Repetitorium Physik 1

Transkript

1 Repetitorium Physik 1 Dr. H. Macholdt 7. Januar 2013 Literaturempfehlung: Paul A. Tipler / Physik / Spektrum Akademischer Verlag. K. Dransfeld / P. Kienle / G.M. Kalvius / Physik 1 / Oldenbourg 1

2 Einführung und Motivation In den zurückliegenden Jahren haben wir an unserem Fachbereich die Erfahrung machen müssen, dass in Physik (in manchen anderen Fächern ebenso) manchmal mehr als die Hälfte aller Studenten die Abschlussklausuren nicht bestanden haben. Dabei haben wir den Eindruck gewonnen, dass der Grund dafür nicht unbedingt darin liegt, dass der aktuelle Stoff des Physikkurses nicht verstanden wird, sondern dass elementare mathematische Kenntnisse aus der Mittel- und Oberstufe fehlen. Wie sonst ist es zu erklären dass in einer Wiederholungsklausur nur 41% aller Studenten das Volumen einer Kugel korrekt berechnet haben? Folgende Absichten verfolgen wir mit dem Repetitorium: Die Gelegenheit offene Fragen aus der Vorlesung zu behandeln. Ihnen die Angst zu nehmen, diese Fragen auch zu stellen. Sie dazu erziehen sich möglichst selbstständig mit den Aufgaben zu beschäftigen und nach Lösungen zu suchen auch wenn es etwas länger dauern solte. Sie haben letztlich nichts davon, wenn wir Ihnen die Aufgaben immer nur vorrechnen. Mathematische Grundlagen, die in der Physik benötigt werden, aufzufrischen und auch anzuwenden. Mit ergänzenden Übungsaufgaben die naturwissenschaftliche Methode kennenlernen. Hilfsmittel wie Taschenrechner und PC sinnvoll einzusetzen. Vorbereitung auf die Klausur. Das Repetitorium umfasst insgesamt 12 Lektionen in denen zusätzliche Übungsaufgaben enthalten sind, die Sie zunächst selbstständig lösen sollen. In jeder Lektion sind Stichpunkte oder wichtige Begriffe aus der Vorlesung verzeichnet, die Sie anhand des Vorlesungsskriptes oder der Literaturhinweise noch einmal nacharbeiten können. Manche Lektionen sind mit sogenannten Sprints versehen, das sind kurze Videos, die Sie durch anklicken auf den Link starten können. Die Präsenzveranstaltung zum Repetitorium (Montag in K109) dient dazu, noch offene Fragen zur Vorlesung und den Übungen zu behandeln. 2

3 1 Signifikanz und Messunsicherheit Lesen Sie: Tipler, Kapitel 1 (Einheitensysteme). Die naturwissenschaftliche Methode, Wo kämen wir denn hin, wenn... oder Das haben wir immer schon so gemacht... oder??? Jede physikalische Größe ist das Produkt aus einer Zahl {u} und einer Maßeinheit [u]. u = {u} [u] z.b. 3s, 25m, 37kg Ein Zahlenwert liegt immer innerhalb eines Intervalls, dessen Größe durch die Signifikanz gegeben ist. I = 4, 1A [4, 05A... 4, 14A] I = 4, 15A [4, , 154] Signifikanz: Anzahl der bedeutenden Stellen einer Zahl. Signifikanz einer Berechnung: Das Ergebnis einer Berechnung kann keine größere Signifikanz haben als die Eingangsvariable mit der kleinsten Signifikanz. z.b. Berechnung eines Zylindervolumens: V = d2 π 4 h = 3, 352 π 4 9, 7 = 85, } {{ } = 85 Taschenrechner Anmerkung: Die kleinste vorkommende Signifikanz ist 2, also kann das Ergebnis nur 2 signifikante Stellen haben. Konstanten in einer Formel (π und 4) haben auf die Signifikanz keinen Einfluss. 3

