INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS
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1 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales 4. Übung Forschungszentrum Algorithmen in der Helmholtz-Gemeinschaft I Institut für Theoretische Informatik
2 Unbounded Hashtables 2 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
3 Unbounded Hashtables Amortisierung Problem Anzahl der einzufügenden Elemente nicht bekannt Was passiert wenn eine Hashtabelle zu voll wird? Hashing mit linearer Suche: Überlauf Hashing mit verk. Liste: Verlangsamerung der Operationen Lösung: Hashtabelle dynamisch vergrößern und verkleinern 3 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
4 Unbounded Hashtables mit verketteten Listen Modifizierte Operationen find: keine Veränderung insert: Größe verdoppeln, bei #Slots Elemente remove: Größe halbieren, bei 1 4 #Slots Elemente Erinnert an unbeschränkte Arrays 4 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
5 Unbounded Hashtables mit verketteten Listen Problem: Hashfunktion muss zur Tabellengröße passen Grund: Soll möglichst gleichverteilt streuen Nach Größenänderung nicht mehr der Fall Lösung: Bei Größenänderung neue Hashfunktion wählen Dann: vollständiger rehash D.h.: Elemente nicht nur kopieren, sondern alle neu einfügen 5 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
6 Unbounded Hashtable Laufzeit Laufzeit von insert, find, remove (exkl. rehash): Unverändert erwartet O(1) Laufzeit von rehash: Amortisiert O(1) Argumentation wie bei unbeschränkten Arrays Bankkontomethode 6 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
7 Neue Hashfunktion wählen Beispiel Hashen von Zahlen h(x) = x mod Tabellengröße Problem: Tabellengröße = 2 k Entspricht Extrahieren der k niedrigsten Bits Nur k niedrigsten Bits nehmen Einfluss Besser: Tabellengröße immer Primzahl Möglichst weit entfernt von Zweierpotenzen Implementierung: Primzahlentabelle Wähle bei Größenänderungen die nächstgrößere Primzahl aus Tabelle 7 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
8 Rehash Beispiel insert: 22, 42, 9, 25, 18 und 96 h 1 (x) = x mod 5, h 2 (x) = x mod Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
9 Universalität von Hashfunktionen 9 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
10 Analyse für zufällige Hash-Funktionen Wiederholung Satz k : die erwartete Anzahl kollidierender Elemente ist O(1), falls M = O(m). für festes k definiere Kollisionslänge X := t[h(k)] die Anzahl der Element die auf den gleichen Slot gehasht werden 10 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
11 Wahrscheinlichkeit für Kollision Wiederholung M := {e M : key(e) k} 0-1 ZV X e : 1 für h(e) = h(k), e M, 0 sonst 11 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
12 Wahrscheinlichkeit für Kollision Wiederholung M := {e M : key(e) k} 0-1 ZV X e : 1 für h(e) = h(k), e M, 0 sonst E[X ] = E[ e M X e ] = e M E[X e ] = e M P [X e = 1] = M P [X e = 1] = = M Anzahl aller Hashfunktionen mit h(e)=h(k) {}}{ m Key 1 } m {{ Key } Anzahl aller Hashfunktionen = M 1 m = M m = O(1) Wichtig: Wahrscheinlichkeit über Wahl der Hashfunktion Hashfunktion zufällig aus Menge aller möglichen ausgewählt = 11 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
