Kegelschnitte im Schülerseminar

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1 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, Seite 1 Kegelschnitte im Schülerseminar Die nachfolgend aufgeführten 6 Stundenentwürfe wurden im Schülerseminar für die Klassenstufen 8 10 an der Uni Stuttgart zwischen Ostern und Sommerferien 2010 durchgeführt. An jedem der 6 Termine stand eine Doppelstunde zur Verfügung. Man sollte bedenken, dass an dem Schülerseminar zumeist sehr begabte Schülerinnen und Schüler teilnehmen. Trotzdem ist es beachtlich, was in diesem Alter schon verstanden werden kann. Einzig der Beweis des Hilfsatzes auf Seite 17 war etwas zu technisch. Aus Zeitgründen konnte auf die Anwendungen nicht so eingegangen werden, wie es geplant war. Der Nierensteinzertrümmerer fehlt, ebenso die Ellipsenbahnen der Planeten. Und bei Schülern, die bereits mit Vektorrechnung vertraut sind, könnte man auch auf Parabeln im Brückenbau eingehen. Das Thema ist ein wunderschönes Beispiel dafür, wie geometrische und analytische Methoden in einem Gebiet angewandt werden können. Einmal ist es besser, geometrisch zu argumentieren, ein anderes Mal ist die analytische Rechnung der einfachere Weg. Als Literatur wurden verwendet: Taschenbuch der Mathematik (Bronstein-Semendjajew, Harri Deutsch, Thun 1984) Mathematik Oberstufe 3 (Bürger-Fischer-Malle, Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1980) Kegelschnitte (Hans Schupp, BI-Wiss.-Verlag, Mannheim-Wien-Zürich 1988) Ich wünsche allen, die sich mit diesem Thema beschäftigen, genauso viel oder noch mehr Freude daran. 23. August 2010 Peter Lesky Inhalt: Abstände Seite 2 Parabeln Seite 7 Parabel und Tangente Seite 10 Ellipsen Seite 16 Ellipse und Tangente Seite 20 Hyperbeln Seite 24

2 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Abstände Aufgabe 1: Gegeben sind die Gerade g = {(x, y) : y = 1} und der Punkt F(0, 1) (siehe unten). Gesucht ist die Menge aller Punkte, die von der Geraden g und dem Punkt F denselben Abstand haben. a) Wie kann man solche Punkte konstruieren? Hinweis: Überlege zum Beispiel, wo alle Punkte liegen, die von g den Abstand 5 haben. b) Konstruiere Punkte mit der angegebenen Eigenschaft, die auf den waagrechten Koordinatengitterlinien liegen. Hier zeige ich mit dem Beamer, wie eine Parabel, eine Ellipse und eine Hyperbel entstehen, wenn PF = c d(p, g) mit c = 1, c < 1 und c > 1 gefordert wird. Dateien: parabel1.ggb, ellipse1.ggb, hyperbel1.ggb. Aufgabe 2: Die Menge aller Punkte P, für deren Abstand d(p, g) von g und den Abstand PF gilt: a) P F = d(p.g), bildet eine Parabel b) PF = 0, 8 d(p.g), bildet eine Ellipse c) P F = 1, 2 d(p.g), bildet eine Hyperbel

3 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 3 Aufgabe 3: Diese Aufgabe sollte auf ein extra Blatt, die Antworten werden dann bis zum nächsten Treffen ausgewertet. Schau Dir die Bilder an. Was beobachtest Du? Welche Eigenschaften fallen Dir auf? Bitte schreib Deine Antworten rechts neben die Bilder. Wenn Du bereits etwas über Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln weißt, kannst Du das gerne dazuschreiben. Satz: Sind ein Punkt P und eine Gerade g gegeben, und ist L der Lotfußpunkt von P auf g, so gilt für alle Punkte Q g mit Q L: PQ > PL. Beweis: Pythagoras: PQ 2 = LQ 2 + PL }{{} >0 PQ 2 > PL 2 PQ > PL Definition: Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist definiert durch d(p, g) := min{ PQ : Q g}. Satz: Ist L der Lotfußpunkt von P auf die Gerade g, so gilt Beweis: Letzter Satz. d(p, g) = PL. Aufgabe 4: Zeichne für jede Teilaufgabe den angegebenen Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Bestimme dann den Lotfußpunkt und den Abstand von P zu g: a) P(1, 3), g = {(x, y) : y = 2}; Lösung: d(p, g) = 5 b) P(x, y) mit beliebigen x, y R, g = {(x, y) : y = 2}; Lösung: d(p, g) = y + 2 c) P(x, y) mit beliebigen x, y R, g = {(x, y) : x = 1}; Lösung: d(p, g) = x 1 d) P(1, 3), g = {(x, y) : y = x}; Lösung: d(p, g) = 8 e) P(a, b) mit beliebigen a, b R, g = {(x, y) : y = x}. Lösung: d(p, g) = 2 a+b 2