4 Wissenschaftliche Notation oder Exponentialschreibweise: Eine positive reelle Zahl ist in Normdarstellung bzw. wissenschaftlicher Notation gegeben, wenn sie die Form a 10 z hat, wobei 1 < a < 10 und z eine ganze Zahl ist. z:b. c = m/s = 2, m/s oder C = 0, F = 4, F Um sich etwas Schreibarbeit zu sparen verwendet man häufig die in der folgenden Tabelle angegebenen Vorsätze. Potenz Name Zeichen 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 Kilo k 10 2 Hekto h 10 1 Deka da 10 1 Dezi d 10 2 Zenti c 10 3 Milli m 10 6 Mikro µ 10 9 Nano n Beispiele: 12MW = W = W 19, 2µm = 19, m = 0, m Leitsatz: Ein Messergebnis ohne Angabe eines Fehlers ist wertlos. Wir geben also neben dem eigentlichen Messwert x = 6, 23m auch noch den absoluten Fehler x = 2cm an. d = 6, 23m ± 2cm Jede Messung ist prinzipiell fehlerhaft. Wir unterscheiden zwei Arten von Fehlern: Zufallsfehler = statistische Fehler, betreffen die Reproduzierbarkeit. Zufällige Fehler ergeben ein unsicheres Messergebnis. systematische Fehler, betreffen die Richtigkeit. Systematische Fehler ergeben ein falsches Messergebnis. Quelle: Prof. Dr. Christoph Janiak, Seite angegeben wer- Die Fehlerangabe kann kann auch in Form des relativen Fehlers x x den. In unserem Beispiel ist d = 6, 23m ± 2cm 623cm = 6, 23m ± 0, 32% 4

5 Bei analogen Messgeräten gibt man den Anzeigefehler in Prozent vom Meßbereichsendwert an. Steht in der Anleitung zum Messgerät (meistens bei digitalen Multimetern) zur Angabe der Fehler z.b. 1,5% of READING ±1 digit, dann wird als Fehler der abgelesene Wert zur Berechnung verwendet, dazu kommt dann noch der Wert der letzten Anzeige (digit). Sind auf dem Messgerät keine Angaben zur Größe des Fehlers gemacht, dann schätze man den absoluten Fehler so ab, dass er in etwa so groß ist wie der kleinste messbare Wert. Lineal: ±1mm, Messschieber mit Nonius: ±0, 1mm, Küchenwaage: ±0, 1g Das ist manchmal etwas subjektiv und erfordert Erfahrung, hat also etwas mit dem sogenannten gesunden Menschenverstand zu tun. In den Naturwissenschaften verwenden wir weltweit ein einheitliches System von sieben Basiseinheiten, das MKS-System (Meter, Kilogramm, Sekunde) oder SI-System (System International d Unités). Basiseinheit Meter: 1m ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in 1/ s durchläuft. Basiseinheit Kilogramm: 1kg ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. Basiseinheit Sekunde: 1s ist das fache der Periodendauer der Strahlung beim Hyperfeinstrukturübergang des 133 Cs. Weitere Basiseinheiten sind: Ampere (Stromstärke), Mol (Stoffmenge), Kelvin (Temperatur) und Candela (Lichtstärke) Abgeleitete Einheiten: Bestimmte Kombinationen von Basiseinheiten die bei Berechnungen entstehen erhalten eigene Namen wie Newton, Joule und Watt. Dies sind keine Basiseinheiten. Größe Einheit Einheit Abk. Volumen m Frequenz 1/s s 1 Hz=Hertz Geschwindigkeit m/s ms 1 - Beschleunigung m/s 2 ms 2 - Kraft kgm/s 2 kgms 2 N=Newton Arbeit, Energie Nm kgm 2 s 2 J=Joule Leistung J/s kgm 2 s 3 W=Watt Spannung J/As kgm 2 s 3 A 1 V=Volt Druck N/m 2 kgs 2 m 1 Pa=Pascal Ladung As As C=Coulomb 5