13 Universelles Hashing Idee: nutze nur bestimmte einfache Hash-Funktionen H {0..m 1} Key ist universell falls für alle x, y in Key mit x y und zufälligem h H, P [h(x) = h(y)] = 1 m. Theorem gilt auch für universelle Familien von Hashfunktionen 12 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
14 Universalität von Hashfunktionen Beispiele 13 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
15 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität h M (x) = Mx M {0, 1} w k, Arithmetik mod 2 (XOR and AND) Anzahl Slots m in Hashtabelle m = 2 w Beachte: x {0, 1} k und Mx {0, 1} w 14 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
16 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität h M (x) = Mx M {0, 1} w k, Arithmetik mod 2 (XOR and AND) Anzahl Slots m in Hashtabelle m = 2 w Beachte: x {0, 1} k und Mx {0, 1} w M = ( ) und x = (1, 0, 0, 1) T Mx mod 2 = (0, 1) T 14 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
17 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität h M (x) = Mx, M {0, 1} w k, m = 2 w Zu zeigen, für alle x y und h M gilt P[h M (x) = h M (y)] = 1 m für ein M gewählt aus allen möglichen. h(x) = h(y) Mx = My i {1,..., w} : k M ij x j = j=1 k M ij y j j=1 15 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
18 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität i {1,..., w} : k j=1 M ijx j = k j=1 M ijy j Anzahl Matrizen, die obiges Gleichungssystem lösen? w Gleichungen und wk Variablen M ij unterbestimmt, x y wk w Vektoren spannen Lösungsraum auf 2 wk w Lösungen 16 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
19 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität i {1,..., w} : k j=1 M ijx j = k j=1 M ijy j Anzahl Matrizen, die obiges Gleichungssystem lösen? w Gleichungen und wk Variablen M ij unterbestimmt, x y wk w Vektoren spannen Lösungsraum auf 2 wk w Lösungen Anzahl möglicher Matrizen M: 2 wk 16 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
20 Bit-Matrix-Multiplikation Universalität i {1,..., w} : k j=1 M ijx j = k j=1 M ijy j Anzahl Matrizen, die obiges Gleichungssystem lösen? w Gleichungen und wk Variablen M ij unterbestimmt, x y wk w Vektoren spannen Lösungsraum auf 2 wk w Lösungen Anzahl möglicher Matrizen M: 2 wk P[h M (x) = h M (y)] = 2wk w 2 wk = 2 w = 1 2 w = 1 m 16 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
21 Anwendung von Hashing in der Computersicherheit Passwort-Hashes Zertifikate (z.b. zur Verwendung von https) SSH-Fingerprint etwas andere Anforderungen: typischerweise längere Ausgabe Geschwindigkeit der Berechnung weniger entscheidend wenig Hinweise vom Bild auf das Urbild Kollisionen schwer zu erzeugen Beispiele: MD5, SHA-1 17 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
22 Hashing von Zeichenketten Nicht: kryptographische Message Digests (MD5, SHA, etc)! 18 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
23 Hashing von Zeichenketten Gegeben Zeichenkette s = x 0, x 1,..., x n 1. Ganz schlechte Hashfunktion: n 1 h(s) = i=0 x i mod 2 k 19 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
24 Hashing von Zeichenketten Gegeben Zeichenkette s = x 0, x 1,..., x n 1. Ganz schlechte Hashfunktion: n 1 h(s) = i=0 x i mod 2 k Etwas weniger schlechte Hashfunktion: h(s) = 1 x x x x 3 + mod 2 k 19 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
