1. Energie im Alltag. BMS Physik Theorie Arbeit, Leistung und Energie. Quelle:.

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1 1. Energie im Alltag Unser Alltag ist ohne Energieeinsatz nicht zu bewältigen. Viele Prozesse laufen nur dank Energieeinsatz. Ein Blick auf die Energiebilanz der Schweiz zeigt das folgende Bild: Endverbrauch Schweiz 1: 88'8 TJ, 1 TJ =1 1 J Quelle:. massiver Anstieg nach 195! Die Zahl der ständigen Wohnbevölkerung hat auch zugenommen, aber nicht im selben Ausmass. 1: 8.4 Mio. Einwohner Energiebedarf pro Person GJ/E GJ/E. Steigerung: Faktor 3.5 Aufteilung auf die Energieträger 1 Erdölbrennstoffe 19.3% Treibstoffe 33.9% Elektrizität 4.1% Gas 1.9% Rest 9.8% Der Anteil Treibstoffe (33.9%) ist höher als die Summe Brennstoffe Erdöl plus Gas (3.%) 9' 8' 7' 6' 5' 4' 3' ' 1' Wohnbevölkerung CH in Tausend 6'193 6'335 8'37 7'4 6'751 5'36 4' , dk 3

2 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik Umwandlungsverluste Aus der Natur wird Energie in Form von Rohöl, Erdgas, Wasserkraft, Uran, Sonnenstrahlung, Wind usw. gewonnen. Bevor solche Primärenergie an den Endverbraucher geliefert wird, muss sie in Endenergie umgewandelt werden: in Elektrizität, Treibstoffe, Heizöl oder Fernwärme. Während der Umwandlung wie auch beim Transport zum Endverbraucher entstehen Energieverluste. Der Weg von der Primärenergie zum Endverbrauch ist in der Grafik G 8.1 dargestellt. Im Jahre 11 können 75.9% vom Bruttobedarf als Endenergie genutzt werden. Welt-Energiebedarf Quelle wikipedia, Juli 13 Von 199 bis 8 stieg der Energiebedarf pro Kopf um 1 %, während die Weltbevölkerung um 7 % wuchs. Der Weltenergiebedarf stieg um 39 %. Die höchsten Zuwächse gab es im Mittleren Osten mit 17 %, in China mit 146 % und in Indien mit 91 %. Die USA, die EU-7-Staaten und China hatten einen Anteil von 5 % am Weltenergiebedarf, bei einem Bevölkerungsanteil von 3 % (8). USA EU-7 China LateinA. Afrika Indien Welt Einheiten Im ersten Diagramm TJ (Tera Joule), dann GJ (Giga Joule) und am Schluss kwh?? Was gilt nun eigentlich? Weil Leistung = Energie Umrechnungen gilt auch Energie = Leistung Zeit Zeit Darum ist die bekannte kwh = kw h eine Energieeinheit! Im Kapitel Leistung werden die Zusammenhänge gründlich erklärt. Vorerst geben wir uns mit einfachen Umrechnungen zufrieden Energiebedarf in 1 kwh/(kopf, Jahr) Beispiel EU-7 aus dem Diagramm oben. Die Energiemenge pro Jahr wird als Leistung umgerechnet: mittlere Leistung = 4 kwh 4.6 kw 365 4h Die Leistung von 4.6 kw wird im Schnitt dauernd jede Sekunde! von jedem Einwohner beansprucht! Mein persönlicher Energiebedarf Mit folgendem Link berechnen Sie den persönlichen Energiebedarf und den CO Ausstoss: Wählen Sie: ECOPrivate, Einsteiger Als Einheit für die Resultatausgabe können Sie wählen zwischen: Leistung (W), Energie (kwh) oder Tonnen CO Beachten Sie die Unterscheidung ganzer Haushalt und persönlicher Konsum. 4