6 Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie die Fläche eines Kreises mit dem Duchmesser d = 2, 5m (d = 2, 55m) unter Berücksichtigung der Signifikanz. Innerhalb welchen Intervalls kann das Ergebnis liegen? 2. Licht breitet sich im Vakuum mit einer Geschwindigkeit von c = m/s aus. (a) Welche Zeit benötigt das Licht, um die 1, km lange Strecke von der Sonne bis zur Erde zurückzulegen? (b) Astronomische Entfernungen gibt man häufig in Lichtjahren (LJ) an. Wie groß ist die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt? (c) Der Durchmesser unserer Milchstraße beträgt 8, km. Geben Sie den Durchmesser unserer Milchstraße in Lichtjahren an. 3. Im Durchschnitt atmet ein Mensch in einer Minute 15 mal ein und aus. Wie viele Atemzüge hat ein 16jähriger seit seiner Geburt gemacht? Geben Sie das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise an. 4. Mit einem Zeigerinstrument der Genauigkeitsklasse 1.5 wird im Messbereich bis 200mA ein Wert von 175mA (33mA) gemessen. Innerhalb welchen Intervalls kann der wahre Messwert liegen? Wie groß ist der relative Fehler? 5. In der Seefahrt wird die Geschwindigkeit eines Schiffes in der Einheit Knoten angegeben. Legt ein Schiff in einer Stunde eine Seemeile zurück, dann bewegt es sich mit einer Geschwindigkeit von einem Knoten. Wie groß ist die Geschwindigkeit in km/h und in m/s, wenn sich ein Schiff mit der Geschwindigkeit von 18 Knoten bewegt? Eine Seemeile ist definiert als die Entfernung auf der Erdoberfläche, die einem Winkel von einer Bogenminute (was also ist eine Bogenminute?) entspricht. Der Radius der Erde beträgt R E = 6, m. 6

7 2 Fehlerfortpflanzung, Funktionen Summenzeichen: siehe dazu Das Summenzeichen Mittelwert und Varianz. Beispiel im Script. Die Gaussverteilung: Berechnen sie diese im Script angegebene Funktion mal mit EXCEL. Die werden Sie noch sehr häufig im weiteren Verlauf Ihres Studiums verwenden. Fehlerfortpflanzung: siehe dazu Fehlerfortpflanzung Was ist eine Funktion? Bilder einer Funktion am Beispiel Zentrifugalkraft. Erstellen Sie mit EXCEL drei verschiedene XY-Diagramme der Zentrifugalkraft in Abhängikgeit von m, von v und von r. F Z = m v2 r Skizzieren Sie die konstante Funktion x(t) = x 0 = const. Lesen Sie: Tipler, Kapitel 2 (Bewegung in einer Dimension). Die Geradengleichung, eine lineare Weg-Zeit-Funktion. Skizzieren Sie diese Funktion Wie findet man die Weg-Zeit-Funktion? x(t) = m t + b Die Ableitung (Steigung) der linearen Funktion. Die geradlinige Bewegung, x(t) = v t + x 0 Geschwindigkeit als Steigung der Weg-Zeit-Funktion, v(t) = dx(t) dt Funktionen Plotten mit MATLAB. x=0:0.5:15 y=3*x+5 plot(x,y) 7

8 Übungsaufgaben 1. Ein Zylinder wird vermessen mit folgenden Ergebnissen: Durchmesser d = 122mm± 1, 5mm,Höhe h = 22, 5cm ± 0, 1cm. Wie groß ist der absolute Fehler des Volumens? 2. Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der folgenden vier linearen Funktionen. 3. Ein Höhensensor liefert bei einem Abstand von 10cm ein Spannungssignal von 0,5 Volt. Wird der zu vermessende Körper in eine Entfernung von 46cm gebracht, dann liegt am Ausgang des Sensors eine Spannung von 9,5V an. Ermitteln Sie die zugehörige Spannungs-Abstands-Funktion s(u) =? des Sensors. 4. Ableitung von elementaren Funktionen: siehe Übung Ableitungen 8

9 3 Vektoren, Winkelfunktionen Vektoren, Beispiele Darstellungen von Vektoren, Einheitsvektoren Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren Siehe dazu: Sprint Vektoren Die Winkelfunktionen sin, cos und tan. Die Umkehrfunktionen sin 1,cos 1 und tan 1 Gradmaß und Bogenmaß Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a=(5, 1.5) und b=(1, 2.5). 2. Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren b=(1, 2.5) und c=(-3.5, 1.5)? 3. Wie groß ist der Winkel zwischen der x-achse und dem Vektor c=(-3.5, 1.5)? 4. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle Winkel in Grad Winkel in rad sin cos tan 15 π/4 0,765 0,342 1, Auf einen Massenpunkt mit der Masse m = 5kg wirken die zwei gegebenen Kräfte F 1 = 9N e x 2N e y und F 2 = 3N e x + 10N e y ein. (a) Geben Sie den Vektor der resultierenden Kraft an. F g = (b) Wie groß ist der Betrag dieses Vektors? (c) Welcher Winkel liegt zwischen der resultierenden Kraft und der x-achse? 9

