Einführung in MATHEMATICA

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1 Einführung in MATHEMATICA Prof. Dr. Georg Reents Institut für Theoretische Physik und Astrophysik der Universität Würzburg Inhaltsverzeichnis. Simple Arithmetik Die wichtigsten Funktionen Graphik Variablen und selbstdefinierte Funktionen Listen Einlesen, Speichern und Fitten von Daten Schleifen, If Abfragen und rekursive Definitionen Differentiation, Integration und Taylorreihen Vektoren, Matrizen und Eigenwerte Gleichungen lösen Muster, Ordnen und Sortieren

2 2. Simple Arithmetik In[]:= 4 7 Out[]= In[2]:= Leerstelle Multiplikation Out[2]= 2.6 In[3]:= Auch Multiplikation Out[3]= 24 In[4]:= 24 8 Division Out[4]= 3 In[5]:= 2^3 ^ Potenz Out[5]= 8 In[6]:= 3 4 ^2 2 3 Out[6]= 4 In[7]:= % 5 % das letzte Resultat Out[7]= 4 5 In[8]:= N % N x numerischer Wert von x Out[8]= 8.2 In[9]:= ^23 Out[9]= In[0]:= 3^ Potenz vor Punkt vor Strich Out[0]= 8

3 3 2. Die wichtigsten Funktionen In[]:= Sqrt 6 Sqrt x Wurzel von x Out[]= 4 In[2]:= N Π 2 Eintippen von Π : p Out[2]=.5708 In[3]:= Sin % Sin x sin x Out[3]=. Alle in MATHEMATICA vorhandenen Funktionen, Prozeduren, Konstanten,... beginnen mit einem Großbuchstaben. Funktionsargumente stehen jeweils in eckigen Klammern [ ]. In[4]:= Cos Π 4 Unterschied: exakte Werte und numerische Werte Out[4]= 2 In[5]:= Exp 0.5 Exp x Exponentialfunktion von x Out[5]= In[6]:= Log % Out[6]= 0.5 In[7]:=? Lo* System Locked LogGamma LogIntegral LongForm LowerCaseQ Log LogicalExpand LongestMatch Loopback Online Hilfe mit "?" oder mit dem Help Browser In[8]:=? Log Log z gives the natural logarithm of z logarithm to base e. Log b, z gives the logarithm to base b. More In[9]:= Log Exp 0.5 Out[9]= 0.5 In[20]:= Out[20]= In[2]:= Sqrt? I I represents the imaginary unit Sqrt. More In[22]:= Log 2 I I und sind dasselbe Out[22]= Log 2

4 4 In[23]:= Out[23]= Log. 2 I In[24]:= Sqrt 5. Log Ist äquivalent zu Log Sqrt 5. Out[24]= In[25]:=? Arc* System ArcCos ArcCosh ArcCot ArcCoth ArcCsc ArcCsch ArcSec ArcSech ArcSin ArcSinh ArcT In[26]:= ArcTan 2. Out[26]=.075 In[27]:= Re %23 %23 ist dasselbe wie Out 23 Out[27]= In[28]:= Im Log. 2 I Re z, Im z : Realteil und Imaginärteil von z Out[28]=.075

5 5 3. Graphik In[29]:= Plot Sin x, x, 0, 2 Π statt x auch anderer Variablenname möglich Out[29]= In[30]:= Graphics Plot BesselJ 0, x, BesselJ, x, BesselJ 3, x, x, 0, 0, PlotStyle RGBColor, 0, 0, RGBColor 0,, 0, RGBColor 0, 0, Out[30]= Graphics

6 6 In[3]:= Plot Sign Mod x, 0.5, x, 0, 4 Mod x,y x modulo y, Sign x Vorzeichen von x Out[3]= Graphics Die wichtigsten Plot Befehle: Plot[f, {x, xmin, xmax}] Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] ParametricPlot[{fx, fy},{t, tmin, tmax}] und ParametricPlot3D[...] ContourPlot[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] In[32]:= Plot3D BesselJ, Sqrt x^2 y^2, x, 9, 9, y, 9, 9, PlotPoints Out[32]= SurfaceGraphics

7 7 In[33]:= ParametricPlot Sin 5 t, Sin 6 t, t, 0, 2 Pi Out[33]= Graphics - In[34]:= ParametricPlot3D Cos t, Sin t, t 6, t, 0, 6 Pi Out[34]= Graphics3D