3 . Arbeit Im täglichen Leben verbinden wir mit dem Ausdruck Arbeit alle jene körperlichen und geistigen Tätigkeiten, die Ermüdung zur Folge haben. Wir müssen eine Arbeit schreiben. Der Alltagsbegriff der Arbeit ist für die Physik zu wenig präzise. Wann wird im physikalischen Sinne Arbeit verrichtet? Ein gutes Beispiel ist das Anheben von Lasten. Bei einem Umzug ist es weniger anstrengend, wenn wir die Lasten ins Parterre oder den ersten Stock tragen, ab dem dritten Stock wird es definitiv mühsam. Ausser wir engagieren die Firma mit Möbellift. Auch ist das Tragen einer leichten Kiste weniger ermüdend. Wichtig sind also die benötigte Tragkraft und die Länge des Weges. Für die physikalische Arbeit wird das Produkt aus Kraft mal Weg gebildet: Arbeit (work): W = F F s Kraft in Wegrichtung Einheit N s zurückgelegter Weg Einheit m W Arbeit Work Einheit: 1 Nm =1 Joule =1 J s s Arbeit und Wärme werden mit derselben Einheit gemessen. Die Wärmemenge Q wird wie folgt berechnet:.1 Die Hubarbeit Der Weltrekord im Gewichtheben (Stossen) steht bei über 6 kg. Bei einer Körpergrösse von 185 cm entspricht das einer Höhenänderung von ca.. m. Zuerst muss die Kraft des Athleten bestimmt werden. minimale Kraft: F = m g = 6 kg 9.81 m/s.55 kn Arbeit: W = F s.55 kn. m 5.1kJ Damit der Versuch zählt, muss der Körper des Athleten in Ruhe sein. Für die Physik ist das Halten in definierter Höhe aber keine Arbeit! Ganz einfach weil der Weg fehlt. Bergsteiger Der junge Schweizer Alpinist Dani Arnold hat am.4.11 die Eiger-Nordwand in h 8min solo durchstiegen. Und verbesserte damit den alten Rekord von Ueli Steck um Minuten! YouTube: Daten: Station Eigergletscher 3 m, Gipfel: 397 m Höhenunterschied: 165 m Alpinist mit Minimalausrüstung ca. 8 kg. Der Alpinist muss seine Gewichtskraft überwinden: Kraft: F = m g = 8 kg 9.81 m/s 785 N Arbeit: W = F h 785 N 165 m 1'95 kj Vergleich mit thermischer Energie: Welche Menge Wasser könnte damit von 1 C auf 1 C erwärmt werden? Q 1'95 kj = m c T = m 4.18 kj/(kg K) 9 K Es können nur knapp 3.5 kg Wasser erwärmt werden! , dk 5

4 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik Hinweis: Die mechanische Arbeit ist im Allgemeinen tief im Vergleich zu thermischen Energiemengen. Darum sind Heizprozesse generell energieintensiv. Transporte sind energieintensiv, weil Verbrennungsmotoren Wirkungsgrade von nur 5% erreichen.. Richtungen von Kraft und Weg Der physikalische Arbeitsbegriff deckt sich nicht mit dem Arbeitsbegriff des täglichen Lebens! Wenn wir einen Koffer horizontal verschieben, ist die physikalische Arbeit gleich null (Höhe und Geschwindigkeit bleiben gleich). Wir könnten den Koffer auch auf einen Wagen mit Rollen legen, dann wird klar, dass am Koffer - abgesehen von der Überwindung der geringen Reibung - keine Arbeit verrichtet wird. Das führt uns zur erweiterten Arbeitsdefinition. Skalarprodukt Arbeit: W = F o s = F s cos( ϕ) r r Kraft F Verschiebung s Gewicht F G Kraft F Kraft F, Vektor Weg s, Vektor Arbeit W, Skalar Einheit N Einheit m Einheit: 1 Nm =1 Joule =1 J Winkel Verschiebung s Im Beispiel Koffer ist der Winkel 9 zwischen der Tragkraft F und dem Weg s, weil cos(9 ) =, ist auch die Arbeit null! Hinweis Das Produkt F cos( ϕ) ist die Kraftkomponente parallel zum Wegstück. Die Kraftkomponente senkrecht zum Weg hat keinen Einfluss auf die verrichtete Arbeit. F b) absenken Anheben bzw. absenken a) Für das Anheben eines Objektes ist die Arbeit der Kraft F positiv, weil Verschiebung und Weg gleichgerichtet sind, d.h. cos( ) = 1: = + m g h W a b) Für das Absenken ändert sich nur die Wegrichtung, die Kräfte bleiben gleich. Die Arbeit der Kraft F ist negativ, weil Verschiebung und Weg entgegen gesetzt sind, d.h. cos(18 ) = -1: = m g h W b Das macht Sinn: Im Fall a) wird ein Objekt nach oben befördert, das System Erde-Objekt hat darum mehr Energie. Im Fall b) wird mit der Haltekraft verhindert, dass das Objekt frei fällt und immer schneller wird. Die Energiemenge des Systems nimmt dabei ab. Auf den Zusammenhang Arbeit, Energie und die Systemgrenzen gehen wir im Kapitel 4 genauer ein. F F G h a) anheben F G h Abbremsen Die Kraft hemmt die Bewegung, Bremskraft und Weg sind entgegen gesetzt. W = F s cos ( 18 ) = F s Brems Brems s F Kraft und Weg entgegengesetzt 6

