Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

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1 Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung

2 Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus robuste und nicht robuste Mittelwerte Erwartungswert und Varianz

3 Erwartungswert Definition Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist derjenige Wert der Zufallsvariablen, dessen Eintreffen vor der Durchführung des Zufallsexperimentes im Mittel zu erwarten ist. diskrete ZV: E(X ) = i x i f (x i ) stetige ZV: E(X ) = x f (x)dx

4 Varianz Definition Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel. diskrete ZV: stetige ZV: Var(X ) = n n (x i x) i= Var(X ) = (x µ) f (x)dx

5 Wichtige Verteilungsmodelle 3-3 Wichtige Verteilungsmodelle 3. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Eine diskrete Zufallsvariable X mit den endlich vielen Realisationen x i, (i =,..., n) heißt diskret gleichverteilt, wenn jeder Wert von X die gleiche Wahrscheinlichkeit der Realisierung hat. Statistik

6 Wichtige Verteilungsmodelle 3- Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion f(x i ) = n 0 sonst für i =,..., n 0 für x < x F (x) = i n für x i x < x i+ ; i =,..., n für x n x Statistik

7 Wichtige Verteilungsmodelle 3-4 Beispiel 3.: Einmaliges Werfen eines idealen Würfels X = Augenzahl ; Wertebereich:,, 3, 4, 5, 6 klassische Definition der Wahrscheinlichkeit: f(x i ) = /6 für i =,..., 6. Statistik

8 Wichtige Verteilungsmodelle 3-3 Erwartungswert und Varianz E(X) = µ = n V ar(x) = σ = n n i= x i n (x i µ) i= Diskrete Gleichverteilung hängt vom Parameter n ab Statistik

9 Wichtige Verteilungsmodelle 3-5 Stetige Gleichverteilung Eine stetige Zufallsvariable X, die nur Werte im Intervall [a, b] annehmen kann und deren Dichtefunktion in diesem Intervall positiv und konstant und sonst Null ist, heißt stetig gleichverteilt. Wahrscheinlichkeitsdichte Verteilungsfunktion f(x) = F (x) = b a 0 sonst für a x b 0 für x < a x a b a für a x < b für b x Statistik

10 Herleitung Dichtefunktion f(x) b a Flaecheninhalt = a b

11 Herleitung Verteilungsfunktion F(x) F(x) = x a b a a x b

12 Wichtige Verteilungsmodelle 3-6 Erwartungswert und Varianz E(X) = b + a (b a) V ar(x) = Stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern a und b ab Statistik

13 Herleitung Erwartungswert und Erwartungswert + b E(X ) = x b a = x a b a = x b (b a) a = (b a) b b a a = (b a) (b a ) = (b a)(b + a) (b a) = a + b

14 Var(X ) = = = = = = Z + (x E(X )) f (x)dx =Z b (b a) 3 3(b a) 3(b a) 3(b a) 3(b a) = 3 " x a + b 3b b a + b 3 3 b a b b a b a b a 3 a a + b a b a + b a = b a (b a) = 3 x a + b (b a) dx a a + b a a b # 3! + b a 3! 3! b a!

15 Beispiel 3. ZV X Wartezeit auf die nächste S-Bahn in Minuten Wertebereich [a, b] = [0, 0] P(0 X 0) = P(a X b) = = k (b a) = k = b a = 0 = 0.05 b a k dx

16 Wichtige Verteilungsmodelle 3-9 f(x) = 0 0 < x 0 0 sonst F (x) = 0 x < 0 0 x 0 x < 0 sonst Dichtefunktion Verteilungsfunktion Statistik

17 Wichtige Verteilungsmodelle 3-0 E(X) = + 0 xf(x) dx = x 0 dx 0 = [ ] 0 0 x 0 = [ 0 0 ] 0 = 0 Statistik

18 Wichtige Verteilungsmodelle 3- V ar(x) = = = 0 = 0 (x µ) f(x) dx (x 0) dx (x 0x + 00) dx [ 3 x3 0x + 00x = [ ] = 33, 33 ] Statistik

19 Bernoulli-Verteilung Zufallsvariable X mit zwei Ausprägungen, und 0 zugrundeliegendes Zufallsexperiment mit A (Erfolg) und A (Misserfolg) A tritt mit W. p ein, A mit Gegenwahrscheinlichkeit p A tritt ein, ZV X erhält den Wert, bei A den Wert 0 P(X = ) = P(A) = p P(X = 0) = P(A) = p

20 Bernoulli-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion p für x=0 f Be (x, p) = p für x= 0 sonst Verteilungsfunktion 0 für x < 0 F Be (x, p) = p für 0 x < für x E(X ) = 0 ( p) + p = p Var(X ) = (0 p) ( p) + ( p) p = p( p)

21 Binomialverteilung - Einführendes Beispiel 4-maliger Münzwurf P( Kopf ) = P( Zahl ) = Würfe sind unabhängig Zufallsvariable X Anzahl von Kopf bei n=4 Würfen

22 K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

23 Weg fuer KKKK K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

24 4 Wege fuer KKKZ - K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

25 4 Wege fuer KKKZ - K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

26 4 Wege fuer KKKZ - 3 K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

27 4 Wege fuer KKKZ - 4 K Z KK KZ ZZ KKK KKZ KZZ ZZZ KKKK KKKZ KKZZ KZZZ ZZZZ

28 Pascalsches Dreieck

29 Binomialkoeffizient Binomialkoeffizient Anzahl der Kombinationen = ( n x ) = n! x! (n x)! Kombinationen Eine Auswahl von x Objekten aus einer Menge von n Objekten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge nennt man Kombination. (n + )-Zeile, (x + )-Spalte ( 4 ) = (4 + )-Zeile, ( + )-Spalte 6 4!! (4 )! = 6