25 Hashing von Zeichenketten Hashfunktion aus frühen BerkeleyDB/SDBM: Als Bitoperationen: uint32 hash(string str) { uint32 h = 0; for (int i = 0; i < str.size(); ++i) h = h * str[i]; return h; } h = (h << 6) + (h << 16) - h + str[i]; 20 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
26 Moderne Hashfunktionen Fowler Noll Vo Hashfunktion (DNS-Server, Databases) unsigned int hash(string str) { unsigned int h = offset; for (int i = 0; i < str.size(); ++i) { h = h * prime; h = h XOR str[i]; } return h; } Für 32-bit: offset = , prime = Für 64-bit: offset = , prime = Noch aktueller: MurmerHash (Perl, Hadoop, etc) 21 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
27 Sortieren Rebooted (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 4), (1, 2, 4, 3, 5), (1, 2, 4, 5, 3), (1, 2, 5, 3, 4), (1, 2, 5, 4, 3), (1, 3, 2, 4, 5), (1, 3, 2, 5, 4), (1, 3, 4, 2, 5), (1, 3, 4, 5, 2), (1, 3, 5, 2, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (1, 4, 2, 3, 5), (1, 4, 2, 5, 3), (1, 4, 3, 2, 5), (1, 4, 3, 5, 2), (1, 4, 5, 2, 3), (1, 4, 5, 3, 2), (1, 5, 2, 3, 4), (1, 5, 2, 4, 3), (1, 5, 3, 2, 4), (1, 5, 3, 4, 2), (1, 5, 4, 2, 3), (1, 5, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 4, 5), (2, 1, 3, 5, 4), (2, 1, 4, 3, 5), (2, 1, 4, 5, 3), (2, 1, 5, 3, 4), (2, 1, 5, 4, 3), (2, 3, 1, 4, 5), (2, 3, 1, 5, 4), (2, 3, 4, 1, 5), (2, 3, 4, 5, 1), (2, 3, 5, 1, 4), (2, 3, 5, 4, 1), (2, 4, 1, 3, 5), (2, 4, 1, 5, 3), (2, 4, 3, 1, 5), (2, 4, 3, 5, 1), (2, 4, 5, 1, 3), (2, 4, 5, 3, 1), (2, 5, 1, 3, 4), (2, 5, 1, 4, 3), (2, 5, 3, 1, 4), (2, 5, 3, 4, 1), (2, 5, 4, 1, 3), (2, 5, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4, 5), (3, 1, 2, 5, 4), (3, 1, 4, 2, 5), (3, 1, 4, 5, 2), (3, 1, 5, 2, 4), (3, 1, 5, 4, 2), (3, 2, 1, 4, 5), (3, 2, 1, 5, 4), (3, 2, 4, 1, 5), (3, 2, 4, 5, 1), (3, 2, 5, 1, 4), (3, 2, 5, 4, 1), (3, 4, 1, 2, 5), (3, 4, 1, 5, 2), (3, 4, 2, 1, 5), (3, 4, 2, 5, 1), (3, 4, 5, 1, 2), (3, 4, 5, 2, 1), (3, 5, 1, 2, 4), (3, 5, 1, 4, 2), (3, 5, 2, 1, 4), (3, 5, 2, 4, 1), (3, 5, 4, 1, 2), (3, 5, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3, 5), (4, 1, 2, 5, 3), (4, 1, 3, 2, 5), (4, 1, 3, 5, 2), (4, 1, 5, 2, 3), (4, 1, 5, 3, 2), (4, 2, 1, 3, 5), (4, 2, 1, 5, 3), (4, 2, 3, 1, 5), (4, 2, 3, 5, 1), (4, 2, 5, 1, 3), (4, 2, 5, 3, 1), (4, 3, 1, 2, 5), (4, 3, 1, 5, 2), (4, 3, 2, 1, 5), (4, 3, 2, 5, 1), (4, 3, 5, 1, 2), (4, 3, 5, 2, 1), (4, 5, 1, 2, 3), (4, 5, 1, 3, 2), (4, 5, 2, 1, 3), (4, 5, 2, 3, 1), (4, 5, 3, 1, 2), (4, 5, 3, 2, 1), (5, 1, 2, 3, 4), (5, 1, 2, 4, 3), (5, 1, 3, 2, 4), (5, 1, 3, 4, 2), (5, 1, 4, 2, 3), (5, 1, 4, 3, 2), (5, 2, 1, 3, 4), (5, 2, 1, 4, 3), (5, 2, 3, 1, 4), (5, 2, 3, 4, 1), (5, 2, 4, 1, 3), (5, 2, 4, 3, 1), (5, 3, 1, 2, 4), (5, 3, 1, 4, 2), (5, 3, 2, 1, 4), (5, 3, 2, 4, 1), (5, 3, 4, 1, 2), (5, 3, 4, 2, 1), (5, 4, 1, 2, 3), (5, 4, 1, 3, 2), (5, 4, 2, 1, 3), (5, 4, 2, 3, 1), (5, 4, 3, 1, 2), (5, 4, 3, 2, 1). 22 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
