Mathematische und statistische Methoden II

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1 Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre Folie 1 SoSe 2012 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Inhalte dieser Sitzung Von Merkmalen zu Von zu das Experiment Das Sichere am Zufall: Ergebnisse und Ereignisse Laplaces Antwort auf die Frage Was ist eigentlich Wahrscheinlichkeit? Folie 2

3 Merkmale & Grundlagen Folie 3 Eigenschaften, deren Werte bei den statistischen Einheiten beobachtet werden, heißen Merkmale Die Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Ausprägungen Die Ausprägungen eines Merkmals können beliebiger Art sein (z.b. Worte, Formen, Farben etc.) Eine Variable wird definiert, indem den Ausprägungen des Merkmals Zahlen zugeordnet werden. Diese Zahlen heißen Realisationen oder Werte. Merkmal Punkte auf Fläche Variable Zahlen

4 Merkmale & Notation werden mit Großbuchstaben symbolisiert, häufig verwendet man X und Y Die Realisationen einer werden dann mit den entsprechenden Kleinbuchstaben gekennzeichnet, also x und y Die Menge aller möglichen Realisationen ist der Wertebereich einer Folie 4

5 Definition werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.b. Merkmal X Variable x: 1 1, 0, wenn x: 2 2, 1, wenn x 6 : 6, 5, wenn Die extensionale Definition zählt alle Realisationen der auf und weist ihnen Symbole zu (x 1, x 2, ). Folie 5

6 Definition werden immer über eine mathematische Formulierung definiert, z.b. Merkmal X Variable 0 Die intensionale Definition gibt eine Vorschrift an, die die Variable und ihre Realisationen eindeutig spezifiziert. Folie 6

7 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert? Ziel: Eine formale Schreibweise für Der Wert der vierten Ausprägung von X zu finden Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese fortlaufend mit x 1, x 2,, x k indiziert Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1). x1: 1, wenn <18 Alter X x2: 2, wenn <68 x3: 3, wenn 68 y1: 0, wenn <18 Alter Y y2: 18, wenn <68 y3: 68, wenn 68 Folie 7

8 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Folie 8 Frage: Wie werden Realisationen symbolisiert? Ziel: Eine formale Schreibweise für Der Wert der vierten Ausprägung von X zu finden Hat eine Variable X genau k mögliche Realisationen, so werden diese fortlaufend mit x 1, x 2,, x k indiziert Die Laufindizes dienen dazu, die einzelnen Realisationen eindeutig zu adressieren (Beginn bei 1) Das Symbol x j mit j = 1 k bezeichnet dann die j-te Realisation der X. Diese Indizierung ist nur für diskrete sinnvoll, da stetige unendlich viele Realisationen haben

9 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Folie 9 Frage: Wie werden Merkmalsträger symbolisiert? Ziel: Eine formale Schreibweise für Der Wert der vierten Person in der Stichprobe zu finden Konvention: Für die Gesamtzahl von Personen wird nahezu immer das Zeichen n (oder N) benutzt. Für die Gesamtzahl von Realisationen werden andere Kleinbuchstaben verwendet (z.b. k) Dann dient wieder ein Laufindex dazu, die einzelnen Personen zu adressieren Das Symbol x i mit i = 1 n bezeichnet dann die i-te Messung der X.

10 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Problem: Das Symbol x 3 kann die dritte Realisation der X sein oder auch der Wert der 3. Person in der Stichprobe Also: Es muss vorher definiert sein, was der Laufindex bedeutet, z.b. Die Variable X habe k Realisationen und sei an n Personen gemessen worden. x i x j Folie 10 mit i = 1 n mit j = 1 k

11 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Nominalskala Notation Folie 11 In psychologischen Experimenten gibt es oft viele, die als UV oder AV erhoben werden. Beispiel: An einer Stichprobe von Personen verschiedenen Geschlechts wird der durchschnittliche Alkoholkonsum über einen Monat hinweg gemessen. Man hat hier offenbar 3 sowie mehrere Messungen verschiedener Merkmalsträger IQ als AV: (X) Geschlecht als UV (Y) Alkoholabhängigkeit als UV (Z) Frage: Wie indiziert man z.b. Die IQ-Messung des 4. Mannes in der Gruppe der Alkoholiker?

