Gleichungen und Ungleichungen

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Nele Weber
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1 Gleichungen und Ungleichungen 1. Erkläre den (oder die) Fehler in folgender Aufgabe und verbessere die Aufgabe! 123 x = 78, G = {2,4,6,8,...}, L = {45} Lösung: 123 x = 78, G = {2,4,6,8,...}, L = {} 2. Bestimme die Lösungsmenge (a) G = {1,5,25,125,...} x 1000 (b) G = {1,2,4,8,...} 4 < x 30 (c) G = {1,2,4,8,16,32,...} x 1000 (d) G = {1,3,9,...} 4 < x 30 (e) G = {1,4,16,...} x 50 (f) G = {1,4,16,...} x > 30 (g) G = {1,5,25,...} x 4000 (h) G = {1,2,4,7,...} x 12 (i) G = {1,2,3,5,8,13,...} x 8 (j) G = {1,7,14,...} 4 < 2 x 30 (k) G = {1,2,3,5,8,13,...} x 15 (l) G = {1,2,4,7,11,16,...} 13 x Lösung: (a) L = {1,5,25,125,625} (b) L = {8,16} (c) L = {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512} (d) L = {9,27} (e) L = {64,256,1024,...} (f) L = {64,256,1024,...} (g) L = {1,5,25,125,625,3125} (h) L = {16,22,29,...} (i) L = {8,13,21,...} (j) L = {7,14} (k) L = {1,2,3,5,8,13} (l) L = {16,22,29,37,46...} 3. Bestimme für folgende Gleichungen die Lösungsmenge: (a) x [57857 ( )] = G = {0,2,4,6,8,...} (b) x+22 = 58 x; G = N 0 Lösung: (a) L = { } (b) L = {18} 1

2 4. (a) Gegeben sind zwei Bedingungen I und II: I: x 88, G = {2,4,6,...}, II: x 15, G = {2,4,6,...} Gib die Lösungsmengen L I, L II, L I L II und L I L II an. Gib nun an, welche Bedingung zu L I L II und L I L II gehört. Schreibe die Bedingung, wenn möglich als eine Ungleichung oder als Doppelungleichung. (b) Gegeben sind zwei Bedingungen I und II: I: x < 90, G = {7,14,21,...}, II: x > 49, G = {7,14,21,...} Gib die Lösungsmengen L I, L II, L I L II und L I L II an. Gib nun an, welche Bedingung zu L I L II und L I L II gehört. Schreibe die Bedingung, wenn möglich als eine Ungleichung oder als Doppelungleichung. Lösung: (a) L I = {2,4,6,...,86,88}, L II = {16,18,20,...}, L I L II = G L I L II = {16,18,20,...,86,88} L I L II : Zahl kleinergleich 88 oder größergleich 15. L I L II : Zahl kleinergleich 88 und zugleich größergleich x 88 (b) L I = {7,14,21,...,84}, L II = {56,63,70,...}, L I L II = G, L I L II = {56,63,70,77,84} L I L II : Zahl kleiner 90 oder größer 49. L I L II : Zahl kleiner 90 und zugleich größer < x < Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen: (a) x = , G = N 0 (b) : x = 381, G = N 0 Lösung: (a) L = {1128} (b) L = {4} 6. Löse durch Überlegen! (a) ( ) : x < 5 G = N 0 (b) (x ) x = 0 G = N 0 (c) 17 : (x 11) = 1 G = N 0 (d) x x+7 x = 30 G = {1,2,3,4,5} Lösung: (a) L = {5,10,20} (b) L = {0}, (c) L = {28} (d) L = {3} 2

3 7. Welche Zahl kannst du hier einsetzen? Mache deinen Lösungsweg sichtbar. (a) 6 (12+?) = = 96 (b) 7 (20?) = 164 Lösung: (a) 6 (12+4) = = 96 (b) Die Aufgabe ist (mit unseren Mitteln) nicht lösbar, da 7 20 < Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an! (a) x ( ) = , G = N 0 (b) (1000 x)+x = 1000, G = N 0 (c) x = 231, G = N 0 Lösung: (a) L = {1549} (b) L = N 0 (c) L = {} 9. Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen (G = N 0 ). Gib deinen Rechenweg an! (a) x : 11 ( ) 3 = ( ) : 6 2 (b) [(137 x ) 5 125] : 25 = 755 Lösung: (a) x : = 440; x : 11 = 1187; L = {13057} (b) [(137 x+2156) 5 125] = 18875; 137 x+2156 = 3800; 137 x = 1644; L = {12} 10. Löse folgende Gleichungen! (a) [( ) 5] x = G = N 0 (b) x = : 7 G = N 0 (c) = [( ) 5] x G = N 0 (d) 3 x = : 7 G = N 0 Lösung: (a) x = 90240; L = {4} (b) x = 6084; 3 x = 321; L = {107} (c) = x; L = {4} (d) 3 x+5763 = 6084; 3 x = 321; L = {107} 3

