Analyse nichtlinearer dynamischer Systeme der Elektrotechnik

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1 E. S. Philippow / W. G. Büntig Analyse nichtlinearer dynamischer Systeme der Elektrotechnik Einführung in die numerische Untersuchung einfacher Systeme Mit 198 Bildern und 27 Tabellen Carl Hanser Verlag München Wien

2 Vll Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Vorbereitende Arbeiten - Entwicklung und Normierung der Modellgleichung Die Entwicklung der Modellgleichung Normierung der Modellgleichung Häufig auftretende Modellgleichungstypen Autonome Systeme Die van der Polsche Differentialgleichung Die Rayleighsche Differentialgleichung Die modifizierte van der Polsche Differentialgleichung Heteronome Systeme - Die Duffingsche Differentialgleichung Weitere häufig vorkommende Typen von Modellgleichungen 12 2 Analyse dynamischer Systeme Theoretische Grundlagen Das Integrationsverfahren Die Deltamethode - Grundlagen Die Deltamethode - automatische Schrittweitensteuerung Die Anwendung der Deltamethode auf Differentialgleichungen höherer Ordnung 20

3 VÜi Inhaltsverzeichnis Anwendung der Delta-Methode auf Differentialgleichungen dritter Ordnung Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung Testbeispiel für die Deltamethode 24 3 Möglichkeiten der Darstellung der Lösung Darstellung in der Zeitebene Darstellung im Zustandsraum Darstellung in der Phasenebene Phasenporträts autonomer Systeme Phasenporträts heteronomer Systeme Die Mappingebene Positives Mapping Inverses oder negatives Mapping Topologische Strukturen in der Mappingebene Der Fixpunkt Subharmonische Fixpunkte 35 4 Harmonische Analyse - Fouriertransformation Das Schemaverfahren Die schnelle Fouriertransformation Grundlagen Prinzip der schnellen Fouriertransformation für N = Die Spektralanalyse nichtperiodischer Funktionen Dynamische Analyse nichtlinearer Systeme Systeme zweiter Ordnung Allgemeine Grundlagen Singulare Punkte autonomer Systeme Grenzzyklen Stabilität periodischer Lösungen 55

4 Inhaltsverzeichnis IX Zusammenfassung Klassifikation der Fixpunkte Abschätzung der Stabilität - Beispiele Die Fixpunktsuche Analytische Methoden - Grundwellenansatz Numerische Methoden Ermittlung der Alpha- und Omega- Invarianzkurven Weitere topologische Strukturen Doppelt asymptotische Punkte Geschlossene Invarianzkurven - Quasiperiodische Lösungen Bifurkation Die D-Bifurkation (+1 Bifurkation) Die quasiperiodische Bifurkation Die I-Bifurkation (- 1 Bifurkation) Die gewöhnliche Hopfbifurkation Die verallgemeinerte Hopfbifurkation Mechanismus der Entstehung einer quasiperiodischen Lösung Der seltsame Attraktor Die Fixpunktverfolgung 89 Systeme dritter Ordnung Die Modellgleichung Die Stabilität der periodischen Lösungen Berechnung der Eigenvektoren Invarianzkurven und Invarianzfiächen 95 Systeme höherer Ordnung Die Modellgleichung Die Stabilität der periodischen Lösungen Numerische Verfahren zur Lösung der Eigenwertaufgabe Direkte Verfahren Iterative Verfahren 101

5 X Inhaltsverzeichnis 6 Dynamische Analyse einfacher Systeme der Elektrotechnik Der nichtlineare parallele Ferroresonanzkreis Die Entwicklung der Modellgleichung Normierung der Kennlinie Normierung der Differentialgleichung Analytische Auswertung der Modellgleichung 2. Ordnung Numerische Auswertung der Modellgleichung 2. Ordnung Vergleich der Modellgleichungen 2. und 3. Ordnung Übersicht über größere Variationsbereiche der Amplitude der Aussteuerung Der Bereich der Mehrdeutigkeit Das Stabilitätsverhalten der Fixpunkte Der nichtlineare Reihenferroresonanzkreis Normierung der Modellgleichung Übersicht über das Verhalten des Systems Der nicht lineare Reihenferroresonanzkreis mit asymmetrischer Magnetisierungskennlinie Einleitung Die gesteuerte Induktivität - Normierung der Kennlinie Die Ausbildung der einfachen und der mehrfachen Mehrdeutigkeit Die Modellgleichung des Systems Normierung der Modellgleichung Die Parameter der Modellgleichung Analytische Voruntersuchung des Systemverhaltens - Grundwellenansatz Numerische Analyse Anwendung der dynamischen Analyse bei der Synthese von elektrotechnischen Systemen mit vorgegebenem Verhalten Grundlagen 153

6 Inhaltsverzeichnis XI 7.2 Die Synthese autonomer Systeme f Der exakt sinusförmige Oszillator Bestimmung der Rückstellfunktion Bestimmung der Dämpfungsfunktion Weitere Varianten der Modellgleichung Numerische Analyse der entwickelten Modellgleichungen Schaltungssynthese Synthese heteronomer Systeme - Subharmonisch reagierende Systeme Entwicklung der Modellgleichung Die Entwicklung des mathematischen Modells Die Gestaltung der Terme der Modellgleichung Das zweifach subharmonisch reagierende System Die Netzwerksynthese Die numerische Analyse Ergebnisse der numerischen Analyse Das dreifach subharmonisch reagierende System Die Modellgleichung Untersuchung der Rolle des Parameters Epsilon zur Wichtung des Dämpfungsfaktors Das Verhalten im Fall b ungleich B Wichtung des Koppeltermes Die Schaltungssynthese Untersuchung des Verhaltens parametrischer Systeme mit zweifach subharmonischer Reaktion Mathematische Synthese der Modellgleichung Die Schaltungssynthese Die numerische Analyse der entwickelten Modellgleichung 238 Literatur 257 Namen- und Sachverzeichnis 263