Drei Kreise im Dreieck

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1 Ein Problem von, Juli 006 Gegeben sei das Dreieck ABC. Zeichne drei Kreise k 1, k, k im nneren von ABC, von denen jeder zwei Dreieckseiten und mindestens einen der übrigen zwei Kreise berührt (Abbildung 1). Die Konstruktion ist mit Zirkel und Lineal auszuführen. inweis: Sehr hilfreich für die Konstruktion sind die Programme der dynamischen Geometrie z.b. EUKLD, Zirkel und Lineal (ZuL) oder GEONET.! ) * Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung 1

2 Vorbetrachtung: Lage der Kreismittelpunkte M > M =! J = J > =! > = > ) J = J > * Abbildung : Lage der Kreismittelpunkte auf den Winkelhalbierenden Die Tangentenabschnitte ta 1 und ta vom Punkt A an den Kreis k 1 sind gleich lang. Aus dieser Symmetrie folgt, dass der Mittelpunkt N von k 1 auf der Winkelhalbierenden vom Winkel α = BAC liegt. Die gleiche Betrachtung gilt für den Mittelpunkt von k. Die Tangentenabschnitte tb 1 und tb vom Punkt B an den Kreis k sind gleich lang, weshalb der Mittelpunkt P von k auf der Winkelhalbierenden des Winkels β = ABC liegt (Abbildung ). Die Kreisradien sind voneinander abhängig. Gibt man sich z.b. r vor, so folgen daraus r und r 1. Es gibt daher unendlich viele Tripel r 1, r, r, die das Berüherungsproblem von Malfatti erfüllen. n den folgenden Abschnitten wird schrittweise eine Zirkel und Lineal Konstruktionen für die drei Kreise gezeigt.

3 6 Lösungsvorschlag von Peter Stratmann, Bonn Wir zerlegen das Problem in drei Teilaufgaben: 1. Konstruktion von Kreis k bei gegebenen Dreieck ABC. Konstruktion von Kreis k bei gegebenen Kreis k. Konstruktion von Kreis k 1 bei gegebenen Kreis k Aufgabenstellung 1: Konstruktion von Kreis k bei gegebenen Dreieck ABC M >! > > ) *! Abbildung : Konstruktion von Kreis k bei gegebenen Dreieck ABC Aus der vorangehenden Betrachtung zur Lage der Kreismittelpunkte wissen wir, dass der Mittelpunkt vom Kreis k auf der Winkelhalbierenden des Winkels β = ABC liegen muß. Den Radius r von k können wir frei wählen. Konstruktionsschritte: zeichne ein beliebiges Dreieck ABC konstruiere die Winkelhalbierende w β vom Winkel β = ABC definiere auf w β innerhalb des Dreiecks ABC den Punkt P errichte im Punkt P die Senkrechte s 1 zur Seite AB bezeichne den Schnittpunkt zwischen s 1 und AB mit T zeichne um P den Kreis k mit Radius r = PT

4 4 7 D D 5 Aufgabenstellung : Konstruktion von Kreis k aus gegebenen Kreis k M > M = N 4 N =! = = 6 ) N N N *! 4!!!! N Abbildung 4: Konstruktion von k aus k Nachdem wir k konstruiert haben, folgt die Konstruktion vom Kreis k, der k berührt und die Dreieckseiten AB und AC tangiert. Wir setzen die im vorherigen Abschnitt begonnene Konstruktion fort: 4 bezeichne den zweiten Schnittpunkt zwischen k und s 1 mit Q konstruiere die Winkelhalbierende w α von α = BAC fälle von Q das Lot s auf w α bezeichne den Schnittpunkt zwischen s und der Seite AB mit K zeichne um A den Kreisbogen mit Radius x K = AK bis zum Schnitt mit s 1 bezeichne den Schnittpunkt zwischen dem Kreisbogen und s 1 mit S zeichne um K mit der Zirkelspanne h = ST einen Kreisbogen bis zum Schnitt mit AB

5 bezeichne den Schnittpunkt zwischen dem Kreisbogen und AB mit U errichte in U die Senkrechte s bis zum Schnitt mit w α der Schnittpunkt zwischen s und w α ist der gesuchte Kreismittelpunkt M von k zeichne um M den Kreis k mit Radius r = MU Begründung zur Konstruktion : Wir ergänzen die Skizze um die Strecken- und Punktebezeichner wie in Abbildung gezeigt. Die Dreiecke AMU und QTK sind einander ähnlich: AMU QTK : r x K x P = x M r r = x M (x K x P ) r (1) m Berührungsdreieck MPR zwischen den Kreisen k und k gilt der Satz des Pythagoras: MPR : (r r ) = (r r ) (x P x M ) 4 r r = (x P x M ) () Mit ilfe von Gleichung (1) ersetzen wir r : 4 r xm (x K x P ) r = (x P x M ) () x M (x K x P ) = (x P x M ) (4) x M x K x M x P = x P x M x P x M 0 = x M x M x K x P (5) x M = x K ± x K x P (6) Für das rechtwinklige Dreieck ATS gilt der Satz der Pythagoras: ATS : h = x K x P (7) Die gesuchte Strecke x M berechnet sich dann aus: x M = x K x K x P = x K h (8) Anmerkung: Auch die zweite Lösung der quadratischen Gleichung (6) liefert einen Berührungskreis der die Seiten AC und AB tangiert. Wenn wir die Seite AB über B hinaus verlängern erhalten wir einen zweiten Schnittpunkt U zwischen dem Kreisbogen um K und dieser Geraden. Die Senkrechte in U trifft die verlängerte Winkelhalbierende w α im Punkt M, dem Kreismittelpunkt von k. Dieser Kreis liegt außerhalb vom Dreieck ABC, was im Sinne der Aufgabenstellung nicht zulässig ist. 5

6 8 9 7 = Konstruktion von Kreis k 1 "! M! 4 =! = = ) 6 * M = Abbildung 5: Konstruktion von k 1 aus k Nachdem der kompliziertere Teil der Konstruktion gelöst ist, können wir den Kreis k 1 recht einfach ermitteln. Wir setzen die Konstruktion wie folgt fort: bezeichne den rechs von M liegenden Schnittpunkt zwischen k und w α mit W errichte in W die Senkrechte s 4 zur Winkelhalbierenden w α bezeichne den Schnittpunkt zwischen s 4 und AB mit L konstruiere die Winkelhalbierende w λ vom Winkel λ = W, L, A bezeichne den Schnittpunkt zwischen w λ und w α mit N zeichne um N den Kreis k 1 mit Radius r 1 = NW Begründung zur Konstruktion: Die Tangentenabschnitte von L an den Kreis k 1 sind gleich lang : LW = LV. Deshalb muß der gesuchte Mittelpunkt von k 1 auf der Winkelhalbiernenden w λ von WLA liegen. Wie in der Einleitung gezeigt, muß N auch auf der Winkelhalbierenden von w α liegen, da k 1 die Seiten AB und AC tangieren soll. Der Schnittpunkt von w λ und w α ist daher der gesuchte Kreismittepunkt N von k 1. 6