Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

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1 Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

3 amerikanische / europäische Definition () Recht, aber nicht die Pflicht, zu einem bestimmten Zeitpunkt t [0, T ] einen bestimmten Basistitel S zu einem bestimmten Ausübungspreis K zu kaufen / zu verkaufen (Kauf-/Verkaufsoption bzw. call/put) Hierbei wird mit S t := S(t) der Kurs des Basiswertes zur Zeit t bezeichnet.

4 amerikanische / europäische amerikanische / europäische Definition (europäische ) Ausübung der genau zum Zeitpunkt T Definition (amerikanische ) Ausübung der zu einem Zeitpunkt t [0, T ]

5 Auszahlungsfunktion amerikanische / europäische Definition (Auszahlungsfunktion) Wert der zum möglichen Ausübungszeitpunkt t payoff

6 Auszahlungsfunktion amerikanische / europäische Definition (Auszahlungsfunktion) Wert der zum möglichen Ausübungszeitpunkt t payoff Payoff für den europäischen Call: C T = max{0, S T K} =: (S T K) +

7 Auszahlungsfunktion amerikanische / europäische Definition (Auszahlungsfunktion) Wert der zum möglichen Ausübungszeitpunkt t payoff Payoff für den europäischen Call: C T = max{0, S T K} =: (S T K) + Payoff für den europäischen Put: P T = max{0, K S T } =: (K S T ) +

8 (Call/Put) V... (Call / Put) abhängig von: Kurs des Basiswertes S t Zeit t für europäische en gilt zum Zeitpunkt t = T : { (S K) + Call V (S, T ) = (K S) + Put

9 gesucht ist der faire Preis einer zum Zeitpunkt t = 0: V (S, 0)

10 Portfolio, Arbitrage, Bond Definition (Portfolio) Summe von Finanzanlagen wie Aktien, en, Geldanlagen und dergleichen Definition (Arbitrage) Möglichkeit, einen sofortigen, risikofreien Gewinn zu erzielen Definition (Bond) festverzinsliche Anlage zum risikolosen, festen Zinssatz r

11 folgende vereinfachende Modellannahme an den Finanzmarkt: arbitragefreier, liquider, friktionsloser Markt vollkommener Kapitalmarkt (Soll- = Habenzins r) zeitkontinuierlicher Handel des Basiswerts beliebig teilbarer Basiswert vollständige Information der Marktteilnehmer

12 Black-Scholes-Gleichung der Preis einer europäischen V (S, t) genügt der partiellen (parabolischen) Differentialgleichung: mit V t σ2 S 2 2 V V + rs S 2 S rv = 0 0 < S <, 0 < t < T r > 0... Zinssatz σ > 0... Volatilität

13 keine geschlossene Formel wie Black-Scholes-Gleichung vorhanden intuitiv: V amerikanisch (S, 0) V europäisch (S, 0)

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