Leibniz Universität Hannover Institut für Turbomaschinen und Fluid-Dynamik Prof. Dr.-Ing. J. Seume. Klausur Herbst Strömungsmechanik I

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1 Leibniz Universität Hannover Institut für Turbomaschinen und Fluid-Dynamik Prof. Dr.-Ing. J. Seume Klausur Herbst 008 Strömungsmechanik I Bearbeitungsdauer: 90 min zugelassene Hilfsmittel: - Taschenrechner (nicht programmierbar) - TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen) - Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, > keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex) - mitgebrachtes Papier - nicht elektronische Wörterbücher (ohne handschriftliche Ergänzungen) weitere Hinweise: Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnr. Name Vorname Matr. Nummer mögliche Punktezahl Aufgabe Aufgabe 5 Aufgabe erreichte Punktezahl Gesamt 60 Note!!Alle Aufgabenteile sind unabhängig voneinander lösbar!! Viel Erfolg! Seite von

2 Kurzaufgaben.) Punkte Kurzaufgabe a.) Punkte Zeichnen Sie qualitativ die geforderten Verläufe für das abgebildete Rohrsystem in die dafür vorgesehenen Graphen ein. Die Verläufe sollen über den Querschnitt gemittelte Strömungsgrößen darstellen. Es handelt sich um eine inkompressible Strömung. Alle Querschnittsverläufe zwischen den markierten Abschnitten können vereinfacht als linear angenommen werden. Abbildung Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

3 Kurzaufgabe b.) 6 Punkte I.) Geben Sie den proportionalen Zusammenhang des Druckverlustes einer voll ausgebildeten Rohrströmung von der Strömungsgeschwindigkeit c für die drei unterschiedlichen Strömungsformen an:.) laminare Strömung.) turbulente Strömung in hydraulisch glatten Rohren.) turbulente Strömung in hydraulisch vollkommen rauen Rohren Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

4 II.) Zeichnen Sie qualitativ die unter I.) hergeleiteten Abhängigkeiten des Druckverlustes p von der Strömungsgeschwindigkeit c in Abbildung ein. Zeichnen Sie den Verlauf der laminaren Rohrströmung und der turbulenten Strömung in hydraulisch glatten Rohren als durchgezogene Linie. Der Verlauf der turbulenten Strömung in hydraulisch vollkommen rauen Rohren ist als gestrichelte Linie zu zeichnen. p laminar turbulent laminare Rohrströmung und turbulente Strömung in hydr. glatten Rohren turbulente Strömung in hydr. vollkommen rauen Rohren Abbildung c Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

5 Kurzaufgabe c.) Kreuzen Sie richtige Aussagen an: Stromfadentheorie Punkte die Bahnlinie entspricht dem Strömungsverlauf eines Fluidteilchens im instationären Zustand gilt Stromlinie Bahnlinie Der Stromfaden ist die dreidimensionale Betrachtungsweise der Zustände in der Mitte einer Stromröhre in einer Stromröhre gilt das Prinzip der Massenerhaltung Wirbelströmungen Festkörperwirbel sind drehungsfreie Strömungen Potentialwirbel sind drehungsfreie Strömungen der reale Wirbel ist eine Kombination aus Festkörper und Potentialwirbel Festkörperwirbel und Potentialwirbel sind drehungsbehaftete Strömungen Laminare Rohrströmung in einer laminaren Rohrströmung ist das Geschwindigkeitsprofil über den Querschnitt gleichförmig die höchste Geschwindigkeit kann in der Mitte des Rohres vermutet werden in Wandnähe erhält man die höchste Geschwindigkeit das Geschwindigkeitsprofil ist voll ausgebildet, wenn in der Rohrachse die Grenzschichten zusammen wachsen Welche Bezeichnungen im Zusammenhang mit Viskositäten gibt es dynamische Viskosität hydroplastische Viskosität kinematische Viskosität Schubspannungsviskosität Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 5 von

6 Aufgabe.) Gartenteich 5 Punkte D s D L h L L h D h h L D. L L P D g Abbildung In einem Teich nach Abbildung wird sowohl eine Fontäne als auch ein Manneken Pis mit einer Teichpumpe betrieben. Die Ansaugung der Pumpe P mit dem mechanischen Wirkungsgrad η P 0,7 befindet sich auf dem Grund des Teiches in einer Wassertiefe von h,5 m. Das Wasser wird durch ein Rohr mit dem Durchmesser D0 cm und der Länge L5 m an die Umgebung gefördert und dort als Fontäne mit der Gesamthöhe h ausgestoßen. Am Austritt des Rohres befindet sich eine Düse mit dem Austrittsdurchmesser D 5 cm. Zusätzlich zur Fontäne kann optional ein Manneken Pis betrieben werden. Die Wasserversorgung des Manneken Pis erfolgt durch ein Rohr mit dem Durchmesser D an dessen Ende sich eine Düse mit dem Austrittsdurchmesser D cm befindet. Die Versorgung des Manneken Pis ist an ein T-Stück mit einem Entnahmeventil unmittelbar hinter dem Auslass der Pumpe angeschlossen. Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 6 von