12 & Skalen Nominaldaten Skalen Nominalskala Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Die Variable Geschlecht (Y) wird in k=2 Ausprägungen gemessen: y 1 : 0 = männlich y 2 : 1 = weiblich Notation Die Variable Alkoholkonsum (Z) wird diskretisiert in m=5 Ausprägungen (Jelinek, 1951) gemessen: Z = z 1 : 0 = Kein Alkoholkonsum z 2 : 1 = Konflikt-/Erleichterungstrinker z 3 : 2 = Gelegenheitstrinken z 4 : 3 = Rauschtrinken (Alkoholiker) z 5 : 4 = Periodisches Trinken (Alkoholiker) Folie 12 Es nehmen insgesamt n=220 Personen teil

13 & Skalen Nominaldaten Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Skalen Nominalskala Notation Die AV ist der IQ. Dies ist die Variable, deren Realisation im Experiment bei den Merkmalsträgern gemessen wird. Die beiden anderen sind UVen, deren Realisationen vor dem Experiment bereits feststehen, bzw. erhoben werden. Zur eindeutigen Indizierung des IQ eines Merkmalsträgers werden nun mehrere Laufindizes benötigt Folie 13

14 & Skalen Nominaldaten Skalen Exkurs: Notation Indizierung von Realisationen und Merkmalsträgern Eine Person fällt immer in eine der km = 25 = 10 Gruppen von Geschlecht und Alkoholkonsum Nominalskala Notation Der Laufindex für Geschlecht sei r = 1 k und für Alkoholkonsum s = 1 m Jede der 10 Gruppen hat also n rs Mitglieder Jede Person kann eindeutig identifiziert werden über x irs mit i=1 n rs r=1 k, s=1 m Folie 14 So ist z.b. x 4,1,3 der IQ des vierten Mannes unter den Gelegenheitstrinkern

15 Typisierung von Merkmalen und Folie 15 Die wichtigste Typisierung unterscheidet diskrete von stetigen (kontinuierlichen) Daten Hierbei sind Typen von Merkmalen und Typen von streng zu unterscheiden. Alter ist ein stetiges Merkmal. Eine Variable Alter kann aber diskret definiert werden als x 1: 0, wenn <18 Alter X x 2: 1, wenn <68 x 3: 2, wenn 68 Gleiches gilt z.b. für Intelligenz, Schulleistung, Sehvermögen, Fahreignung

16 & Messungen Unterscheidung Die empirische Feststellung der Realisation einer wird als Messung bezeichnet Dabei ist zu unterscheiden zwischen der Beobachtung der Ausprägung des Merkmals und der Messung der Realisation der Denn: Die Beobachtung kann eine Information in beliebiger Form erheben (z.b. verbal, bildlich), die Messung liefert immer eine Zahl. Die gemessenen Zahlenwerte einer heißen Messwerte Folie 16

17 Das Zufallsexperiment Von zu Folie 17 Eine Variable wird zur, wenn ihre Realisation in einem Zufallsexperiment festgestellt wird. (Zufalls-)Experiment = Ein Satz von Regeln, unter denen eine bestimmte Handlung ausgeführt wird (Bedingungskomplex Ξ, Xi ) Trial = Eine Durchführung des Experimentes Ergebnis = Beobachtung am Ende des Trials (in beliebiger Form, z.b. als Zahl, Bild, Symbol, Farbe etc.) Ereignis = Jede beliebige Menge von Ergebnissen Achtung: Ergebnisse & Ereignisse sind noch nicht zwangsläufig Realisationen einer

18 Das Zufallsexperiment Von zu Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf Zufallsexperiment (Ξ): Ein 6-seitiger Würfel ist einmal zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die Augenzahl der oben liegenden Seite. Ergebnisse: Jede mögliche Augenzahl (1, 2, 3, 4, 5, 6) Ereignisse: 1, 1 oder 6, Augenzahl 3, ungerade Zahl, irgendeine Zahl Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Folie 18

