Mathematik 2 für Informatik Drmota ( )

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1 Mathematik 2 ür Iormatik Drmota ( ) Vektoreld 1. Itegrabilitätsbedigug: we erüllt, eistiert Stammuktio. Beides i Agabe ableite ud we beide Ergebisse gleich sid, Bedigug erüllt. 2. c ausreche idem ma zuerst de erste Teil der Agabe itegriert, daach ableitet ud = Agabe zweite Teil setzt. Da sollte viel wegalle ud c bleibt über. 3. Nu ka ma Ergebis aus Ableitug erste Teil (siehe 2.) aschreibe mit dem berechete c 4. Kurveitegral: eisetze, wobei erster Wert vo a ist, zweiter y, bei b erste ebealls, zweite y. Ergebis aus 3 wird zu Ergebis aus 3 mit eigesetztem ud y Wert vo b mius Ergebis aus 3 mit eigesetztem ud y Wert vo a. Itegral bestimme I Formelsammlug schaue wie geau die Formel aussieht die ma braucht. Meistes kommt etwas i der Art. Ma muss da ur reche mit eigesetzte b ür das, daach - mit eigesetzte a ür das reche also. Bestimmug der Rekursio 1. Agabe i richtige Form brige: Steht beim erste Ausdruck ei Wert davor, muss ma die gesamte Agabe durch diese dividiere sodass ma aschließed vor dem erste Ausdruck keie Wert mehr hat, daür da Ausdruck 2 ud 3 durch de Wert dividiert erhält. 2. a,b ud bestimme: a ist Wert des zweite Ausdruckes, b der Wert des dritte Ausdruckes. Werte köe auch egativ sei! 3. Homogeer Teil: λ 1 ud 2 ausreche idem ma a, b ud c i die Große Formel, also eisetzt. 4. Falluterscheidug: a. => b. => c. => => 5. Eisetze der Lösug ür λ 1 ud 2 aus 3. i Falluterscheidug aus Partikuläre Lösug: Störuktio rechte Seite der Agabe. a. We Zahl alleie ist: Versuchslösug mit A b. We : Versuchslösug mit c. We si (r) oder cos (r): A si(r) + B cos (r) 7. Ausreche der Partikuläre Lösug: Bei Fall a vo 6 würde ma eiach die Werte i der Agabe zusammezähle (Wert vor dem erste Ausdruck, b (Wert 2) ud c (Wert 3) vo Seite 1 vo 11

2 Pukt 2 obe) ud = rechte Seite setze. Ma erhält ach ausreche etwas i der Form. 8. Eisetze vo h (homogeer Teil) ud p (partikulär, also das was bei heraus kommt) i 9. vom homogee Teil ehlt och. Wir reche us aus idem wir aus der Agabe de Wert ür setze ud ür =0 ehme. Es sollte dadurch wegalle ud ma ka sich ausreche. 10. vom homogee Teil ehlt och. Wir setze u ebealls, ur mit statt, aus der Agabe de Wert ür ud reche mit =1. Da wir zuvor bei 9. berechete, köe wir diese Wert u auch eisetze ud ausreche. Nu köe wir vollstädig eisetze ud erhalte usere. Dieretialgleichug 1. = Agabe umorme bis ma de Teil der Agabe mit d au eier Seite hat, ud au der adere Seite de y Teil der Agabe mit dy stehe hat. 2. I Form brige das es wie olg aussieht bzw. y Teil der Agabe * d bzw.dy 3. Itegral bilde: * dy = * d wobei & y ud somit da auch d & dy vertauscht sei köe. 4. Itegral ausreche. 5. Etlogarithmiere. 6. I die Form brige das y au eier Seite steht, also y = Rest vo Pukt 5. Doppelitegral bei Dreieck bestimme m ausreche: 3. t ausreche: t = Schittpukte vo Tagete (vo der lage Dreieckskate/ Seite) au y a der Stelle. 4. I 1. Dier errechete Werte vo 2 ud 3 eisetze. 5. bilde. 6. Itegriere (z.b. aus *y wird ) ud ( ) ü 8. Ausreche vo 7. Sollte da die Form 9. Itegriere vo Wie 7. also (Ergebis 9. mit = Oberschrake ) - (Ergebis 9. mit = Uterschrake ) 11. Nu hat ma ur mehr Zahle i der Rechug. Eiach ausreche ud das Beispiel ist ertig. Lagrag'sche Multiplikatio Seite 2 vo 11