7 Für alle Aufgabenteile ist die Strömung als vollständig ausgebildete Rohrströmung und als inkompressibel anzunehmen. Druckverluste durch Rohrbögen und Düsen, infolge des Ansaugvorgangs, in der Ansaugstrecke und durch das T-Stück sind zu vernachlässigen. Für die Berechnung des Druckverlustes in der Rohrleitung, mit welcher die Fontäne versorgt wird, ist die Länge L zu verwenden. Die Abmessungen des T-Stücks sind für alle Aufgabenteile vernachlässigbar. Der Umgebungsdruck beträgt p u 0 5 Pa. Die Längen L und L der Düsen sind wesentlich geringer als die Rohrlängen und tragen nicht nicht zum Druckverlust bei (L <<L und L <<L). Die Erdbeschleunigung beträgt g9,8 m/s. Gegeben für alle Aufgabenteile: Geometrische Größen: D 0 cm; D 5 cm; D cm; L 5 m; h 5 m; h 0,5 m; h,5 m; s m; L <<L ; L <<L Stoffwerte: ρ 000 kg/m ; ν 0-6 m /s; Weitere: g 9,8 m/s ; p u 0 5 Pa; η P 0,7.) Wellenleistung der Pumpe (5 Punkte) Das Entnahmeventil ist geschlossen. Berechnen sie die Wellenleistung P Welle der Pumpe, so dass sich eine Fontäne mit der Höhe h 0 m ausbildet. Die gesamte Strömung sei reibungsfrei. Gegeben für Aufgabenteil.) h 0 m Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 7 von

8 .) Druckverlust (6 Punkte) Das Entnahmeventil wird geöffnet. Die Rohrströmung sei reibungsbehaftet und infolge des jahrelangen Betriebs beträgt die Rauhigkeit beider Rohrleitungen k s 0, mm. Berechnen Sie den gesamten Druckverlust des Rohrleitungssystems (Versorgungsleitung Fontäne und Manneken Pis), wenn im Austrittsquerschnitt der Düse des Manneken Pis die Austrittsgeschwindigkeit c m/s beträgt und in der Ansaugstrecke der Pumpe ein Volumenstrom von V& Pumpe m / h gemessen wird. Gegeben für Aufgabenteil.) k s 0, mm; V& Pumpe m / h ; c m/s.) Normalkraft (9 Punkte) Wie groß ist die Normalkraft F N auf jede Schraube des Verbindungsflansches der Düse des Manneken Pis, wenn in Punkt gemäß Abbildung die Strömungsgeschwindigkeit c 0 m/s beträgt? Auf den Umfang des Verbindungsflansches sind Schrauben verteilt. Reibungskräfte können vernachlässigt werden. F N p u D D Gegeben für Aufgabenteil.) c 0 m/s Abbildung Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 8 von

9 .) Strahlverlauf (5 Punkte) Berechnen Sie den Massenstrom im Austritt der Düse des Manneken Pis, so dass der Wasserstrahl die Teichgrenze im Abstand s m vom Austrittsquerschnitt der Düse gerade noch trifft. Reibungskräfte zwischen dem Wasserstrahl und der Umgebungsluft sind zu vernachlässigen. Gegeben für Aufgabenteil.) s m Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 9 von

10 Aufgabe.) Punkte F H DB D D p 0, T 0 * Abbildung 5 Gegeben ist ein kreisrunder Behälter mit dem Durchmesser D B m. Durch eine Laval-Düse mit dem Eintrittsquerschnitt A, dem engsten Querschnitt A * 0 - m und dem Austrittsquerschnitt A strömt Luft aus der Umgebung, Ruhezustand p Pa, T 0 9 K, in den Behälter. Die Luft kann als ideales Gas mit R L 87 J/(kg. K) und κ, betrachtet werden. Im Folgenden soll bei allen Teilaufgaben von einer isentropen Strömung in der Düse ausgegangen werden. Gegeben für alle Aufgabenteile: Geometrische Größen: D B m; A * 0 - m Stoffwerte: Weitere: R L 87 J/(kg. K); κ, p Pa ; T 0 9 K Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 0 von

