Formel X Leistungskurs Physik 2005/2006

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1 System: Wir betrachten ein Fluid (Bild, Gas oder Flüssigkeit), das sich in einem Zylinder befindet, der durch einen Kolben verschlossen ist. In der Thermodynamik bezeichnet man den Gegenstand der Betrachtung als thermodynamisches System; das was nicht interessiert als die Umgebung. Die Umgebung wird von dem System durch die Systemgrenze abgegrenzt. Kolben Systemgrenze Fluid Zylinder Bild Thermodynamisches System Da wir das Verhalten des Fluids beschreiben wollen, stellt dieses unser thermodynamisches System dar. Wir verdeutlichen dies durch das Eintragen der Systemgrenze (gestrichelte Linie). Zylinder, Kolben und umgebende Atmosphäre stellen für uns die Umgebung dar. Geschlossenes System: Wir nehmen an, dass die Abdichtung zwischen Kolben und Zylinderwand so gut ist, dass an dieser Stelle kein Fluid entweichen kann. Dann ändert sich bei einer Zustandsänderung die Masse des Fluids nicht. m = m = m = const (Gl ) Ein System für das dies gilt, bezeichnet man als ein geschlossenes System. Wir ändern nun den Zustand des Systems, indem wir den Kolben gegen den Druck des Fluids in den Zylinder drücken. Die Masse des Fluids ändert sich dabei nicht (Annahme: geschlossenes System). Das Volumen, das dem Fluid zur Verfügung steht, wird kleiner. Damit nimmt die Dichte des Fluids zu: m ρ =. (Gl ) V Man bezeichnet diese Zustandsänderung daher als Verdichtung oder als Kompression. Quasistatische Zustandsänderung: Wir fordern weiter, dass sich unser thermodynamisches System zu allen Zeiten im Gleichgewicht befindet. Wenn wir das Eigengewicht des Fluids vernachlässigen, bedeutet dies, dass zu jedem Zeitpunkt an allen Orten des Fluids derselbe Druck (mechanisches Gleichgewicht) und dieselbe Temperatur (thermisches Gleichgewicht) herrschen und die Fluidteilchen sich nicht bewegen, also ruhen. Bei einer Zustandsänderung, die im Allgemeinen mit einer Änderung des Druckes und der Temperatur verbunden ist, kommt es zu einer Störung dieses Gleichgewichtszustandes. Wir nehmen an, dass die dadurch hervorgerufenen Ausgleichsvorgänge im Inneren des Systems viel schneller ablaufen als die Zustandsänderung selbst. Die Zustandsänderung also als Folge von Gleichgewichtszuständen betrachtet werden kann. Man spricht bei dieser Modellvorstellung von einer quasistatischen Zustandsänderung.

2 Volumenänderungsarbeit: Um das Volumen des Gases zu verringern, oder mit anderen Worten, um den Kolben gegen den Druck des Fluids in den Zylinder zu drücken, muss Arbeit aufgewandt werden, die dem Fluid zugeführt wird und die die im Fluid gespeicherte Energie erhöht. Diese Arbeit berechnet sich als Arbeit der Druckkräfte, mit denen das Fluid gegen den Kolben drückt. Sie wird als Volumenänderungsarbeit bezeichnet. Mit der Kolbenfläche A berechnet sich die resultierende Druckkraft des Fluids zu F p = pa. Wird der Kolben um den Weg ds in den Zylinder gedrückt verrichtet diese Kraft die Arbeit: dw = F ds dw = F ds. d W = pa ds. p ds Bild Mit der Volumenänderung dv = A ds und durch Aufsummieren der Arbeitsbeiträge über die ganze Zustandsänderung von berechnet sich die Volumenänderungsarbeit zu: p W v = p dv. (Gl ) Bei einer Kompression ist dv negativ, die Volumenänderungsarbeit also positiv. Dem System wird Arbeit zugeführt. Bei einer Volumenvergrößerung (Expansion) ist dv positiv, die Volumenänderungsarbeit also negativ. Das System gibt Arbeit ab. Dissipationsarbeit: Ist das Fluid zäh, kann neben der Volumenänderungsarbeit dem Fluid auch noch Arbeit zugeführt werden, indem man es durch Rühren in Bewegung setzt. Diese Arbeit wird durch Reibung zwischen den Fluidteilchen im Fluid dissipiert und erhöht wieder die im System Bild Dissipationsarbeit gespeicherte Energie. Dissipationsenergie kann einem System nur zugeführt werden, sie ist immer postitiv. Gesamtarbeit: Die ingesamt an einem geschlossenen System verrichtete Arbeit bezeichnet man als Gesamtarbeit: Wg = Wv + W. diss (Gl 4)