10 4 Gleichförmig beschleunigte Bewegung Tabelle wichtiger Funktionen und deren 1. Ableitung Stammfunktion 1. Ableitungsfunktion Bemerkung dx x(t) oder ẋ(t) dt x(t) = C ẋ(t) = 0 konstante Funktion x(t) = m t + C ẋ(t) = m lineare Funktion x(t) = t + C ẋ(t) = 1 lineare Funktion x(t) = a t 2 + b t + c ẋ(t) = 2a t + b quadratische Funktion x(t) = t n ẋ(t) = n t n 1 Polynom n-ten Grades x(t) = ln(t) ẋ(t) = 1 Logarithmus Naturalis t x(t) = e t ẋ(t) = e t Exponentialfunktion x(t) = e λ t ẋ(t) = λ e λ t Kettenregel Lesen Sie: Tipler, Kapitel 3 (Bewegung in zwei und drei Dimensionen). Die gleichförmig beschleunigte Bewegung am Beispiel des freien Falls. h(t) = 1 2 g t2 + v 0 t + x 0 mit g = 9, 81m/s 2, v 0 = Anfangsgeschwindigkeit, x 0 = Anfangsort. siehe dazu: Sprint Gleichförmig beschleunigte Bewegung Die Unabhängigkeit der Bewegungen in x-, y- und z-richtung. GALILEI (1638): Bewegungskomponenten längs senkrecht zueinander stehender Achsen überlagern sich zwar, aber sie beeinflussen (stören, ändern oder hindern) sich nicht gegenseitig. Die Wurfparabel als 2-dimensionale Bewegung: Skispringer, Kanonen und ähnliche Geschosse. x(t) = v x t + x 0 und y(t) = 1 2 g t2 + v y t + y 0 10

11 Übungsaufgaben 1. Sie stehen auf einer 20, 5m hohen Klippe und werfen einen Ball (fast) senkrecht nach oben. Die Startgeschwindigkeit sei 10, 5m/s. Berechnen Sie für eine konstante Erdbeschleunigung von 9, 81m/s 2 die maximale Höhe, die der Ball erreicht. Nach welcher Zeit hat der Ball den Fuß der Klippe erreicht? Wie groß ist die Geschwindigkeit des Balles, wenn er am Fuß der Klippe aufkommt? 2. Ein Teilchen bewege sich mit konstanter Beschleunigung in der x-y-ebene. Zur Zeit t = 0 befindet es sich bei x = 4m und y = 3m. Die Beschleunigung ist gegeben durch den Vektor a = (4m/s 2 ) e x + (3m/s 2 ) e y. Der Geschwindigkeitsvektor ist zu Beginn v = (2m/s) e x (9m/s) e y. (a) Skizzieren Sie das Problem. (b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 2s. (c) Bestimmen Sie Betrag und Richtung des Ortsvektors zur Zeit t = 4s. 3. Ein Projektil werde von einem 200m hohen Steilufer aus abgeschossen. Die Anfangsgeschwindigkeit betrage 60m/s, und die Abschussrichtung sei 60 zur Horizontalen. Fertigen Sie zunächst eine Skizze des Problems an. Wo wird das Projektil landen, wenn der Luftwiderstand unberücksichtigt bleibt? 11