11 .) Größen in Querschnitt ( Punkte) Bestimmen Sie für den Beginn des Einströmvorganges die Machzahl Ma, die Temperatur T, die Geschwindigkeit c, den einströmenden Massenstrom m& und die Querschnittsfläche A. Die Düse ist so ausgelegt, dass sich zu Beginn des Einströmvorgangs im Querschnitt der Druck p 0,5. p 0 einstellt. Gegeben für Aufgabenteil.) p 0,5. p 0.) Haltekraft (0 Punkte) Die Mach-Zahl im Querschnitt beträgt Ma 0,. Der Durchmesser D des Querschnitts der Laval-Düse entspricht dem Durchmesser D des Querschnitts und beträgt D D cm. Berechnen sie die Haltekraft F H gemäß Abbildung 5. Gegeben für Aufgabenteil.) Ma 0,; D D cm Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

12 Leibniz Universität Hannover Institut für Turbomaschinen und Fluid-Dynamik Prof. Dr.-Ing. J. Seume Klausur Herbst 008 Strömungsmechanik I Lösung Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

13 Kurzaufgabe b.) I.).) laminare Strömung 6 λ λ w Re p λ w p w.) turbulente Strömung in hydraulisch glatten Rohren 0,6 λ λ w Re p λ w p w 7.) turbulente Strömung in hydraulisch rauen Rohren λ f ( Re) p w II.) laminar turbulent p laminare Rohrströmung und turbulente Strömung in hydr. glatten Rohren turbulente Strömung in hydr. vollkommen rauen Rohren Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von c

14 Kurzaufgabe c.) Kreuzen Sie richtige Aussagen an: Punkte Stromfadentheorie die Bahnlinie entspricht dem Strömungsverlauf eines Fluidteilchens in einer Stromröhre gilt das Prinzip der Massenerhaltung Wirbelströmungen Potentialwirbel sind drehungsfreie Strömungen der reale Wirbel ist eine Kombination aus Festkörper und Potentialwirbel Laminare Rohrströmung die höchste Geschwindigkeit kann in der Mitte des Rohres vermutet werden das Geschwindigkeitsprofil ist voll ausgebildet, wenn in der Rohrachse die Grenzschichten zusammen wachsen Welche Bezeichnungen im Zusammenhang mit Viskositäten gibt es dynamische Viskosität kinematische Viskosität Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

15 .) Wellenleistung der Pumpe (5 Punkte) Strömungsgeschwindigkeit im Düsenaustritt: Bernoulli von bis h : c ρ ρ g ( h h ) () Auflösen nach c : c m g ( h h ) 9,8 ( 0m 0,5m),65 m () s Berechnung der Pumpenleistung: Bernoulli von ->: Für den Volumenstrom folgt: p c P Pumpe c + ρ + p + ρ + ρ g V& ( 0,05m) ( h + h ) D V & c A c π,65m π 0,068 m () Statischer Druck im Eintrittsquerschnitt: Statischer Druck im Querschnitt : Geschwindigkeit in Querschnitt : h Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 5 von () p pu + ρ g (5) 5 p pu 0 Pa (6) c 0 (7) Auflösen von Gl. () nach P Pumpe und einsetzen von Gl. ()-(7) ergibt: PPumpe c ρ g h + pu + pu + ρ V& c PPumpe V& ρ + ρ g h P Pumpe m 0,068 s kg 000 m + ρ g (,65m ) ( h + h ) kg m 9,8m 0,5m 60W (8)

16 Mit dem Wirkungsgrad folgt: η P P Pumpe Welle P Welle P Pumpe η 60W 0,7 757W (9).) Druckverlust (6 Punkte) Berechnung des Volumenstroms in Versorgungsleitung Manneken Pis: ( 0,0m) V & c A m π 0,05m (0) Für den Volumenstrom in der Versorgungsleitung der Fontäne folgt: m h V& / Pumpe V& + V& V& 0,05m 0,09m () 600s / h Strömungsgeschwindigkeit in Versorgungsleitung Manneken Pis: ρ c A ρ c c, Rohr, Rohr A Rohr c, Rohr 0,0m m,9m 0,m c A A Strömungsgeschwindigkeit in Versorgungsleitung Fontäne: c Rohr () V& 0,09m (),7 m s ARohr ( 0,m ) π /, Rohr Druckverlust Versorgungsleitung Fontäne: p c, Rohr L λ () D Rohr ρ Druckverlust Versorgungsleitung Manneken Pis: p Rohr λ ρ c, Rohr Reynolds-Zahl in Versorgungsleitung Fontäne: c, Rohr D,7 m 0,m Re 6 υ 0 m Reynolds-Zahl in Versorgungsleitung Manneken Pis: L (5) D (6) 796 Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 6 von