3 Wärme: Neben Arbeit kann einem System auch Energie in Form von Wärme zugeführt werden. Wärme ist die Energie, die allein aufgrund eines Temperaturunterschiedes zwischen System und Umgebung über die Systemgrenze tritt. Ist die Umgebungstemperatur größer als die Temperatur des Systems fließt Energie in Form von Wärme in das System (die Wärme ist positiv) ist die Umgebungstemperatur kleiner als die Temperatur des Systems, fließt Energie in Form von Wärme aus dem System (die Wärme ist negativ). Voraussetzung hierfür ist aber, dass die Systemgrenze durchlässig für Wärme ist. Die Modellvorstellung, dass die Systemgrenze vollständig undurchlässig für Wärme ist, bezeichnet man als adiabate Systemgrenze. Erster Hauptsatz : Mit den besprochenen Größen können wir nun den. Hauptsatz für ruhende, geschlossene Systeme aufstellen. Der erste Hauptsatz macht die Aussage, dass sich die in einem System gespeicherte Energie genau um den Betrag der über die Systemgrenze fließenden Energie ändert. Einem geschlossenen System kann Energie in Form von Volumenänderungsarbeit, Dissipationsenergie und Wärme zugeführt werden, und es ändert sich die in dem geschlossenen System gespeicherte Energie, die als innere Energie bezeichnet wird: W + W + Q = U -U (Gl 5) v diss Auf der linken Seite des Ersten Hauptsatzes stehen die über die Systemgrenze fließenden Energien. Sie hängen von dem Verlauf der Zustandsänderung ab und werden daher als Prozessgrößen bezeichnet. Man erkennt sie daran, dass im Index der Ausgangs- und der Endzustand der Zustandsänderung genannt wird. Auf der rechten Seite steht die Änderung der im System gespeicherten Energie. Gespeicherte Energien sind Zustandsgrößen. Die Änderung der inneren Energie berechnet sich als Differenz der Energie im Zustand um im Zustand. Im Index steht nur der Ausgangs- oder der Endzustand. Nutzarbeit und Verschiebearbeit: Die von den Druckkräften des Fluids bei der Verschiebung des Kolbens verrichtete Arbeit, die Volumenänderungsarbeit, unterteilt man in die Nutzarbeit W n und die Verschiebearbeit W u : Wv = Wn + Wu (Gl 6) Die Nutzarbeit ist der Anteil der Volumenänderungsarbeit, der über die Kolbenstange übertragen wird.

4 Die Verschiebearbeit ist der Anteil, der gegen den Umgebungszustand übertragen wird. Zur Herleitung betrachten wir die Kräfte, die am Kolben angreifen: An der Kolbenstange greift die Kraft F K an, von außen wirkt auf die Kolbenoberfläche der Umgebungsdruck und von innen der Druck des Fluids. Die Haftungskräfte, die von der Zylinderwandung auf den Kolben F K v = 0 ds ausgeübt werden, sowie das Eigengewicht Bild 4 Gleichgewicht am Kolben des Kolbens sollen vernachlässigt werden. Aus dem Kräftegleichgewicht folgt für den Druck des Fluids: F is = 0: F p A K + b = pa ds i F d s+ p d V = p dv K b d V = A ds Eingesetzt in die Definitionsgleichung der Volumenänderungsarbeit folgt: dv Wv = p d V = FK ds pb Wn Wu Aus dem Vergleich mit der Gleichung 6 folgt für die Nutzarbeit: n ( ) W = p p p b p (Gl 7) b dv. (Gl 8) Unter der Annahme eines konstanten Umgebungsdruckes p b = const folgt für die Verschiebearbeit: ( ) W = p V V. (Gl 9) u b Bei einer Expansion kann nur ein Teil der abgegebenen Volumenänderungsarbeit als Nutzarbeit an der Kolbenstange abgegeben werden der andere Teil muss zum Verschieben der Umgebung aufgewendet werden. Bei einer Kompression muss nur ein Teil der erforderlichen Volumenänderungsarbeit über die Kolbenstange aufgebracht werden, den Rest liefert die Umgebung, die mit hilft den Kolben zu verschieben. 4

