Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelungssysteme (Grundlagen)

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1 Übungsaufgaben zur Vorlesung Regelungssysteme (Grundlagen) TU Bergakademie Freiberg Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr.-Ing. Andreas Rehkopf 27. Januar 2014

2 Übung 1 - Vorbereitung zum Praktikum Prozessregelung 1. Modellierung des Streckenverhaltens a) Stellen Sie die nichtlineare Differentialgleichung für den Füllstandsbehälter (i V h) anhand der Bilanzgleichung auf. b) Linearisieren Sie die DGL mittels Taylorreihenentwicklung. c) Bestimmen Sie die Differentialgleichungen für die weiteren Teilsysteme (h i m, i m u m, u m u F ). d) Geben Sie die Gleichung des Gesamtsystems an. e) Leiten Sie die Übertragungsfunktion aus der DGL her. 2. Vorbereitung Reglerentwurf a) Stellen Sie den allgemeinen Regelkreis mit Führungsgröße, Last- und Speisestörung als Blockschaltbild dar. b) Identifizieren Sie die einzelnen Größen für das Beispiel der Füllstandsregelung. c) Geben Sie den funktionalen Zusammenhang für die Eingangs- und Ausgangsgrößen wieder. d) Geben Sie die Übertragungsfunktion des realen PID-Reglers an. e) Skizzieren Sie jeweils die Sprungantwort der einzelnen Anteile sowie die des gesamten Reglers. f) Welche Bedeutung hat der Tiefpassfilter für die Regelung? 3. (ZA) Lösung der Differentialgleichung a) Lösen Sie die linearisierte Differentialgleichung des Füllstandsbehälters für ein sprungförmiges Eingangssignal. b) Im Praktikumsversuch wird die Füllhöhe für verschiedene Ventilstellungen bestimmt. Ist nach einem Stellgrößensprung der Endwert mit einer vorgegebenen Genauigkeit (von bspw. 95 %) erreicht, so wird die zugehörige Höhe abgelesen. Welchen Einfluß hat die Sprunghöhe x e0 auf den Ablesezeitpunkt?

3 Übung 2 - Vorbereitung zum Praktikum Stabilität durch Regelung 1. Grundlagen Stabilität für PT 2 -Systeme a) Geben Sie die allgemeine Differentialgleichung eines PT 2 -Systems mit Dämpfungsfaktor D an und stellen Sie den Zusammenhang zur allgemeinen DGL n-ter Ordnung durch Parameterabgleich her. b) Geben Sie die allgemeine Berechnungvorschrift für die Pole des Systems an. c) Bestimmen Sie für D = 0, D = 1, D > 1, 0 < D < 1, D = 1, D < 1 und 1 < D < 0 Folgende Eigenschaften: Pole (mathematische Beschreibung und Lage im Pol-Nullstellen-Plan) Stabilität Schwingungsverhalten Verlauf der Sprungantwort (Skizze) 2. Modellierung des Schwebekörpersystems a) Geben Sie alle Kräfte an, welche auf den Schwebekörper einwirken. b) Bestimmen Sie die Differentialgleichung des Systems. c) Berechnen Sie die Pole und treffen Sie eine Aussage zur Stabilität. d) Lösen Sie die Differentialgleichung für einen sprungförmigen Eingangssteuerstrom der Höhe I St,0. 3. Regelung der Strecke Geben Sie die Differentialgleichungen für den jeweiligen Reglertyp an. Bestimmen Sie die Gleichung für den geschlossenen Kreis und treffen Sie eine Aussage zur Stabilität in Abhängigkeit der Reglerparameter. Welche bleibende Regelabweichung tritt beim jeweiligen Reglertyp auf? a) P-Regler b) PD-Regler c) PID-Regler

4 1. Systeme erster Ordnung Das dynamische Verhalten einer Strecke wird durch die Übertragungsfunktion beschrieben. F (p) = a) Wie nennt man dieses Übertragungsglied? K T p + 1 b) Geben Sie die korrespondierende Differentialgleichung an. Identifizieren Sie dazu zunächst a 0, b 0 und b 1. c) Charakterisieren Sie die DGL. d) Skizzieren und beschriften Sie die Übergangsfunktion h(t). Tragen Sie die Systemparameter K und T ein. e) Nennen Sie ein Beispiel für ein solches System.

5 2. Systeme erster Ordnung - Lösung der DGL Für das System sind folgende Parameter gegeben: T ẋ a (t) + x a (t) = Kx e (t) T = 10s und K = 2. a) Geben Sie die homogene Differentialgleichung an. b) Berechnen Sie alle Pole des Systems und stellen Sie deren Lage grafisch dar. c) Ist das vorliegende System stabil? Begründen Sie ihre Antwort. d) Geben Sie die homogene Lösung x h (t) der Differentialgleichung an. e) Das System wird durch einen Sprung der Höhe x e0 angeregt. Berechnen Sie die partikuläre Lösung x part (t) der Differentialgleichung. f) Geben Sie die Gesamtlösung der Differentialgleichung x ges (t) an. g) Bestimmen Sie den unbekannten Parameter aus der Gesamtlösung, wenn die Anfangsbedingung x ges (t = 0) = 0 gilt. h) Skizzieren und beschriften Sie die Übergangsfunktion h(t). Tragen Sie die Systemparameter K und T ein.