19 Das Zufallsexperiment Von zu Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf Zufallsexperiment (Ξ): Eine Münze ist zweimal zu werfen. Sie kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die oben liegende Seite. Ergebnisse: Jede mögliche Kombination der zwei Münzen (K+K, K+Z, Z+K, Z+Z) Folie 19 Ereignisse: zweimal dieselbe Seite, Kein Kopf Trial: Der zweimalige Wurf der Münze Achtung: Die Durchführung von 2 Trials des s Eine Münze wird einmal geworfen ist ein anderes Experiment.

20 Das Zufallsexperiment Von zu Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44 verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen. Ergebnisse: Jede Menge von 44 Personen Ereignisse: die 44 Besten, die 44 Besten oder die 44 Schlechtesten, jede Auswahl von 44 Personen aus den besten 391 Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des s Aus 742 Bewerbern wird 1 Person ausgewählt ist ein anderes Experiment. Folie 20

21 Das Zufallsexperiment Von zu Das Zufallsexperiment ist in weiten Teilen ein sehr deterministisches Konzept, denn der Ablauf eines Trials ist a-priori vollständig bestimmt die möglichen Ergebnisse sind a-priori vollständig bestimmt nur das konkrete Ergebnis (die Beobachtung) ist a-priori unbestimmt Daher kann sich die Statistik dem Verständnis des s über mathematische Hilfsmittel nähern, nämlich der Mengenlehre Folie 21

22 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Definition: Ergebnisse eines s sind immer Mengen. Diese Mengen können auch nur aus einem Element bestehen. Beispiel I: Einmaliger Würfelwurf {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Beispiel II: Zweimaliger Münzwurf {K, K}, {K, Z}, {Z, K}, {Z, Z} Beispiel III: IQ-Test {0}, {1}, {2},, {100}, {101}, Folie 22

23 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Es galt: Ereignis = Jede beliebige Menge (Kombination) möglicher Ergebnisse eines Trials Elementarereignisse = die kleinste Menge disjunkter Ereignisse, in die sich die möglichen Ergebnisse eines Trials zerlegen lassen Zwei Ereignisse E 1 und E 2 heißen disjunkt (paarweise unvereinbar), wenn gilt E E 1 2 Folie 23 Schnittmenge Unmögliches Ereignis

24 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel I: Beim Wurf eines Würfels lauten die Elementarereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, nicht aber {{2}, {4}, {6}} oder {{1},{ 5}} (obwohl diese disjunkt sind) Folie 24 Beispiel II: Beim Wurf zweier Würfel sind die Elementarereignisse {1,1}, {1,2}, {1,3},, {6,5}, {6,6}, nicht aber {{1, 6}, {6, 1}} oder {{1, 1}, {3, 3}, {6, 6}} (und vor allem nicht das Ereignis {1}, das überhaupt nicht vorkommen kann)

25 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Die vollständige Menge der Elementarereignisse eines s heißt Ω. Der umfasst alle Elementarereignisse (also alle möglichen Ergebnisse) eines s Der ist eine Menge Beispiel: Der beim einmaligen Würfelwurf ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}} Folie 25

26 Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des s Alle geraden Augenzahlen E = {2, 4, 6} Folie 26

27 Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des s Eins oder Sechs E = {1, 6} Folie 27

28 Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des s Drei E = {3} Folie 28

29 Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des s Irgend eine Zahl E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Folie 29

30 Ereignisse & Elementarereignisse Partitionierung Jedes Ereignis E teilt den gesamten immer in zwei Untermengen Ein Teil der Elementarereignisse gehört zum Ereignis E, der andere Teil gehört nicht dazu Diese Aufteilung nennt man Partitionierung des s Keine Zahl E = {} Folie 30

