Grundbegriffe: Wellen, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, Doppler-Effekt, Piezoelektrischer

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1 M13 ULTRASCHALL PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Grundbegriffe: Wellen, Phasen- und Gruppengeshwindigkeit, Doppler-Effekt, Piezoelektrisher Effekt. o Shallwellen sind mehanishe Wellen, welhe sih in Körpern aufgrund deren elastisher Eigenshaften ausbreiten. Von Ultrashall redet man im Frequenzbereih oberhalb des Hörshallbereihs, d.h. von 20 khz bis über 10 GHz, etwa der Obergrenze für die Shallerzeugung auf tehnishem Wege. Die Gleihung der ebenen harmonishen Welle, welhe sih mit der Geshwindigkeit in Rihtung der positiven -Ahse ausbreitet, lautet u ( t, ) = uo sin( ω ( t ) + ϕo ). (1) Hierbei bezeihnen u ( t, ) die sih periodish ändernde Größe am Ort zum Zeitpunkt t, u 0 die Amplitude, ω = 2π f die Kreisfrequenz, f = 1/T die Frequenz und T die Periodendauer. Das Argument der Sinusfunktion bezeihnet man als Phase und ϕ als Anfangsphase der Welle. Die Anfangsphase wird im Folgenden gleih Null gesetzt, da sie hier keine Rolle spielt. Den kleinsten Abstand zweier Orte gleiher Phase nennt man Wellenlänge λ und aus der Periodizität der Sinusfunktion folgt für die Ausbreitungsgeshwindigkeit, welhe auh Phasengeshwindigkeit genannt wird, = f λ. (2) Entsprehend der zeitlihen und räumlihen Periodizität einer Welle kann sie auf zwei vershiedene Arten dargestellt werden (Abb.1). In Flüssigkeiten und Gasen treten Shallwellen immer als Longitudinalwellen auf. Im Festkörper hingegen können sih auh Transversalwellen ausbilden, denn jede Dilatation ist immer mit einer mehr Abb.1 DARSTELLUNGSFORMEN oder weniger großen Querkontraktion verbunden EINER WELLE (Vgl. Versuh M3), so dass auh Sherkräfte auftreten. Bei Tabellenwerten für die Shallgeshwindigkeiten in Festkörpern ist deshalb darauf zu ahten, ob die Daten für dünne Stäbe oder ausgedehnte Körper angegeben sind. 44

2 Stehende Wellen: Lässt man zwei Wellenzüge gleiher Amplitude und Wellenlänge, aber entgegengesetzter Ausbreitungsrihtung interferieren, so führt die Addition der zugehörigen Gleihungen auf die Gleihung für die stehende Welle uo sin( ω ( t + )) + uo sin( ω( t )) = 2uo os( ω )sin( ωt). (3) Hier stellt der sin-faktor eine im ganzen Raum phasengleihe harmonishe Shwingung dar, deren Amplitude 2u o os( ω / ) eine periodishe Funktion von mit der Periodenlänge λ ist. So wie die os-funktion abwehselnd 0 und +/-1 wird, reihen sih abwehselnd Shwingungsknoten und Shwingungsbäuhe aneinander. Dopplereffekt: Bewegen sih Shallquelle und -empfänger mit der Relativgeshwindigkeit v, dann stellt man am Empfänger bei Annäherung eine Frequenzerhöhung und bei Entfernung eine Frequenzerniedrigung fest. Da sih die Shallwellen in einem ruhenden stofflihen Medium ausbreiten, ist die Größe der Frequenzänderung davon abhängig, ob sih die Quelle oder der Empfänger bewegt. Man erhält bei einer Quellenfrequenz f 0 für die Empfangsfrequenz bei bewegtem Empfänger v v f = fo ( 1± ) bzw. f = ± fo (4) mit dem Pluszeihen bei Annäherung und dem Minuszeihen bei Entfernung. Bei bewegter Quelle erhält man dagegen als Empfangsfrequenz des Empfängers f o v v 2 f = bzw. f = fo( ± + ( ) ±...), (5) v (1 ) mit dem Minuszeihen bei Annäherung und dem Pluszeihen bei Entfernung. Gruppengeshwindigkeit: Bestimmt man die Ausbreitungsgeshwindigkeit von Wellen aus der Laufzeit z.b. eines Shallimpulses, so sind Messzeit und Messstreke begrenzt. Solhe "abgeshnittenen" Wellenzüge, auh Wellenpakete oder Wellengruppen genannt, breiten sih mit ihrer Gruppengeshwindigkeit aus, welhe bei Auftreten von Dispersion von der Ausbreitungsgeshwindigkeit unendlih ausgedehnter Wellenzüge und damit der Phasengeshwindigkeit vershieden ist. Im vorliegenden Eperiment tritt keine Dispersion auf und es muss demzufolge hier niht zwishen Gruppen- und Phasengeshwindigkeit untershieden werden. AUFGABEN 1. Bestimmung der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeshwindigkeit von Shall in Wasser durh Vergleih der Phasenbeziehung zwishen den am Shallsender und -empfänger gemessenen Signalen. 2. Bestimmung der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeshwindigkeit von Shall in Wasser durh Messung der stehenden Wellen zwishen zwei Reflektoren. 3. Bestimmung der Shallgeshwindigkeit in Wasser unter Ausnutzung des Dopplereffektes. 45