5 3. Leistung Der Begriff der Leistung ist eng mit jenem der Arbeit bzw. Energie verbunden. Bei jeglicher Tätigkeit ist die Zeit wichtig, in der die erforderte Arbeit verrichtet wird. Im Geschäftsleben ist die Termineinhaltung wichtig und damit ist immer eine Zeitlimite gegeben. 3.1 Definition der Leistung Leistung = Arbeit W E P = = Zeit t t W Arbeit [ W ] = Nm = J [ E] Energiedifferenz [ E ] = Nm = J [ t] Zeitdauer [ t ] = s Nm J P Leistung [ P ] = = = W (Watt) s s Einheit nach James Watt, , brit. Ingenieur Typische Leistungen: Armbanduhr. mw Herz 1 W Spazieren W Bergsteigen 1 W Beamer 3 W Pferd (1 PS) 735 W Herdplatte W Auto 6 kw Lastwagen 5 kw Lokomotive 5 kw Flugzeug 3 MW AKW elektrisch 1 MW Sonne total Achtung: W steht einerseits für work aber auch für die Einheit Watt! Das Produkt aus Leistung mal Zeit ist eine Arbeit. W = P t So wird die vom EW gelieferte Energie in kwh verrechnet: Einheit: 1 kwh =1kW 1h =1 W 36 s = 3.6 MJ Wie kann die 1 TJ in kwh umgerechnet werden? 1 1 J 3 1TJ = 78 1 kwh = 78 MWh J/kWh Umrechnung Leistung mal Zeit = Energie! 1 PS = 735 W Merke Ein Liter Heizöl bzw. Dieseltreibstoff hat einen Heizwert von zehn kwh. Bergsteiger Auf Seite 5 sind die Daten zur Speedbesteigung der Eigernordwand angegeben. Die Arbeit beträgt 1'95 kj, zur Berechnung der Leistung benötigen wir die Zeit von h 8 min J P = 146 W s Für eine Bergwanderung wird für 4 Höhenmeter eine Stunde 4 m 8 kg 9.81m/s eingerechnet. P Wandern = 87 W 3 6 s Die Leistung in einem klettertechnisch sehr schwierigen Gelände ist (für mich) unvorstellbar. Physikalisch höhere Leistungen (bis 5 W) werden bei Radrennen erzielt, aber dort können sich die Sportler auf das Fahren konzentrieren. Elektrisches Licht Eine Leuchtstoffröhre hat eine elektrische Leistung von 8 W, d.h. jede Sekunde werden 8 J elektrische Energie umgewandelt. Wie viel kostet der Betrieb, wenn die Kilowattstunde 5 Rappen kostet? Dazu müssen wir wissen, wie lange die Leuchte brennt. Wenn die Lampe 3 Tage zu 1 Stunden eingeschaltet ist, dann wird elektrische Energie von 8W 3 1h = 4 kwh benötigt, der Betrieb kostet ca. 6 Franken. In jedem Schulzimmer sind ca. 1 Leuchtstoffröhren installiert, total ca. 1 Watt. effiziente Leuchten Die Lichtausbeute wird in Lumen / Watt angegeben (lm/w) Halogen Eco Sparlampe 5 7 LED 6 9 FL-Leuchte , dk 7

6 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik Elektrische Leistung elektrische Leistung P el. P Leistung [ P ] = VA = W U Spannung [ U ] = V = Volt I Stromstärke [ I ] = A = Ampère = U I Beispiel Haushalt: Spannung 3 V, Verbraucher sind oft mit 13 A abgesichert, das entspricht einer maximalen Leistung von ca. 3 kw pro Sicherungsstrang. Akku NiMh (Nickel Metallhydrid) Spannung 1. V, Kapazität 5 mah Mit diesen Angaben wird der Energieinhalt beziffert. Ansatz: Leistung mal Zeit ist Energieinhalt W = ( U I ) t = U ( I t) = 1. V.5 Ah = 3. Wh Mit 333 Ladungen kann eine Energiemenge von einer kwh genutzt werden. Akkus und Batterien sind teure Energieträger! 3. Energiehaushalt Mensch Ein Mensch benötigt ca. 3' kcal Nahrung im Tag, das sind 1 6 kj oder 3.5 kwh. Für den Grundumsatz (auch Abwärme) müssen ca. 8 W eingesetzt werden: G = 8 W 4 h 1.9 kwh Vor der industriellen Revolution mussten alle Arbeiten mit menschlicher und tierischer Kraft erledigt werden, z.b. der Bau der Pyramiden in Ägypten. Ein Arbeiter kann während 1 h ca. 15 W mechanische Arbeit verrichten. Das ist eine Energiemenge von 1.5 kwh, wofür wir heute nur 4 Rappen bezahlen! Heute sind die Industrienationen stark energieabhängig (süchtig?) bei einem Bedarf von ca. 6' W pro Person. Siehe das Diagramm Weltenergiebedarf auf Seite 4. D.h. Tag und Nacht, jede Sekunde müssen 6' W Leistung zur Verfügung stehen. Längerfristig muss die Menschheit mit erneuerbaren Energien haushalten, eine anerkannte Schätzung rechnet mit maximal ' W pro Person. 3.3 Die momentane Leistung Wenn wir die Definition Arbeit pro Zeit umformen, erhalten wir W F s s ein neues Resultat: P = = = F = F v t t t Bei einer konstanten Antriebskraft nimmt die Leistung mit der Geschwindigkeit zu! momentane Leistung: F = v = m / P = Nm/s = Antriebskraft F [ ] N Geschwindigkeit v [ ] s Leistung P [ ] W Ein PW bremst mit einer Kraft 15 kn ab. maximale Bremskraft: Bremskraft m g Anfangsgeschwindigkeit 1 km/h. P = 15 kn 1/3.6 m / s = 5 ( ) kw P = F v, 5 kw bei 6 km/h! Nahrungsmittel 1 kcal = 4.19 kj reicht aus, um 1 kg Wasser um 1 K zu erwärmen. Arbeit in einer Goldmine in Mosambique, Quelle Hinweis Falls Antriebs- bzw. Bremskraft und die Geschwindigkeit bekannt sind, kann direkt die momentane Leistung berechnet werden. Hinweis Bremsleistungen sind viel höher als die verfügbaren Antriebsleistungen. 8