5 Aufgabe /ÜB A./ HS -9 In einem Zylinder befindet sich Luft, die durch einen konstant belasteten Zylinder auf einen Druck von 00 kpa gehalten wird. Durch Zufuhr von 00 kj Wärme vergrößert sich das Volumen der Luft reversibel um 00 l. Wie groß ist die Änderung der inneren Energie? Aufgabe /LB B./ HS - In einem adiabaten Zylinder von 500 l befindet sich ideales Gas, dessen Druck durch einen konstant belasteten Kolben auf 0, MPa gehalten wird. Dem Gas wird die Dissipationsenergie W diss = 0, kw h zugeführt, wobei sich die Temperatur von 8 C auf 600 C erhöht. Der Umgebungsdruck beträgt 98 kpa. a) Wie groß ist die abgeführte Volumenänderungsarbeit? b) Um welchen Wert ändert sich die Energie des Systems? c) Wie groß ist die an die Umgebung abgegebene Verschiebungsarbeit? d) Wie groß ist die an der Kolbenstange abgegebene Nutzarbeit? Aufgabe /ÜB A.5/ HS -0 In einem Druckbehälter befindet sich kmol eines idealen Gases bei einer Temperatur von 0 C. Das Manometer zeigt einen Druck von 400 kpa an. Der Umgebungsdruck beträgt 0, kpa. R i = 4 J/(kg K). a) Wie groß ist das Behältervolumen? b) Wie groß ist das spezifische Volumen des Gases? Durch reversible Zufuhr von 6,6 kj Wärme steigt der Druck im Behälter. Das Manometer zeigt nun eine Druck von 485,5 kpa an. c) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie des Gases? Aufgabe 4 /ÜB B./ HS - Eine Glaskapillare mit einer inneren Querschnittsfläche von 5 mm ist auf der einen Seite zugeschmolzen und auf der anderen Seite durch einen 0 cm langen Quecksilberfaden (ρ Hg = 590 kg/m ) verschlossen. Der von der Glaskapillaren und dem Quecksilber begrenzte Raum ist mit Stickstoff (ideales Gas) gefüllt. Der Umgebungsdruck beträgt 98 kpa, die Umgebungstemperatur C. R i = 96,8 J/(kg K). a) Liegt die Kapillare waagerecht, beträgt die Länge des eingeschlossenen Gasvolumens 50 cm. Berechnen Sie für diese Lage die Dichte des Gases (t Gas = t amb ). b) Die Glaskapillare wird nun senkrecht gestellt mit der zugeschmolzenen Seite nach unten. Welche Länge hat nun das eingeschlossene Gasvolumen (t Gas = t amb )? In der senkrechten Lage wird nun die Temperatur des Gases um 78 K erhöht. c) Welche Länge hat nun das eingeschlossene Gasvolumen? d) Wie groß ist die verrichtete Volumenänderungsarbeit? 5

6 e) Welche Arbeit wird am Quecksilber verrichtet? 6

7 Lösungen: ) U U = 80 kj ) a) W v = 00 kj b) U U = 50 kj c) W u = 98 kj d) W n = 0 kj ) a) V = 4,86 m b) v =,4 m /kg c) U U = 6,6 kj 4) a) ρ =,87 kg/m b) l = 44,0 cm c) l = 55,64 cm d) W v = 0,0647 J e) W n = 0,00775 J 7

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