4 11. Löse durch überlegen! (a) x : G = N 0 (b) 5+x x 3 x = 3 G = {1,2,3,4,5} (c) [( x) 789] 0 = 1 G = N 0 Lösung: (a) L = {24,32,40,...} (b) L = {1,2} (c) L = {} 12. (a) Bestimme die Lösungsmenge folgender Ungleichung: 36 < 3 x 72 G = Menge der Vielfachen von 4 (b) Setze eine Zahl für den Platzhalter z ein, so dass eine falsche Aussage entsteht: z {2;4;6;8;10} (c) Gib eine Ungleichung (und eine Grundmenge) an, die die Lösungsmenge L = {2;4;6;8} hat. Lösung: (a) L = {16;20;24} (b) Z. B. z = 2 (c) Z. B. x < 10, G = Menge der Vielfachen von BestimmedieLösungsmengederZahlenausderGrundmengeG = {2;3;4;5;6;8;9;10}, die folgende Aussagen erfüllen: (a) x (b) x Lösung: (a) L = {} (b) L = G 14. Gib die Lösungsmenge aller Ziffern an, die man an die Stelle setzen kann: (a) (b) Lösung: (a) L = {} (b) L = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;0} 4

5 15. Christin denkt sich eine Zahl aus. Wenn man diese von der Summe aus 125 und 37 abzieht, erhält man eine Differenz, deren Minuend das Produkt und deren Subtrahend die Summe aus 5 und 7 ist. Stelle eine Gleichung auf und berechne x. Lösung: (125+37) x = (5 7) (5+7) = x = x < 72 ; G = {x x durch 9 teilbar} ; L = 301 < 468 x 357 ; G = {x x durch 11 teilbar} ; L = Lösung: {27, 36, 45, 54, 63}, {121, 132, 143, 154, 165} 17. Berechne die Lösungsmenge zur jeweiligen Grundmenge G: (a) x < 1 ; G = N (b) x < 1 ; G = N 0 (c) 27 x < 72 ; G = {x x durch 9 teilbar} (d) 226 < 366 x 268 ; G = {x x durch 7 teilbar} Lösung: (a) L = { } (b) L = {0} (c) L = {27, 36, 45, 54, 63} (d) L = {98, 105, 112, 119, 126, 133} 18. Berechne die Lösungsmenge zur angegebenen Grundmenge G: (a) 473 < x ; G = {x x ist ungerade } (b) 38+x ; G = N 0 (c) 500 ( ) x 68 ; G = N Lösung: (a) L = {87, 89, 91,..., 123} (b) L = {0} (c) L = {1, 2, 3,..., 68} 19. Welche Zahl muss man vom Produkt der Zahlen 301 und 987 subtrahieren, um das Produkt von 187 und 301 zu erhalten? x-ansatz! Versuche, vorteilhaft zu rechnen! Lösung: x = = x = MitwelcherZahlmussmandieSummeaus17und28multiplizieren, umdasprodukt aus 309 und 15 zu erhalten? x-ansatz! Lösung: (17+28) x = = x = 103 5

6 21. Berechne die Lösungsmenge zur jeweiligen Grundmenge G: (a) 24 x < 72 ; G = {x x durch 8 teilbar} (b) 233 < 366 x 282 ; G = {x x durch 7 teilbar} Lösung: (a) L = {24, 32, 40, 48, 56, 64} (b) L = {84, 91, 98, 105, 112, 119, 126} 22. Berechne die Lösungsmenge zur angegebenen Grundmenge G: (a) 563 x+478 < 632 ; G = {x x ist gerade } (b) 28+x ; G = N Lösung: (a) L = {86, 88, 90,..., 152} (b) L = { } 23. Von welcher Zahl ist die Differenz aus 697 und 399 zu subtrahieren, um das Produkt der beiden größten zweistelligen Zahlen zu erhalten? Ansatz! Lösung: x ( ) = = x = Der Wert einer Differenz beträgt 507, der Minuend ist elfmal so groß wie der Differenzwert. Wie groß ist der Subtrahend? Rechne so einfach wie möglich! Ansatz! Lösung: x = 507 = x = = = Welche Zahl ist von der größten sechsstelligen Zahl zu subtrahieren, um das Produkt aus der größten und der zweitgrößten dreistelligen Zahl zu erhalten? Ansatz! Lösung: x = = x = Der Subtrahend einer Differenz ist 397, der Wert der Differenz ist neunmal so groß wie der Subtrahend. Wie groß ist der Minuend? Rechne so einfach wie möglich! Ansatz! Lösung: x 397 = = x = = = Berechne x: (a) 5 x = 625 (b) x : 5 = 625 (c) 625 : x = 5 (d) 5 x = 625 (e) x 2 = 289 (f) x 2 = 961 (g) x 6 = 729 Lösung: (a) x = 625 : 5 = 125 (b) x = = 3125 (c) x = 625 : 5 = 125 (d) x = 4 (e) x = 17 (f) x = 31 (g) x = 3 6

7 28. Berechne die Lösungsmenge zur Grundmenge N 0 : (a) 2 x = 256 (b) x : 256 = 2 (c) 2 : x = 256 (d) x 2 = 256 (e) 2 x = 256 Lösung: (a) L = {128} (b) L = {512} (c) L = { } (d) L = {16} (e) L = {8} 7

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