12 5 Exponentialfunktion und Logarithmus Die Logarithmengesetze: ln(x y) = ln x + ln y ln x y = ln x ln y ln(x y ) = y ln x ln e x = x Die Exponentialfunktion in 2 Beispielen. Man beachte: e x = exp(x) sind nur zwei verschiedene Schreibweisen für das gleiche Objekt. 1. Der radioaktive Zerfall: A(t) = A 0 exp( λ t) 2. Luftdruck als Funktion der Höhe: p(h) = 1013mbar exp( h/8000m) Übungsaufgaben 1. Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen: ln 15 ln 3 + ln 2 5 ln 1 8 = ln 1 3 ln 1 2 ln 2 ln 3 = 3 2. Eine Gesteinsprobe enthält 1mg einer radioaktiven Substanz. Nach drei Jahren enthält die Gesteinsprobe nur mehr 0,6mg dieser Substanz. (a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante λ der radioaktiven Substanz! (b) Nach welcher Zeit enthält der Stein nur mehr 0,1mg der Substanz? 3. Das Kohlenstoffisotop C-14 ist natürlich radioaktiv mit der Halbwertzeit von 5760 Jahren. Es kommt in der Atmosphäre sowie in lebenden Organismen vor und sein Anteil bleibt konstant, solange die Organismen leben. Nach deren Tod nimmt der C-14-Anteil exponentiell ab. (a) In Holzresten aus der Höhle von Lascaux stellte man 14,5% des ursprünglichen C-14-Gehalts fest. Berechne Sie daraus das Alter dieser Holzreste. (b) Bis zu welchem Alter kann man diese Methode verwenden, wenn noch 1% des ursprünglichen C-14-Gehalts mit hinreichender Genauigkeit festgestellt werden kann? 4. Sie sind mit einem Ballon aufgestiegen. Das Barometer im Ballon zeigt einen Wert von 756mbar an. In welcher Höhe befinden Sie sich? 12

13 6 Kreisbewegung Winkel im Bogenmaß: ϕ(t) = ω t Konstante Winkelgeschwindigkeit ω = 2 π T T = Dauer eines Umlaufes Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit ω = dϕ(t) dt v = R ω Kreisbewegung: Die Bewegung der Erde um die Sonne x(t) = R cos(ω t) y(t) = R sin(ω t) Die Bahnkurve geplottet mit MATLAB t = 0:1:365 %Zeit in Tagen w = 2*pi/365 %Winkelgeschwindigkeit R = 150 %Radius der Umlaufbahn in Mio. Kilometer x = R * cos(w*t) y = R * sin(w*t) plot(x,y, * ) grid Winkelbeschleunigung: a = R ω 2 = v2 R 13

14 Übungsaufgaben 1. Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Gradmaß in Bogenmaß um: 10 ; 45 ; 90 ; Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Bogenmaß in Gradmaß um: 0.5; π; 3/2 π; 2π. 3. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit, die Bahngeschwindigkeit und die Radialbeschleunigung des Mondes um die Erde (R = 3, km, Umlaufzeit T = 27, 3 Tage) der Erde um die Sonne (R = km, Umlaufzeit ist wohl bekannt) der Erde um die eigene Achse. Anmerkung: Es gibt eine einfache, naheliegende und eine etwas komliziertere aber richtige Lösung, siehe Sternentag.pdf 14

15 7 Newton Lesen Sie: Tipler, Kapitel 4 (Die Newtonschen Axiome). 1. EIN UNBESCHLEUNIGTER KÖRPER BEWEGT SICH MIT KONSTAN- TER GESCHWINDIGKEIT ODER RUHT. 2. DIE ZEITLICHE ÄNDERUNG DES IMPULSES p = m v IST GLEICH DER SUMME DER AN IHM ANGREIFENDEN KRÄFTE F k. 3. ÜBT OBJEKT A EINE KRAFT F AB AUF OBJEKT B AUS, SO ÜBT B EINE KRAFT F BA AUF A AUS. Beispiele für Kräfte: 1. Gewichtskraft nahe der Erdoberfläche: F = m g mit g = 9, 81m/s 2 2. Federkraft F k = k x mit k = Federkonstante 3. Gravitation 4. elektrostatische Kraft F g = G m1 m 2 11 Nm2 mit G = 6, r 2 kg F E = 1 q1 q 2 4πɛ 0 r 2 mit 1 = 8, Nm2 4πɛ 0 C 2 5. Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld (Lorentskraft) F L = q v B Reibung und schiefe Ebene, Skizzieren Sie die Kräfte an der schiefen Ebene aus Ihrer Erinnerung. Reibungskraft in Flüssigkeiten, Beispiel für eine Differentialgleichung Übungsaufgaben 1. Wie groß ist die Gravitationskraft des Positrons auf ein Elektron im Abstand von einem Meter? Die Masse eines Protons beträgt m p = 1, kg, die des Elektrons m e = 9, kg 2. Wie groß ist die anziehende elektrostatische Kraft eines Positrons auf ein Elektron im Abstand von einem Meter? Die Ladung beider Teilchen beträgt q = 1, C 3. In welchem Verhältnis stehen diese Kräfte? 15