4 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 4 Schülerseminar Abstände: Aufgabe 1 Gegeben sind die Gerade g = {(x, y) : y = 1} und der Punkt F(0, 1) (siehe unten). Gesucht ist die Menge aller Punkte, die von der Geraden g und dem Punkt F denselben Abstand haben. a) Wie kann man solche Punkte konstruieren? Hinweis: Überlege zum Beispiel, wo alle Punkte liegen, die von g den Abstand 5 haben. b) Konstruiere Punkte mit der angegebenen Eigenschaft, die auf den waagrechten Koordinatengitterlinien liegen. Schülerseminar Abstände: Aufgabe 2 Die Menge aller Punkte P, für deren Abstand d(p, g) von g und den Abstand PF gilt: a) PF = d(p.g), bildet eine b) PF = 0, 8 d(p.g), bildet eine c) PF = 1, 2 d(p.g), bildet eine

5 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 5 Schülerseminar Abstände: Aufgabe 3 Schau Dir die Bilder an. Was beobachtest Du? Welche Eigenschaften fallen Dir auf? Bitte schreib Deine Antworten rechts neben die Bilder. Wenn Du bereits etwas über Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln weißt, kannst Du das gerne dazuschreiben.

6 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 6 Schülerseminar Abstände: Aufgabe 4 Zeichne für jede Teilaufgabe den angegebenen Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Bestimme dann den Lotfußpunkt und den Abstand von P zu g: a) P(1, 3), g = {(x, y) : y = 2}; b) P(x, y) mit beliebigen x, y R, g = {(x, y) : y = 2}; c) P(x, y) mit beliebigen x, y R, g = {(x, y) : x = 1}; d) P(1, 3), g = {(x, y) : y = x}; e) P(a, b) mit beliebigen a, b R, g = {(x, y) : y = x}.

7 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Parabeln Wiederholung: Den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g erhält man als Abstand des Punktes zu seinem Lotfußpunkt L. Z.B. P(x, y), g = {(x, y) : y = 2}: d(p, g) = y + 2 P(x, y), g = {(x, y) : y = x}: d(p, g) = 2 x+y 2 Definition: Eine Parabel ist gegeben durch eine Gerade l und einen Punkt F, der nicht auf der Geraden liegt. Die Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu F gleich dem Abstand zu l ist. Die Gerade l heißt Leitlinie, der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel (engl. Focus). P = {Q : FQ = d(q, l)} Der Punkt S auf der Parabel, der das Lot von F auf l halbiert, heißt Scheitelpunkt. Der Abstand von F zu l wird mit p bezeichnet. Analytische Beschreibung: Gegeben sind l und F. Wähle ein passendes Koordinatensystem: 1) x-achse: Parallele zu l durch S, 2) y-achse: Orthogonale zu l durch F.

8 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 8 Dann S(0, 0), F(0, p ), l = {(x, y) : y = 2 p } und für Q(x, y): 2 QF = d(q, l) = ( y p ) 2 + x2, 2 y + p. 2 Also: Q P ( y p ) 2 + x2 = y + p 2 2 ( y 2) p 2 ( + x 2 = y + p ) 2 2 ( p ) 2 ( p 2 y 2 py + + x 2 = y 2 + py + 2 2) x 2 = 2p y y = 1 2p x2. Satz: Sei p 0 gegeben. Dann ist P := {(x, y) : y = 1 2p x2 } eine Parabel mit Leitgerade l = {(x, y) : y = p } und Brennpunkt F(0, p ). Jede Parabel 2 2 besitzt in einem geeignet gewählten Koordinatensystem diese Darstellung. Folgerung: Jede Parabel ist symmetrisch zu der Geraden, die senkrecht zu l ist und durch S geht. Beweis: Ersetzt man x durch x, so bleibt y = 1 2p x2 gleich. Das bedeutet: Die Parabel ist symmetrisch zu der y-achse. Also ist die Parabel symmetrisch zu der Geraden senkrecht zu l durch F. Aufgabe 1: a) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(2, 0) und der Leitgeraden l = {(x, y) : x = 1}. Zeichne F, l und einen Punkt Q (z.b. Q(6, 3)) in ein Koordinatensystem ein (1LE= 1cm). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. b) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(0, 4) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = c} mit festem c 4. Fertige eine Skizze an (z.b. mit c = 1). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. c) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(1, 1) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = x}. Fertige eine Skizze an. Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz.

9 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 9 Aufgabe 1: Aufgaben a) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(2, 0) und der Leitgeraden l = {(x, y) : x = 1}. Zeichne F, l und einen Punkt Q (z.b. Q(6, 3)) in ein Koordinatensystem ein (1LE= 1cm). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. b) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(0, 4) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = c} mit festem c 4. Fertige eine Skizze an (z.b. mit c = 1). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. c) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(1, 1) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = x}. Fertige eine Skizze an. Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. Aufgabe 1: a) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(2, 0) und der Leitgeraden l = {(x, y) : x = 1}. Zeichne F, l und einen Punkt Q (z.b. Q(6, 3)) in ein Koordinatensystem ein (1LE= 1cm). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. b) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(0, 4) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = c} mit festem c 4. Fertige eine Skizze an (z.b. mit c = 1). Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz. c) Gegeben ist die Parabel P mit dem Brennpunkt F(1, 1) und der Leitgeraden l = {(x, y) : y = x}. Fertige eine Skizze an. Bestimme dann eine Darstellung der Parabel wie im letzten Satz.