3 1. Agabe i Form aschreibe ud ausreche. 2. Ableite vo Ergebis aus 1. ach, y, λ: a. Φ = Alles aschreibe (ohe ) wo ethalte ist. Falls etwas ist, 2 aschreibe. We es ist, (Wert*2). b. Φ y: wie a. ur mit y c. Φ λ: wie a bzw. b. ur mit λ 3. λ elimiiere aus Φ ud Φ y: Φ ud daruter Φ y aschreibe, schaue wie viel λ es jeweils bei de beide Zeile gibt, ud so multipliziere das es gleich viele sid. 4. Nu Zeile 1 ud Zeile 2 (aus 3.) subtrahiere, also Werte der Zeile 1 Werte der Zeile 2. Falls ei Wert i Zeile 2 also egativ ist, ädert sich durch das das Vorzeiche ud ma addiert Wert Zeile 1 ud Wert Zeile 2. Dadurch das ma bei 3. Zeile 1 ud Zeile 2 au gleiche Azahl λ gebracht hat, alle i diesem Schritt die λ weg ud ma hat ur mehr ud y. Somit ka ma sich ausreche wie zu y steht (z.b. = y). 5. ud y i die Nebebedigug eisetze: Aus Schritt 4 setzt ma i die Nebebedigug (Agabe) ür y de Wert ei (also wie viele ei y etspricht), wodurch ma ur mehr ud Zahle i der Rechug hat. Somit ka ma ausreche. 6. Wie 5. Ma ka aber gleich das Ergebis ür aus 5 ehme, hat ur y ud Zahle i der Rechug, ud ka somit eiach y ausreche. 7. Prüe au mi. oder ma.: schaue ob Miimum oder Maimum. //!!! TODO!!! 8. Prüe Etremum: schaue ob Etremum. We ja, Ergebis aschreibe i Form ( Wert aus 5., y Wert aus 6. ) //!!! TODO!!! Theorie Was ist der Gradiet eier Fuktio mit? Gegebe ist ei Skalareld ( 1, 2, 3 ): ³. Aus derartige Skalarelder ka ei Vektoreld geeriert werde: ( ) 1 ( 1, 2, 3) 2 3 : ³ ³ Die Ableitug ist u: grad??? oder??? y z grad 1.. muss eie total dierezierbare Fuktio sei. Seite 3 vo 11

4 Uter welcher Voraussetzug ist das Vektoreld u()= u ( ).. 1 u ( ) = grad (()) Deitio: Gilt grad F = (ür ei Skalareld F ud ei Vektoreld ), da heißt Gradieteeld ud F Stammuktio (oder ubestimmtes Itegral) vo. Satz (Itegrabilitätsbedigug): Ei Vektoreld besitzt (uter gewisse Voraussetzuge) geau da eie Stammuktio F mit grad, we die Itegritätsbediguge erüllt sid. Was ka da über das Kurveitegral u() d ausgesagt werde? Ei Kurveitegral ist geau da weguabhägig we die Fuktio ei Gradieteeld ist. Da gilt ( ) d F( c( b)) F( c( a)) We wir also eie Stammuktio F ide, so dass der Gradiet dieser Stammuktio gleich userer Fuktio ist, da ist das Kurveitegral weguabhägig. Bei diesem Beispiel: wobei ud F ist. Damit ist gezeigt, dass ei Gradieteeld ist ud das heißt wiederum, dass das Kurveitegral weguabhägig ist. Wie lautet die uedliche Taylorreiheetwicklug ür eie Fuktio () a eier Aschlussstelle o? bzw. Wie lautet die Taylorreiheetwicklug eier uedlich ot dierezierbare Fuktio () mit Aschlussstelle o? Etwickel sie das Taylorpolyom 2. Grades ür eie Fuktio (,y). ( 0 h, y0 k) ( 0, y0) ( 0, y0) h y( 0, y0) k quadratische Approimatio ( Ellipsoid, Paraboloid,...) lieare Approimatio ( Ebee) 1 h² 2 yhk yyk²... Re stglied 2! Seite 4 vo 11

