6.2 Beispiel: endlich dimensionale Räume

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1 6.2 Beispiel: endlich dimensionale Räume Beispiel: endlich dimensionale Räume Wir stellen hier ein paar Aussagen über verschiedene Normen in endlich dimensionalen Räumen vor. Sie dienen vor allem einem besseren Verständnis des Zusammenhangs der fundamentalen Räume C und C mit AM- bzw. AL-Normen und von C abgeleitenen Räumen wie L p -Räumen und Hilberträumen. Analoge Aussagen gelten für Folgenräume und andere unendlichdimensionalen Räume Ungleichungen zwischen Mitteln Es seien = ( 1,..., n ) 0, α = (α 1,...,α n ) 0, α α n = 1 gegebene Vektoren im R n (zu verstehen als linearer Raum ohne festgelegte Norm). Weiter sei f : R + R + stetig, streng monoton wachsend mit f(0) = 0. Wir definieren drei Funktionen ( n )1 S t () = t t i, t > 0 ( n ) M f (,α) = f 1 α if( i ) M t (,α) = ( n α i t i )1 t, t > 0 Offensichtlich ist M t = M f für f() = t. M t und S t lassen sich auf t < 0 für strikt positive Vektoren verallgemeinern (es sei 1/ = (1/ 1,...,1/ n ): S t () = 1/S t (1/), M t (,α) = 1/M t (1/,α), t < 0 Die definierten Funktionen haben folgende Eigenschaften! : M f () =, d.h. f( ) = α i f( i ), α i ( f(i ) f( ) ) = 0. M f (λ) = λm f () = M f = M t. M f () M g () F = g f 1 ist konve, d.h. g ist konve bezüglich f. min M s () M t () ma s t Spezialfälle: M 1 = AM, M 2 = QM, M 1 = HM, M 0 = GM, M = min, M = ma min S s () S t () s t 0 S s () S t () ma 0 s t Des weiteren hat S t folgende Konveitätseigenschaften (hier sind die t i gegebene reelle Zahlen mit t 0 = m α it i ): tlogs t () ist konve in t = S t0 m Sα it i t i logs t () ist konve in t = S t0 m Sα i t i S t () ist konve für t > 0 = S t0 m α is ti

2 82 6 DER RAUM DER STATISTISCHEN ZUSTÄNDE P(Z) Ausgehend von diesen Funktionen lassen sich Normen im R n definieren: c = S ( ) c = S 1 ( ) lp = S p ( ), 1 < p < lp(α) = M p (,α), 1 p < Alle diese Normen machen aus R n einen normierten Raum. Da er endlichdimensional ist, sind alle Normen äquivalent und damit alle normierten Räume isomorph aber eben nicht isometrisch Einige Übungsaufgaben Außerdem seien p,q 1 reelle Zahlen mit 1/p+1/q = 1 (wir setzen 1/ = 0). In diesem Zusammenhang stehen folgende Aufgaben: ÜA 15 a) Beweise d/dt S t () 0, t > 0 und t < 0 ÜA 15 b) Berechne lim t +0 S t (), lim t 0 S t (), lim t S t (), lim t S t () (falls eistent). ÜA 15 c) Beweise M t (,α) ist stetig differenzierbar in t ( und α fiiert und gutartig) ÜA 15 d) Beweise d/dt M t (,α) 0 ÜA 15 e) Berechne lim t 0 M t (,α), lim t M t (,α), lim t M t (,α) ÜA 15 f) Beweise: l p = l q (im Sinne von Isometrie). ÜA 15 g) Beweise: l p(α) = l q (α), p > 1 (im Sinne von Isometrie). ÜA 15 h) Beweise: l 1(α) = c, (c) = c (im Sinne von Isometrie). ÜA 15 i) Wie ist l (α) zu verstehen, was könnte l (α) sein? ÜA 15 j) Zeichne die Einheitssphäre, d.h. die Menge { = 1} im R 2 für alle definierten Normen (in einer Zeichung!). Wie hängt die Zeichnung mit den Monotonieeigenschaften 15a) und 15d) zusammen? Lösungen der Übungsaufgaben M n (,α,p) p ma n n Beweis (für n = 2): Es sei y. Wir betrachten logm n (,α,p). Dann ist nach l Hopital lim logm log(α p +βy p ) n(,α,p) = lim p p p αlog+β = lim p αβ ( y ( y α p log+βy p logy = lim = p α p +βy ) p p logy ) p = αlog = log α Berechnung der Norm in R n: = sup n, = sup i =1 =1 i sup =1 n i i n i Andererseits eistiert ein scharfes, nämlich i = i sign i

