Josephson Kontakt. Hauptseminar. Lehel Sabo und Marco Miller. 10. Februar / 24

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1 Josephson Kontakt Hauptseminar Lehel Sabo und Marco Miller 10. Februar / 24

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Supraleitung 2 Josephson-Gleichungen 3 Josephson-Kontakt 3 / 24

4 4 / 24 Supraleitung Was ist Supraleitung? Zuerst bei Metallen beobachtet worden Phasenübergang bei T < T c ρ = 0 und E = 0 im Inneren B-Feld wird verdrängt (Meißner-Ochsenfeld-Effekt) B B T>Tc T<Tc Abbildung: Verdrängung des Magnetfeldes aus einem Supraleiter

5 Supraleitung Was ist Supraleitung? Zerstörung der Supraleitung bei B a > B ac Klassifizierung: Typ I: idealer Diamagnetismus Typ II: unvollständiger Meißner-Ochsenfeld-Effekt B 0 Material T c / K Rhodium 0,001 Quecksilber 4,15 Niob 9,25 La 3 In 10,4 Nb 3 Ge 23,2 YBa 2 Cu 3 O 6,9 90,0 Hg 0,8 Tl 0,2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 8, Tabelle: Supraleitung unterschiedlicher Stoffe 5 / 24

6 Supraleitung Erklärung des Phänomens Quantenmechanische Erklärung durch BCS-Theorie Nach John Bardeen, Leon N. Cooper und John R. Schrieffer (1957) Widerstand durch Streuung der Elektronen an Atomrümpfen (Elektron-Phonon-Wechselwirkung) Coulomb-Wechselwirkung Elektronen stoßen sich ab Modell: Ein Elektron deformiert das Gitter Falls E Coulomb < E Gitter attraktive Wechselwirkung Gebundener Zustand energetisch günstiger Fakt: Elektronen sind Fermionen Pauli-Prinzip 6 / 24

7 Supraleitung Überblick über BSC-Theorie Gitterdeformation als Überlagerung von Phononen Fermi-See: Grundzustand eines Fermi-Gases nicht-wechselwirkender Elektronen Zufügen zweier Elektronen mit k 1, k 2 und E 1, E 2 jeweils größer E F Aus Energieerhaltung und mit Schwerpunktskoordinaten lässt sich zeigen: k 1 = k 2 Schrödinger-Gleichung liefert Zweielektronenzustand mit Energie 2 ω D ε = exp(1/n F V ) 1 2 ω Dexp(1/N F V ) 7 / 24

8 Supraleitung Ergebnis der BSC-Theorie Energie gegenüber Fermi-See abgesenkt Grundzustand des nicht wechselwirkenden freien Elektronen-Gases instabil Bildung von Cooper-Paaren mit k 1 und k 2 Verhalten sich wie Bosonen mit effektiver Ladung 2e Ein gemeinsamer Quantenzustand (d.h. Wellenfunktion) möglich Bindung der Cooper-Paare dynamisch 8 / 24

9 Supraleitung Ergebnis der BSC-Theorie Energiedifferenz benötigt um Cooper-Paare zu spalten Durch thermische Energie leicht möglich, da 1 mev Durch Streuung aber nicht möglich Stromfluss also verlustfrei E F Δ besetzt Normalleiter besetzt Supraleiter Abbildung: Energielücke an der Fermitkante im Supraleiter 9 / 24

10 Inhaltsverzeichnis 1 Supraleitung 2 Josephson-Gleichungen 3 Josephson-Kontakt 10 / 24

11 Josephson-Gleichungen Zustandsvektoren Makroskopische Wellenfunktionen jede Elektrode ein Quantenzustand Wellenfunktionen der Elektroden gegeben durch ψ L = ρ L e iϕ L ψ R = ρ R e iϕ R Wähle Basis { L, R } L ψ ψ L = ψ L 2 = ρ L R ψ ψ R = ψ R 2 = ρ R Zustandsvektor gegeben durch ψ = ψ L L + ψ R R Supraleiter sind gekoppelt durch Überlagerung der Wellenfunktionen Supraleiter L L Supraleiter R R 11 / 24

12 Josephson-Gleichungen Schrödingergleichung Zeitliche Entwicklung gegeben durch i t ψ = Ĥ ψ Hamilton Operator: Ĥ = ĤL + ĤR + ĤT Ĥ L, Ĥ R beschreiben entkoppelte Zustände: Ĥ L = E L L L, Ĥ R = E R R R Ĥ T koppelt beide Zustände: Ĥ T = K ( L R + R L ) K ist Kopplungskonstante abhänging von Konstruktion, K R für A = 0 Matrixdarstellung ( ( 1 0 Mit L =, R = ψ = 0) 1) Schrödingergleichung liefert: ( ψl ) und Ĥ = ψ R ( ) EL E R ( ) 0 K K 0 i t ψ L = E L ψ L + Kψ R i t ψ R = E R ψ R + Kψ L 12 / 24

