1.Übung Mathematik I

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1 1Übung Mathematik I 1) Ist folgende Aussage eine Implikation? ( Begründung!) (( A B) -> ( A C) ) = > (C A) 2 Onkel Dagobert wurde Geld aus seinem Geldspeicher gestohlen Er hat drei Tatverdächtige: Die Panzerknacker, Klaas Klever und Gundel Gaukeley Er überlegt: a) Wenn Klaas Klever oder Gundel Gaukeley schuldig ist, so sind die Panzerkacker unschuldig b) Sind die Panzerknacker unschuldig oder ist Gundel Gaukeley unschuldig, so ist Klaas Klever schuldig c) Ist Gundel Gaukeley schuldig, so sind auch die Panzerknacker schuldig Frage: Wer war s? 3 a) Geben Sie die explizite Darstellung folgender Menge: {y y=3x 2-4 y<6 x N } b) Geben Sie die implizite Darstellung folgender Menge: B = { -6, -2,, 2, 6, 12, 2, 3, 42 } Hinweis: Probieren Sie zuerst die positiven Zahlen 5 Es sei R folgende Relation: R = { (x,y) y = Gerade x=gerade x steht auf y senkrecht} Ist R (i) refelxiv, (ii) symmetrisch, (iii) transitiv, (iv) Äquivalenzrelation? 6 Von einer Menge Aufsichtsratsmitgliedern gehören 17 der Gesellschaft A, 14 der Gesellschaft B und 13 der Gesellschaft C an Nur Gesellschaft B gehört 1 Mitglied an, zu A und B, aber nicht C gehören 7, zu A und C aber nicht B 4 Mitglieder Zu A und B gehören insgesamt 8 Wieviele Mitglieder gehören nur zu A, nur zu C und wieviele sind es insgesamt? 7 Es sei N={1,2,3,} die Menge der natürlichen Zahlen und R eine Relation in N N:=N 2, die wie folgt definiert ist: R = {(p,q) p N 2 q N 2 mit p=(a,b) und q=(c,d) gilt ad=bc } N 2 N 2 Ist R eine Äquivalenzrelation? (Begründung!)

2 2 Übungen Mathematik I 1 Zeigen Sie: Jede Äquivalenzrelation R auf eine Menge S legt genau eine Partition von S fest und umgekehrt 2 Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: a) Für jede nichtleere Menge M gilt: M =n => P(M) =2 n ( P(M)=Potenzmenge von M ) b) Summe der ersten n Quadratzahlen = 1/6 n (n+1) (2n+1) c) Summe der ersten n Kubikzahlen = 1/4 n 2 (n+1) 2 3 Gegeben seien die komplexen Zahlen z 1 = 2-2i z 2 = 6 ( cos 3,5 + i sin 3,5) z 3 = 4 e i 5/6 π a) Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der Zahlen b) Stellen Sie die Zahlen als Zeiger im Koordinatensystem dar c) Bestimmen Sie die konjugiert komplexen Zahlen jeweils in der Darstellung der Vorgabe d) Geben Sie für jede Zahl die jeweils anderen Darstellungsformen an 4 Gegeben sei die komplexe Zahl z = a + ib Brechnen Sie jeweils _ z + z, z - z, z z, z:z und z:z 5 Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen z 1 = 3-4i z 2 = 4 + 2i z 3 = 4(cos5 + i sin5) z 4 = 2(cos7 + i sin7) die Werte von z 1 z 2, z 2 /z 1, z z 4 /z 3, z 1 z 4-3 (z 3 /z 2 + z 4 ) 6 Berechnen Sie a) i i b) (-3) (-7) c) 1 2i d) ln(2-3i) 7 Bestimmen Sie alle primitiven 16-ten und 24-ten Einheitswurzeln

3 3 Übungen Mathematik I 1 Zeigen Sie: Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraumes V über der Menge der reelen Zahlen ist genau dann ein Unterraum von V, falls für alle u,v U und für alle rellen Zahlen k gilt: u+v U und ku U 2 Geben Sie n+1 Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraumes an, die jeweils zu n Vektoren linear unabhängig sind 3 Seien a 1,,a k, b 1,,b k Vektoren eines Vektoraumes V über R Weiter sei Σ s i a i = genau dann, wenn Σ s i b i = Zeigen Sie, daß dann die Dimension der von {a 1,,a k } und {b 1,,b k } aufgespannten Unterräume von V gleich ist 4 Es sei V=R 3 der dreidimensionale Vektorraum über R Bestimmen Sie die Dimension der von den Vektoren a 1,a 2,a 3 V aufgespannten Unterräume, wenn: a) 3 2 b) a b c) a b a) a a+1 a a c -a c a+3 a+4 a b c e -b -c a+6 a+7 a+8