7 Beispiel Auto auf horizontaler Fahrbahn Ein Auto wiegt 15 kg und fährt mit konstanten 9 km/h. Luftwiderstand F L : F C A ρ v L = W Cw: Luftwiderstandsbeiwert, dimensionslos A: Stirnfläche in m ρ: Dichte der Luft, ca. 1. kg/m 3 bei C F L.3.m.6kg/m 3 5m/s Rollwiderstand F R : FR = fr F f R : Rollwiderstandsbeiwert, ca..13 = kg g 191 N F R ( ) 5N Die Leistung P = F v ist hier ein Polynom dritten Grades von der Geschwindigkeit v. siehe Diagramm P = F v = 416 N 5 m/s 1.4 kw 14 PS Bei 1 km/h (33.3 m/s) wächst der Luftwiderstand auf ca. 4 N und die benötigte Leistung steigt auf knapp kw. Eine höhere Leistung von z.b. 1 kw (ca. 14 PS und mehr!) wird für die beschleunigte Fahrt benötigt. N Leistung in kw P [kw] v [m/s] Motorrad Mitsubishi Miev VW Golf Zusammenfassung Arbeit, Energie Work: W = F o s, Skalarprodukt Einheit: 1 Nm=1 Joule 1 Ws =1 Joule 1 kwh= 3.6 MJ Bsp. Heizöl: 1 Liter 85 kg oder 36.3 GJ (Heizwert H u = 4.7 MJ/kg) Mittlere Leistung Power: P = W = E t t Einheit: 1 W =1 Joule/s, Ein GTI mit 3 PS (169 kw) Wer braucht so viel Leistung? 1PS 735 W Bsp. 1' Liter Heizöl, mittlere Leistung im Jahr 36.3 GJ 1.1 MWh P = = 1.15 kw 1Jahr h Ein Kühlschrank benötigt im Jahr 19 kwh und hat einen elektrischen Anschlusswert von 1 W. Wie passt das zusammen? Wh Die mittlere Leistung beträgt P = W h Die momentane Leistung beträgt ca. 1 W. Weil das Gerät automatisch ein- und ausschaltet, kann die mittlere Leistung mit einer Betriebszeit von etwa 18% erreicht werden. Eine PV Anlage mit 1 Wpeak (Nominalleistung von 1 W) erzeugt im Schweizer Mittelland jährlich ca. 1 kwh elektrischen Strom. Falls diese Energiemenge kontinuierlich erzeugt werden könnte, Wh wäre eine mittlere Leistung von P = 114 W h ausreichend , dk 9

8 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik 3.4 Der Wirkungsgrad Heizwert von Brenn- und Treibstoffen Der Heizwert ist ein Mass für Energiemenge in einem Brennstoff Die nutzbare Energie berechnet sich mit: E = η m mech. H u η Wirkungsgrad dimensionslos in % m = m Stoffmenge [ ] kg Hu Heizwert [ Hu ] = MJ/kg Der spezifische Treibstoffbedarf wird in Gramm/kWh Nutzen angegeben. Beispiel 3 g/kwh Heizöl oder Dieseltreibstoff: Hu = 4.7 MJ/kg bei einer Dichte von ca. 85 kg/m 3. Ein Liter Heizöl ist Energieträger von ca. 36 MJ oder 1 kwh. Wirkungsgrad Das primäre Ziel einer Leuchte ist Licht (in Lumen) und nicht die Umsetzung von elektrischer Energie. Die Ausbeute der nutzbaren Energieform wird mit dem Wirkungsgrad beschrieben. Der Wirkungsgrad wird als Nutzen über Aufwand definiert und kann über Leistungen oder Energiemengen ermittelt werden. Wirkungsgrad: η = Nutzen Aufwand = E Output E Input η Wirkungsgrad Dimensionslos, in % Aufwand, z.b. chemische, elektrische Energie Nutzen, z.b. mechanische Energie, Heizwärme im Haus etc. Typische Wirkungsgrade: Dampfmaschine 1 % Dampfturbine 4 % Ottomotor max. 5 % Dieselmotor max. 3 % Elektromotor 9 % FL Leuchte 3% Glühlampe 5-1% Solarzelle (PV) 1 % Sonnenkollektor 4 % Kaminfeuer 15 % Ofenheizung (Holz) 6% Gas, Ölheizung 9% Motoren Wärmekraftmaschine (z.b. Dampfmaschine, Verbrennungsmotor) Durch Verbrennung des Brennstoffes (chemische Energie in Wärme) kann mechanische Nutzarbeit W gewonnen werden, der Rest geht als Abwärme verloren. Es ist unmöglich Wärme komplett in mechanische Energie umzuwandeln. Theoretisch kann der maximale thermodynamische Wirkungsgrad nach Carnot berechnet werden: Carnot Wirkungsgrad: η < η Carnot T1 T = T Die Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden! T 1 höchste Temperatur, T tiefste Temperatur (Abgas) Beispiel Dieselmotor Verbrennung max. C = 3 K Abgastemperatur 5 C = 8 K Theoretischer Wirkungsgrad ( 3-8) K 65% 3 K Wirkungsgrad Praxis 5 33% 1 Motor 1., Liter 3 Zylinder, 51 kw Ein Verbrennungsmotor ist auf eine bestimmte Leistung ausgelegt. Läuft er unter hoher Last, erzielt der Motor den besten Wirkungsgrad. In den meisten Fällen benötigt der Fahrer nur einen kleinen Teil der Maximalleistung, z.b. 16 kw von 1 kw. Dann sinkt der Wirkungsgrad. Siehe auch clever fahren 3

