Ferienkurse Mathematik Sommersemester 2009

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1 Ferienkurse Mathematik Sommersemester 2009 Statistik: Grundlagen 1.Aufgabenblatt mit praktischen R-Aufgaben Aufgabe 1 Lesen Sie den Datensatz kid.weights aus dem Paket UsingR ein und lassen sie die Hilfeseite zu diesem Datensatz anzeigen. Laden Sie anschließend den Datensatz in den Workspace. Ein R Paket kann mit Hilfe der Funktion install.packages() von CRAN installiert und mit Hilfe der Funktion library() in der aktuellen R-Sitzung geladen werden. library(usingr)?kid.weights attach(kid.weights) Aufgabe 2 Lassen Sie nun mit Hilfe der Funktion str() die Struktur des Datensatzes anzeigen. Beantworten Sie folgende Fragen: o Welche Datentypen kennen Sie noch und wie unterscheiden Sie sich von einander? o Aus wie vielen Variablen und wie vielen Beobachtungen besteht dieser Datensatz? o Wie können die Variablen dieses Datensatzes nach dem Datentyp klassifiziert werden o Welche Problemstellungen könnten für diese Daten interessant sein? str(kid.weights) # Der Datensatz besteht 4 Variablen: age, weight, height und gender. Diese Kenngrößen # wurden für 250 Kinder gemessen. # - stetig - age, weight, height; kategorial (binär) - gender. # - Mögliche Fragestallungen: # Wie hängt das Babygewicht von dem Alter, der Größer und dem Geschlecht ab? # Haben Jungs im Durchschnitt ein höheres Gewicht als die Mädchen? # Haben Jungs im Durchschnitt größer als die Mädchen? # Hypothese: bei sehr kleinen Kindern hängen Größe und Gewicht von dem Geschlecht gar # nicht ab. # Diese Unterschiede werden erst mal mit steigendem Alter bemerkbar. Aufgabe 3 Wurde in dieser Studie etwa die gleiche Anzahl/Anteil von Jungen und Mädchen untersucht? Um das herauszufinden benutzen Sie die R-Funktionen table() und prop.table().?table?prop.table table(gender) 1

2 prop.table(table(gender)) Aufgabe 4 Untersuchen Sie nun graphisch die Verteilungen jeder Variablen. Benutzen Sie für jeden Datentyp passende graphische Mitteln wie z.b. Histogramm, Balken- oder Kreisdiagramm. Wenn Sie nicht genau wissen, welche Diagrammtyp zur Beschreibung von welchen Datentypen am besten passt, informieren Sie sich über Wikipedia. Benutzen Sie dabei die R- Funktionen hist, pie, barplot. # Analyse für binäre Kovariable gender barplot(table(gender)) plot(gender) pie(table(gender)) # Analyse für stetige Kovariable age, weight und height hist(age) hist(weight) hist(height) Aufgabe 5 Untersuchen Sie nun die Verteilungen von Variablen anhand von solchen Kennzahlen wie Maximum, Minimum, Mittelwert, Median, Modus, Quartile. Datei kann die R-Funktion summary() sehr hilfreich sein. Sind diese Kennzahlen für jeden Datentyp einsetzbar? : summary(kid.weights) Aufgabe 6 Was können Sie anhand von Ergebnissen aus (4) und (5) über die Verteilungen von Variablen in diesem Datensatz sagen? : # GENDER ist eher gleichverteilt # AGE - nicht symmetrisch, rechtsschief, unimodal # WEIGHT - nicht symmetrisch, rechtsschief, unimodal # HEIGHT - nicht symmetrisch, rechtsschief, unimodal Aufgabe 7 Erstellen Sie die Boxplots von weight und height getrennt für Jungen und Mädchen. Benutzen Sie dabei die Funktion boxplot in folgendem Format boxplot(variable~factor). Hängen die Gewichte und die Größen bei den untersuchten Kindern von ihren Geschlecht ab? par(mfrow=c(1,2)) boxplot(weight~gender) boxplot(height~gender) 2