30 Pascalsches Dreieck

31 Wichtige Verteilungsmodelle 3-4 X = { Anzahl des Auftretens von A bei n Versuchen } Wertebereich: x = 0,,,..., n X diskrete Zufallsvariable n X = i= X i P (X = x) = f(x) =? Eintreten der Realisation X = x z.b. wenn Ereignisfolge eintritt. A A... A }{{ x A } x+ A x+... A n }{{} x mal A Reihenfolge der Anordnung spielt keine Rolle (n x) mal A A x+, A, A,..., A x, A x+,..., A n Statistik

32 Wichtige Verteilungsmodelle 3-5 Wahrscheinlichkeit, diese Ereignisfolge zu erhalten: P (A A... A x A x+ A x+... A n ) = P (A )... P (A x ) P (A x+ )... P (A n ) = p... p ( p)... ( p) }{{}}{{} x n x = p x ( p) n x Anzahl der verschiedenen Ereignisfolgen, x-mal das Ereignis A bei n Versuchen zu erhalten = Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung ( n ) n! = x x!(n x)! P (X = x) = f(x) = ( n x ) p x ( p) n x Statistik

33 Wichtige Verteilungsmodelle 3-6 Wahrscheinlichkeitsfunktion ( n ) x p x ( p) n x für x = 0,,..., n f B (x; n, p) = 0 sonst Verteilungsfunktion F B (x; n, p) = x k=0 ( n ) k p k ( p) n k für x 0 0 für x < 0 Statistik

34 Wichtige Verteilungsmodelle 3-7 E(X) = n p V ar(x) = n p ( p) Die Binomialverteilung hängt von den Parametern n und p ab Kurzschreibweise: X B(n; p) Statistik

35 Wichtige Verteilungsmodelle 3-8 B(8; 0,0) B(8; 0,75) B(8; 0,5) B(8; 0,90) B(8; 0,50) Statistik

36 Wichtige Verteilungsmodelle 3-9 Beispiel 3.3: Urne mit 0 Kugeln, 3 weiße, 7 rote Kugeln A = {Ziehen einer weißen Kugel} Ā = {Ziehen einer roten Kugel} Ziehen mit Zurücklegen Versuche unabhängig P (A) = p = 0, 3 P (Ā) = p = 0, 7 konstant n = 5 Ziehungen X i = {Anzahl des Auftretens einer weißen Kugel bei der i-ten Ziehung}, i =,..., 5 X i P (X i = x i ) = f(x i ) 0,3 0 0,7 Statistik

37 Wichtige Verteilungsmodelle 3-0 X = {Anzahl des Auftretens weißer Kugeln bei n = 5 Ziehungen mit Zurücklegen} X = i X i X B(n; p) = B(5; 0, 3) X = (weiße Kugeln) P (X = ) = f B (; 5; 0, 3) ( ) 5 = 0, 3 0, 7 3 = 0, 3087 Statistik

38 Wichtige Verteilungsmodelle 3- Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung B(5; 0, 3) x f B (x; n, p) F B (x; n.p) 0 0,68 0,68 0,360 0,58 0,3087 0, ,33 0, ,084 0, ,004,0000 Statistik

39 Wichtige Verteilungsmodelle 3- Berechnung mit Verteilungsfunktion: f B (; 5; 0, 3) = F B (; 5; 0, 3) F B (; 5; 0, 3) = 0, , 58 = 0, 3087 Statistik

40 Verteilungsfunktion Binomialverteilung F(x) F(x) = P(X x) = x i=0 P(X = x i ) x

41 Wichtige Verteilungsmodelle 3-3 Y i = {Anzahl des Auftretens einer roten Kugel bei der i-ten Ziehung}, i =,..., 5 Y i P (Y i = y i ) = f(y i ) 0,7 0 0,3 Y = {Anzahl des Auftretens roter Kugeln bei n = 5 Ziehungen mit Zurücklegen} Y = Σ i Y i Y B(n; p) = B(5; 0, 7) Y = (rote Kugeln) P (Y = ) = f B (; 5; 0, 7) ( ) 5 = 0, 7 0, 3 3 = 0, 33 Statistik

42 Alternative Berechnung P( rote Kugeln ) = P( 3 weisse Kugeln ) f B (, 5, 0.7) = f B (3, 5, 0.3) f B (y, n, p) = f B (n y, n, p) f B (3, 5, 0.3) = 0.33 f B (3, 5, 0.3) = F B (3, 5, 0.3) F B (, 5, 0.3) f B (3, 5, 0.3) = = 0.33

43 Wichtige Verteilungsmodelle 3-5 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung B(5; 0, 3) x f B (x; n, p) F B (x; n.p) 0 0,68 0,68 0,360 0,58 0,3087 0, ,33 0, ,084 0, ,004,0000 Statistik

44 Wichtige Verteilungsmodelle Hypergeometrische Verteilung Zufallsexperiment: Gesamtheit: endliche Anzahl N von Objekten M Objekte mit Eigenschaft A N M Objekte ohne Eigenschaft A zwei Ereignisse A und Ā zufällige Auswahl von n Objekten Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen keine Unabhängigkeit der Ziehungen P (A), P (Ā) nicht konstant Statistik

45 Die Hypergeometrische Verteilung N=8 Kugeln, M=4 davon rot, n=3-mal ziehen OHNE Zuruecklegen 4/8 4/8 3/7 4/7 4/7 3/7 /6 4/6 3/6 3/6 3/6 3/6 4/6 /6 /4 /7 /7 /7 /7 /7 /7 /4 P( rote Kugel)= 3 P(3 rote Kugeln)= 7 P( rote Kugeln)= 3 P(0 rote Kugeln)= 7 4 4

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