13 Josephson-Gleichungen Schrödingergleichung Gleichspannung V am Josephson-Kontakt bewirkt Potentialdifferenz von 2eV E L E R = 2eV wähle E L = ev und E R = ev mit ψ L = ρ L e iϕ L ψ R = ρ R e iϕ R i t ρl e iϕ L = ev ρ L e iϕ L + K ρ R e iϕ R i t ρr e iϕ R = ev ρ R e iϕ R + K ρ L e iϕ L 13 / 24

14 Josephson-Gleichungen erste Gleichung Wir nennen ϕ = ϕ L ϕ R. Separation von R und I und einige Rechnungen liefert 1 2 t ρ L = 2 K ρ L ρ R sin ϕ t ϕ L = K ρl cos ϕ + ev ρ R t ρ R = 2 K ρ L ρ R sin ϕ t ϕ R = K ρl cos ϕ ev ρ R Cooper-Paar Stromdichte j ist gegeben durch: j ρ L t = ρ R t hieraus folgt die erste Josephson-Gleichung: j = 2K ρl ρ R sin ϕ j = j c sin ϕ ρ L, ρ R konstant, ρ L 0, ρ L 0 da Cooper-Paare durch Stromquelle ersetzt werden 14 / 24

15 Josephson-Gleichungen zweite Gleichung Aus (2) folgt: ϕ t = ϕ L ϕ R t t = 2eV für V = 0 ϕ = ϕ 0 gilt: j = j c sin (ϕ 0 ) d.c. Josephson effect für V = const 0 ϕ = ϕ 0 + 2e Vt gilt: j = j c sin (ϕ 0 + 2e Vt) a.c. Josephson effect 15 / 24

16 Inhaltsverzeichnis 1 Supraleitung 2 Josephson-Gleichungen 3 Josephson-Kontakt 16 / 24

17 Josephson-Kontakt Stromfluss durch Josephson-Kontakt I b < I c : Suprastrom I b I b < I c I b > I c : Überschüssiger Strom mittels normalleitender Elektronen Widerstand R I R I b Durch Dielektrikum Kapazität C I c 17 / 24

18 Josephson-Kontakt Kirchhoffsche Regel Ruhestrom I b > I c fliesst durch Josephson-Kontakt mit V = 2e ϕ gibt Kirchhoffsche Knotenregel: 2e C ϕ }{{} dq dt =C V + 2eR ϕ }{{} V R + I c sin (ϕ) = I b }{{} 1.J Gl. Vergleiche mit dem gedämpften harmonischer Oszillator: ẍ+2δẋ+ω 2 x = 0 mit δ << 1 ẍ+ω 2 x = 0 U(x) Es gilt F = grad U( r) du dx ω2 x x 18 / 24

19 Josephson-Kontakt Waschbrettpotential Analoge Überlegung für Josephson-Schaltbild: R >> 1 ˆ 2e C ϕ + I c sin (ϕ) I b = 0 U(ϕ) }{{} ϕ U(ϕ) I c sin (ϕ) I b dϕ Es entsteht das charakteristische Waschbrettpotential: U(ϕ) = E j cos (ϕ) 2e I bϕ 19 / 24

20 Josephson-Kontakt Kennlinie I I c U 20 / 24

21 Josephson-Kontakt Kennlinie (real) Hysterese durch Kapazität C Abbildung: hysteretisches Verhalten des Josephson-Kontaktes 21 / 24

22 Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 22 / 24

23 Anhang Quellen Antonio Barone, Gianfranco Paterno Physics and Applications of the Josephson Effect B.D. Josephson The discovery of tunneling supercurrents Devoret, Esteve, Urbina, Martinis, Cleland, Clarke Macroscopic Quantum Effects in the Current-Biased Josephson Junction Gerthsen Physik Kittel Einführung in die Festkörperphysik 23 / 24

24 Anhang Quantisierung der Phase gesucht wird die Quantenmechanische Beschreibung der Schaltungsgleichung Vorgehensweise: Lagrangegleichung L = K U kanonische Trafo um Hamilton Gleichung zu bekommen Größen p, q, n durch Operatoren ˆp, ˆq, ˆn ersetzen 24 / 24