3 # Mittelwerte für Gewichte liegen fast auf einem Niveau, was auf keine Abhängigkeit zwischen # dem Gewicht und den Geschlecht hinweist. # Mittelwerte für die Größen sind leicht unterschiedlich in Anhängigkeit von den Geschlecht. # Hier könnte eine Abhängigkeit bestehen. Aufgabe 8 Testen Sie nun folgende Hypothesen: (1) Gewicht hängt von dem Geschlecht nicht ab, d.h. mean(weight.male)=mean(weight.female) (2) Größe hängt von dem Geschlecht nicht ab, d.h. mean(height.male)=mean(height.female). Benutzen sie die R-Funktion t.test in Format t.test(variable~factor). Achten Sie dabei auf den Parameter paired dieser Funktion. Wählen Sie als Signifikantniveau 5%. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! t.test(weight~gender) t.test(height~gender) # In beiden Fällen konnte die Nullhypothese nicht abgelehnt werden, da die p-werte # größer als 0.05 sind. Aufgabe 9 Die Normalverteilungsannahme der Stichproben stellt eine grundlegende Voraussetzung für die Durchführung des t-testes dar. Wurde diese Annahme in der Aufgabe 8 gerechtfertigt? Überprüfen Sie die Normalverteilungssannahme, indem Sie wie folgt vorgehen: o teilen Sie den Datensatz kid.weights in zwei Teildatensätze kid.weights.male und kid.weights.female. Der erste Teildatensatz muss nur die Daten zu den Jungen und der zweite nur die Daten für die Mädchen enthalten. Benutzen Sie dabei die R-Funktion subset(). o Ploten Sie die Histogramme von weight und height aus den beiden Teildatensätzen. Sehen die Histogramme symmetrisch aus? o Erstellen Sie QQ-Normalplots für weight und height aus den beiden Teildatensätzen (R-Funktionen qqnorm und qqline). Was lässt sich anhand von diesen Graphiken über die Normalverteilung der Stichproben sagen? o Mit dem Shapiro-Test (R-Funktion shapiro.test) kann die Stichprobe auf die Normalverteilung überprüft werden. Sind die Stichproben laut diesem Test normalverteilt? Kann man den Ergebnissen aus der Aufgabe 8 vertrauen? kid.weights.male<-subset(kid.weights, gender=="m") kid.weights.female<-subset(kid.weights, gender=="f") # Histogramme par(mfrow=c(2,2)) hist(kid.weights.male$weight,main="weight.male") hist(kid.weights.male$height,main="height.male") hist(kid.weights.female$weight,main="weight.female") hist(kid.weights.female$height,main="height.female") 3

4 # Kein Histogramm ist symmetrisch, was auf keine Normalverteilung hindeutet. # QQ-Plots par(mfrow=c(2,2)) qqnorm(kid.weights.male$weight,main="weight.male") qqline(kid.weights.male$weight) qqnorm(kid.weights.male$height,main="height.male") qqline(kid.weights.male$height) qqnorm(kid.weights.female$weight,main="weight.female") qqline(kid.weights.female$weight) qqnorm(kid.weights.female$height,main="height.female") qqline(kid.weights.female$height) # Keine Normalverteilung, da die Quantile mit den theoretischen Quantilen der Normalverteilung gar nicht übereinstimmen. Würde die Normalverteilung vorliegen, würden die mit qqnorm() gezeichneten Quantile auf der Geraden qqline() liegen. shapiro.test(kid.weights.male$weight) shapiro.test(kid.weights.male$height) shapiro.test(kid.weights.female$weight) shapiro.test(kid.weights.female$height) # Keine von den Stichproben ist normalverteilt. Man kann daher den Ergebnissen des t-tests # nicht vertrauen, weil die Testvoraussetzung über die Normalverteilung der Stichproben nicht erfüllt ist. Aufgabe 10 Erstellen Sie das Lineare Modell, um die Abhängigkeit zwischen height und age zu erklären. Führen Sie dabei folgende Schritte aus: o Erstelen Sie zuerst ein Streudiagramm zwischen height und age. Ist der Zusammenhang linear? o Passen Sie das lineare Modell mit Hilfe der Funktion lm() an. o Lassen Sie die Summaries dieses Modells mit der R-Funktion summary() anzeigen. o Üben die Kovariablen in diesem Modell (age und intercept) einen signifikanten Einfluss auf die Zielvariable height aus? o Beurteilen Sie die Anpassungsgüte des Modells. o Hat age einen positiven oder einen negativen Einfluss auf height? pairs(kid.weights) modell<-lm(height~age) summary(modell) Aufgabe 11 Führen Sie nun die Residuenanalyse für das lineare Modell aus Aufgabe 10 durch. o Erstellen Sie ein Plot von Residuen, um zu überprüfen, ob sie unabhängig und identisch verteilt sind. o Falls das Modell die Daten gut anpasst, müssen die Residuen um die 0-Linie streuen. Ist es für das angepasste Modell der Fall? 4

5 o Überprüfen Sie nun die Verteilung von Residuen (qq-plot, Histogramm). Ist die Annahme über die Normalverteilung von Residuen gerechtfertigt? : plot(modell$residuals) hist(modell$residuals) qqnorm(modell$residuals) qqline(modell$residuals) Aufgabe 12 Zeichnen Sie letztendlich die Regressionsgerade für das Modell aus der Aufgabe 10 (R- Funktionen plot, abline). : plot(height~age) abline(modell) 5

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