4 4 Übungen Mathematik I 1 Zeigen Sie: (a b) c = (ac)b - (bc)a ("Entwicklungssatz") 2 Bestiimen Sie das Volumen des Paralleloids, der von den Vektoren gebildet wird 3 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden, die von den Punkten g 1 : P(1,2), Q(3,4) g 2 :R(2,5), S(-2,2) gebildet werden 4 Berechnen Sie die Schnittgerade, die durch die beiden Ebenen E 1 und E 2 gebildet wird, wobei E 1 durch die drei Punkte A(1,,2), B(1,-1,5) und C(2,,1) aufgespannt wird und 1 3 E 2 = + r 2 + s 2 5 Wo schneiden sich die beiden Ebenen im R 4, die gegeben sind durch: E 1 = + r 1 + s und E 2 = 1 + u + v

5 5 Übungen Mathematik I 1 Berechnen Sie die Produkte AX und X T A, wobei gilt: x 4 5 6, X = y z 2 Bestätigen Sie die Formel (AB) T = B T A T für , B = 2 3, Bestätigen Sie die Formel (AB) -1 =B -1 A -1 für , B = , 4 Berechnen Sie die Inverse A -1 (von Hand!) zu Unter welchen Bedingungen für den Parameter p R ist das folgende Gleichungssystem 1 x -1 1 p 1 -p 1 y z = 2 a) nicht lösbar? b) mehrdeutig lösbar? c) eindeutig lösbar? 6 Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungssysteme mit dem Gauß schen Algorithmus:

6 6 Übungen Mathematik I 1 Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen: , B = 1 2 3, C= Welche Aussagen sind richtig? a) Matrizen sind regulär, wenn sie invertierbar sind b) Jede invertierbare Matrix ist quadratisch c) Quadratische Matrizen haben stets vollen Rang d) Invertierbare Matrizen haben linear unabhängige Spaltenvektoren e) Sind die Zeilen einer Matrix linear abhängig, so ist die Determinate Null f) Ist bei einem homogenen linearen Gleichungssystem (dh rechte Seiten alle gleich Null) die triviale Lösung die einzigste, so ist bei jedem inhomogen System mit derselben Koeffizientenmatrix die Lösung immer eindeutig g) Singuläre Matrizen haben die Determinate Null 3 Bestimmen Sie die allg Kosntruktionsformel der Folgen: a) (a i ) i N =,4,18,48,1,18, b) (a i ) i N = 1/2, 1/6, 1/12, 1/2, c) (a i ) i N = 2, 4/3, 1/6, 4/15, 2/15, 4 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte ( n ) 2 3n 2 n + n - 2 a) lim a) lim c) lim 2n 3 /(n 2 +1) n 9n + 7 n 3 4n -1 5 Stellen Sie fest, ob folgende Reihen konvergent sind: a) 1/3 + 2/9 + 3/27 + 4/81 + b) 1/2 + 1/5 + 1/1 + 1/17 + c) Σ n n /n! d) Σ n 3 /(ln3) n 6 Stellen Sie fest, ob folgende alternierende Reihen absolut bzw bedingt konvergent sind: a) 1-2/3 + 3/9-4/ b) 1-1/ 2 + 1/ 3-1/ c) 1/2-2/(2 3 +1) + 3/(3 3 +1) - 4/(4 3 +1) + -

7 7 Übungen Mathematik I 1 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x1/(x-1) b) lim lnx/x c) lim x 1 x x + x sinx 2 a) Zeigen Sie mit der genauen Definition (ε,δ), daß die Funktion f(x) = x / (x-1) für x nach unendlich den Grenzwert "1" besitzt b) Zeigen Sie analog zu 2a), daß die Funktion y = x 2-4 für x geht gegen 2 den Grenzwert "" besitzt 3 Wo besitzen folgende Funktionen Unstetigkeitsstellen? Welche davon sind ggf hebbare Lücken? a) f(x) = (x 3-27)/(x 2-9) b) f(x) = (4-x 2 )/(3- x 2 +5) 4 Führen Sie für die Kurve y 2 (x-1)-x 2 = eine vollständige Kurvendiskussion durch Machen Sie anschließend eine Skizze! 5 Um 9 Uhr vormittags war ein Schiff B genau 65 km östlich von einem anderen Schiff A Schiff B fuhr nun westlich mit einer Geschwindigkeit von 1 km/h, A fuhr südlich mit 15 km/h Wann ist die Entfernung zwischen ihnen am kürzesten bzw wie groß ist diese dann, wenn beide ihren jeweiligen Kurs beibehalten?