6 3. Systeme erster Ordnung - Regelung Die Strecke F S (p) = 3 15p + 1 soll mit einem P-Regler geregelt werden. a) Geben Sie die Übertragungsfunktion F R (p) des Reglers an. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion F W (p) für das Führungsverhalten des geschlossenen Kreises, wenn die Verstärkung des Reglers K R = 5 beträgt. c) Der Sollwert wird sprungartig um 1 erhöht. Bestimmen Sie den Faktor der bleibenden Regelabweichung x w. d) Am Eingang der Strecke greift eine sprungartige Störung z = 2 an. Wie groß ist die Abweichung vom Arbeitspunkt, wenn das System den stationären Zustand erreicht? e) Welcher Reglertyp ermöglicht es, die bleibende Regelabweichung zu eliminieren? Begründen Sie ihre Antwort.

7 4. Systeme erster Ordnung - Parameterbestimmung (Identifikation) Für eine Strecke wird das Modell F (p) = K T p + 1 angenommen. Im Beharrungszustand wurde folgender Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße gemessen: x e x a Tabelle 1: Messwerte im Beharrungszustand Weiterhin wurde die Eingangsgröße x e sprungartig geändert (kein Einheitssprung) und der Verlauf der Ausgangsgröße aufgezeichnet. Abbildung 1: Sprungantwort (kein Einheitssprung) a) Zeichnen Sie die statische Kennlinie der Strecke. b) Ermitteln Sie grafisch die Verstärkung K und die Zeitkonstante T der Strecke. c) Bestimmen Sie die Höhe x e0 des Eingangssprunges und skizzieren Sie den Verlauf.

8 5. Systeme zweiter Ordnung - Lösung der DGL Gegeben ist folgende Differentialgleichung: 10ẍ a (t) + 7ẋ a (t) + x a (t) = x e (t) a) Welches regelungstechnische Übertragungsglied liegt vor? b) Wie lautet die homogene Gleichung des Systems? c) Wie lautet die charakteristische Gleichung? d) Berechnen Sie die Pole des Systems. e) Ist das System stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. f) Geben Sie die homogene Lösung der Differentialgleichung an. g) Das System wird durch einen Sprung der Höhe x e0 angeregt. Berechnen Sie die partikuläre Lösung. h) Wie lautet die Gesamtlösung x ges (t)? i) Bestimmen Sie die unbekannten Parameter c 1 und c 2 durch die Anfangsbedingungen ẋ ges (0) = x ges (0) = 0. j) Skizzieren Sie die Übergangsfunktion h(t).

9 6. Systeme zweiter Ordnung - Regelung Ein System 2. Ordnung wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben: ẍ(t) 25ẋ(t) 5x(t) = 2y(t) a) Treffen Sie eine Aussage zur Stabilität des Systems und begründen Sie Ihre Antwort. b) Das System ist mit Hilfe eines PD-Reglers zu regeln. Geben Sie die Differentialgleichung für diesen Reglertyp an. c) Geben Sie die Differentialgleichung des geschlossenen Regelkreises an. d) Untersuchen Sie das Gesamtsystem bezüglich Stabilität in Abhängigkeit der zwei Reglerparameter. e) Die Reglerverstärkung sei 10, die Vorhaltezeit beträgt 3 s. Bestimmen Sie den Faktor der bleibenden Regelabweichung x w. f) Wie lässt sich die bleibende Regelabweichung eliminieren?

10 7. Blockschaltbildalgebra Stellen Sie die Gesamtübertragungsfunktion F Ges als Funktion der jeweiligen Teilübertragungsfunktionen mit Rechenweg dar. a) b) c) d)

11 8. Systeme erster Ordnung - Kenngrößen Für ein PT 1 -System sind die Parameter T = 10 s und K = 3 gegeben. a) Stellen Sie die zugehörige Differentialgleichung auf und geben Sie deren Lösung für ein Sprungsignal der Höhe x e0 an. b) Wie lange benötigt das System bei einem Einheitssprung, bis 99 % des Endwertes erreicht sind? c) Auf welche Zeitspanne verändert sich der in b) ermittelte Wert, wenn die Sprunghöhe x e0 verdoppelt wird? d) Das System ist mit einem P-Regler zu regeln. Wie groß muss die Reglerverstärkung K R sein, wenn die Abweichung vom Endwert maximal 5 % betragen soll? e) Die Zeitdauer, bis das geregelte System 99 % seines Endwertes erreicht hat, soll auf 1, 5 s begrenz werden. Wie muss K R gewählt werden?

