Zum Aufwärmen nocheinmal grundlegende Tatsachen zum Rechnen mit reelen Zahlen auf dem Computer. Das Rechnen mit Gleitkommazahlen wird durch den IEEE

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1 Zum Aufwärmen nocheinmal grundlegende Tatsachen zum Rechnen mit reelen Zahlen auf dem Computer. Das Rechnen mit Gleitkommazahlen wird durch den IEEE 754 Standard festgelegt. Es stehen sogenannte einfach und doppelt genaue Gleitkommazahlen zur Verfügung. Diese werden durch 32 bzw. 64 Bit dargestellt. Dabei wird ein Bit für das Vorzeichen verwendet. Bei der einfach genauen Gleitkommazahl werden 8 Bit für den Exponenten und 23 Bit für die Mantisse benutzt. Bei doppelter Genauigkeit sind es 11 Bit für den Exponenten und 52 Bit für die Mantisse. In der Regel werden wir doppelt genaue Gleitkommazahlen für unsere Rechnungen verwenden. In einem C-Programm werden einfach bzw. doppelt genaue Gleitkommazahlen mit float bzw. double deklariert. Als ganze Zahlen stehen short int, int, und long int zur Verfügung. Wieviel Bit genau verwendet werden hängt vom Rechner ab. Bei den meisten heute anzutreffenden, wie bei uns im Pool, sind es 16, 32, und 64.

2 Desweiteren gibt es noch char mit 8 Bit, was für Zeichen gedacht ist, aber eben auch wie eine ganze Zahl verwendet werden kann. Man kann sich mittels unsigned auf ganze positive Zahlen (einschliesslich der Null) beschränken. Für diese Typen von Zahlen sind die elementaren Rechenoperationen +, und effizient (Grössenordnung eine Operation pro Takt) auf der CPU implementiert. In Programmen wie Mathematika oder Maple stehen Gleitkommazahlen mit beliebiger Genauigkeit zur Verfügung. Diese werden aus den oben diskutierten Zahlentypen aufgebaut. Deshalb sind auch Rechenoperationen mit Zahlen beliebiger Genauigkeit deutlich teurer als mit den oben aufgeführten Zahlentypen. Auf der nächten Seite ist ein Beispielprogramm aufgeführt. Solch ein Programm kann man mit dem Editor der Wahl erstellen und z.b. in der Datei example01.c ablegen.

3 # include <stdio.h> # include <float.h> # define N 10 void main() { /* alle Variablen muessen deklariert werden */ int i; double r; r=0.; /* Initialisierung von r */ /* wir fuehren eine Schleife aus */ for(i=0;i<n;i++) { r=r+0.1; /* wir schreiben etwas auf das terminal */ printf("%d %lf \n",i,r); } }

4 Der Rechner versteht die Programmcodes die in einer höheren Programmiersprache wie C (oder Fortran) geschrieben sind nicht direkt. Diese müssen vom Compiler zuerst in ein lauffähiges Programm (executable) übersetzt werden. Für C-Programme haben wir im pool (mindestens) zwei Compiler zur Auswahl: Wir tippen in der Befehlszeile: >gcc -O example01.c -o example01 oder >icc -O example01.c -o example01 Dabei werden der GNU oder der Intel C-Compiler aufgerufen. Wie man sich durch Aufruf der man-pages überzeugen kann, gibt es sehr viele möglichen Optionen bei der Übersetzung. Hier steht -O für Optimierung und auf -o folgt der Name des zu erzeugenden executables. Ausgeführt wird das Programm mittels >example01

5 Kurz zu dem Beispielprogramm: Die mit # beginnenden Zeilen werden vor der eigentlichen Übersetzung vom C-Präprozessor abgearbeitet. Dieser verändert den Text folgend der in diesen Zeilen gegebenen Befehlen. # include <stdio.h> bewirkt, dass der Inhalt der Datei stdio.h eingefügt wird. Die spitzen Klammern <...> bedeuten, dass in einem bestimmten, systemspezifischen Verzeichnis gesucht wird (Im pool /usr/include). Dateien aus einem sonstigen, z.b. eigenen, Verzeichnis kann man mit # include "beispiel.txt" einfügen. # define N 10 bewirkt, dass im Folgenden immer N durch 10 ersetzt wird. Dies funktioniert auch rekursiv. So bewirkt