3 6.2 Beispiel: endlich dimensionale Räume 83 Falls + = ma{ 1,..., n }, gilt für t > 0: α 1 t + M t (,α) + Monotonie (Berechnung von d dt logs(t)) t 2( ) t t Ṡ t () n S t () = ( t 1log( t 1)+...+ t nlog( t n) ) ( t t n) log ( t t n) = = t 1 log t t t t n log n t n t t n 0 weil das Argument unter dem log kleiner als 1 ist. (Hier und im nächsten Punkt wird tlog = log t benutzt.) Monotonie (Berechnung von d dt logm(t)) t 2( α 1 t α n t n ) Ṁ t (,α) M t (,α) = ( α 1 t 1 log(t 1 )+...+α n t n log(t n )) ( α 1 t α n t n) log ( α1 t α n t n) 0 Die Positivität folgt aus der Jensenschen Ungleichung für die konvee Funktion F() = log. Im folgenden Bild sind die Funktionen S t und M t für ma = 5 und min = 1 dargestellt S t 6 ma 4 M t min 2 S t t Zusammenhänge von Normen und Unterräumen IstineinemlinearenRaumYeineNorm gegeben,sokannessein,daßnichtalleelementedes Raumes bezüglich dieser Norm beschränkt sind. Die Norm definiert in Y einen Unterraum X. Für Y und X ist =. Sind in Y zwei Normen gegeben, etwa 1 und 2, so werden dadurch zwei Unterräume X 1 und X 2 definiert. Sind beide Normen äquivalent, d.h., gibt es positive Konstanten c 1 und c 2 mit 2 c 1 1 und 1 c 2 2, so sind X 1 = X 2. Gilt nur 1 2, so gilt im allgemeinen nur die Inklusion X 2 X 1 (es ist klar, daß ein Element, dessen Norm 2

4 84 6 DER RAUM DER STATISTISCHEN ZUSTÄNDE P(Z) beschränkt ist, in X 2 liegt und erst recht auch in X 1. Umgekhert kann sein, daß zwar 1 aber nicht 2 beschränkt ist Dieses Enthaltensein der Räume mit verschiedenen Normen spiegelt sich im Enthaltensein der Einheitskugeln wieder. Der Monotonie der Normen in den l t (α)- und l t -Räumen entspricht dann eine Schar ineinander enthaltender Einheitskugeln. In der nebenstehenden Zeichnung sind für einige Normen die Einheitssphären im R 2 gezeichnet. Es handelt sich um die Normen von(vonaußen nachinnen) l 1 (α), l 4/3 (α), l 2 (α), l 4 (α), l (α) = l, l 4, l 2, l 4/3, l 1 mit α = (1/3,2/3) Diskussion Die Monotonie von M t beschreibt die bekannten Mittelungleichungen, wogegen die Monotonie von S t merkwürdige Ungleichungen beschreibt: Im Fall n = 2 ist M 2 M 1 die bekannte Ungleichung zwischen quadratischem und arithmetischem Mittel: ( 2 +y 2 )/2 (+y)/2 wogegen S 2 S 1 bedeutet: 2 +y 2 +y. Die Ungleichung S S 1 suggeriert c c, was im allgemeinen natürlich Unsinn ist, ein Raum kann seinen dualen nicht enthalten. Sinnvoll sind c und c mit Normen. Was ist l p? Es gibt Ungleichungen, die hängen mit Räumen zusammen. X X könnte mit X X zu X X X X führen. DieHölderungleichung, istsinnvoll.eineungleichungderform g,µ g p 1/p µ q 1/q mit g Cund µ C ist dagegenunsinn, damaßenicht potenziert werden können. Mittel mit allgemeinen Funktionen f Orlisz-Räume Ausgehen von C können weitere Normen definiert werden, etwa die Norm in Marcinkiewicz- Räumen: g ω = = sup µ(b) ω ½ B g,µ B B(Z)

