Übung 5 zur Vorlesung SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK HW-, SW-CODESIGN

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1 Fakultät Informatik, Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme Übung 5 zur Vorlesung SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK HW-, SW-CODESIGN BEDEUTUNG DER GEWICHTSFUNKTION UND FALTUNG LERNZIELE VON ÜBUNG 5 In den Übungen 3 und 4 wurden die Ausgangssignale verschiedener Systeme bei einem Sprung-, Impuls- oder Rampensignal als Eingangssignal berechnet. Um für ein beliebiges Eingangssignal das zugehörige Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Systems zu berechnen, benötigt man die mathematische Operation der Faltung. Für zeitkontinuierliche Systeme verwendet man das Faltungsintegral und die Gewichtsfunktion, für zeitdiskrete Systeme die Faltungssumme und die Gewichtsfolge. In Übung 5 werden die (grafische) Lösung des Faltungsintegrals sowie die Berechnung der Faltungssumme anhand von Beispielen geübt. Außerdem wird die Gewichtsfunktion beziehungsweise Gewichtsfolge als das das Systemverhalten eindeutig beschreibende Merkmal näher untersucht.

2 AUFGABE 5.1 GRUNDLAGEN DER (KONTINUIERLICHEN) FALTUNG Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 1). g(t) 1,5 1,,5, Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Ermitteln Sie den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang ein Einheitsimpuls anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar Abbildung : Zeitlicher Verlauf des Einheitsimpuls. Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (Impulshöhe ) ein invertierter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; Impulshöhe ; siehe Abbildung 3) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals invertierter Einheitsimpuls.

3 b) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn statt des Einheitsimpulses (zum Zeitpunkt s) ein totzeitbehafteter Einheitsimpuls (gleiche Fläche; zum Zeitpunkt 1 s; siehe Abbildung 4) am Eingang anliegt? Stellen Sie diesen grafisch dar Abbildung 4: Verlauf eines totzeitbehafteten Einheitsimpuls. c) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben b) und c) bestehende und in Abbildung 5 dargestellte Signal anliegt. Stellen Sie diesen grafisch dar Abbildung 5: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals totzeitbehaftete und invertierte Einheitsimpulse. d) Wie verändert sich der zeitliche Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf das aus totzeitbehafteten und invertierten Einheitsimpulsen entsprechend Teilaufgaben c) und d) bestehende und in Abbildung 5 dargestellte Signal am Eingang, wenn sich die Gewichtsfunktion g(t) -- beispielsweise durch Alterung -- verändert (zeitlicher Verlauf siehe Abbildung 6)? Stellen Sie diesen grafisch dar. 3

4 g*(t) 1,5 1,,5, -,5-1, Abbildung 6: Zeitlicher Verlauf der veränderten Gewichtsfunktion g*(t) des Systems AUFGABE 5.: BEDEUTUNG DER GEWICHTSFUNKTION Von einem zeitkontinuierlichen, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 7). g(t) Abbildung 7: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Abbildung 7 im Zeit- und Wertebereich. b) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 7 beschriebenen System um ein statisches? c) Handelt es sich bei dem durch Abbildung 7 beschriebenen System um ein kausales? d) Kann das durch die Gewichtsfunktion g(t) in Abbildung 7 beschriebene System (BIBO-)instabil werden? 4

5 e) Stellen Sie abschließend den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems auf einen am Eingang anliegenden Einheitssprung grafisch dar. Beschreiben Sie dabei kurz den zugrunde liegenden Lösungsansatz. ZUSATZAUFGABE 5.3: FALTUNG UND DEREN UMKEHRUNG Von einem zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfunktion g(t) bekannt (siehe Abbildung 8). g(t) Abbildung 8: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Welches Eingangssignal erzeugt als Ausgangssignal y(t) die Gewichtsfunktion g(t)? b) Benennen Sie den zugrunde liegenden mathematischen Zusammenhang für die Ermittlung des Ausgangssignals y(t) aus dem Eingangssignal und der Gewichtsfunktion g(t). c) Geben Sie die Formel für den mathematischen Zusammenhang aus Teilaufgabe b) an. (in mv) Abbildung 9: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. 5

6 d) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 9 dargestellte Signal anliegt. y*(t) (in mv) Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf des Ausgangssignals y*(t). e) Wie muss der zeitliche Verlauf des Eingangssignals x*(t) aussehen, wenn am Ausgang y*(t) des Systems das in Abbildung 1 dargestellte Signal anliegt? f) Beschreiben Sie kurz Ihren Lösungsweg und stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Eingangssignals x*(t) grafisch dar. Anmerkung: Diese Teilaufgabe war in der Klausur eine Zusatzaufgabe. ZUSATZAUFGABE 5.4: OPTIMALFILTER An einem unbekannten System eines zeitkontinuierlichen LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist näherungsweise die Gewichtsfunktion g(t) gemessen worden (siehe Abbildung 11). 6

7 g(t) t (in µs) Abbildung 11: Zeitlicher Verlauf der Gewichtsfunktion g(t) des Systems. a) Ermitteln Sie schrittweise den zeitlichen Verlauf der Antwort y(t) des Systems, wenn am Eingang das aus Einheitsimpulsen bestehende und in Abbildung 1 dargestellte Signal anliegt (entspricht der an der Ordinate gespiegelten Stoßantwort) b) Wozu könnte man diese Systeme mit einem derartigen Ausgangssignalverhalten in der Praxis einsetzen? (in mv) t (in µs) Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf des Eingangssignals. c) Wie könnte man ein derartiges System mit der Eigenschaft eines solchen Optimalfilters technisch realisieren? 7

8 AUFGABE 5.5: BEDEUTUNG DER GEWICHTSFOLGE Von einem zeitdiskreten, linearen und zeitinvarianten System ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt: k g kt 3 k k 3. k 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k Z {,, 1,, 1,, }. a) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Gewichtsfolge g(kt) grafisch dar. b) Klassifizieren Sie den Signalverlauf aus Teilaufgabe a) im Zeit- und Wertebereich. c) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein statisches? d) Handelt es sich bei dem hier beschriebenen System um ein kausales? e) Kann das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System (BIBO-)instabil werden? AUFGABE 5.6: ZEITDISKRETE FALTUNG Von einem zeitdiskreten LTI-System (lineares, zeitinvariantes und kausales System) ist die Gewichtsfolge g(kt) bekannt (vergleiche auch AUFGABE 5.5: BEDEUTUNG DER GEWICHTSFOLGE): k g kt 3 k k 3. k 3 Die Abtastperiode T beträgt 1 s und es gilt: k Z {,, 1,, 1,, }. a) Ermitteln Sie die Antwort y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitsimpuls am Eingang x kt kt k. 1 k Verwenden Sie dazu die Definition der zeitdiskreten Faltung (Faltungssumme): y kt g kt x kt k k g k j T x jt k j. 8

9 b) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. c) Ermitteln Sie die Antwortfolge y(kt) des Systems auf einen zeitdiskreten Einheitssprung am Eingang x kt kt k. 1 k Verwenden Sie dazu auch hier die Definition der zeitdiskreten Faltung. d) Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(kt) grafisch dar. e) Ermitteln Sie das Ergebnis nach folgender Gleichung für k 5. k k h kt g jt k j. Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Signals h(kt) grafisch dar. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben. f) Welcher Filterklasse (FIR bzw. IIR) gehört das durch die Gewichtsfolge g(kt) beschriebene System an? 9