Finanzmathematik Vorlesung WS 2010/11

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1 1. Einführung Finanzmathematik Vorlesung WS 21/11 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Die klassische Finanzmathematik beschäftigt sich in erster Linie mit grundlegenden Finanzinstrumenten oder Anlageformen (basic securities) Aktien (stocks) festverzinsliche Wertpapiere (bonds) Währungen (foreign exchange) Rohstoffe (commodities) Energie Version vom 28. März / / 263 Geschichte Die moderne Finanzmathematik untersucht derivative Finanzinstrumente (derivatives, derivative securities, contingent claims), die von einfacheren Finanzinstrumenten (underlyings) abgeleitet werden. Beispiele für Derivate: Forwards Futures Optionen (options, contingent claims) 17. Jahrhundert in den Niederlanden: Put-Optionen auf Tulpen 18. Jahrhundert in London: Problem kein gesetzlicher Rahmen beim Ausfall eines Vertragspartners 193: Gesetzliche Regulierung 197: Bedeutende Zunahme von Termingeschäften 1973: Gründung der Chicago Board Options Exchange 199: Deutsche Terminbörse (DTB) nimmt Handel mit Optionen auf 1998: Fusion der DTB mit der SDFEX (Schweizerische Terminbörse) zur EUREX 3 / / 263

2 Wissenschaftliche Untersuchung 19: Louis Bachelier modelliert in seiner Dissertation Theorie de la spéculation den Aktienkurs als Brownsche Bewegung 1965: Paul Samuelson modelliert den Aktienkurs als geometrische Brownsche Bewegung 1973: Fischer Black und Myron Scholes geben explizite Formeln zur Optionspreisbewertung an unabhängig davon auch Robert Merton 1981: M. Harrison und S. Pliska führen Martingalmethoden in die Optionspreisbewertung ein 1997: Ökonomie-Nobelpreis für Scholes und Merton (Black 1995 gestorben) 23: Ökonomie-Nobelpreis für Robert F. Engle (ARCH-Zeitreihen) Quantitative Fragen Bewertung (pricing) von Derivaten Hedging Strategien für Derivate (Absicherung) Risikomanagement von Portfolios Portfoliooptimierung Modellwahl und Kalibrierung 5 / / 263 Aktuelle Fragestellungen Grundbegriffe Verbesserung der Modellierung der Underlyings: Lévy Prozesse, fraktale Brownsche Bewegung, Sprünge in den Aktienkursen, Insider-Information, stochastische Volatilitäten,... Modellierung des Korrelationsrisikos in großen Portfolios Bewertungsmethoden für hochdimensionale und pfadabhängige Auszahlunsprofile in komplexeren Modellen Modellierung der Marktliquidität und des Ausfallrisikos Risikomanagement bei extremer Entwicklung von Märkten Finanzinstrumente: primäre Finanzinstrumente: Basisgüter sekundäre Finanzinstrumente: Derivate Definition 1.1. Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert zum Verfallszeitpunkt T (expiry date) vom Wert eines einfacheren Finanzinstruments (underlying) zum Zeitpunkt T (oder auch vom Werteverlauf bis zum Zeitpunkt T ) abhängt. 7 / / 263

3 Beispiele für Basisgüter (underlying securities) Aktien (stocks) Zinsraten (interest rates) Währungen (currencies) Rohstoffe (commodities) Wetter Indizes wie DAX, Dow Jones, CAT-Index (catastrophe losses) Firmenwerte (firm values) Bonitäten (rating) Die Preisentwicklung eines Basisgutes wird üblicherweise mit S = (S t ) = {S t t } bezeichnet. Festverzinsliche Wertpapiere Startkapital zum Zeitpunkt t = : B Bei jährlicher Zinsausschüttung mit Zinsrate r per annum: Kapital nach t = n Jahren B (1) n = B (1 + r) n Zinsausschüttung nach 1 k Jahren und Zinsrate r k pro 1 k Jahre: Kapital nach n Jahren ( B n (k) = B 1 + r ) nk k Bei stetiger Verzinsung mit dem Momentanzins (short rate) r: Kapital nach n Jahren B n := lim k B(k) n = B e nr 9 / / 263 Modellannahmen (perfekter Finanzmarkt) Märkte: Börsen OTC (Over-the-Counter) Typen von Händlern: Hedgers versuchen ihre Institution gegen Risiken abzusichern Spekulanten versuchen durch Wetten Profit zu machen Arbitrageure versuchen durch simultane Transaktionen auf verschiedenen Märkten Profit aus Kursdifferenzen zu ziehen reibungsloser Markt: keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkungen für short sales, Kaufs- und Verkaufspreise sind identisch kein Ausfallrisiko, Soll- und Habenzinsen sind identisch Wettbewerbsmarkt: der Preis wird vom Markt und nicht von einzelnen Marktteilnehmern festgelegt Kapitalanlagen sind beliebig teilbar NO ARBITRAGE!!! 11 / / 263