5 6.3 Ein paar fundamentale Ungleichungen Ein paar fundamentale Ungleichungen Die Youngsche Ungleichung Die Youngsche Ungleichung ist eine fundamentale Ungleichung, die zwei zueinander konve konjugierte Funktionen mit der dualen Paarung verbindet. Sind F : X R und F : X R zwei solche y zueinander konve konjugierter Funktionen, so gilt y = ϕ(), F()+F ( ) Die Gateua-Ableitungen (Subdifferentiale) beider Funktionen sind zueinander invers. Betrachtet man im R die beiden zueinander inversen Funktionen y = p 1 und = y q 1 mit 1 = 1/p+1/q, zu erhält man b F (b) a b 1 p ap + 1 q bq Siehe nebenstehendes Bild Die Hölderungleichung. Normen in L p -Räumen Abstrakt ist die Hölderungleichung, eine Ungleichung zwischen der dualen Paarung und den Normen in einem normierten linearen Raum und seinem dualen. Die bekannte p, q-hölderungleichung ist eigentlich eine Ungleichung für ein Pseudo-Skalarprodukt, das in C mithilfe einer Norm definiert werden kann. Im weiteren seien f,g C + (Z), µ P(Z) und p,q 1, 1/p+1/q = 1. Wir betrachten folgende Aufgaben: ÜA 16 a) Beweise die Hölderungleichung f g,µ f p,µ 1/p g q,µ 1/q ÜA 16 b) Beweise die Minkowskiungleichung (f +g) p,µ 1/p f p,µ 1/p + g p,µ 1/p 0 F(a) Diese Ungleichungen lassen sich einfach beweisen, ohne Benutzung der Darstellung der dualen Paarung als Lebesgueintegral nach dem Rieszschen Satz. Die Benutzung der Youngschen Ungleichung setzt nur voraus, daß die Ordnungsrelation in C die punktweise Ordnung ist. Lösungen: Die Hölderungleichung folgt aus der Youngschen Ungleichung für Potenzfunktionen: a b 1 p ap + 1 q bq a f g 1 f p f p g q p f p + 1 g q p q g q q 1 f g,µ 1 f p,µ f p g q p f p + 1 g q,µ p q g q q = 1 p + 1 q = 1 f g,µ f p g q

6 86 6 DER RAUM DER STATISTISCHEN ZUSTÄNDE P(Z) Minkowskiungleichung folgt aus Hölderungleichung: (f +g) p,µ = (f +g)(f +g) p 1,µ f(f +g) p 1,µ + g(f +g) p 1,µ f p,µ 1/p (f +g) (p 1)q,µ 1/q + g p,µ 1/p (f +g) (p 1)q,µ 1/q = = ( f p,µ 1/p + g p,µ 1/p) (f +g) p,µ 1/q (f +g) p,µ 1/p f p,µ 1/p + g p,µ 1/p Hier wurde benutzt: 1/p = 1 1/q und (p 1)q = p. Für die, denen der Beweis der Minkowski-Ungleichung mit Hilfe der Hölder-Ungleichung nicht gefällt (woher wissen wir, daß wir neben p auch das q betrachten müssen), folgt hier ein Beweis der Minkowski-Ungleichung mit Hilfe der Jensensche Ungleichung.