8 8 In[35]:= ParametricPlot3D 2 Sin t Cos phi, 2 Sin t Sin phi, Cos t, t, 0, 2 Pi, phi, 0, 2 Pi Out[35]= In[36]:= Graphics3D ContourPlot 2 Exp x^2 y^2 2 Exp x 3 ^2 y^2, x, 3, 5, y, 4, 4, PlotPoints Out[36]= In[37]:= Out[37]= ContourGraphics Options ContourPlot AspectRatio, Axes False, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorFunction Automatic, ColorFunctionScaling True, ColorOutput Automatic, Compiled True, ContourLines True, Contours 0, ContourShading True, ContourSmoothing True, ContourStyle Automatic, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog, FormatType $FormatType, Frame True, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, ImageSize Automatic, PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, Prolog, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic

9 9 In[38]:= Show %%, ContourSmoothing True, ContourShading False Show zeigt Graphikobjekte,evtl.mit Optionen Out[38]= ContourGraphics

10 0 4. Variablen und selbstdefinierte Funktionen In[39]:= n 40 Out[39]= In[40]:= N n Out[40]= In[4]:= a N n 0^47 Out[4]= In[42]:= Precision a die Anzahl der Stellen von a Out[42]= MachinePrecision Falls nicht anders spezifiziert, werden Zahlen mit Dezimalpunkt intern mit 6 Stellen verarbeitet In[43]:= N Pi, 40 Π mit 40 Stellen Out[43]= In[44]:= Out[44]= In[45]:= Out[45]= In[46]:= Precision Pi Precision.0 MachinePrecision x a n Out[46]= In[47]:= Clear a, n, x Clear a,n,x,... löscht die Belegung der Variablen a, n, x,... In[48]:= q a b ^3 Out[48]= a b 3 In[49]:= q Out[49]= a b 3 In[50]:= q Expand q Expand.. multipliziert aus Out[50]= a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 In[5]:= Factor q Factor.. faktorisiert Out[5]= a b 3 In[52]:= Out[52]= b

11 In[53]:= q Out[53]= 3 a 3 a 2 a 3 Definition von Funktionen In[54]:= In[55]:= Clear "Global " löscht die Belegung von allen benutzerdefinierten Variablen f x_ Exp 0.25 x^2 Cos 4.5 x x_ ist ein Platzhalter mit dem Namen x. Der Unterstreichungsstrich bei x_ ist wichtig. Er darf nur auf der linken Seite der Gleichung auftauchen Out[55]= 0.25 x2 Cos 4.5 x In[56]:= Out[56]= In[57]:= f Plot f x, x, Π, Π Out[57]= In[58]:= In[59]:= Graphics fermi e_, Β_ : Exp Β e Plot fermi e, 8, fermi e, 6, fermi e, Infinity, e, 0, Out[59]= Graphics

12 2 5. Listen In[60]:= l 2, 3, 4 eine Liste von 3 Zahlen. Listen werden mit geschweiften Klammern geschrieben Out[60]= 2, 3, 4 In[6]:= Head l List. Jedes Ding hat einen Kopf. l ist eine Liste Out[6]= List In[62]:= lq l^2 fast alle Funktionen haben das Attribut listable Out[62]= 4, 9, 6 In[63]:= Log l N Liste der Logarithmen Out[63]= ,.0986, In[64]:= Table 2, 0 Table.. macht Listen Out[64]= In[65]:= Out[65]= In[66]:= 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 Table i^3, i, 5, 8, 27, 64, 25 Table j, j, 3, 8 Out[66]= 3, 4, 5, 6, 7, 8 In[67]:= Out[67]= Table x, x, 0, 2, , 0.25, 0.5, 0.75,.,.25,.5,.75, 2. Table[expr,{...}] erzeugt Listen. Die geschweifte Klammer mit der allgemeinenform {i, imin, imax, di} heißt iterator. Verkürzungen der allgemeinen Form sind möglich. In[68]:= liste Table x, Gamma x, x, 2, 4, 0.05 ; Ein Semikolon (;) nach einem Ausdruck unterdrückt das nächste Out[..]. Die Variablen haben dennoch die ihnen zugewiesenen Werte. In[69]:= Short liste Kurzform von liste Out[69]//Short= 2,, 2.05,.0228, 38, 4., 6.