9 4. Der Energieerhaltungssatz Eine Erfahrungstatsache Energie lässt sich weder erzeugen noch vernichten. Folglich muss die Energie eines Systems konstant, bleiben. Wir zeigen, wie die Systemgrenzen gewählt werden müssen, damit der Erhaltungssatz angewendet werden kann. Mit der Kenntnis, dass die Summe der Energie erhalten bleibt, können Aufgaben elegant gelöst werden. Dabei kommt die Zeit in der Regel nicht vor und der Verlauf zwischen zwei Zuständen braucht nicht bekannt zu sein. Der Prozess muss nicht im Detail beschrieben werden. Komplizierte Rechnungen der Dynamik können dank Anwendung der Energieerhaltung elegant umgangen werden. Folgerung Perpetuum mobile erster Art Eine Maschine mit einem Wirkungsgrad von über 1 Prozent, die nicht nur die zu ihrem Betrieb notwendige Energie sondern auch zusätzliche Nutzenergie Energie liefert. Eine solche Maschine verletzt den Energieerhaltungssatz und kann nicht existieren! Bild: Perpetuum mobile nach M.C. Escher 4.1 Der senkrechte Wurf Wir werfen einen Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit nach oben. Sobald wir den Ball los lassen, wirkt nur noch die Gravition. Auf dem ersten Wegstück bewirkt die Gewichtskraft eine Abnahme der Geschwindigkeit. Die von der Gewichtskraft bewirkte Arbeit ist beim Aufstieg negativ. Damit wird die kinetische Energie des Balls verringert. Auf dem zweiten Wegstück bewirkt die Gewichtskraft eine Zunahme der Geschwindigkeit. Die von der Gewichtskraft bewirkte Arbeit ist positiv, die kinetische Energie des Balls nimmt zu. Das System besteht aus Ball und Erde. Die Erde ist durch die Gravitation die Ursache für die Gewichtskraft. Je grösser der Abstand Erde - Ball ist, desto grösser ist die Lageenergie des Systems. Und je schneller der Ball ist, desto grösser ist die kinetische Energie dieses Systems. Wir greifen vor und benennen die zwei Energieformen, die beim Wurf ohne Luftwiderstand vorkommen. Energie der Lage Wird üblicherweise potentielle Energie genannt. Es leuchtet eine, dass die Masse, die Höhe und die Erdbeschleunigung vorkommen. potentielle Energie = m g h E pot von der Gravitation verrichtete negative Arbeit von der Gravitation verrichtete positive Arbeit Höhe h Kinetische Energie Für die kinetische Energie kommen die Masse und die Geschwindigkeit im Quadrat vor. Damit haben wir bereits die korrekte Einheit. Im nächsten Kapitel zeigen wir, warum der Faktor ½ notwendig ist. m kinetische Energie E v kinetisch = , dk 31