28 Sortieren Rebooted Die meisten intuitiven Sortieralgorithmen basieren auf: 1 Selection: finde das kleinste (oder größte) Element, und trenne es von den übrigen. Wiederhole bis alle ausgewählt wurden. 2 Insertion: betrachte Elemente einzeln und füge in sortierte Teilfolgen ein. 3 Exchange: vertauscht ungeordnete Paare von Elemente, bis keine weitere Vertauschungen notwendig sind. 4 Enumeration: vergleiche ein Element mit allen anderen. Dann platziere es endgültig an Hand der Anzahl kleiner Elemente. In der Regel erreichen diese nicht die untere Schranke Θ(n log n). 23 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
29 Selection Sort Function selectionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 0 to n 1 do min := i for j := i + 1 to n 1 do // Suche kleinstes Element if A[j] < A[min] then min := j endfor swap(a[i], A[min]) // Tausche Element an Anfang invariant A[0] A[i] endfor 24 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
30 Selection Sort Function selectionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 0 to n 1 do min := i for j := i + 1 to n 1 do // Suche kleinstes Element if A[j] < A[min] then min := j endfor swap(a[i], A[min]) // Tausche Element an Anfang invariant A[0] A[i] endfor Wieviele Vergleiche? 24 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
31 Selection Sort Function selectionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 0 to n 1 do min := i for j := i + 1 to n 1 do // Suche kleinstes Element if A[j] < A[min] then min := j endfor swap(a[i], A[min]) // Tausche Element an Anfang invariant A[0] A[i] endfor Wieviele Vergleiche? immer n(n 1) 2 = Θ ( n 2)! 24 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
32 Insertion Sort Function insertionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 1 to n 1 do // {A[0]} ist sortiert j := i x := A[j] while (j > 0) & (A[j 1] > x) // Finde richtige Stelle j A[j] := A[j 1] // Schiebe größere Elemente j := j 1 // nach hinten. endwhile A[j] := x // Setze Element invariant A[0] A[i] endfor 25 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
33 Insertion Sort Function insertionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 1 to n 1 do // {A[0]} ist sortiert j := i x := A[j] while (j > 0) & (A[j 1] > x) // Finde richtige Stelle j A[j] := A[j 1] // Schiebe größere Elemente j := j 1 // nach hinten. endwhile A[j] := x // Setze Element invariant A[0] A[i] endfor Vermeide j > 0 mit einem Sentinel A[ 1] :=. 25 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
34 Insertion Sort Function insertionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 1 to n 1 do // {A[0]} ist sortiert j := i x := A[j] while (j > 0) & (A[j 1] > x) // Finde richtige Stelle j A[j] := A[j 1] // Schiebe größere Elemente j := j 1 // nach hinten. endwhile A[j] := x // Setze Element invariant A[0] A[i] endfor Wieviele Vergleiche? worst-case? 25 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
35 Insertion Sort Function insertionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 1 to n 1 do // {A[0]} ist sortiert j := i x := A[j] while (j > 0) & (A[j 1] > x) // Finde richtige Stelle j A[j] := A[j 1] // Schiebe größere Elemente j := j 1 // nach hinten. endwhile A[j] := x // Setze Element invariant A[0] A[i] endfor Wieviele Vergleiche? worst-case: n (n 1) 2 = Θ ( n 2), average? 25 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