10 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Parabel und Tangente Geraden: Geradengleichung: g : y = mx + b bedeutet g = {(x, y) : y = mx + b}. m heißt Steigung der Geraden. Aufgabe: Punktsteigungsform g : y = m(x x 0 ) + y 0 geht durch den Punkt (x 0, y 0 ). Gibt es eine Gerade durch Q, die keine weiteren Schnittpunkte mit p hat? Lösung: Gerade g : y = m(x x 0 ) + x 2 0 geht durch Q. Schnitt mit p: y = x 2 y = m(x x 0 ) + x 2 0 x 2 = m(x x 0 ) + x 2 0 x 2 x 2 0 m(x x }{{} 0 ) = 0 =(x x 0 )(x+x 0 ) (x x 0 )(x + x 0 m) = 0 x = x 0 x = m x 0 Beide Schnittpunkte sollen gleich sein: x 0 = m x 0 2x 0 = m. Gesuchte Gerade: g : y = 2x 0 (x x 0 ) + x 2 0 = 2x 0x x 2 0. Satz: Sei die Parabel p : y = x 2 und der Punkt Q(x 0, x 2 0) auf der Parabel gegeben. Dann gibt es genau eine Gerade g durch Q, die nicht parallel zur y-achse ist und mit p nur den Punkt Q gemeinsam hat, nämlich g : y = 2x 0 x x 2 0. Definition: Diese Gerade heißt Tangente an p in Q. Die Steigung 2x 0 der Tangente heißt Ableitung der Parabelfunktion f(x) = x 2, geschrieben f (x 0 ) = 2x 0. Aufgaben: a) Gegeben ist die Parabel p : y = 2x 2 und der Punkt Q(x 0, 2x 2 0 ) auf p. Wie muss die Steigung der Geraden g : y = m(x x 0 ) + 2x 2 0 gewählt werden, damit g und p nur einen Punkt gemeinsam haben? b) Sei a > 0 fest und p : y = ax 2, Q p mit Q(x 0, ax 2 0 ). Zeige, dass es genau eine Gerade g durch Q gibt, die nicht parallel zur y-achse ist und mit p nur einen Punkt gemeinsam hat. Gib die Geradengleichung an. Wiederholung: Eine Parabel p ist die Menge aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden l und einem festen Punkt F denselben Abstand haben. Satz: Sei eine Parabel p mit Leitgerade l und Brennpunkt F gegeben. In einem Punkt Q auf p ist die Tangente die Winkelhalbierende zwischen der Strecke QL und QF (L bezeichnet den Lotfußpunkt von Q auf l).

11 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 11 Beweis: Strahlensatz: P F = P L Wegen PL > d(p, l) folgt FP > d(p, l) P p. Physik: Ein Lichtstrahl wird an einem Spiegel so reflektiert, dass Einfallswinkel = Ausfallswinkel gilt. Bei gekrümmten Spiegeln verwendet man die Tangente (Tangentialebene) zur Bestimmung der Reflektionsrichtung. Parabelspiegel: Sei ein Spiegel (in einer Richtung) parabelförmig gekrümmt. Ein Lichstrahl, der vom Brennpunkt F ausgeht und die Parabel trifft, verläuft nach der Reflektion senkrecht zur Leitgeraden. Richtfunk: Zwei Parabelstücke, die gegeneinander geöffnet sind, und die Verbindungsgerade der Brennpunkte steht senkrecht auf beiden Leitgeraden. a) Lichtstrahlen, die von F 1 ausgehen und von beiden Parabeln reflektiert werden, gehen durch F 2. b) Die Länge des Weges, die das Licht von F 1 zu F 2 zurücklegt, ist gleich dem Abstand von l 1 zu l 2, unabhängig davon, in welche Richtung der Lichtstrahl von F 1 losläuft. Dies ist wichtig, es gibt keine Laufzeitverschiebungen.

12 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 12 Aufgabe: Gegeben sind die beiden Parabeln p 1 : y = 1 8 x2, p 2 : y = x2 mit den Brennpunkten F 1 (0, 2) und F 2 (0, 5). a) Zeichne beide Parabeln und ihre Brennpunkte in ein Koordinatensystem ein (Einheit 2cm). b) Zeichne den Punkt Q(1, 1 8 ) ein. Ein Lichstrahl geht von F 1 aus und wird im Punkt Q an der Parabel p 1 reflektiert. In welchem Punkt P trifft er auf die Parabel p 2?. Zeichne den Verlauf des Lichtstrahls von F 1 bis F 2 ein. c) Ein von F 1 ausgehender Lichtstrahl trifft im Punkt Q(x 0, 1 8 x2 0 ) die Parabel p 1. Gib den Punkt P an, in dem der Lichtstrahl auf die Parabel p 2 trifft. Berechne die Länge des Weges, den der Lichtstrahl von F 1 bis F 2 zurückgelegt hat.