10 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik Anwendung Energieerhaltung Für einen Wurf ohne Luftwiderstand ist das System Erde Ball abgeschlossen: Es wirkt keine Kraft von aussen. Und es gibt nur die potentielle und die kinetische Energie. Wir betrachten einen Ball ohne Luftwiderstand, welcher von einer Brücke senkrecht nach oben geworfen wird. Wir nennen die Anfangshöhe h und die Anfangsgeschwindigkeit v. Nun erstellen wir eine Tabelle für die Energierhaltung. Dazu benötigen wir mindestens zwei verschiedene Zustände, zwei Positionen des Balls. In der Tabelle werden alle Energieformen zusammengestellt. Energieform Anfang h Höhe h Potentielle Energie m g h m g h Kinetische Energie m v m v Summe m m g h + v m g h + m v System Erde v Brücke Ball h Höhe h Bezugshöhe Die Summe der Energie bleibt erhalten, darum müssen die beiden m m Summen gleich sein. m g h + v = m g h + v Masse m kürzen, mal rechnen und nach v umstellen. v = g h g h + v zusammenfassen v = g + ( h h) v Das Vorzeichen von v kann nicht bestimmt werden. Es resultiert ein Zusammenhang zwischen v und h. Falls h grösser als h ist, wird der erste Summand negativ. Die Höhe h ist durch das Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit begrenzt. Für v gleich null, kann die Steighöhe h max berechnet werden. (siehe rechts) Ohne Luftwiderstand kann die Masse m gekürzt werden. Steighöhe Am höchsten Punkt der Flugbahn gilt: v =. Somit kann der Ausdruck nach h max aufgelöst werden. Bemerkungen Die Masse m kürzt sich heraus. Über die Zeit wird nichts ausgesagt. Es werden genau zwei Zustände der ganzen Bewegung verglichen. Was dazwischen passiert ist nicht von Interesse. Die Geschwindigkeit kann für eine beliebige Höhe h ermittelt werden. Weil die Geschwindigkeit im Quadrat vorkommt, ist das Resultat ist für positive und negative Anfangsgeschwindigkeiten v identisch. Weil eine Wurzel immer positiv ist, erhalten wir kein Vorzeichen für die Geschwindigkeit. Die Steighöhe kann einfach ermittelt werden. Am höchsten Punkt gilt v = 3

11 5. Energie und ihre Formen 5.1 Arbeit und Energie Wird an einem System von aussen mechanische Arbeit verrichtet, so steigt die Energie des Systems an. Man sagt zur Arbeit auch "Energietransfer". Umgekehrt kann die Energie eines Systems abnehmen, wenn Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet sind. Verrichtet ein System Arbeit (nach aussen), so nimmt die Energie des Systems ab. Energie E ist Arbeitsvermögen. Zugeführte Arbeit W vergrössert die Energie. Arbeit und Energie werden mit derselben Einheit Joule oder Nm gemessen. Arbeit W Anfangsenergie Energiezunahme E Energie ist gespeicherte Arbeitsfähigkeit. Energie kann in verschiedenen Formen auftreten. Für die meisten reibungsfreien Berechnungen sind zwei Formen ausreichend! 5. Potentielle Energie Um einen Körper senkrecht anzuheben, ist die Hubarbeit W = FG h notwendig. Diese Arbeit ist als Lageenergie gespeichert: potentielle Energie (Lageenergie) E pot = m g h Auf einem höheren Niveau ist die Lageenergie grösser. D.h. der Körper kann (potentiell) mehr Schaden anrichten. Die potentielle Energie ist von der Höhe h abhängig. Die Wahl der Bezugshöhe ist frei, darf aber innerhalb einer Aufgabenstellung nicht verändert werden. Es können auch negative Werte für h vorkommen. Wir zeigen noch, dass es keine Rolle spielt, auf welche Weise ein Objekt nach oben kommt. Nur die Höhendifferenz ist wichtig. Auf einer schiefen Ebene mit Winkel α ziehen wir ein Objekt der Masse m reibungsfrei von A nach B nach oben, Weglänge d. Für die Winkel gilt: 9 +α = ϕ Wir berechnen die Arbeit der Gewichtskraft W G = m g cos ( ϕ) d = m g sin( α ) d Aus der Trigonometrie haben wir eingesetzt: cos 9 +α ( ) = sin( α) Das Ergebnis scheint auf den ersten Blick nutzlos. Wir haben Glück und sehen dass d sin ( α ) = h Also ist die Arbeit der Gewichtskraft W G = m g h Die Arbeit ist unabhängig von der Weglänge d, nur die Höhe h zählt! Die Normalkraft verrichtet keine Arbeit, weil sie senkrecht zur Verschiebung steht. Falls das Objekt nicht beschleunigt wird, ist die Arbeit der Zugkraft entgegengesetzt gleich gross zu W G. = + m g h vergrössert die potentielle Energie. W Zugkraft Unabhängig vom Weg können wir die potentielle Energie als = m g h berechnen. E pott Die potentielle und die kinetische Energie kommen immer wieder vor. Diese beiden Energieformen müssen Sie auswendig kennen! h >, E pot > h = Bezugshöhe h <, E pot < negative Werte Berechnung der Zugkraft: Siehe Kapitel Dynamik , dk 33

