FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

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Annegret Kolbe
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1 FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 006 Zahl der Blätter: 5 Blatt 1 s. unten Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner Zeit: 150 min. Fachnummern: ATB 1011 ETB 1011 FMB 1011 MPK 1011 Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt!!! Teil I Aufgaben 1 : 70 Min. Aufgabe 1 Gegeben ist das Polynom f(x) = 1 x 3 (x 3). a) Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall, in dem die Funktion monoton wächst. b) Berechnen Sie die x-koordinaten aller Wendepunkte von f(x). Weisen Sie nach, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt. Die Berechnung der y-koordinaten ist nicht verlangt. c) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f(x). d) Das Schaubild der Funktion g(x) entsteht durch Verschieben des Schaubildes von f(x) um 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach oben. Geben Sie die Funktionsgleichung von g(x) an. e) Zeigen Sie, dass g(x) im Intervall [, 5] eine Nullstelle besitzt. Wie viele Nullstellen hat die Funktion g(x) insgesamt? Aufgabe Eine harmonische Schwingung der Gestalt x(t) = Asin( ω t + ϕ), A > 0, hat folgende Eigenschaften: Die dem Ursprung am nächsten gelegenen Nulldurchgänge liegen bei t 1 = und außerdem ist x ( 0) > 0. t = ; 3 a) Berechnen Sie die Periodenlänge p, die Kreisfrequenz ω und den Phasenwinkel ϕ. b) Es sei A = 1. Welche Steigung hat dann die Funktionskurve von x(t) im Punkt ( 0)? c) Berechnen Sie für A = 1 den Inhalt der von der Funktionskurve und der x-achse eingeschlossenen Fläche im Intervall zwischen den beiden Nullstellen t 1 = und t =. 3

2 Somersemester 006 Blatt Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion f(x) = ( -1) ln( x -1) x. a) Bestimmen Sie Definitionsbereich und Nullstellen der Funktion. b) Berechnen Sie Lage und Art der Extrempunkte der Funktion. c) Berechnen Sie lim f (x). x 1+ d) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f(x). Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung das Integral x 1 dx 3 1 x + x + x Teil II Aufgaben Min. Aufgabe 5 Gegeben ist der Vektor a r = 0. 3 a) Wie muss man die Parameter p und q wählen, damit die Vektoren a r 3 r und b = p q ein Quadrat aufspannen? b) Es sei b r der im Aufgabenteil a) bestimmte Vektor. Wie muss man dann den Vektor c r wählen, damit a r, b r und c r einen Würfel aufspannen? Geben Sie alle Möglichkeiten für c r an.

3 Sommersemester 006 Blatt 3 Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebene E: x y + z = und die Gerade g: x r = + λ. 1 1 a) Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E ist. b) Berechnen Sie den Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E. Aufgabe 7 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem (1) x + y z = 0 () 5x + 11y 7z = 0 a) Berechnen Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. b) Kann man dem oben angegebenen Gleichungssystem (1), () eine dritte Gleichung (3) ax + by + cz = 0 so hinzufügen, dass das entstehende System der drei Gleichungen (1), (), (3) unlösbar ist? Wenn ja, geben Sie eine solche Gleichung (3) an. Wenn nein, begründen Sie, warum nicht. c) Kann man dem oben angegebenen Gleichungssystem (1), () eine dritte Gleichung () ax + by + cz = 0 so hinzufügen, dass das entstehende System der drei Gleichungen (1), (), () eine eindeutige Lösung hat? Wenn ja, geben Sie eine solche Gleichung () an. Wenn nein, begründen Sie, warum nicht.

4 Sommersemester 006 Blatt Teil III Aufgaben Min. Aufgabe 8 a) Gegeben sei die komplexe Zahl 3 j z1 = j +. (1 + j) Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil, Betrag und Argument von z 1. b) Für welche natürliche Zahlen n ist der Realteil von ( 3 + j) n null? c) Es sei y 1 (x) = cos (x 6 ) y (x) = a sin (x ) Die Zahl a soll so bestimt werden, dass gilt y = y 1 (x) + y (x) = A sin x. Bestimmen Sie a und A zeichnerisch und exakt mit komplexer Rechnung. Aufgabe 9 Die Vektorfunktion r (t) = x(t) y(t) z(t) beschreibt eine Kurve im R 3. a cos t = sin t 3t a) Bestimmen Sie den Tangentenvektor v (t) = (t) r, a > 0 an die Kurve. Welcher Vektor v 1 ergibt sich für den Parameterwert t =? 3 b) Bestimmen Sie a so, dass der Vektor v 1 aus Teilaufgabe a) die Länge hat. Geben Sie die entsprechenden Kurvenpunkte an, in denen dies der Fall ist.

5 Sommersemester 006 Blatt 5 Aufgabe 10 Gegeben ist die Funktion z = f(x,y) = 9 x y. a) Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Funktion f(x,y) an. b) Bestimmen Sie die Gleichungen der Höhenlinien der Funktion f(x,y) für z = 0 und z =. Welche Symmetrieeigenschaften besitzt die Fläche? c) Es sei P der Flächenpunkt mit x P =, y P =. Berechnen Sie für den Punkt P grad f und grad f. Deuten Sie diese beiden Ergebnisse anhand der Fläche.

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