36 Insertion Sort Function insertionsort(a : Array of Element; n : N) for i := 1 to n 1 do // {A[0]} ist sortiert j := i while (j > 0) & (A[j 1] > A[j]) // Finde richtige Stelle j swap(a[j 1], A[j]) // Schiebe größere Elemente j := j 1 // nach hinten. endwhile invariant A[0] A[i] endfor Wieviele Swaps? worst-case: n (n 1) 2 = Θ ( n 2), average? 25 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
37 Insertion Sort Average Case Annahme: Alle Elemente verschieden und die Eingabe ist eine zufällige Permutation davon. Jede der n! Permutationen σ S n ist gleich wahrscheinlich. σ = ( ) 26 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
38 Insertion Sort Average Case Annahme: Alle Elemente verschieden und die Eingabe ist eine zufällige Permutation davon. Jede der n! Permutationen σ S n ist gleich wahrscheinlich. Eine Paar (i, j) N 1 mit i < j ist eine Inversion, wenn σ(i) > σ(j). σ = ( ) Ein σ S n hat zwischen 0 und ( ) n Inversionen. 2 Beispiele: (1, 2, 3, 4, 5) und (5, 4, 3, 2, 1). 26 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
39 Insertion Sort Average Case σ = ( ) Jeder Austausch falsch sortierter, benachbarter Positionen (swap) reduziert die Anzahl der Inversionen um genau 1. Die Anzahl von swaps in Insertion-Sort ist genau die Anzahl Inversionen in der Eingabe-Permutation. Nenne diese Anzahl X (σ). Wir suchen den Erwartungswert: E(X (σ)). 27 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
40 Permutationen von 1,..., 5 (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 4), (1, 2, 4, 3, 5), (1, 2, 4, 5, 3), (1, 2, 5, 3, 4), (1, 2, 5, 4, 3), (1, 3, 2, 4, 5), (1, 3, 2, 5, 4), (1, 3, 4, 2, 5), (1, 3, 4, 5, 2), (1, 3, 5, 2, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (1, 4, 2, 3, 5), (1, 4, 2, 5, 3), (1, 4, 3, 2, 5), (1, 4, 3, 5, 2), (1, 4, 5, 2, 3), (1, 4, 5, 3, 2), (1, 5, 2, 3, 4), (1, 5, 2, 4, 3), (1, 5, 3, 2, 4), (1, 5, 3, 4, 2), (1, 5, 4, 2, 3), (1, 5, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 4, 5), (2, 1, 3, 5, 4), (2, 1, 4, 3, 5), (2, 1, 4, 5, 3), (2, 1, 5, 3, 4), (2, 1, 5, 4, 3), (2, 3, 1, 4, 5), (2, 3, 1, 5, 4), (2, 3, 4, 1, 5), (2, 3, 4, 5, 1), (2, 3, 5, 1, 4), (2, 3, 5, 4, 1), (2, 4, 1, 3, 5), (2, 4, 1, 5, 3), (2, 4, 3, 1, 5), (2, 4, 3, 5, 1), (2, 4, 5, 1, 3), (2, 4, 5, 3, 1), (2, 5, 1, 3, 4), (2, 5, 1, 4, 3), (2, 5, 3, 1, 4), (2, 5, 3, 4, 1), (2, 5, 4, 1, 3), (2, 5, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4, 5), (3, 1, 2, 5, 4), (3, 1, 4, 2, 5), (3, 1, 4, 5, 2), (3, 1, 5, 2, 4), (3, 1, 5, 4, 2), (3, 2, 1, 4, 5), (3, 2, 1, 5, 4), (3, 2, 4, 1, 5), (3, 2, 4, 5, 1), (3, 2, 5, 1, 4), (3, 2, 5, 4, 1), (3, 4, 1, 2, 5), (3, 4, 1, 5, 2), (3, 4, 2, 1, 5), (3, 4, 2, 5, 1), (3, 4, 5, 1, 2), (3, 4, 5, 2, 1), (3, 5, 1, 2, 4), (3, 5, 1, 4, 2), (3, 5, 2, 1, 4), (3, 5, 2, 4, 1), (3, 5, 4, 1, 2), (3, 5, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3, 5), (4, 1, 2, 5, 3), (4, 1, 3, 2, 5), (4, 1, 3, 5, 2), (4, 1, 5, 2, 3), (4, 1, 5, 3, 2), (4, 2, 1, 3, 5), (4, 2, 1, 5, 3), (4, 2, 3, 1, 5), (4, 2, 3, 5, 1), (4, 2, 5, 1, 3), (4, 2, 5, 3, 1), (4, 3, 1, 2, 5), (4, 3, 1, 5, 2), (4, 3, 2, 1, 5), (4, 3, 2, 5, 1), (4, 3, 5, 1, 2), (4, 3, 5, 2, 1), (4, 5, 1, 2, 3), (4, 5, 1, 3, 2), (4, 5, 2, 1, 3), (4, 5, 2, 3, 1), (4, 5, 3, 1, 2), (4, 5, 3, 2, 1), (5, 1, 2, 3, 4), (5, 1, 2, 4, 3), (5, 1, 3, 2, 4), (5, 1, 3, 4, 2), (5, 1, 4, 2, 3), (5, 1, 4, 3, 2), (5, 2, 1, 3, 4), (5, 2, 1, 4, 3), (5, 2, 3, 1, 4), (5, 2, 3, 4, 1), (5, 2, 4, 1, 3), (5, 2, 4, 3, 1), (5, 3, 1, 2, 4), (5, 3, 1, 4, 2), (5, 3, 2, 1, 4), (5, 3, 2, 4, 1), (5, 3, 4, 1, 2), (5, 3, 4, 2, 1), (5, 4, 1, 2, 3), (5, 4, 1, 3, 2), (5, 4, 2, 1, 3), (5, 4, 2, 3, 1), (5, 4, 3, 1, 2), (5, 4, 3, 2, 1). 28 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