5 Beispiel: (, y) ² y² Gesucht ist die quadratische Approimatio im Etwicklugspukt (0,1) ² y² (0,1) 1 2 (0,1) 0 2 y (0,1) 2 y 2 (0,1) 2 0 (0,1) 0 y y y yy 2 (0,1) 2 y yy h h 0 0 y y k k y y (, y) 1 0*( 0) 2( y y0) 2( 0)² 2*0*( 0)( y y0) 2( y y0)² 2! 1 2( y 1) ² ( y 1)² (...) Welche Verahre zur Nullstellebestimmug kee Sie. Erkläre sie diese ud erläuter sie, welche Bediguge jeweils ür () gelte müsse. bzw. Welche Verahre zur äherugsweise Berechug eier Nullstelle eier (stetige bzw. dierezierbare) Fuktio () kee Sie? Beschreibe Sie auch diese Verahre. Welche Voraussetzuge muss () jeweils erülle? Newtosches Näherugsverahre, Kovergezordug, Regula alsi, Beispiel, geometrische Iterpretatio. Newtosches Näherugsverahre Iteratiosverahre zur Lösug vo, Die Grudlegede Idee dieses Verahre ist, die Fuktio i eiem Ausgagspukt zu liearisiere, daher ihre Tagete zu bestimme, ud die Nullstelle der Tagete als verbessere Näherug der Nullstelle der Fuktio zu verwede. Die erhaltee Näherug diet als Ausgagspukt ür eie weitere Verbesserugsschritt. Nachteil: Ma braucht eie dierezierbare Fuktio we:. Newto- Verahre kovergiert ur, () zwei Mal stetig dierezierbar () 0 Seite 5 vo 11

6 Geometrische Iterpretatio: Kovergezordug: p = 2 Regula alsi Regel des alsche Asatzes. Iteratiosverahre zur Lösug vo. Das Regula- alsi- Verahre startet mit zwei Stelle (i der Nähe der Nullstelle) ud, dere Fuktiosauswertuge, uterschiedliches Vorzeiche habe. I dem Itervall [a,b] beidet sich somit ach dem Zwischewertsatz (ür stetiges ) eie Nullstelle. Nu verkleiert ma i mehrere Iteratiosschritte das Itervall ud bekommt so eie immer geauere Näherug ür die Nullsteel. F muss stetig sei, aber icht otwedigerweise dierezierbar. d/d wird durch de Dierezequotiete ersetzt: ( ) ( 1 1) => ür = 1, 2, 3 //Stadardorm Was ist die erzeugede Fuktio eier Folge a? 0 Wir betrachte die Folge a a0, a1, a 2,... ud orde ihr die Reihe A(z) Potezreihe A(z) wird erzeugede Fuktio der Folge 0 a z zu. Die a geat. Potezreihe i z, ist eie erzeugede Fuktio. Erzeugede Fuktioe verwedet ma i der Kombiatorik ud i der Lösug vo Dierezegleichuge. Kurveitegral (Kurve c:[a,b]->r^) Kurveitegral ür skalare Fuktioe ( skalare Fuktio): b a '( t) ( c( t)) c dt Seite 6 vo 11

7 Kurveitegral ür vektorwertige Fuktioe ( vektorwertige Fuktio): b a ' ( c( t)). c ( t) dt We weguabhägig ud Stammuktio eistiert: Wie berechet ma die Bogeläge eier Kurve? Eie Kurve c:[0,1]-> (Allgemei c:[a,b]-> ) ist vo edlicher Läge (rektiizierbar), we die Läge vo Polygozüge gege eie Grezwert kovergiere ud alls die Feiheit (z) gege 0 kovergiert. Die Läge der Kurve ist da durch Bogeläge geat. F (z): Feiheit der Zerlegug L F ( Z ) lim c( t ) c( t ) gegebe ud wird 0 i 1 i i 1 Wie lautet der Hauptsatz über implizite Fuktioe (ür Fuktioe F(,y))? Hauptsatz über implizite Fuktioe: Sei stetig dierezierbar Fuktio. Außerdem ud ür ei. Da ist (i eier Umgebug U vo ) durch die Gleichug i U eie eideutige, stetige Lösug gegebe. Die Fuktio ist außerdem stetig dierezierbar ud erüllt: Beispiel: y' F F y Ma beschreibe die Asatzmethode zur Lösug vo homogee lieare Dieretialgleichuge mit kostate Koeiziete: y(k) + c1 * y(k-1) ck-1 * y' + ck * y = 0 y(k) soll die k-te Ableitug sei, c1 heißt, dass 1 der Ide ist... Lösug mittels Asatz somit ergibt sich das charakteristische Polyom Seite 7 vo 11