13 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 13 Aufgabe 1: Aufgaben a) Gegeben ist die Parabel p : y = 2x 2 und der Punkt Q(x 0, 2x 2 0) auf p. Wie muss die Steigung der Geraden g : y = m(x x 0 ) + 2x 2 0 gewählt werden, damit g und p nur einen Punkt gemeinsam haben? b) Sei a > 0 fest und p : y = ax 2, Q p mit Q(x 0, ax 2 0 ). Zeige, dass es genau eine Gerade g durch Q gibt, die nicht parallel zur y-achse ist und mit p nur einen Punkt gemeinsam hat. Gib die Geradengleichung an. Aufgabe 2: Gegeben sind die beiden Parabeln p 1 : y = 1 8 x2, p 2 : y = x2 mit den Brennpunkten F 1 (0, 2) und F 2 (0, 5). a) Zeichne beide Parabeln und ihre Brennpunkte in ein Koordinatensystem ein (Einheit 2cm). b) Zeichne den Punkt Q(1, 1 8 ) ein. Ein Lichstrahl geht von F 1 aus und wird im Punkt Q an der Parabel p 1 reflektiert. In welchem Punkt P trifft er auf die Parabel p 2?. Zeichne den Verlauf des Lichtstrahls von F 1 bis F 2 ein. c) Ein von F 1 ausgehender Lichtstrahl trifft im Punkt Q(x 0, 1 8 x2 0) die Parabel p 1. Gib den Punkt P an, in dem der Lichtstrahl auf die Parabel p 2 trifft. Berechne die Länge des Weges, den der Lichtstrahl von F 1 bis F 2 zurückgelegt hat. Arbeitsblatt zu Richtfunkstrecke

14 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 14 Arbeitsblatt zum Beweis Tangente ist Winkelhalbierende Arbeitsblatt zum Parabelspiegel

15 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 15 Aufgabe 2: Gegeben sind die beiden Parabeln p 1 : y = 1 8 x2, p 2 : y = x2 mit den Brennpunkten F 1 (0, 2) und F 2 (0, 5). a) Zeichne den Punkt Q(1, 1 8 ) ein. Ein Lichstrahl geht von F 1 aus und wird im Punkt Q an der Parabel p 1 reflektiert. In welchem Punkt P trifft er auf die Parabel p 2?. Zeichne den Verlauf des Lichtstrahls von F 1 bis F 2 ein. b) Ein von F 1 ausgehender Lichtstrahl trifft im Punkt Q(x 0, 1 8 x2 0 ) die Parabel p 1. Gib den Punkt P an, in dem der Lichtstrahl auf die Parabel p 2 trifft. Berechne die Länge des Weges, den der Lichtstrahl von F 1 bis F 2 zurückgelegt hat.

16 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Ellipsen Definition: Eine Ellipse ist gegeben durch zwei Brennpunkte F 1 F 2 und eine Länge a > 0. Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt: PF 1 + PF 2 = 2a. Gärtnerkonstruktion: Einen Faden der Länge 2a mit den Enden in F 1 und F 2 befestigen. Mit einem Stift den Faden so entlang fahren, dass der Faden gespannt bleibt. Tafel: Schülerinnen und Schüler sollen nur zusehen. Schnurlänge 10 Kästchen, Abstand der Brennpunkte 6 Kästchen passt genau auf meine Tafel. Ellipse zeichnen: Zeichne eine waagrechte Strecke mit Koordinateneinteilung von 7 bis +7 (1LE= 1cm). Achtung: Nach unten und oben jeweils 7cm Platz lassen. Wähle die Brennpunkte F 1 und F 2 auf deiner Geraden mit den Koordinaten 6 bzw. +6. Führe die Gärtnerkonstruktion mit dem vorbereiteten Faden durch. Zeichne eine weitere Ellipse mit den Brennpunkten bei 5 und +5. Was ändert sich? Was bleibt gleich? Lass die Nadeln von jemand anderes halten, dann kannst Du genauer zeichnen. Arbeitsblatt: Bezeichnungen bei einer Ellipse Gerade durch F 1 und F 2 : Hauptachse Mittelsenkrechte zu F 1 und F 2 : Nebenachse A, C: Hauptscheitel Länge c: c = 1 F 2 1F 2 = a 2 b 2 B, D: Nebenscheitel Länge b: b = 1 BD = a 2 2 c 2 M: Mittelpunkt Länge a: a = 1 AC 2