3 4. Vergleih der Ergebnisse für die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeshwindigkeit aus den Aufgaben Bestimmung der Shallgeshwindigkeit in Aluminium, Kupfer und Messing durh Laufzeit- Messungen. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Der Ultrashallgenerator erzeugt hohfrequente sinusförmige Shwingungen, welhe in einem Shallkopf mit einem piezokeramishen Wandler Ultrashallwellen erzeugen, die abgestrahlt werden. Neben der kontinuierlihen Abstrahlung im Sinusbetrieb kann wahlweise auh auf Impulsbetrieb (für Aufgabe 5) umgeshaltet werden. Der Shallkopf strahlt dann pulsartig kurze Wellenzüge mit einer Folgefrequenz von 500 Hz ab. Die Generatorausgänge "Monitor" und "Synhr." dienen zur Darstellung der Shall- bzw. Generatorsignale auf einem Zweikanal-Oszilloskop. Die Phasenlage der zur Erregerspannung proportionalen Monitorspannung kann mit dem Stellknopf "Phase" um a. 150 relativ zur Erregerspannung vershoben werden. Die Synhr.-Spannung von konstant 5 V ist phasenstarr zur Erregerspannung. Im Impulsbetrieb setzt der Monitorimpuls gleihzeitig mit dem Erregerimpuls ein, so dass bei gleihzeitiger Darstellung des Monitor- und des aufgenommenen Shallimpulses auf dem Zweikanal-Oszilloskop die Laufzeit des Shallimpulses bestimmt Abb. 2 VERSUCHSAUFBAU FÜR AUFGABE 1 werden kann. Der am Ausgang "Synhr." entnommene Spannungsimpuls setzt a. 10 ns vor Monitor- und Erregerimpuls ein, so dass diese bei eterner Triggerung mit dem Synhr.-Signal mit Siherheit oszillographish erfasst werden. Der wasserdihte, als piezoelektrisher Wandler ausgeführte Shallaufnehmer liefert dem Shallwehseldruk proportionale Spannungssignale und ermögliht die Darstellung von Ultrashallwellen und -impulsen auf dem Oszilloskop. Für Aufgabe 1 (Abb. 2) wird die Küvette zu 3/4 mit destilliertem Wasser gefüllt. Zur Ankopplung des Ultrashallkopfes an die Shmalseite der Küvette werden einige Tropfen Glyzerin in den verbleibenden Spalt gegeben. Die Stoffplatten an den inneren Shmalseiten der Küvette sollen die Ausbildung stehender Wellen hemmen. Mittels einer motorgetriebenen Gewindespindel kann der 46

4 Shallaufnehmer mit einstellbarer Geshwindigkeit in Rihtung bzw. entgegen der Shallausbreitung bewegt werden. Mit einem Zweikanal-Oszilloskop werden das Signal der Shallquelle und das dem Shallwehseldruk proportionale Signal des Aufnehmers bezüglih ihrer Phase miteinander verglihen. Hierzu wird der Monitorausgang des Generators an Kanal 1 und der Aufnehmerausgang an Kanal 2 des Oszilloskops angeshlossen. Nah Vershiebung des Aufnehmers um eine Wellenlänge ist die ursprünglihe Phasenlage wieder erreiht. Im Interesse einer hohen Messgenauigkeit empfiehlt sih die Zählung der überstrihenen Wellenlängen N über eine Streke s von Abb. 3 VERSUCHSAUFBAU FÜR AUFGABE 2 mehreren Zentimetern. Die Wellenlänge beträgt dann λ = s / N. Zur Berehnung der Ausbreitungsgeshwindigkeit nah Gl. (2) wird die Frequenz am Synhr.-Ausgang des Generators mit einem Digitalzähler bestimmt. Für Aufgabe 2 wird der Aufbau geringfügig geändert (Abb. 3): Das Monitorsignal des Generators wird niht mehr Kanal 1 des Oszilloskops zugeführt, sondern zur eternen Triggerung des Aufnehmersignals genutzt und an den dafür vorgesehenen Eingang des Oszilloskops angeshlossen. Außerdem wird die Stoffplatte von der dem Aufnehmer gegenüberliegenden Wand entfernt, damit die Welle reflektiert werden kann. Bei bestimmten Abständen zwishen dem Aufnehmer und dieser Wand, die sih um jeweils λ / 2 untersheiden, bildet sih im somit geshaffenen Abb. 4 VERSUCHSAUFBAU FÜR AUFGABE 3 Resonator eine stehende Welle aus. Aus der Anzahl N der bei Vershiebung s des Aufnehmers um einige Zentimeter überstrihenen 47