8 Aus de Nullstelle des Polyoms lasse sich Teillösuge bilde, aus desse Lierakombiatio sich die Lösug der Dieretialgleichug ergibt. Ma wählt de Epoetialsatz: Durch diese Asatz erhält ma die charakteristische Gleichug: setzt ma u gege 0 ud bestimmt die Nullstelle. Rest au Seite 301. Ma beschreibe die Asatzmethode zur Lösug vo homogee lieare Dieretialgleichuge mit kostate Koeiziete zweiter Ordug:. Welche 3 Lösugsälle müsse uterschiede werde? Austelle der charakteristische Gleichug: Die Nullstelle ka ma etweder mit der kleie oder mit der große Lösugsormel bestimme. Abhägig vo der Diskrimiate gilt es drei Lösugsälle zu uterscheide: 2 reelle Lösuge: 1 reelle Lösuge: => 2 icht reelle Lösuge, die zueiader kojugiert komple sid=> damit ma reele Lösuge bekommt, muss ma i Polarkoordiate umreche (r,φ): Nu ka ma och bzw. wähle. Bei Dieretialrechuge: Wie berechet ma die Elemete der Fuktioalmatri? Die Jacobi-Matri (beat ach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Fuktioalmatri oder Ableitugsmatri geat) eier dierezierbare Fuktio ist die -Matri sämtlicher erster partieller Ableituge. Geutzt wird sie z. B. i der äherugsweise Berechug/Approimatio oder Miimierug mehrdimesioaler Fuktioe i der Mathematik. Seite 8 vo 11

9 Die Jacobi-Matri bildet die Matri-Darstellug der erste Ableitug der Fuktio. Deiitio der Fuktioalmatri eier mehrdimesioale Fuktio, daher Wa heißt eie Ableitug (vo R ach Rm) a 0 dierezierbar? Eie Fuktio :D->R heißt dierezierbar im Pukt o, alls der Grezwert eistiert, dieser wird da die Ableitug vo a der Stelle o geat (o). Falls ür alle E d dierezierbar ist, so heißt die Fuktio () die Ableitug vo. Wa heißt stetig dierezierbar a 0? Ist auch die Ableitug vo eie stetige Fuktio, da et ma sie "stetig dierezierbar". Sei a der Stelle dierezierbar. Wie ist die Fuktioalmatri a der Stelle deiiert? Sei weiters a der Stelle = ( ) dierezierbar. Wie lautet die Ketteregel ür die Fuktioalmatri der Fuktio (g )() = g(())? Ketteregel: Sei a der Stelle dierezierbar. Wie ist die Fuktioalmatri a der Stelle deiiert? Sei weiters a der Stelle = ( ) dierezierbar. Wie lautet die Ketteregel ür die Fuktioalmatri der Fuktio ( g)() = (g())? bzw. Wa heißt eie Ableitug (vo ) a dierezierbar? Wie berechet ma die Elemete der Fuktioalmatri? Wa heißt stetig dierezierbar a? Die Fuktioalmatri wird auch Jacobi Matri geat. I ihr sid sämtliche erste partielle Ableituge ethalte. Jede (total) dierezierbare Fuktio ist auch stetig. Seite 9 vo 11

10 Eie Fuktio heißt im Pukt total dierezierbar, alls eie lieare Abbildug eistiert, so dass gilt ud der Rest die Bedigug erüllt. Total dierezierbar Eie Fuktio heißt im Pukt total dierezierbar, alls eie lieare Abbildug eistiert, so dass gilt ud der Rest die Bedigug erüllt. Nützliche Iormatioe Ageblicher Sto Itgegralrechug i eier ud mehrere Variable Di.rechug i mehrere Variable Aweduge Diereze- ud Dieretialgleichuge umerische Verahre ~ Kapitel 5-7 (also Seite 182 bis 336) ud Kapitel 9 (Seite 388 bis 424). Beispiele die ormalerweise komme Bestimme sie die Lösug der Rekursio: Seite? Ma bestimme das Itegral: Seite? Doppelitegral (Dreieck): Seite? Vektoreld: Seite 260 Allgemeie Lösug der Dieretialgleichug: Seite 289 (eher ab 293 relevat) Lagrag'sche Multiplikatio: Seite 247 Wichtige Seite im Buch "Falluterscheidug": Seite 282 (eher 283 ud 284) Störuktio: Seite 285 Itegrabilitätsbedigug: Seite 261 Quotieteregel: Seite 187 Etremum: Seite 243, 245 Seite 10 vo 11

11 Gute Webseite Diereziere: Dieretialrechug: Quickhelp Ableite/ diereziere: ():= a*^b => '() = a*b*^(b-1) ach m ableite: (m,) = m + 2² => '1(m) = ach ableite: (m,) = m + 2² => '1() = ()= ^2 => '()=2 (diereziert) Ios Über die Ausarbeitug Ich habe die Ausarbeitug so gut es geht gemacht, aber trotzdem köe sich Fehler eischleiche! Falls ma welche idet, bitte per E- Mail oder PM a mich weiter leite damit ich sie ausbessere! Bei rot geschriebee Sätze bi ich mir icht gaz sicher ob sie so stimme ud deswege würde ich mich sehr über Feedback (ob es so stimmt oder icht) reue. Zusätzliche Iormatioe Versio: 0.4 Neuste Versio: Ausarbeitug: Marti Titel ( mtitel ) Seite 11 vo 11