12 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik 5.3 Kinetische Energie Mit der Beschleunigungsarbeit wird die Trägheit überwunden. Herleitung für die Beschleunigung von null auf v, v Arbeit W = ( m a) s Beschleunigung a = t v t Strecke s = v t = v ist die Endgeschwindigkeit, v die mittlere Geschwindigkeit Arbeit W v v t 1 = m a s = m = m v t Die Beschleunigungsarbeit ist als Bewegungsenergie gespeichert: kinetische Energie (Bewegungsenergie) kg m s m s E kinetisch [ E ] = = kg m = Nm kinetisch m = v Hinweis: Die Art und die Grösse der Beschleunigung spielen keine Rolle, die Zeit kommt nicht mehr vor! Beispiel PW 15 kg: Beschleunigung von 5 km/h: 145 kj 1 km/h: 579 kj vier Mal so viel Energie! Folgerung: 5 1 km/h: 434 kj Berechnung: Kann nicht mit berechnet werden! Der Bremsweg wächst mit der kinetischen Energie, d.h. mit der Geschwindigkeit im Quadrat 5.4 Elastische Energie Zum Spannen einer Feder muss Spannarbeit verrichtet werden und die wird als elastische Energie gespeichert. Die Federkraft ist nicht konstant sondern nimmt kontinuierlich zu. Die Berechnung der Arbeit erfolgt im Kraft Weg Diagramm, wo eine Dreiecksfläche berechnet werden muss. Arbeit: W F s = = ( D s) s D = s Die Spannarbeit einer Feder ist als elastische Energie gespeichert: Elastische Energie E elastisch D = s s Federverlängerung [ s ] = m D Federkonstante [ D ] = N/m Gemeinsamkeiten mit der kinetischen Energie Die Zeit kommt nicht vor. Es ist egal, auf welche Art der Endzustand erreicht wird. Darum wird die Berechnung wesentlich einfacher. Die Spannarbeit wird als Fläche unter der Kurve berechnet, auch dann, wenn das Kraftgesetz nicht linear ist! Federgesetz nach Hooke Federkonstante Kraft Federkraft F Spannarbeit als Fläche im F-s-Diagramm Verlängerung 34

13 5.5 Zusammenfassung Arbeit und Energie Prozess: Arbeit Hubarbeit W = FG h vertikal oder auf einer schiefen Ebene. Beschleunigungsarbeit W = m a s mit = m a F res Spannarbeit einer Feder W = F s mittlere Kraft, siehe auch Federgesetz Der Prozess beschreibt detailliert alle Bewegungen wie Einnahmen und Ausgaben. Arbeit, Energie und Leistung Zustand: gespeicherte Energie Potentielle Energie E pot = m g h Es geht ohne Hangabtriebskraft! m Kinetische Energie: E v kin = Gilt auch, wenn a nicht konstant ist. D Elastische Energie: E. s elast = Analogie Geld Es ist einfacher, nur den Kontostand (= Energieinhalt) zu protokollieren. Energietransfer durch Arbeit Arbeit, Skalarprodukt Arbeit durch Zeit Energie (Speicher) potentielle, kinetische, elastische Energie Energiedifferenz durch Zeit Leistung mal Zeit Leistung momentan Ein Zweipersonenhaushalt bezieht 1 8 kwh elektrische Energie im Jahr. Gesucht ist die mittlere Leistung. Jede Sekunde beträgt die mittlere Leistung Wh P = 5 W 365 4h Wir streben die Watt Gesellschaft an. Dann können wir die Energiemenge in einem Jahr berechnen: E = P t = kw h 17 5 kwh Kosten (5 Rp./kWh): /Jahr 6 Systeme mit Reibung Reibungsfreie Systeme heissen auch konservative Systeme. In diesen bleibt die mechanische Energie erhalten, die verschiedenen mechanischen Energieformen können restlos und verlustfrei ineinander umgewandelt werden. In der Praxis ist immer Reibung vorhanden. Dann scheint Energie verloren zu gehen. Ein Körper wird z.b. durch die Reibung bis zum Stillstand abgebremst, die kinetische Energie geht also "verloren". Aber die Reibungsarbeit zeigt sich als Wärme oder Schwingungsenergie (Lärm). Wir müssen die Systemgrenzen erweitern und die thermische Energie ebenfalls berücksichtigen. Energieverbrauch? Nach dem Energiesatz kann keine Energie "verbraucht" werden. Wenn dennoch immer wieder von "Energieverbrauch" die Rede ist, so meint man damit, dass Energie in wertvoller Form (z.b. chemische Energie des Erdöls) in eine weniger wertvolle Energieform (Abwärme) umgewandelt wird. Und dass die Vorräte an fossilen Energien endlich sind. Einmal umgewandelt wachsen sie nicht mehr nach! Erwärmung , dk 35