17 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 17 Kreisgleichung: Kreis um (0, 0) mit Radius r: P liegt auf Kreis x 2 + y 2 = r 2 (Kreisgleichung) x2 r + y2 2 r = 1 2 Ellipsengleichung: x2 a 2 + y2 b 2 = 1 Hilfssatz: Sei a > b > 0 und seien ein Punkt P(x, y) mit x2 a + y2 = 1 und die Punkte 2 b2 F 1 ( a 2 b 2, 0), F 2 ( a 2 b 2, 0) gegeben. Dann gelten: PF 1 = a + x a a2 b 2, PF 2 = a x a a2 b 2. Beweis: PF 12 2 = ( a 2 b 2 + x )2 + y 2 = x ( ) a 2 b 2 x + a 2 b 2 + b 2 1 x2 a 2 ( ) = x 2 1 b2 a 2 = x2 ( x + 2 a 2 b 2 x + a 2 a 2 (a 2 b 2 ) + 2 a 2 b 2 x + a 2 = a2 b a 2 + a PF = 12 x a2 b a 2 x + a = a + a2 b a 2. ) 2 Satz: Sei a > b > 0. Die Gleichung x2 a + y2 = 1 beschreibt eine Ellipse mit den Brennpunkten 2 b2 F 1 ( a 2 b 2, 0), F 2 ( a 2 b 2, 0) und PF 1 + PF 2 = 2a. Beweis: Sei P(x, y) mit x2 a + y2 = 1. Dann folgt aus dem Hilfssatz: 2 b2 PF 1 + PF 2 = a + x a2 b a 2 + a x a2 b a 2 = 2a. Also liegt P auf der Ellipse. Ist ein Punkt P (x, y ) mit x = x und y > y gegeben, so folgt PF 1 + PF 2 > 2a, also liegt P nicht auf der Ellipse. Genauso im Fall y < y. Konstruktion von Punkten der Ellipse: Sei a > b > 0, K 1 ein Kreis um (0, 0) mit Radius b, K 2 ein Kreis um (0, 0) mit Radius a und P 1 (x 1, y 1 ) und P 2 (x 2, y 2 ) die Schnittpunkte einer Ursprungshalbgeraden mit K 1 bzw. K 2, so liegt der Punkt P(x 2, y 1 ) auf der Ellipse x 2 a + y2 2 b = 1. 2

18 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 18 Beweis: Strahlensatz: y 2 x2 2 a 2 + y2 1 b 2 = x2 2 a 2 + = a y 1 b y 1 = b a y 2 ( b y 2 a 2) b 2 = x2 2 a 2 + y2 2 a 2 = 1 Aufgabe 2: a) Gegeben ist die Ellipse x2 7 + y2 = 1. Berechne c. Zeichne die Scheitel und 2 32 die Brennpunkte der Ellipse in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere (ohne einen Taschenrechner zu benützen) jeweils alle Punkte auf der Ellipse mit der angegebenen Eigenschaft: a 1 ) x = 3 a 2 ) y = 2 b) Gegeben ist die Ellipse x2 3 + y2 = 1. Berechne c. Zeichne die Scheitel und die 2 52 Brennpunkte der Ellipse in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere (ohne einen Taschenrechner zu benützen) jeweils alle Punkte auf der Ellipse mit der angegebenen Eigenschaft: b 1 ) y = 4 b 2 ) x = 1

19 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 19 Aufgaben Ellipse zeichnen: Zeichne eine waagrechte Strecke mit Koordinateneinteilung von 7 bis +7 (1LE= 1cm). Achtung: Nach unten und oben jeweils 7cm Platz lassen. Wähle die Brennpunkte F 1 und F 2 auf deiner Geraden mit den Koordinaten 6 bzw. +6. Führe die Gärtnerkonstruktion mit dem vorbereiteten Faden durch. Zeichne eine weitere Ellipse mit den Brennpunkten bei 5 und +5. Was ändert sich? Was bleibt gleich? Lass die Nadeln von jemand anderes halten, dann kannst Du genauer zeichnen. Aufgabe: a) Gegeben ist die Ellipse x2 7 + y2 = 1. Berechne c. Zeichne die Scheitel und 2 32 die Brennpunkte der Ellipse in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere (ohne einen Taschenrechner zu benützen) jeweils alle Punkte auf der Ellipse mit der angegebenen Eigenschaft: a 1 ) x = 3 a 2 ) y = 2 b) Gegeben ist die Ellipse x2 3 + y2 = 1. Berechne c. Zeichne die Scheitel und die 2 52 Brennpunkte der Ellipse in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere (ohne einen Taschenrechner zu benützen) jeweils alle Punkte auf der Ellipse mit der angegebenen Eigenschaft: b 1 ) y = 4 b 2 ) x = 1 Bezeichnungen bei einer Ellipse Gerade durch F 1 und F 2 : Mittelsenkrechte zu F 1 und F 2 : A, C: Länge c: B, D: Länge b: M: Länge a:

20 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Ellipse und Tangente Wiederholung: Bezeichnungen bei der Ellipse: Geometrisch: Ein Punkt P liegt genau dann auf der Ellipse, wenn für die Abstände PF 1 und PF 2 gilt: PF 1 + PF 2 = 2a. Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte der Ellipse. Die Länge a sieht man als Abstand der Hauptscheitel A, C zum Mittelpunkt. Man definiert noch c := 1 2 F 1F 2 und b := a2 c 2. Dann ist b der Abstand der Nebenscheitel B, D zum Mittelpunkt. Analytisch: Man definiert ein Koordinatensystem mit Ursprung im Mittelpunkt und Hauptachse als x-achse, Nebenachse als y-achse. Dann liegt ein Punkt P(x, y) genau dann auf der Ellipse, wenn seine Koordinaten folgende Gleichung erfüllen: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Aufgabe 1: Bestimme die Gleichung der Ellipse, die den Mittelpunkt M im Ursprung hat und folgende Eigenschaften besitzt: a) Die Scheitel liegen in A(2, 0) und B(0, 1). b) Die Punkte P(2, 2) und Q(4, 1) liegen auf der Ellipse. c) Ein Brennpunkt hat die Koordinaten F(2, 0), und c = 12. Aufgabe 2: Es sei die Ellipse mit der Gleichung x2 a + y2 = 1 gegeben (a > b > 0). Weiter sei 2 b2 F einer der Brennpunkte und P ein Punkt auf der Ellipse, der dieselbe x-koordinate wie F hat. Bestimme den Abstand PF in Abhängigkeit von a und b. Satz: Seien die Ellipse x2 a + y2 = 1 und die Geraden 2 b2 a2 l 1 : x = und l 2 : x = a2 b 2 a 2 a2 b 2

21 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 21 gegeben. Für alle Punkte auf der Ellipse gilt PF 1 = PF 2 = a2 b 2 d(p, l 1 ), a a2 b 2 d(p, l 2 ). a l 1, l 2 heißen Leitgeraden der Ellipse. Beweis: Sei P(x, y) ein Punkt auf der Ellipse. Hilfssatz: PF 1 = a + x a a2 b 2 d(p, l 1 ) = x + a 2 a2 b 2 Behauptung Aufgabe 3: Es sei die Ellipse mit der Gleichung x2 a + y2 = 1 gegeben (a > b > 0). Weiter sei 2 b2 F einer der Brennpunkte und P ein Punkt auf der Ellipse, der dieselbe x-koordinate wie F hat. Bestimme den Abstand PF in Abhängigkeit von a und b. Definition: Ist P ein Punkt auf der Ellipse, so ist die Tangente in P an die Ellipse diejenige Gerade g, die mit der Ellipse genau den Punkt P gemeinsam hat. Man sagt: g berührt die Ellipse in P. Satz: Es sei P ein Punkt auf einer Ellipse und g diejenige der Winkelhalbierenden der Geraden durch P und F 1 bzw. durch P, die nicht die Verbindungsstrecke von F 1 und F 2 schneidet. Dann ist g Tangente an die Ellipse in P. Beweis: Sei P der Punkt auf der Geraden durch F 1 und P wie in der Skizze. Dann gilt PP = PF 2, also F 1 P = 2a Für jeden anderen Punkt Q auf der Winkelhalbierenden g gilt QP = QF 2 und daher F 1 Q + F 2 Q = F 1 Q + QP > F 1 P = 2a. Also liegt Q nicht auf der Ellipse. Aufgabe 4: a) Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung x2 6 + y2 = 1 und die Gerade y = 2x + 5. Schneide die Gerade und die Ellipse und bestimme so den einzigen Schnittpunkt. Fertige eine Skizze an und benütze Symmetrieeigenschaften der Ellipse, um drei weitere Tangenten an die Ellipse anzugeben. b) Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung x2 3 + y2 = 1. Bestimme c so, dass die Gerade y = x + c eine Tangente an die Ellipse ist. Hinweis: Schneide Gerade und Ellipse und Bestimme c so, dass es nur einen Schnittpunkt gibt.

22 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 22 Aufgaben Aufgabe 1: Bestimme die Gleichung der Ellipse, die den Mittelpunkt M im Ursprung hat und folgende Eigenschaften besitzt: a) Die Scheitel liegen in A(2, 0) und B(0, 1). b) Die Punkte P(2, 2) und Q(4, 1) liegen auf der Ellipse. c) Ein Brennpunkt hat die Koordinaten F(2, 0), und c = 12. Aufgabe 2: Überlege: Was ändert sich an der Ellipsengleichung, wenn die Brennpunkte auf der y-achse liegen? Aufgabe 3: Es sei die Ellipse mit der Gleichung x2 a + y2 = 1 gegeben (a > b > 0). Weiter sei 2 b2 F einer der Brennpunkte und P ein Punkt auf der Ellipse, der dieselbe x-koordinate wie F hat. Bestimme den Abstand PF in Abhängigkeit von a und b. Aufgabe 4: a) Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung x2 6 + y2 = 1 und die Gerade y = 2x + 5. Schneide die Gerade und die Ellipse und bestimme so den einzigen Schnittpunkt. Fertige eine Skizze an und benütze Symmetrieeigenschaften der Ellipse, um drei weitere Tangenten an die Ellipse anzugeben. b) Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung x2 3 + y2 = 1. Bestimme c so, dass die Gerade y = x + c eine Tangente an die Ellipse ist. Hinweis: Schneide Gerade und Ellipse und Bestimme c so, dass es nur einen Schnittpunkt gibt.