13 3 In[70]:= ListPlot liste ; ListPlot.. plottet Daten In[7]:= Out[7]= letters Table FromCharacterCode j, j, 22, 97, z, y, x, w, v, u, t, s, r, q, p, o, n, m, l, k, j, i, h, g, f, e, d, c, b, a In[72]:= Sort letters Sort.. sortiert, auch Zahlen Out[72]= a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z In[73]:= letters 3 das 3. Element der Liste letters Out[73]= x Teile von Listen oder Ausdrücken erhält man mit doppelten eckigen Klammern [[..]]. In[74]:= Length liste die Länge von liste Out[74]= 4 In[75]:= liste 20 Out[75]= In[76]:= 2.95,.9077 liste 20, Out[76]= 2.95 In[77]:= liste 20, 2 Out[77]=.9077 In[78]:= Out[78]= abc Reverse letters a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z In[79]:= abc negativer Index Zählung von hinten Out[79]= In[80]:= Out[80]= z Permutations, 2, 3 alle Permutationen von,2,3, 2, 3,, 3, 2, 2,, 3, 2, 3,, 3,, 2, 3, 2,

14 4 6. Einlesen, Speichern, Fitten von Daten In[8]:= f x_ :.0 x^4 2.0 x^2 0.5 In[82]:=? f Global f f x_ :. x 4 2. x In[83]:= p Plot f x, x,.5,.5 ; In[84]:= r : Random Real, 0., 0. Random[ ] (ohne Argument) liefert eine reelle Zufallszahl zwischen 0 und. Random[type,range] ist die allgemeinere Form. In[85]:= In[86]:= daten Table x, f x r, x,.5,.5, 0.05 ; p2 ListPlot daten ; In[87]:= Show p, p2 ; Show.. kann Graphikobjekte kombinieren

15 5 In[88]:= g x_ Fit daten,, x, x^2, x^3, x^4, x Out[88]= x x x x 4 Fit[..] berechnet einen linearen least square Fit In[89]:= Plot f x, g x, x,.5,.5, PlotStyle RGBColor, 0, 0, RGBColor 0, 0, ; In[90]:= daten liste.dat MATHEMATICA Objekte lassen sich sich mit >> filename speichern In[9]:= liste.dat bringt den Inhalt von Dateien auf den Bildschirm In[93]:= daten2 liste.dat ; Einlesen mit In[94]:= daten2 daten ist das Gleichheitszeichen in Gleichungen Out[94]= True In[95]:= In[96]:= OutputForm TableForm Chop daten messdaten.dat messdaten.dat messdaten.dat könnte ein Datenfile sein, das bei einer Messung erzeugt wurde. In[97]:= data ReadList "messdaten.dat", Real, Real ; ReadList[..] macht aus Daten eine MATHEMATICA Liste, hier eine Liste von Zahlenpaaren. In[98]:= modell x_ a b x c x^2 d x^3 e x^4 eine Modellfunktion mit den Parametern a, b, c, d, e Out[98]= a b x c x 2 d x 3 e x 4 In[99]:= Needs "Statistics NonlinearFit " Auf diese Weise wird das package NonlinearFit.m geladen In[00]:= h x_ NonlinearFit data, modell x, x, a, b, c, d, e NonlinearFit.. ersetzt die Parameter der Modellfunktion durch ihre optimalen Werte Out[00]= x x x x 4

16 6 In[0]:= Plot f x, h x, x,.5,.5, PlotStyle RGBColor, 0, 0, RGBColor 0, 0, ; In[02]:= Clear "Global " In[03]:= f x_ : Exp x^2 In[04]:= p Plot f x, x, 2, 2 ; In[05]:= r : Random Real, 0.05, 0.05 In[06]:= SeedRandom 77 setzt den Zufallszahlengenerator in einen definierten Anfangszustand In[07]:= daten Table x, Abs f x r, x, 2, 2, 0.02 ; Abs x x In[08]:= p2 ListPlot daten ; In[09]:= Show p, p2 ; In[0]:= logy x_, y_ : x, Log y In[]:= logdaten Map logy, daten ; Map logy,daten wendet die Funktion logy auf jedes Element Zahlenpaar der Liste daten an In[2]:= linfit x_ Exp Fit logdaten,, x^2, x Out[2]= x2 In[3]:= p3 Plot linfit x, x, 2, 2 ;

17 7 In[4]:= Show p2, p3 ; Schlechter Fit In[5]:= testf x_ : Exp a b x^2 In[6]:= h x_ NonlinearFit daten, testf x, x, a, b Out[6]= x2 In[7]:= p4 Plot h x, x, 2, 2 ; In[8]:= Show p2, p4 ; Besserer Fit