14 Arbeit, Energie und Leistung Theorie BMS Physik Tabelle Energieform Anfang Ende Potentielle Energie m g h m g h Kinetische Energie 1 1/ m v 1/ m v Thermische Energie Antriebsenergie Wärme W = F s Summe Total Anfang = Total Ende Die Tabelle wird um die Zeile thermische Energie bzw. Antrieb und Verluste erweitert. F R ist eine Reibungskraft, ein Fahrwiderstand (vgl. Auto S. 9). R Antriebsenergie z.b. Treibstoff, Batterie etc. Die mechanische Antriebsenergie ist um den Wirkungsgrad verringert. Aufgabe 1 Ein Auto (15 kg) bremst auf 45 m von 1 auf 6 km/h ab. Wie gross ist die Bremskraft? Lösungsansatz mit einer Tabelle Energieform Anfang Ende Kinetische Energie Thermische Energie 1/ v m 1/ m v W = FR s Summe Total Anfang = Total Ende Bremsen mit Haftreibung Die Bremskraft ist direkt proportional zur Normalkraft F N Reibungszahl, dimensionslos Für eine horizontale Strecke dürfen wir die potentielle Energie weglassen. Für die thermische Energie muss die Reibungskraft unbedingt mit der Länge der Strecke multipliziert werden! Wir setzen ein F 45m + 75kg ( 6/3.6) = 75kg ( 1/3. 6 ) R und berechnen: F R 13.9kN Das entspricht einer Reibungszahl von.94. Eine Bremsung bei optimalen Strassenverhältnissen! Aufgabe Am Anfang einer Gefällstrecke von 4 m Länge und einer Steigung von 5% rollt ein Radfahrer ohne Antrieb aus der Ruhestellung abwärts. Fahrer und Rad wiegen 9 kg, der Fahrwiderstand beträgt N. Wie weit rollt das Rad auf der waagrechten Strecke? Für die Berechnung der potentiellen Energie ist nur die Höhe h massgebend. Berechnung von h: h = l sin( α ) Winkel alpha α = a tan(.5). 86 h = 4 m sin Höhe h ( ) m potentielle Energie Start E pot = m g h 17.6 kj Die Reibung bewirkt eine Erwärmung der Umgebung. Mechanische Energie wird in Umgebungswärme umgewandelt. Das Rad steht still. Für die Berechnung der Reibungsarbeit muss die gesamte Strecke Gefälle l und Waagrechte x berücksichtigt werden. Gefälle: Länge l 4m Steigung 5% Hinweis Die Aufgabe kann ohne Zwischenschritt gelöst werden. Es ist nicht notwendig, die Geschwindigkeit am Anfang des horizontalen Streckenabschnittes zu berechnen. Der Fahrwiderstand wird für beide Strecken konstant mit N gerechnet. Bei kleinen Steigungen sind die Normal- und die Gewichtskraft fast gleich: 36

15 Energie Start oben Mitte Ende E pot m g h E kinetisch.5 m v1 Therm. E. W = N 4m W = FW ( l + ) 1 x Summe 17.64kJ = Summe = F W ( l + x) Lösung Die mechanische Energie wird durch Reibung komplett in thermische Energie umgewandelt: Lösung: x = 48 m v Mitte = 14.6 m/s, ca. 53 km/h Die Summe der ersten Spalte kann direkt berechnet werden. Nach dem Aufstellen der Energieerhaltung wird nach der unbekannten Grösse aufgelöst. Aufgabe 3 Ein Auto von 13kg fährt in 44 Minuten auf die Grimselpasshöhe (Höhendifferenz 156 m). Streckenlänge 3 km, Fahrwiderstand 5 N. Start aus dem Stillstand, Überquerung der Passhöhe mit 6 km/h. Wie gross ist die mittlere Antriebsleistung? Welche Benzinmenge wird bei einem Wirkungsgrad von 4% benötigt? Energie Start unten Passhöhe Anteil E pot m g 1'56 m 7.9% E kinetisch.5 m v1.64% E thermisch Antriebsenergie =η m Hu Reibungsarbeit W = 5 N 3km 8.5% E mech Summe Antriebsenergie E = 8.1 MJ 1% Hinweis: v 1 = 6 km/h = 16.6 m/s, Die mittlere Geschwindigkeit (ca. 44 km/h) wird nicht benötigt! Die Bewegung ist nicht gleichmässig beschleunigt! Die mittlere Leistung wird immer mit einer Energiebilanz berechnet. P = F v gilt nur für Momentanleistungen! 8.1 MJ Mechanische Leistung: P mechanisch = 1.6 kw 44 6 s Der Motor muss ca. 1% mehr leisten, weil Getriebe und Antriebsstrang einen Teil der Motorleistung absorbieren. Benötigt wird trotzdem nur ein kleiner Anteil der gesamten Motorisierung! Die Benzinmenge wird mit dem Heizwert H u und dem Wirkungsgrad η berechnet: E mech 8.1 MJ = η m Hu Für Benzin schlagen wir im Tabellenwerk nach: H u = 4 MJ/kg, Dichte ρ = 744 kg/m 3 Nach m aufgelöst: m =.79 kg entspricht 3.74 Liter Benzin Hinweis: Das Klettern benötigt mehr als 7% der gesamten Energiemenge. Für die Beschleunigung werden im Minimum.64% berechnet, in der Praxis ist der Anteil höher, weil nach jeder Kurve wieder beschleunigt wird. Wirkungsrade Sind verschiedene Elemente mit Wirkungsverlusten beteiligt, so müssen die Wirkungsgrade multipliziert werden: Beispiel Motor Getriebe Gesamtwirkungsgrad Kontrolle 3.74 Liter auf 3 km ergeben ca. 1 Liter Benzin auf 1 km. Wegen dem Höhenunterschied von 156 m sind das wesentlich mehr als 5 bis 8 Liter auf 1 km nach Datenblatt , dk 37