41 Permutationen von 1,..., 5 (1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 4), (1, 2, 4, 3, 5), (1, 2, 4, 5, 3), (1, 2, 5, 3, 4), (1, 2, 5, 4, 3), (1, 3, 2, 4, 5), (1, 3, 2, 5, 4), (1, 3, 4, 2, 5), (1, 3, 4, 5, 2), (1, 3, 5, 2, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (1, 4, 2, 3, 5), (1, 4, 2, 5, 3), (1, 4, 3, 2, 5), (1, 4, 3, 5, 2), (1, 4, 5, 2, 3), (1, 4, 5, 3, 2), (1, 5, 2, 3, 4), (1, 5, 2, 4, 3), (1, 5, 3, 2, 4), (1, 5, 3, 4, 2), (1, 5, 4, 2, 3), (1, 5, 4, 3, 2), (2, 1, 3, 4, 5), (2, 1, 3, 5, 4), (2, 1, 4, 3, 5), (2, 1, 4, 5, 3), (2, 1, 5, 3, 4), (2, 1, 5, 4, 3), (2, 3, 1, 4, 5), (2, 3, 1, 5, 4), (2, 3, 4, 1, 5), (2, 3, 4, 5, 1), (2, 3, 5, 1, 4), (2, 3, 5, 4, 1), (2, 4, 1, 3, 5), (2, 4, 1, 5, 3), (2, 4, 3, 1, 5), (2, 4, 3, 5, 1), (2, 4, 5, 1, 3), (2, 4, 5, 3, 1), (2, 5, 1, 3, 4), (2, 5, 1, 4, 3), (2, 5, 3, 1, 4), (2, 5, 3, 4, 1), (2, 5, 4, 1, 3), (2, 5, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4, 5), (3, 1, 2, 5, 4), (3, 1, 4, 2, 5), (3, 1, 4, 5, 2), (3, 1, 5, 2, 4), (3, 1, 5, 4, 2), (3, 2, 1, 4, 5), (3, 2, 1, 5, 4), (3, 2, 4, 1, 5), (3, 2, 4, 5, 1), (3, 2, 5, 1, 4), (3, 2, 5, 4, 1), (3, 4, 1, 2, 5), (3, 4, 1, 5, 2), (3, 4, 2, 1, 5), (3, 4, 2, 5, 1), (3, 4, 5, 1, 2), (3, 4, 5, 2, 1), (3, 5, 1, 2, 4), (3, 5, 1, 4, 2), (3, 5, 2, 1, 4), (3, 5, 2, 4, 1), (3, 5, 4, 1, 2), (3, 5, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3, 5), (4, 1, 2, 5, 3), (4, 1, 3, 2, 5), (4, 1, 3, 5, 2), (4, 1, 5, 2, 3), (4, 1, 5, 3, 2), (4, 2, 1, 3, 5), (4, 2, 1, 5, 3), (4, 2, 3, 1, 5), (4, 2, 3, 5, 1), (4, 2, 5, 1, 3), (4, 2, 5, 3, 1), (4, 3, 1, 2, 5), (4, 3, 1, 5, 2), (4, 3, 2, 1, 5), (4, 3, 2, 5, 1), (4, 3, 5, 1, 2), (4, 3, 5, 2, 1), (4, 5, 1, 2, 3), (4, 5, 1, 3, 2), (4, 5, 2, 1, 3), (4, 5, 2, 3, 1), (4, 5, 3, 1, 2), (4, 5, 3, 2, 1), (5, 1, 2, 3, 4), (5, 1, 2, 4, 3), (5, 1, 3, 2, 4), (5, 1, 3, 4, 2), (5, 1, 4, 2, 3), (5, 1, 4, 3, 2), (5, 2, 1, 3, 4), (5, 2, 1, 4, 3), (5, 2, 3, 1, 4), (5, 2, 3, 4, 1), (5, 2, 4, 1, 3), (5, 2, 4, 3, 1), (5, 3, 1, 2, 4), (5, 3, 1, 4, 2), (5, 3, 2, 1, 4), (5, 3, 2, 4, 1), (5, 3, 4, 1, 2), (5, 3, 4, 2, 1), (5, 4, 1, 2, 3), (5, 4, 1, 3, 2), (5, 4, 2, 1, 3), (5, 4, 2, 3, 1), (5, 4, 3, 1, 2), (5, 4, 3, 2, 1). 29 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
42 Insertion Sort Average Case Wir zählen die erwartete Anzahl von Inversionen: Für eine Permutation σ S n sei { 1 falls (i, j) eine Inversion in σ, X i,j (σ) := 0 sonst. Also ist X := i<j X i,j (σ) die Anzahl von Inversionen und ( ) E(X (σ)) = E X i,j (σ) = E(X i,j (σ)). i<j i<j Da E(X i,j (σ)) = 1 2, ist so mit E(X (σ)) = ( n 2 Worst case n (n 1) 2 = ) 1 2. ( ) n und average case 2 ( ) n Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag
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