23 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 23 Arbeitsblatt 1: Bezeichnungen bei einer Ellipse Arbeitsblatt 2: Tangente an eine Ellipse

24 Universität Stuttgart Schülerseminar Klasse 8 10 PD. Dr. P. Lesky Hyperbeln wurde das Taschenbuch der Mathematik[Taschenbuch der Mathematik] von Bronstein/Semendjajew und ein altes Schulbuch Mathematik Oberstufe von Bürger/Fischer/Malle. Definition: Eine Hyperbel ist gegeben durch zwei Brennpunkte F 1 F 2 und eine Länge a > 0 mit 2a < F 1 F 2. Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die gilt: PF1 PF 2 = 2a. Aufgabe 1: Gegeben ist die Hyperbel mit F 1 ( 4, 0), F 2 (4, 0) und a = 2. Konstruiere folgende Punkte der Hyperbel: a) P mit PF 1 = 2. (Wie groß muss PF 2 sein?) b) P mit P F 2 = 2. c) Q, Q mit QF 1 = 4 bzw. Q F 2 = 4. d) R, R mit RF 1 = 6 und RF 2 = 10 bzw. R F 1 = 10 und R F 2 = 6. e) Zusatzaufgabe: Lies im Fall d) die Koordinaten von einem der Punkte R aus dem Koordinatensystem ab. Rechne nach, dass die Eigenschaft RF1 RF 2 = 2a erfüllt ist. Zur Lösung: R( 4, ±6) Bezeichnungen (Arbeitsblatt):

25 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 25 A, C: Hauptscheitel MA = a B, D: Nebenscheitel e := MF 1 = MF 2 F 1, F 2 : Brennpunkte b := e2 a 2 M: Mittelpunkt PF 1 = (x + e)2 + y 2 PF 2 = (x e)2 + y 2 Satz: Seien a und b gegeben. Ein Punkt P(x, y) liegt genau dann auf der Hyperbel mit den Brennpunkten F 1 ( a 2 + b 2, 0) und F 2 ( a 2 + b 2, 0), falls x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Beweis: Wir betrachten nur den Fall, dass die x-koordinate von P positiv ist, also x a gilt. Dann ist PF 2 PF 1 > 0. Es sei P(x, y) ein Punkt, der die Ellipsengleichung ertfüllt. Löse nach y 2 auf: x 2 a y2 2 b 2 Mit b 2 = e 2 a 2 folgt = 1 y2 b 2 = x2 a 2 1 y2 = b2 a 2 x2 b 2. und y 2 = e2 a 2 a 2 x 2 e 2 + a 2 = e2 a 2 x2 x 2 e 2 + a 2 PF 2 = (x + e) 2 + y 2 = (x + e) 2 + e2 a 2 x2 x 2 e 2 + a 2 = x 2 + 2ex + e 2 + e2 e 2 a 2 x2 x 2 e 2 + a 2 = a 2 x2 + 2ex + a 2 (e ) 2 = a x + a e = a x + a e = a x + a Genauso folgt PF 1 = e a x a und damit PF 2 PF 2 = 2a. Alternativ kann man auch folgendermaßen vorgehen: Es muss wieder x a sein. PF 1 PF 2 = 2a (x + e) 2 + y 2 (x e) 2 + y 2 = 2a... = 2a +... (x + e) 2 + y 2 = 4a 2 + 4a... + (x e) 2 + y 2 x 2 + 2ex + y 2 = 4a 2 + x 2 2ex + e 2 + y 2 + 4a (x e) 2 + y 2 ex a 2 = a (x e) 2 + y 2 (ex a 2 ) 2 = a 2 ( (x e) 2 + y 2) e 2 x 2 2exa 2 + a 4 = a 2 x 2 a 2 2ex + a 2 e 2 + a 2 y 2 e 2 =a 2 +b 2 a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 4 + a 2 b 2 + a 2 y 2 b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 x 2 a 2 b2 y 2 = 1