17 Relative Rauhigkeit: c, Rohr D,9m 0,m Re 6 υ 0 m k s 0, 0 / D 0,m Widerstandszahlen aus Moody-Diagramm: und (7) (8) λ 0,09 (9) λ 0,09. (0) Einsetzen von Gl. (9) und Gl. (0) in Gl. () und Gl. (5) ergibt: - Druckverlust Versorgungsleitung Fontäne: (,7 m ) 5m p Rohr 0, kg / m 76Pa 0,m - Druckverlust Versorgungsleitung Manneken Pis: (,9 m ) 5m p Rohr 0, kg / m 80Pa 0,m Für den Gesamtdruckverlust des Rohrleitungssystems folgt: () () pges prohr + prohr 76Pa + 80Pa 57Pa () Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 7 von

18 .) Normalkraft (9 Punkte) Berechnen der Strömungsgrößen vor der Düse des Manneken Pis: Bernoulli von ->: Kontinuität: c p c, vor ρ c A ρ c ' D D c, vor c + ρ p + ρ () ' ' A ' ( 0,0m) ( 0,m ) 0m Auflösen von Gl. () nach p und einsetzen von Gl. (5) ergibt: (5),6m ( 0m ) (,6m ) c c ' 5 p ' p + ρ 0 Pa + 000kg / m 870Pa Berechnung des Massenstroms: ( 0,0m) m & ρ c A 000kg / m 0m π,57kg Impulsbilanz von ->: I& I& F F F N N N ' p ' m& A ' ( c c ) ' 77, N p A + p p ' u A ( A A ) ' ' p p + p,57kg (,6 m 0m ) + 870Pa π Kraft auf eine Schraube: F u A F u N A ' u A ( 0,m ) ( 0,m ) 5 0 Pa π (6) (7) (8) FN N 69, (9) Schraube 7 Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 8 von

19 .) Strahlverlauf (5 Punkte) Impulsbilanz an einem differentiellen Fluidelement im Wasserstrahl ergibt: dm a Fg dm g (0). Integration:. Integration c adt gdt () c g t h cdt g tdt () h g t / Für die Fallzeit folgt aus Gl. (): h,5m t 0, 55s g 9,8m Für die horizontal zurückgelegte Weglänge s folgt: s m c,6m t 0,55s Für den Massenstrom folgt: ( 0,0m) m & ρ c A 000kg / m,6m π,55kg () () (5) Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 9 von

20 .) Größen in Querschnitt ( Punkte) Berechnung der Mach-Zahl Ma in Querschnitt Für T folgt: p p 0 Ma κ + Ma p κ p κ κ 0 κ κ 0, 0,,,56 (6) T0 9 T 97, 08 K κ 0, (7) + Ma +,56 Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Querschnitt : J a κ R T, 87 97,08K 8, m kg K Geschwindigkeit in Querschnitt : (8) c Ma a,56 8, m 8,98 m (9) Berechnung der Querschnittsfläche A mit Konti-Gl.: * * * & ρ c A ρ c A (0) m A * * * ρ c A c A Dichte ρ 0 der Umgebungsluft: ρ 5 0 0,9 kg / R p L T 0 0 J 87 kgk Pa 9K m () Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite 0 von

21 Für die Dichte ρ * im engsten Querschnitt der Laval-Düse folgt: ρ0 κ + * ρ κ Geschwindigkeit c * im engsten Querschnitt: * ρ 0,75kg / m * κ,8 J c R T0 87 9K,m κ +, kg K Dichte in Querschnitt : ρ p 0,5 0 Pa 5 0,kg / R T J L 87 97,08K kg K m () () () Einströmender Massenstrom m: * * * m & ρ c A 0,75kg / m,m 0 m 0,0kg (5) Für die Querschnittsfläche A folgt aus Gl. (0): * * * ρ c A 0,0kg / m A, 0 ρ c 0,kg / m 8,98m m (6).) Haltekraft (0 Punkte) Druck in Querschnitt p p 0 κ + Ma p p0 κ + Ma Temperatur in Querschnitt : T T T Dichte in Querschnitt : 0 κ κ κ + Ma κ κ T0 κ + Ma 5 0 Pa 0, + 0, 9K 0, + 0,, 0, 997Pa 87,8K (7) (8) Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von

22 ρ0 κ + Ma ρ ρ0 ρ κ + Ma κ κ Schallgeschwindigkeit in Querschnitt : 5 0 Pa J 87 9K kg K 0, 0, + 0,, kg / m J a κ R T, 87 87,8K 0,07m kg K Strömungsgeschwindigkeit in Querschnitt : Massenstrom durch Laval-Düse: Impulsbilanz: 0 F F F c Ma c 0, 0,07m 0,0m a ( 0,0m) m& ρ c A, kg / m 0,0m π p A + I& F H H H 997Pa π,09n H p u A p A + m& c p u B + p ( A A u B 0,08kg ( 0,0m) ( 0,0m) A ) + 0,08kg 0,0m 0 5 Pa π (9) (50) (5) (5) (5) Klausur Strömungsmechanik I, Herbst 008, Seite von