16 8 Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) von Vektoren Der Vektor ω dient zur Beschreibung von Drehungen. Üblicherweise legt man ω auf die Drehachse des drehenden Körpers. Der Daumen der rechten Hand zeigt dann in Richtung von ω, wenn die Finger in Drehrichtung zeigen. Die Länge (Betrag) von ω ist ω = 2π T Skizzieren Sie eine Schallplatte (falls Sie noch wissen, was das ist) und zeichnen Sie ω ein. Skizzieren Sie ein Fahrrad. In welche Richtung zeigt ω, wenn das Fahrrad vorwärts (rückwärts) fährt? Das Kreuzprodukt c = a b kann man am einfachsten mit der Determinantenregel (siehe Script) berechnen. Der Betrag des Kreuzproduktes ist c = a b sin Θ Anwendung des Kreuzproduktes bei Scheinkräften Scheinkräfte sind nicht nur scheinbar da Die Zentrifugalkraft: Die Corioliskraft: F Z = m ( ω ( ω r B )) F C = 2m ( ω v B ) Die Drei-Finger-Regel oder wie man es schafft die Richtung der Scheinkräfte ohne schwerwiegende Verletzung zu erhalten. Ein Experiment zur Corioliskraft: Drehen Sie sich um die eigene Achse und lassen Sie dabei mal Ihre Arme aus der Waagerechten herunterfallen. Wo landen die Arme? 16

17 Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie zunächst den Betrag des Kreuzprodukt der Vektoren a = (3, 5, 2) und b = (4, 1, 7). Den Winkel Θ zwischen den Vektoren erhält man mit Hilfe das Skalarproduktes der Vektoren (siehe dazu Kapitel Vektoren). Überprüfen Sie ihr Ergebnis, indem Sie das Kreuzprodukt mit der Determinantenregel berechnen und anschließend den Betrag bilden. 2. Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren a = (7, 2, 2) und b = (2, 4, 1) mit Hilfe der Determinantenregel. 3. Bestimmen Sie mit Hilfe der Drei-Finger-Regel die Richtung der Coriolis-Kraft auf einen Fallschirmspringer der a) am Äquator und b) am Nordpol aus dem Flugzeug springt. 4. Ein Karusell mit dem Durchmesser D = 12m dreht sich in 6 Sekunden einmal um die eigene Achse. Berechnen Sie den Betrag der Zentrifugalkraft auf eine 75kg schwere Person und die Bahngeschwindigkeit am Rand des Karusell s. 5. Auf einer Magnetbahn, die auf dem 45. Breitengrad in südlicher Richtung verläuft, fährt ein 27t schweres Testfahrzeug mit einer Geschwindigkeit von 450km/h. Wie groß ist der Betrag der Corioliskraft? 17

18 9 Das Gravitationsgesetz Das Gravitationsgesetz: Wie LESEN wir dieses Gesetz? F G = G m1 m 2 r 2 r r Die Anziehungskraft zwischen zwei Bleikugeln: siehe Beispiel 6.1 im Script, Lösung mit EXCEL. Das Gravitationsfeld: Kraftfelder sind eine durchaus hilfreiche Beschreibung, aber existieren sie auch? g ( r) = G M r 2 r r Die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche, Lösung mit EXCEL. Die Gravitationsbeschleunigung am Ort des Mondes, Lösung mit EXCEL. Die Kepler schen Gesetze 1. Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachse. 18

19 Übungsaufgaben Planet Umlaufquadrate: T 2 Bahnkuben: R 3 Verhältnis Merkur Venus Erde Mars Jupiter 1. Vervollständigen Sie mit Hilfe der Planetendaten die obige Tabelle. 2. Durch Gleichsetzen der Gravitationskraft F G mit der Zentrifugalkraft F Z erhält man eine Bestimmungsgleichung für die Masse der Sonne. Berechnen Sie damit und mit den obigen Daten der Planeten die Masse der Sonne. 3. Der Asteroid Ceres befindet sich einer Entfernung von 413Mio. Kilometern von der Sonne und beschreibt eine nahezu kreisförmige Umlaufbahn. Der Radius der Erdumlaufbahn beträgt ca. 149Mio. km. (a) Wie lange dauert ein Umlauf des Ceres um die Sonne? (b) Welcher Gravitationsbeschleunigung von der Sonne (M S = 1, kg, G = 6, m 3 /kgs 2 ) ist Ceres ausgesetzt? 19

