Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS

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1 Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist die Schr der in IR definierten Funktionen f :x x + x+ mit IR +. Die zugehörigen Grphen werden mit G bezeichnet. BE 1 Der Prmeter durchläuft die Werte von 0, bis. Beschreiben Sie, wie sich dbei die Lge der Extrempunkte von G ändert. b Weisen Sie nch, dss lle Grphen G einen gemeinsmen Punkt und in diesem Punkt die gleiche Steigung hben. Geben Sie die Gleichung der Tngente n die Grphen in diesem Punkt n. c Bestimmen Sie die Koordinten und die Art der Extrempunkte von G. 1 (zur Kontrolle: Koordinten des Tiefpunkts: ( )) G, wie die Anzhl der Null- d Untersuchen Sie mithilfe der Lge des Tiefpunkts von stellen von f vom Wert des Prmeters bhängt. e Zeichnen Sie den Grphen G,6 für 8 x 8 in ein Koordintensystem ein. f Es gibt zwei Strecken der Länge, die prllel zur x-achse verlufen und deren jeweilige Endpunkte uf G,6 liegen. Zeichnen Sie diese beiden Strecken in Ihre Zeichnung us Teilufgbe 1e ein. Beschreiben Sie, wie die x-koordinten der Endpunkte beider Strecken rechnerisch ermittelt werden können.

2 1 Aufgbe BMX-Fhrräder sind speziell für ds Gelände usgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einstz dieser Fhrräder soll uf horizontlem Untergrund eine m breite Sprungschnze instlliert werden. Im Längsschnitt der Schnze knn deren Profillinie für x [ 8;0] modellhft durch eine der Funktionen f beschrieben werden. Der Strtpunkt, von dem us die Schnze durchfhren wird, wird durch den Punkt S( 8 f( 8) ) drgestellt, der Absprungpunkt durch A( 0 f( 0 )). Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordintensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit. Ermitteln Sie lle Werte von, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: Der Strtpunkt liegt mindestens so hoch wie der Absprungpunkt. Die Schnze schließt im Strtpunkt mit der Horizontlen einen Winkel mit einer Größe von höchstens 7 ein. b Geben Sie für jeden der folgenden Terme die Bedeutung im Schzusmmenhng n: I ( ) 0( 8) f 0 f 8 II lim x 8 ( ) x( 8) f x f 8 0 III 1 f 8 8 t dt Für die Schnze wurde =,6 gewählt. An die Schnze schließen sich ufeinnderfolgende Hügel us Erde n. Die Profillinie dieser Hügel wird im Modell für x 0 durch die in IR definierte Funktion g : x sin π ( x 6 ) + beschrieben. Im Modell wird von senkrechten Seitenflächen der Hügel usgegngen, die jeweils durch eine Böschung gestützt werden; dzwischen beträgt die Breite der Hügel m. c Beschreiben Sie, wie der Grph von g us dem Grphen der in IR definierten Funk- x sin x hervorgeht. tion d Begründen Sie, dss g den Wertebereich 1 ; 11 besitzt. e Für ds Anlegen der Hügel uf dem Untergrund wurden insgesmt 180 Kubikmeter Erde verwendet, insgesmt ein Viertel dvon für die beiden Böschungen. Berechnen Sie, wie weit sich die Hügel in Längsrichtung erstrecken. Die Flugbhnen der Sportler nch dem Absprung lssen sich im Modell vereinfchend mithilfe qudrtischer Funktionen beschreiben, deren Grphen im Punkt A ohne Knick n den Grphen von f,6 nschließen. f Zeigen Sie, dss jede solche Funktion eine Gleichung der Form y = b x + x+ mit b IR ht. Begründen Sie im Schzusmmenhng, dss für b nur negtive Zhlen infrge kommen. g Für einen Sprung eines Sportlers ist b = 1. Ermitteln Sie uf der Grundlge des Modells die größte Höhe, die der Sportler während der Flugphse gegenüber dem Hügel erreicht.