18 8 7. Schleifen, If Abfragen, rekursive Definitionen Schleifen: Do[expr,{iterator}] For[start, test, incr, body] While[test, body] Nest[f, expr, n] NestList[f, expr, n] FixedPoint[f, expr] In[9]:= s " "; s2 " ASCII Code " s und s2 sind Strings Out[9]= ASCII Code Durch Semikolon getrennt kann man mehrere MATHEMATICA Befehle aneinanderfuegen. In[20]:= Do Print s, FromCharacterCode j, s2, j, j, 65, 75 A ASCII Code 65 B ASCII Code 66 C ASCII Code 67 D ASCII Code 68 E ASCII Code 69 F ASCII Code 70 G ASCII Code 7 H ASCII Code 72 I ASCII Code 73 J ASCII Code 74 K ASCII Code 75 In[2]:= For i, i, i, Print i i i i

19 9 In[22]:=? For For start, test, incr, body executes start, then repeatedly evaluates body and incr until test fails to give True. More In[23]:= test : a Random ; a 0.8 General::spell : Possible spelling error: new symbol name "test" is similar to existing symbol "testf". More In[24]:= While test, Print a In[25]:= Nest Sin, t, 3 Out[25]= Sin Sin Sin t In[26]:= Nest Sin,.5, 30 Out[26]= In[27]:= NestList Sin,.5, 30 Out[27]=.5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , In[28]:= f x_ : N Cos x, 8 Cos x mit 8 Stellen In[29]:= FixedPoint f, 0 Out[29]= Die If Konstruktion: In[30]:= If Random 0.5, Print "Zahl 0.5" Zahl 0.5 In[3]:= theta x_ : If x 0, 0,

20 20 In[32]:= Plot theta x, x, 2, 2, AspectRatio Automatic ; Rekursive Definitionen: In[33]:= p.0; p n_ : p n 365 n 365; w n_ : p n In[34]:= Do Print "w ", k, " ", Round 00 w k, "%", k, 2, 20 w 2 % w 3 % w 4 2% w 5 4% w 6 5% w 7 7% w 8 9% w 9 % w 0 4% w 6% w 2 9% w 3 22% w 4 25% w 5 28% w 6 3% w 7 35% w 8 38% w 9 4% w 20 44% In[35]:= pr.0; pr n_ : pr n pr n 365 n 365 Diese Konstruktion bewirkt, dass pr[..] sich an alle vorher berechneten Werte "erinnert". In[36]:= wr n_ : pr n

21 2 In[37]:= Timing Table w k, k, 50, 00 ; Timing.. liefert CPU Zeit Out[37]= Second, Null In[38]:= Timing Table wr k, k, 50, 00 ; Out[38]= Second, Null

22 22 8. Differentiation, Integration, Taylorreihen In[39]:= Clear "Global " In[40]:= D Exp x^2, x die Ableitung von Exp x^2 bezüglich x Out[40]= 2 x2 x In[4]:= Integrate x^4, x das unbestimmte Integral Out[4]= ArcTan x 2 In[42]:= D %, x 4 Log x Log x 4 Out[42]= 4 x 4 x 2 x 2 In[43]:= Simplify % Simplify.. bringt auf den Hauptnenner, vereinfacht... Out[43]= x 4 In[44]:= Integrate Exp c x, x, a, b das bestimmte Integral Out[44]= a c b c c In[45]:= Integrate Log x, x,, 3 Out[45]= 2 Log 27 In[46]:= Integrate Sin Sin x, x, 0, Out[46]= Sin Sin x x 0 In[47]:= NIntegrate Sin Sin x, x, 0, numerisch geht s Out[47]= In[48]:= Integrate x y Exp x^2 y^2, x, 0, 2.0, y, 0, x Out[48]=

23 23 In[49]:= Integrate x^2, x,, Out[49]= Integrate::idiv : Integral of x 2 x 2 x does not converge on,. More In[50]:= D Sin a x, x, a gemischte Ableitung: nach x und nach a Out[50]= Cos a x a x Sin a x In[5]:= D Sin Ω t, t, 2 2 fache Ableitung nach t Out[5]= Ω 2 Sin t Ω Taylorreihen: In[52]:= reihe Series Tan x, x, 0, 0 Out[52]= x x3 3 2 x5 5 7 x x9 O x 2835 Series[expr, {x, x0, n}] erzeugt eine Taylorreihe von expr bzgl. der Variablen x um den Punkt x0, und zwar bis zur Ordnung n. Normal[..] macht aus dem Ergebnis von Series[..] ein Polynom. In[53]:= Normal reihe Out[53]= x x3 3 2 x5 5 7 x x In[54]:= Timing r Series Exp Sin x, x, 0, 70 ; Out[54]= Second, Null In[55]:= Timing r2 Series Exp Sin.0 x, x, 0, 70 ; Out[55]= Second, Null Numerische Werte können meistens erheblich schneller berechnet werden als exakte.