26 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 26 Aufgabe 2: Seien a = 4, e = 5 und P(x, 6). Berechne die unbekannte Koordinate x des Punktes P auf der Hyperbel. Lösung: x = ± 80 = ±4 5 Aufgabe 3: Seien die Punkte P(3, 1) und Q(5, 3) einer Hyperbel gegeben. Stelle die Gleichung der Hyperbel auf. Lösung: x2 y2 = 1 7 7/2 Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 x und die Punkte F 1( 2, 2), F 2 ( 2, 2) (siehe Zeichnung). a) Multipliziere aus: ( x + 1 x 2) 2. b) Sei x > 0 und P(x, 1 ) ein Punkt auf dem Graphen von f. Berechne das Quadrat des x Abstandes von P zu F 2. Vergleiche PF 2 2 mit dem Ergebnis aus a). Lösung: PF 2 = x x c) Sei wieder x > 0 und P(x, 1 x ) ein Punkt auf dem Graphen von f. Stelle PF 1 2 als vollständiges Quadrat dar. Lösung: PF 1 = x + 1 x + 2 d) Berechne PF 2 PF 1. Lösung: PF 2 PF 1 = 2 2 Asymptoten (Arbeitsblatt): Die beiden Geraden haben die Gleichung y = b a x und y = b a x. Definition: Nähert sich der Graph einer Funktion einer Geraden immer mehr an, ohne sie zu schneiden, so wird diese Gerade Asymptote genannt. Satz: Die Asymptoten der Hyperbel x2 a + y2 = 1 sind die Geraden mit den Gleichungen 2 b2 y = b a x bzw. y = b a x. Beweis: Löse die Hyperbelgleichung nach y 2 auf (vgl. Beweis des ersten Satzes): Im Fall y > 0: y = b 2 y 2 = b2 a 2 x2 b 2. a 2 x2 b 2 = b a x 1 a2 x 2.

27 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 27 Nun kann man argumentieren, dass die Wurzel für x ± gegen 1 strebt. Die genaue Rechnung ist 1 a2 x 1 = 1 a2 1 x 2 = a a2 + 1 x 2 1 a2 + 1 x 2 x 2 Hieraus folgt b 2 a 2 x2 b 2 b a x = b a x ( ) 1 a2 x 1 2 = ab x 1 1 a2 + 1 x 2 0. Aufgabe 5: Seien die Längen a = 4cm und b = 2cm gegeben. Zeichne zuerst die Asymptoten und Hauptscheitel in ein Koordinatensystem ein (1LE= 1cm). Skizziere dann mithilfe der Asymptoten die Hyberbel. Aufgabe 6: Beweise den Satz: Die Asymptote y = b x hat mit der Hyperbel keinen Punkt a gemeinsam. Lösung: y = b x2 x in a a + y2 = 1 einsetzen 1 = 0 Widerspruch. 2 b2

28 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 28 Aufgaben Arbeitsblatt 1: Bezeichnungen bei der Hyperbel A, C: MA = B, D: e := F 1, F 2 : b := M: PF 1 = PF 2 =

29 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 29 Arbeitsblatt 2

30 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 30 Aufgabe 1: Gegeben ist die Hyperbel mit F 1 ( 4, 0), F 2 (4, 0) und a = 2. Konstruiere folgende Punkte der Hyperbel: a) P mit PF 1 = 2. (Wie groß muss PF 2 sein?) b) P mit P F 2 = 2. c) Q, Q mit QF 1 = 4 bzw. Q F 2 = 4. d) R, R mit RF 1 = 6 und RF 2 = 10 bzw. R F 1 = 10 und R F 2 = 6. e) Zusatzaufgabe: Lies im Fall d) die Koordinaten von einem der Punkte R aus dem Koordinatensystem ab. Rechne nach, dass die Eigenschaft RF1 RF 2 = 2a erfüllt ist.

31 Schülerseminar Klasse 8 10, Universität Stuttgart, , Seite 31 Aufgabe 2: Seien a = 4, e = 5 und P(x, 6). Berechne die unbekannte Koordinate x des Punktes P auf der Hyperbel. Aufgabe 3: Seien die Punkte P(3, 1) und Q(5, 3) einer Hyperbel gegeben. Stelle die Gleichung der Hyperbel auf. Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 x und die Punkte F 1( 2, 2), F 2 ( 2, 2) (siehe Zeichnung). a) Multipliziere aus: ( x + 1 x 2) 2. b) Sei x > 0 und P(x, 1 ) ein Punkt auf dem Graphen von f. Berechne das Quadrat des x Abstandes von P zu F 2. Vergleiche PF 2 2 mit dem Ergebnis aus a). c) Sei wieder x > 0 und P(x, 1 x ) ein Punkt auf dem Graphen von f. Stelle PF 1 2 als vollständiges Quadrat dar. d) Berechne PF 2 PF 1. Aufgabe 5: Seien die Längen a = 4cm und b = 2cm gegeben. Zeichne zuerst die Asymptoten und Hauptscheitel in ein Koordinatensystem ein (1LE= 1cm). Skizziere dann mithilfe der Asymptoten die Hyberbel. Aufgabe 6: Beweise den Satz: Die Asymptote y = b x hat mit der Hyperbel keinen Punkt a gemeinsam.