20 10 Arbeit und Energie Lesen Sie: Tipler Kapitel 6 (Arbeit und Energie). Die Arbeit als Skalarprodukt Die Arbeit als Integral über die Kraft-Funktion Arbeit im Gravitationsfeld Konservative Kräfte: Eine Kraft heißt konservativ, wenn die gesamte Arbeit entlang eines beliebigen, geschlossenen Weges gleich Null ist. Dies bedeutet: Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massenpunkt verrichtet, ist unabhängig davon, auf welchem Weg sich der Massenpunkt von einem Ort zum anderen bewegt. F dl = 0 Umkehrung: Aus der potentiellen Energie erhält man durch Bildung des Gradienten die Kraft Die kinetische Energie: E kin = 1/2 m v 2 Die potentielle Energie: E pot = m g h Die Wärmeenergie: Q = m c θ Leistung: Motoren, Kräne und andere mühevolle Tätigkeiten. F = m g W = F h P = W t Kombination der obigen Gleichungen ergibt die Kranformel : Welche Leistung muss der Motor (mindestens) haben, um eine Masse m in der Zeit t um eine bestimmte Höhe h zu heben. Das gleiche macht auch eine Wasserpumpe. Leistung als Kraft mal Geschwindigkeit P = m g h t Die Einheit der Arbeit/Energie ist Joule, die der Leistung ist Watt. 20

21 Übungsaufgaben 1. Eine Kugel der Masse 10g besitze eine Geschwindigkeit von 1,2km/s. (a) Wie groß ist ihre kinetische Energie in Joule? (b) Welche kinetische Energie hat die Kugel, wenn ihre Geschwindigkeit halb (c) und doppelt so groß ist? 2. Welche Arbeit muss aufgebracht werden um eine Feder mit der Federkonstanten k = 24N/cm aus der Ruhelage eine Strecke von 1,3m auszulenken? 3. Der Antriebsmotor eines Kranes hat eine Leistung von 35kW. Kann der Kran damit eine 2000kg schwere Metallplatte in einer Zeit von t = 15s auf eine Höhe von h = 50m heben, d.h. welche Leistung müsste er für diese Aufgabe aufbringen? 4. In einem Warmwasserboiler (c = 4190J/ (kgk))sollen 500 Liter Wasser von einer Anfangstemperatur von 20 C auf 95 C erwärmt werden. Wie lange dauert das Aufheizen, wenn eine elektrische Leistung von 15kW zur Verfügung steht? Der Wirkungsgrad wird mit 0,95 angenommen. 5. Wieviel kg Wasser kann ein Durchlauferhitzer mit einer Leistung von 12kW in einer Minute von 20 C auf 73 C erwärmen, wenn der Wirkungsgrad mit η = 0, 95 angenommen wird? (c = 4190J/ (kgk)) 6. Ein Stein wird in einen 95m tiefen Brunnen geworfen. Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf der Wasseroberfläche auf? (Hinweis: Energieerhaltungssatz) 7. Ein Kran mit einer gegebenen Motorleistung von 25kW hebt eine 1,8 Tonnen schwere Metallplatte in eine Höhe von 25m. Wie lange braucht er dazu? 21

22 11 Impulserhaltung Newton 3: Actio = Reactio besagt, dass eine Kraft die von einem Körper Nr. 1 auf einen Körper Nr. 2 ausgeübt wird, gleich ist der negativen Kraft, die Körper Nr.2 auf Körper Nr. 1 ausübt. F 21 = F 12 Da Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Impulses ist, folgt: oder dp 1 dt = dp 2 dt dp 1 dt + dp 2 dt = d (p 1 + p 2 ) dt Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist Null, d.h. der Gesamtimpuls eines Systems von Teilchen bleibt konstant. Somit ist der Gesamtimpuls eine weitere wichtige Erhaltungsgröße. Impulserhaltung im 1dim-Fall: Der elastische Stoß im Falle einer vorher ruhenden Kugel, die von einer ersten Kugel mit der Geschwindigkeit u 1 angestoßen wird. v 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 u 1 = 0 v 2 = m 1 m 2 u 1 m 1 m 2 v 1 Der Massenschwerpunkt im diskreten Fall r cm = 1 N M m i r i mit M = Gesamtmasse i=1 Der Massenschwerpunkt für kontinuierliche Verteilungen Integration im Raum r cm = 1 M M rdm = 1 M V rρdv 22