24 24 9. Vektoren, Matrizen, Eigenwerte In[56]:= v x, y, z Vektoren werden als Listen geschrieben Out[56]= x, y, z In[57]:= r Table a j, j, 3 Out[57]= a, a 2, a 3 In[58]:= b Table i j, i, 3, j, 3 Matrizen sind Listen von Listen Out[58]= 2, 3,, 4 3, 4,, 5 4, 5, 6 In[59]:= MatrixForm b Out[59]//MatrixForm= In[60]:= d DiagonalMatrix d, d2, d3 Out[60]= d, 0, 0, 0, d2, 0, 0, 0, d3 In[6]:= IdentityMatrix 3 Out[6]=, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, In[62]:= Transpose b b Transpose.. transponiert Out[62]= True In[63]:= Det b die Determinante von b Out[63]= In[64]:= v.r das Skalarprodukt von v und r Out[64]= x a y a 2 z a 3 In[65]:= b.v die Matrix b auf den Vektor v angewandt Out[65]= x 2 y 3 z 4, x 3 y 4 z 5, x 4 y 5 z 6

25 25 In[66]:= b.d das Matrixprodukt b mal d Out[66]= d 2, d2 3, d3 d, 4 3, d2 4, d3 d, 5 4, d2 5, d3 6 In[67]:= b.inverse b Inverse.. invertiert Out[67]=, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, In[68]:= Eigenvalues b Out[68]= Root 572 # # # 3 &, 3, Root 572 # # # 3 &, 2, Root 572 # # # 3 &, Die Eigenwerte von b sind Nullstellen eines Polynoms 3. Grades. MATHEMATICA kann diese Nullstellen mit der Cardano Formel exakt berechnen. In[69]:= nb N b eine Matrix mit numerischen Werten Out[69]= 0.5, , 0.25, , 0.25, 0.2, 0.25, 0.2, In[70]:= Eigenvalues nb die Eigenwerte von nb Out[70]= , , In[7]:= u Eigenvectors nb eine Liste der Eigenvektoren von nb Out[7]= , , , , , , , , In[72]:= Chop u.transpose u Out[72]=., 0, 0, 0,., 0, 0, 0,. In[73]:= Sort Thread Eigensystem nb Out[73]= , , , , , , , , , , , In[74]:= regel FindRoot Cos x x, x, Out[74]= x

26 26 0. Gleichungen lösen In[75]:= In[76]:= Clear "Global " ; regel FindRoot Cos x x, x, Out[76]= x FindRoot[..] findet numerische Lösungen von Gleichungen. Die Klammer {x, } bedeutet: Suche eine Lösung bzgl. x und starte die Suche bei x=. Das Ergebnis von FindRoot[..] ist eine Regel. Regeln wendet man so an: In[77]:= xs x. regel Out[77]= In[78]:= xs Out[78]= In[79]:= FindRoot Cos a x x, a Sin a x, x,, a, Auch Gleichungssysteme lassen sich mit FindRoot.. lösen Out[79]= x , a.396 In[80]:= Plot Zeta x 2, x,.2, 3 ; eine glatte Funktion mit einer Nullstelle im betrachteten Bereich In[8]:= FindRoot Zeta x 2 0, x, 2 Out[8]= x.72865