12 9. Systeme erster Ordnung - Anstiegsantwort Für ein System erster Ordnung ist folgende Übertragungsfunktion gegeben: F (p) = X a(p) X e (p) = a) Welches regelungstechnische System liegt vor? b) Geben Sie die zugehörige Differentialgleichung an. K T p + 1 c) Bestimmen Sie die Polstellen des Systems und geben Sie die homogene Lösung der Differentialgleichung an. d) Bestimmen Sie die partikuläre Lösung, wenn am Eingang eine Rampenfunktion (Anstiegsfunktion) x e (t) = mt anliegt. e) Geben Sie die Gesamtlösung x ges (t) an und bestimmen Sie den Parameter c, wenn die Anfangsbedingung x ges (t = 0) = 0 gilt. f) Skizzieren Sie den Verlauf der Anstiegsantwort für eine Einheitsrampe (m = 1).

13 10. Systeme zweiter Ordnung - Schwingungsverhalten Ein System zweiter Ordnung wird durch die Differentialgleichung T 2 ẍ a (t) + 2DT ẋ a (t) + x a (t) = Kx e (t) beschrieben. Die Parameter sind mit T = 10 s, D = 0, 6 und K = 1 gegeben. a) Welches regelungstechnische System liegt vor? b) Bestimmen Sie die Polstellen des Systems und skizzieren Sie deren Lage. c) Geben Sie die homogene Lösung der Differentialgleichung an. d) Bestimmen Sie die partikuläre Lösung, wenn am Eingang eine Einheitssprungfunktion anliegt. e) Geben Sie die Gesamtlösung x ges (t) an und bestimmen Sie die unbekannten Parameter. f) Skizzieren Sie den Verlauf der Übergangsfunktion. g) Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Übergangsfunktion ihr Maximum? Wie groß ist dieser Maximalwert?

14 11. Systeme mit integralem Verhalten Ein regelungstechnischer Prozess wird durch die Differentialgleichung T 1 ẋ a (t) + x a (t) = 1 x e (t) dt T N mit T 1 = 5 s und T N = 10 s beschrieben. a) Welches regelungstechnische Übertragungsglied liegt vor? b) Ist das vorliegende System stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Das System ist mit Hilfe eines idealen PD-Reglers zu regeln. Geben Sie die Differentialgleichung für den Regler an und bestimmen Sie die Differentialgleichung des geschlossenen Kreises für Führungs- und Speisestörverhalten. d) Wie groß ist die bleibende Regelabweichung nach einem Führungsgrößensprung der Höhe w 0? e) Die Reglerverstärkung sei K R 1. Das System befindet sich im Arbeitspunkt. Am Eingang der Strecke greift eine sprungförmige Störung der Höhe z 0 an. Wie groß ist die Auslenkung des Systems vom Arbeitspunkt im stationären Zustand? f) Für das Führungsverhalten sei die Reglerverstärkung 2. Wie groß ist die Vorhaltezeit, wenn der geschlossene Kreis ein nichtschwingendes Verhalten aufweisen soll.

15 12. Systeme mit differentiellem Verhalten Ein regelungstechnischer Prozess besitzt die Übertragungsfunktion mit T 1 = 6 s, T 2 = 5 s und K D = 2. F (p) = X a(p) X e (p) = K D p (T 1 p + 1)(T 2 p + 1) a) Welches regelungstechnische Übertragungsglied liegt vor? b) Ist das vorliegende System stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Berechnen sie die Übergangsfunktion des Systems mit Hilfe der Laplacetransformation. Hinweis: σ(t) 1 p e at 1 p + a d) Welchen Endwert nimmt h(t) im stationären Zustand ein? e) Das System ist mit Hilfe eines I-Reglers zu regeln. Welches regelungstechnische Verhalten zeigt der geschlossenen Kreis? f) Ist das Gesamtsystem für eine Nachstellzeit von T N = 1 s schwingungsfähig? g) Wie groß ist der Faktor der bleibenden Regelabweichung bei gleicher Nachstellzeit?

16 Lösungen ( ) 2 g) x ges (t) = 2x e0 1 e t 10 x 3 c) w = d) x = b) K 1, 7 T 6 s c) x e0 1, 6 5 h) x ges (t) = c 1 e t 2 + c 2 e t 5 + x e0 i) c 1 = 2 3 x e0 c 2 = 5 3 x e0 6 d) K R > 5 2 T V > 25 2 K R x e) w = 4 3 F 7 a) F = F 7 (F 2 F 3 + F 4 1 ( F b) F = F 1 F 2 6 ) 1+F 4 F 5 F) 6 1 F 2 F 5 (F 3 F 4 ) ) c) F = F 6 (F 4 F 5 + F 1F 2 1+F 1 F 2 F 3 1 ( ) F F 6 F 4 +F F 2 d) F = F 1 ) F 1+F 5 F 1 (F 6 F 4 +F F 2 8 b) t 4, 61 T d) K R > 19 3 e) K R = 9, 9 [ ( )] 9 e) x ges (t) = Km t + T e t [ T 1 ( ) 10 e) x ges (t) = e 3 50 t cos 2 25 t g) t max = 25 2 π x ges (t max ) = e 3 4 π d) x a = w 0 e) x a = z 0 K R f) T V 5 ( ) 12 c) h(t) = 2 e t 6 e t 5 d) lim h(t) = 0 t g) x a w = sin ( 2 25 t )] + 1

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