U y. U z. x U. U x y. dy dz. 3. Gradient, Divergenz & Rotation 3.1 Der Gradient eines Skalarfeldes. r dr

Transkript

1 PHYSIK A Zusatvolesung SS Gadient Divegen & Rotation 3.1 De Gadient eines Skalafeldes Sei ein skalaes eld.b. ein Potential das von abhängt. Dann kann man scheiben: d d d d d d kann duch eine Veändeung de dei Vaiablen veusacht weden also gilt totales Diffeential : d d d d d d d d 78

2 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 ist de sog. "Nabla-Opeato". Mit dem Nabla-Opeato kann man genauso echnen wie mit einem "nomalen" Vekto nu dass man beachten muß dass die este Komponente eine Ableitung nach die weite eine nach und die ditte eine nach beinhaltet. 79

3 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Wenn man ein skalaes eld hat dann wid de Gadient folgendemaßen definiet: Skalafeld Vektofeld Man sagt: "De Nabla-Opeato wid auf die unktion angewendet." Wou ist das gut? 8

4 PHYSIK A Zusatvolesung SS Das Potential in dei Dimensionen Wi betachten ein Kaftfeld und das Wegintegal 1 C d Ein Potential um Kaftfeld ist eine unktion von die ähnliche Eigenschaften wie eine Stammfunktion hat. Es wid folgendes von de unktion gefodet: 1 C d 1 Insbesondee ist das Integal unabhängig vom Weg C wenn es ein Potential gibt. Wi definieen nun den Gadienten von als: gad De Opeato wid Nabla-Opeato genannt. 81

5 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 8 const. const. const. Duch Gadientenbildung kann also aus einem Skalafeld eine unktion ein Vektofeld eeugt weden. Es gilt dann nach dem vohe estgestellten: Wenn sich ein Kaftfeld aus einem Skalafeld Potential duch Gadientenbildung heleiten läßt dann ist die Kaft konsevativ. ü die Komponenten des Kaftfeldes gilt dann: ü konsevative Käfte gilt also die Eins u Eins Zuodnung:

6 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 De Gadient gibt die Richtung des steilsten Anstieges ode Abstieges de unktion an. E vewandelt ein skalaes eld in ein Vektofeld. Beispiel 1: Es sei das folgende Potential gegeben: ep Die Kaft ist dann: 83

7 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Die Komponenten beechnen sich u: ep ep Vektofeld = 84

8 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Beispiel : Wi betachten das Potential 85

9 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Vektofeld = Die Kaft ist dann: 86

10 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Beispiel 3: Es soll nun die Kaft in einem allgemeinen Gavitationsfeld betachtet weden. Wi definieen den adialen Einheitsvekto duch: e m ü die Gavitation gilt dann m M e m M e M 87

11 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 88 Ist diese Kaft konsevativ? Dau wid das Potential beechnet: d Wi beechnen dieses Integal nun nicht mit eine Paametisieung sonden es wid ausgenutt dass d d d wenn ein Weg von nach adial nach außen gewählt wid mm mm d mm d d Also egibt sich fü das Potential:

12 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Velegt man den Beugspunkt ins nendliche dann wid das Potential dot Null. Mit diese Definition egibt sich fü das Potential: mm mm 1 Dieses Resultat ist fü einen speiellen Weg adial nach Außen eielt woden. m u eigen das wiklich ein Potential ist wid de Gadient gebildet: ü die - Komponente gilt beispielsweise: mm mm mm Die Gavitationskaft ist also eine konsevative Kaft. 1 3/ 89

13 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Gavitationspotential 1 m M mm 9

14 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung Die Divegen eines Vektofeldes Die Divegen eines Vektofeldes ist als das fomale Skalapodukt des Nabla-Opeatos mit dem Vektofeld definiet also: Beispiel 1: Das Resultat ist ein Skalafeld!

15 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 9 Gegeben sei das Vektofeld: Beispiel : 3 3 Die Divegen dieses Vektofeldes ist dann:

16 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Beispiel 3: Gegeben sei das Vektofeld: Die Divegen dieses Vektofeldes ist dann:

17 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 94 Gegeben sei das Vektofeld: Beispiel 4: Die Divegen dieses Vektofeldes ist dann: 5 4

18 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung Die Rotation eines Vektofeldes Die Rotation eines Vektofeldes ist als das fomale Vektopodukt des Nabla-Opeatos mit dem Vektofeld definiet also: Das Resultat ist wiede ein Vektofeld! Beispiel 1:

19 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 96 Gegeben sei das Vektofeld: Beispiel : Die Rotation dieses Vektofeldes ist dann:

20 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 Wegen = und da die Komponenten nicht von abhängen müssen nu die wei patiellen Ableitungen 1 3 Das Vektofeld 1 3 beechnet weden. Dann ehält man fü die Rotation des Vektofeldes: 1 97

21 PHYSIK A Zusatvolesung SS Wibelfeie & Konsevative Kaftfelde ü welche Kaftfelde ist die Abeit vom Weg unabhängig? Die este Antwot lautete: Wenn es ein Potential gibt. Alledings ist das nicht imme einfach festustellen! Es gilt de folgende Sat: Sei ein Kaftfeld. Dann gibt es ein Potential mit falls das Kaftfeld wibelfei ist d.h.: In de Regel gilt auch die mkehung! Weg 1 d???? 1Weg1 1 Weg d Weg 1 98

22 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung 99 Jett können die konsevativen Kaftfelde elativ einfach bestimmt weden: 1. Beispiel: 3D edekaft Es gibt ein Potential. D D. Beispiel: Beliebige Zentalkaft d f f f ~ ~ ~ 3. Beispiel: Speielles eld!! Es eistiet kein Potential Beispiel: Rotation um eine Achse!! Es eistiet kein Potential. const

23 PHYSIK A SS 13 Zusatvolesung Andee Scheibweisen & Opeatoen Häufig wid insbesondee in de älteen Liteatu die folgende Notation ohne den Nabla-Opeato vewendet: ot : Rotation von div : Divegen von gad : Gadient von De Nabla-Opeato kann auch geschachtelt weden beispielsweise ist die Divegen des Gadienten von einem Skalafeld folgendemaßen definiet: Laplace- Opeato

24 PHYSIK A Zusatvolesung SS 13 sei ein Kaftfeld. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: d ist vom Weg C unabhängig C d.h. ist konsevativ. d fü jeden geschlossenen Weg C. C ist als Gadient eines Potentials dastellba d.h. mit Zusammenfassung ist Wibelfei d.h. d 11