31 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Die Menge aller Kombinationen von Ereignissen aus dem heißt Sigma- Algebra σ Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis σ umfasst also alle möglichen Kombinationen aus den Elementarereignissen plus Merksatz: σ enthält alle Kombinationen von Ergebnissen eines s, auf die man wetten könnte Folie 31

32 Folie 32 Ereignisse & Elementarereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel: Einmaliger Münzwurf Elementarereignisse: K, Z, S : Ω = {K, Z, S}, K, Z, S, K, Z, K, S, Z, S, K, Z, S Die Anzahl der Elemente in der Sigma-Algebra heißt Mächtigkeit Achtung: Für die Mächtigkeit spielt die Reihenfolge der Elementarereignisse keine Rolle. Frage: Was ist hier die Zufallsvariable? Ω

33 Definition Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung ( bijektiv ) der Elemente des s auf eine Menge von Zahlen. Es gelten alle Regeln, die bereits für eingeführt wurden. Beispiel: x: 1-1, 0, wenn "K",, x 2 : 1, wenn "Z" x: : 0, 2, wenn "S" KZS X 3 Folie 33

34 Prinzip Folie 34 Beispiel: Experiment = Eimaliger Münzwurf Definition eines s: Mögliche Ergebnisse eines Trials: Kopf, Zahl, Seite Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: Zahl Definition des s und damit auch von Definition einer X() Messung: X = 1 Frage: Was bedeutet zufällig?

35 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Geschichte der WT Anfänge Mitte des 17. Jh. (Cardano, Bernoulli, Huygens, Pascal, Fermat). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik. Weiterentwicklungen im Jh. durch Laplace, Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Populationsstatistik. Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W- Theorie, Fundament im axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markov, Khintchin). Folie 35 Heute zentraler Bestandteil empirischer Forschung: Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik, Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

36 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Folie 36 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten im Grundannahme: Alle Elementarereignisse ( kleinomega ) im Ω sind gleichmöglich Wenn der die k Elementarereignisse 1 bis k enthält, so ist die Wahrscheinlichkeit für jedes von diesen einfach 1 p i mit i 1 k k p() ist demnach eine auf dem definierte mathematische Funktion (i.e. eine Konstante), die so genannte Wahrscheinlichkeitsfunktion.

37 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Folie 37 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra Jedem Ereignis E, welches der σ-algebra angehört, kann nun ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. m = Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis m pe ( ) von E sind. k Günstige durch Mögliche k = Mächtigkeit des es (also Anzahl aller Elementarereignisse aus Ω) p(e) ist wieder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, diesmal definiert auf der -Algebra.

38 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Folie 38 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Wahrscheinlichkeiten in der -Algebra Laplaces Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion p(e) beruht auf dem Prinzip der Partitionierung Das Ereignis E partitioniert den in m Elementarereignisse, die Teil von E sind. k m Elementarereignisse, die nicht Teil von E sind Die Wahrscheinlichkeit p(e) ist also einfach die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner m Elementarereignisse m pe ( ) k k k k m-mal

39 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Folie 39 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Vererbung Frage: Der ist noch nicht die Zufallsvariable X wie erhält man deren Wahrscheinlichkeiten? Definition: Die Zufallsvariable erbt die Wahrscheinlichkeitsfunktion des s, auf dem sie beruht. : Zufallsvariable: Bube, Dame, König, As 1, 1, 1, 1 p X x: 0, x : 1, x : 2, x : , 1, 1, 1 p x

40 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Vererbung Beispiele Folie 40 Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Vererbung Vollständige Schreibweise für Zufallsvariable und deren Wahrscheinlichkeitsfunktion: X p x x1: 0, wenn Bube x2: 1, wenn Dame x3: 2, wenn König x3: 4, wenn As p X px px px x x x x : : : :

41 Laplace Kolmogoroff Geschichte Definition Die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace Beispiele Vererbung Summe von 2 Würfelwürfen Beispiele Anzahl von Zahl bei 3 Münzwürfen Frage des Landsknechts an Huygens Folie 41

42 Relevante Excel Funktionen Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundrechenarten +,,, / SUMME(), PRODUKT() Folie 42