig!!! Hausübung eindeutig kennzeichnen, damit ihr sie wiederbekommt (z.b. Name). Name der Übungsleiters Zusammenheften 37