23 Übungsaufgaben 1. Gegeben seien drei Körper gleicher Masse von jeweils 2kg. Körper 1 befinde sich bei x = 10cm, y = 0cm, Körper 2 bei x = 0cm, y = 10cm und Körper 3 bei x = 10cm, y = 10cm. Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt. 2. Ein Personenwagen mit der Masse 1500kg fahre mit einer Geschwindigkeit von 20m/s nach Westen, ein Lastwagen der Masse 3000kg mit 16m/s nach Osten. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunktes. 3. Zwei Massen von 5kg und 10kg ruhen auf einem reibungsfreien Tisch und seien durch eine komprimierte Feder miteinander verbunden. Nach dem Lösen der Feder bewege sich die kleinere Masse mit einer Geschwindigkeit von 8m/s nach links. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der größeren Masse. 4. Der Waggon einer Modelleisenbahn mit der Masse 250g bewege sich mit einer Geschwindigkeit von 0, 5m/s und kopple an einen zweiten Waggon an, der die Masse 400g hat. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der beiden gekoppelten Waggons. 5. Bei einem zentralen elastischen Stoß treffe eine Metallkugel der Masse m 1 = 1, 5kg und der Geschwindigkeit u 1 = 3, 5m/s auf eine ruhende zweite Metallkugel der Masse m 2 = 5, 5kg. Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Stoß? 6. Eine Kugel mit der Masse m 1 = 2kg trifft auf eine ruhende Kugel mit der Masse m 2 = 1, 2kg. Nach dem Stoß hat die Kugel mit der Masse m 1 eine Geschwindigkeit von v 1 = 3m/s. (a) Wie groß war ihre Geschwindigkeit u 1 vor dem Stoß? (b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der gestoßenen Kugel. 23

24 12 Rotation Translation - Rotation: Ein tabellarischer Vergleich Translation Formelzeichen Rotation Formelzeichen Geradlinige Bewegung Formel Drehbewegung Formel Ortskoordinate x(t) Winkelkoordinate φ(t) Geschwindigkeit v(t) Winkelgeschwindigkeit ω = dφ dt Beschleunigung a = d2 x(t) Winkelbeschleunigung α = d2 φ(t) dt 2 dt 2 Masse m Trägheitsmoment I Kraft F Drehmoment D Bewegungsgleichung F = m a - D = I α Impuls p = m v Drehimpuls L = I ω Energie E kin = 1m 2 v2 Rotationsenergie E rot = 1I 2 ω2 Einige Trägheitsmomente symmetrischer Körper 24

25 Lesen Sie: Tipler Kapitel 8 (Drehbewegungen) Beispiele zum Trägheitsmoment 1. Der diskrete Fall 2. Trägheitsmoment einer Tür 3. Trägheitsmoment eines Hohlzylinders Der Steiner sche Satz, Herleitung Beispiele zum Steiner schen Satz 1. Dünner Stab 2. Rollbewegung Rotationsenergie und die rollende Kugel Übungsaufgaben 1. Berechnen Sie den Drehimpuls eines scheibenförmigen Kreisels der sich mit n = 2000U/min dreht. (m = 250g, r = 5cm, h = 0, 5cm) 2. Ein Körper mit der Masse m = 100kg wird mit Hilfe einer motorgetriebenen Seilscheibe (d = 0, 5m) gehoben. Die konstante Drehzahl n der Antriebswelle beträgt n = 1500U/min. Welche mechanische Leistung muß der Motor liefern? (Hinweis: Leistung=Kraft x Geschwindigkeit) 3. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht eine Kugel (Durchmesser d = 2m, Dichte ρ = 2320kg/m 3 ), die eine schiefe Ebene mit Höhe h = 5m und α = 30 herunterrollt? Reibungsverluste werden nicht berücksichtigt. 4. Welche Höhe erreicht die gleiche Kugel, wenn sie mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15m/s die schiefe Ebene hinaufrollt? 25