3 Erwrtungshorizont h Bei einem zweiten Sprung erreicht der Sportler eine Höhe von 1, m gegenüber dem Absprungpunkt und lndet nschließend uf einem der Hügel. Bestimmen Sie uf der Grundlge des Modells die horizontl gemessene Sprungweite. 0 Erwrtungshorizont Der Erwrtungshorizont stellt für jede Teilufgbe dr, in welchem Umfng und in welcher Form eine Lösung erwrtet wird; nicht lle Lösungen sind dzu vollständig usgeführt. Nicht drgestellte korrekte Lösungen sind ls gleichwertig zu kzeptieren. BE 1 Mit zunehmendem Wert von bewegt sich der Hochpunkt in positive x-richtung und in positive y-richtung, der Tiefpunkt in negtive x-richtung und in negtive y-richtung. b D f ( 0 ) = für lle IR +, verlufen lle Grphen der Schr durch den Punkt ( 0 ). D f ( 0 ) = für lle IR+, hben lle Grphen der Schr in diesem Punkt die gleiche Steigung. y Gleichung der Tngente:= c f (x) = 0 x= ( Dmit: Tiefpunkt: x+ = ) ), Hochpunkt: ( + ( x =, f 1 ) = > 0, f <0 1 d Liegt der Tiefpunkt von G uf der x-achse, ht f genu zwei Nullstellen. Für den zugehörigen Wert von gilt: 1 = 0 = Ist der Wert von kleiner, liegt der Tiefpunkt oberhlb der x-achse, f ht genu eine Nullstelle. Ist der Wert von größer, liegt der Tiefpunkt unterhlb der x-achse, f ht genu drei Nullstellen. e f x ) f ( x + ) liefert die Die Gleichung f (= x-koordinten jeweils eines Endpunkts der beiden Strecken. Für jede Strecke ergibt sich drus die x-koordinte des nderen Endpunkts durch Addition von.

4 Erwrtungshorizont 16 1 ( ) 16 f 8 1 f 8 tn 7 11 Dmit muss zwischen etw,8 und etw,1 liegen. b I: mittlere Steigung der Schnze zwischen Strtpunkt und Absprungpunkt II: Steigung der Schnze im Strtpunkt III: mittlere Steigung der Schnze zwischen Strtpunkt und Absprungpunkt c Der Grph von g geht unter Bechtung der Reihenfolge us dem Grphen zu x sin x hervor durch: 1. Streckung mit dem Fktor 6 in x-richtung π. Streckung mit dem Fktor in y-richtung. Verschiebung um in positive y-richtung d Der Term 6 von sin x nimmt lle Werte von 1 bis 1 n. Dher nimmt g lle Werte π 1 + bis 1 +, d. h. von 1 bis 11 n. e s liefert s 0, 0 g x dx = 180 weit., d. h. die Hügel erstrecken sich etw 0, m f Die Funktionen hben Gleichungen der Form y = bx + cx + d mit b,c,d IR. Bezeichnet mn die Funktionen mit h b, so ergibt sich mit hb ( 0) = f,6 ( 0) und h 0 = f 0 : c =, d= b,6 D die Flugbhnen durch nch unten geöffnete Prbeln drgestellt werden, kommen für b nur negtive Zhlen infrge. g i( x) = h 1 ( x) g( x) Die Funktion i ht einen größten Wert von etw 0,9, d. h. die größte Höhe gegenüber dem Hügel beträgt etw 0,9 m. h Die Bedingungen h ( x ) = 0 und Für x 0 b 0 liefert h ( x) g( x) h x =, liefern b =. b 0 = : x, Die Sprungweite beträgt etw, m

5 Stndrdbezug Stndrdbezug BE Leitideen llgemeine mthemtische Kompetenzen 1 Teilufg. Anforderungsbereich L1 L L L L K1 K K K K K6 I II III 1 X X II I X b X X I I I X c X X I I X d X X X II II II X e X I X f X X X III II III X X X X II III II X b X X X X III II III X c X X II II I X d X X II II II X e X X X X II II II X f X X X II II II X g X X X II II II X h X X X X III III II X Bewertungshinweise Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Teilufgbe nch der m rechten Rnd der Aufgbenstellung ngegebenen Anzhl mximl erreichbrer Bewertungseinheiten (BE) zu richten. Für die Bewertung der Gesmtleistung eines Prüflings ist pssend zur Konzeption der Aufgben der Aufgbensmmlung und des Abiturufgbenpools ein Bewertungsschlüssel vorgesehen, der ngibt, wie die in den Prüfungsteilen A und B insgesmt erreichten Bewertungseinheiten in Notenpunkte umgesetzt werden. 1 Für jede Kompetenz, die bei der Berbeitung der Teilufgbe eine wesentliche Rolle spielt, ist der Anforderungsbereich (I, II oder III) eingetrgen, in dem die Kompetenz benötigt wird. Der Bewertungsschlüssel ist Teil des Dokuments Beschreibung der Struktur, ds uf den Internetseiten des IQB zum Downlod bereitsteht.

beschrieben werden. Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von f.

beschrieben werden. Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von f. Gemeinsame Abituraufgabenpools der Länder Aufgabensammlung Aufgabe für das Fach Mathematik Kurzbeschreibung Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel grundlegend B Analysis CAS Aufgabe

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