6 # define N0 10 # define N1 N0 # define N2 N1 dass überall wo vorher N0, N1 oder N2 stand, nach der Arbeit des Präprozessors nun 10 steht. Der Präprozessor kann noch mehr! (Davon vielleicht später). Möchte man nur den Präprozessor aber nicht den Compiler auf einen Text anwenden: > gcc -E beispiel.c > ausgabe Ein C-programm besteht mindestens aus dem Hauptprogramm main(). Alles Variabeln müssen deklariert werden, bevor sie benutzt werden. Die einfachste Schleife in C ist die for-schleife. Im ersten Argument wird die Laufvariable initialisiert. Im zweiten steht die Abbruchbedingung und im dritten wird die Laufvariable verändert. Im einfachsten Fall wird sie um eins hochgezählt ( i++). i++ ist eine Abkürzung für i=i+1. Man kann aber z.b. auch in grösseren Schritten hochgezählen, z.b. i+=5 (Abkürzung für i=i+5). C hat (leider?) einige solcher Abkürzung im Sprachumfang.

7 CPU CPU C O R E Cache Cache Memory Einfaches Modell eines Rechners mit Hauptspeicher und zwei Prozessoren. Beispiel Serverprozessor: Intel(R) Xeon(R) Processor E v3 Familie Bis zu 18 Rechenkerne (cores), (Intel(R) Xeon(R) Processor E v3: 2.3 GHz Takt, Cache: L1 8x 64 KB, L2 8x 256 KB, L3 45 MB Maximale Bandbreite zum Hauptspeicher: 68GB/s

8 Einfacher Supercomputer: Einzelne Knoten (wie z.b. auf der Seite vorher) sind über ein Netzwerk miteinander verbunden. Im einfachsten Fall sind die Knoten dabei mit einem Switch verbunden. Netzwerktypen: z.b. Gigabit-Ethernet, 10 Gigabit-Ethernet, Infiniband. Knoten (Nodes) Switch

9 Rechner im Pool: Intel(R) Core(TM) i GHz, turbo 3.9 GHz 4 cores, L1 4x 64 KB, L2 4x 256 KB L3 8 MB 32 GB Hauptspeicher. Maximale Bandbreite zum Hauptspeicher laut Datenblatt 25,6 GB/s Information zur CPU auf Linuxsystemen in der Datei /proc/cpuinfo Bei vielen Problemen im Bereich der Numerischen Mathematik ist der Zugriff auf den Arbeitsspeicher der Flaschenhals der die Geschwindigkeit der Rechnung bestimmt. Ein sehr einfacher Test ist der Stream benchmark:

10 Folgende Operationen werden in einer Schleife konsekutiv durchlaufen. Dabei sind die Arrays so gross, dass sie nicht in die Cache passen. name kernel bytes/iter FLOPS/iter COPY: a(i) = b(i) 16 0 SCALE: a(i) = q*b(i) 16 1 SUM: a(i) = b(i) + c(i) 24 1 TRIAD: a(i) = b(i) + q*c(i) 24 2 Resultate fuer einen der rechner im Pool: Function Best Rate MB/s Avg time Min time Max time Copy: Scale: Add: Triad:

11 Verschiedene Bandbreiten: PCIe 1.0/ /2.1 PCIe 3.0 x MB/s 8000 MB/s MB/s Gbit ethernet 1000 Mbit/s latenzzeit ~ 100 Mikrosekunden Infiniband, 20 Gbit/s; kleine Latenzzeit ; unter 2 Mikrose Herk"ommliche Festplatten Typische SSD 125 MB/s 500 MB/s USB 2.0 USB Mbit/s 5 Gbit/s vdsl anschluss bis zu 50 Mbit/s