27 27 In[82]:= FindRoot Zeta x 2 0, x,.3, 2 so geht s Out[82]= x.72865, FindRoot[lhs==rhs,{x,x0}] Solve[eqns,vars] NSolve[eqns,vars] LinearSolve[m,b] DSolve[eqn,y[x],x] NDSolve[eqns,y,{x,xmin,xmax}] findet numerische Lösungen. versucht, exakte Lösungen zu finden. Numerische Lösungen algebraischer Gleichungen. löst das lineare Gleichungssystem m.x == b löst Differentialgleichungen. findet numerische Lösungen von Differentialgleichungen. In[83]:= Solve a x^2 b x c 0, x Out[83]= x b b 2 4 a c, x 2 a b b 2 4 a c 2 a In[84]:= Solve ArcSin x a, x Out[84]= x Sin a In[85]:= Solve x^5 5 x^2 0, x zu schwierig Out[85]= x Root 5 # 2 # 5 &,, x Root 5 # 2 # 5 &, 2, x Root 5 # 2 # 5 &, 3, x Root 5 # 2 # 5 &, 4, x Root 5 # 2 # 5 &, 5 In[86]:= NSolve x^5 5 x^2 0, x Out[86]= x , x , x , x , x In[87]:= DSolve y x y x, y x, x Out[87]= y x x C x C 2 In[88]:= DSolve y x Cos x y x, y x, x Fehlanzeige Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More Out[88]= DSolve y x Cos x y x, y x, x In[89]:= NDSolve y x Cos x y x, y 0 0, y x, x, 5, 5 Out[89]= y x InterpolatingFunction 5., 5., x

28 28 In[90]:= f x_ y x. % Out[90]= InterpolatingFunction 5., 5., x So kann man aus der obigen Regel eine interpolierende Funktion machen, die sich mit Plot[f[x], {x, 5, 5}] plotten lässt. In[9]:= Plot f x, x, 5, 5 ;

29 29. Muster, Ordnen, Sortieren In[92]:= Clear "Global " In[93]:= liste, 2, f a, g b, x^n, f b, 3.4, Sin p ^2 Out[93]=, 2, f a, g b, x n, f b, 3.4, Sin p 2 In[94]:= Position liste, f _ Liste aller Plätze mit f irgendwas Out[94]= 3, 6 In[95]:= Cases liste, _^2 alle Fälle mit Potenz 2 Out[95]= Sin p 2 In[96]:= Count liste, _^_ die Anzahl aller Fälle mit irgendeiner Potenz Out[96]= 2 In[97]:= DeleteCases liste, _ b Out[97]=, 2, f a, x n, 3.4, Sin p 2 In[98]:= Select liste, IntegerQ Out[98]=, 2 Es werden die Elemente ausgewählt, für die IntegerQ[..] den Wert True gibt. Es gibt weit über 30 Ausdrücke der Form *Q, mit denen man Fragen stellen kann. In[99]:= Select liste, NumberQ Out[99]=, 2, 3.4 In[200]:= Select liste, NumberQ # & Out[200]= f a, g b, x n, f b, Sin p 2 Das Ausrufezeichen (!) ist die logische Verneinung. Die Konstruktion expr[#]& macht aus expr einen Operator, eine sogenannte pure function. Für # wird das Argument eingesetzt. In[20]:= term Expand 3 x ^3 y x ^2 Out[20]= 3 3 x 6 x 2 6 x 3 3 x 4 3 x 5 6 y 2 x y 2 x 3 y 6 x 4 y 3 y 2 9 x y 2 9 x 2 y 2 3 x 3 y 2

30 30 In[202]:= Factor term Out[202]= 3 x 3 x y 2 In[203]:= FactorTerms term klammert Zahlenfaktoren aus Out[203]= 3 x 2 x 2 2 x 3 x 4 x 5 2 y 4 x y 4 x 3 y 2 x 4 y y 2 3 x y 2 3 x 2 y 2 x 3 y 2 In[204]:= Collect term, y ordnet nach den Potenzen von y Out[204]= 3 3 x 6 x 2 6 x 3 3 x 4 3 x x 2 x 3 6 x 4 y 3 9 x 9 x 2 3 x 3 y 2 In[205]:= Coefficient term, x^2 y^2 der Koeffizient von x^2 y^2 Out[205]= 9 In[206]:= CoefficientList term, x die Liste der Koeffizienten der x Potenzen Out[206]= 3 6 y 3 y 2, 3 2 y 9 y 2, 6 9 y 2, 6 2 y 3 y 2, 3 6 y, 3 In[207]:= Apart x^4 Partialbruchzerlegung Out[207]= 4 x 4 x 2 x 2 In[208]:= Together % Out[208]= x x x 2 In[209]:= Sort Sqrt 2, 2, E, Π, EulerGamma Out[209]= 2, 2,, EulerGamma, Π In[20]:= N % Out[20]= 2.,.442, , , Nach welchem Kriterium wurde hier sortiert? In[2]:= kleiner : N # N #2 & In[22]:= Sort Sqrt 2, 2, E, Pi, EulerGamma, kleiner Out[22]= EulerGamma, 2, 2,, Π Jetzt stimmt s.