5 Amplitudenmaima (oder -minima) wird die Wellenlänge gemäß λ = 2s / N und daraus nah Gl. (2) die Ausbreitungsgeshwindigkeit berehnet. Für Aufgabe 3 wird der Aufbau für Aufgabe 1 erweitert (Abb.4). Beide Stoffplatten müssen eingebaut sein, um die Ausbildung einer stehenden Welle so gut wie möglih zu dämpfen. Die grundsätzlih möglihe Bestimmung von f durh getrennte Messung von f 0 und f und folgende Differenzbildung würde erfordern, dass die Frequenzdrift während der Messungen deutlih kleiner als das zu erwartende f bleibt, was apparativ hier niht gesihert werden kann. Der hier beshrittene Ausweg besteht in der direkten Bestimmung von f auf folgende Weise: Die gleihzeitig gemessenen Sender- und Empfängersignale werden in einer speziellen elektronishen Shaltung auf gleihe Amplitude normiert und anshließend miteinander multipliziert nah dem Prinzip 2os(2π f ot)os(2π ft) = os[ 2π t( fo f )] + os[ 2π t( fo + f )]. Der hohfrequente zweite Summand wird ausgesiebt und das Signal mit der Frequenz f wird direkt auf dem Bildshirm des Speiheroszilloskops aufgezeihnet. Aus dem Abstand mehrerer Maima und der eingestellten Zeitbasis kann jetzt f berehnet werden. Zur Bestimmung der Ausbreitungsgeshwindigkeit nah Gl.(4) wird f für jeweils 5 vershiedene Empfängergeshwindigkeiten v in Hin- und Rükrihtung gemessen und aus dem Anstieg des Graphen f = f( v) berehnet. Zur Bestimmung von v kann die angezeigte Gewindespindeldrehzahl für den Empfängervortrieb genutzt werden, wenn zuvor die Ganghöhe mit einem Messshieber über a. 5 m Gewindelänge geteilt durh hiermit erfasste Gewindegänge bestimmt wurde. Für die Spindeldrehzahl wird ein systematisher Fehler von 0,5 % angenommen. Für Aufgabe 5 (Abb.5) wird der jeweilige Spalt zwishen Metallprobe und Shallkopf bzw. Aufnehmer mit einem Tropfen Glyerin zur siheren Shallankopplung ausgefüllt. Die im Impulsbetrieb des Generators vom Shallkopf abgestrahlten Ultrashallimpulse werden auf dem Bildshirm des Oszilloskops angezeigt. Hierzu wird der Monitorausgang des Abb. 5 VERSUCHSAUFBAU FÜR AUFGABE 5 Generators mit einem Kanal verbunden. Das nah Durhlaufen der Metallprobe am Aufnehmer entstehende Signal wird auf den anderen Kanal gegeben. Bei der Triggerung mit dem um a. 10 ns vorauseilenden Synhr.-Signal kann bei geeigneter Einstellung der Zeitbasis ein stehendes Bild erreiht werden, welhes Sendeund Empfangsimpuls gleihzeitig anzeigt. Aus der Vershiebung beider Signale auf der Zeitahse kann die Laufzeit t und hieraus die Ausbreitungsgeshwindigkeit bestimmt werden, wenn zuvor die geometrishe Ausdehnung der Probe gemessen wurde. 48

6 FRAGEN 1. Was versteht man unter dem piezoelektrishen Effekt und wie nutzt man ihn zur Aussendung und zum Empfang von Shallsignalen? 2. Worin besteht der Untershied zwishen Phasen- und Gruppengeshwindigkeit bei der Ausbreitung von Wellen? 3. Wie leitet man die Formeln für den Dopplereffekt (Gl. (4) und Gl. (5)) her? 49