4 Short Selling ist eine Handelsstrategie, bei der der Investor Objekte, z.b. Aktien, die ihm nicht selbst gehören, von einem Partner für eine gewisse Zeit ausleiht, diese verkauft, später wieder zurückkauft und an den Partner zurückgibt. In der Zwischenzeit anfallende Erträge des Objekts (z.b. Dividenden) muss der Investor an den Partner erstatten. Short Selling ist nur dann für den Investor interessant, wenn der Rückkaufswert S t (deutlich) kleiner als der Verkaufswert S ist. Short Selling ist in der Praxis zahlreichen Restriktionen unterworfen. Ein Portfolio ist eine Kombination mehrerer Finanzinstrumente, deren Wertentwicklung als Ganzes gesehen wird. Finanzmärkte bieten risikolose Anlagen (z.b. festverzinsliche Wertpapiere) risikobehaftete Anlagen (z.b. Aktien) Ein Anleger ist nur bereit, in risikoreichere Anlagen zu investieren, wenn er die Möglichkeit sieht, einen höheren Profit als in risikoärmeren Anlagen zu erzielen. Arbitrage ist die Möglichkeit, ohne Kapitaleinsatz einen risikolosen Profit zu erzielen (formale Definition später). Würde diese Möglichkeit bestehen, so könnte man damit risikolos riesige Geldsummen erwirtschaften. Märkte im Gleichgewicht neutralisieren solche Arbitrage-Möglichkeiten. Es wird sich zeigen, dass die No-Arbitrage-Annahme direkt zu einer Methode zur Bewertung von Derivaten führt. 13 / / 263 Beispiel eines einfachen Derivates: Definition 1.2 Ein Forward-Kontrakt (Terminkontrakt) vereinbart den Kauf oder Verkauf eines Finanzgutes zu einem festen zukünftigen Zeitpunkt T (delivery date) zu einem festen Preis K, dem sog. Terminkurs (delivery price, strike price). Häufig wählt man den Terminkurs K so, dass der Wert der Forward-Kontraktes bei Vertragsabschluss (t = ) den Wert Null hat. Bei dieser Wahl des Terminkurses ist bei Vertragsabschluss also nichts zu bezahlen, erst zum Zeitpunkt T. Bei Vertragsabschluss (t = ) führt der Verkäufer des Kontraktes die beiden folgenden Aktionen durch: Er nimmt einen Kredit über S zur risikofreien Zinsrate r auf Er kauft das Underlying mit diesem Geldbetrag Bei Vertagsablauf (t = T ) führt der Verkäufer des Kontraktes die beiden folgenden Aktionen durch: Er übergibt dem Käufer des Underlying (welches jetzt den Wert S T besitzt) zum Preis von K = S e rt. Zur Tilgung des Kredits bezahlt er S e rt. Damit hat er alle Verbindlichkeiten aufgelöst. 15 / / 263

5 Würde der Verkäufer einen Betrag K > S e rt fordern, könnte er einen risikolosen Gewinn einstreichen. Würde der Verkäufer einen Betrag K < S e rt fordern, könnte der Käufer einen risikolosen Gewinn einstreichen. Dies würde jeweils der Forderung nach arbitragefreien Preisen zuwiderlaufen. Damit ist der arbitragefreie Terminkurs K = S e rt Beachte: Es wurden keine Annahmen über die Kursentwicklung von (S t ) gemacht! Beispiel: Ein Investor erwirbt am 1. September einen Forward-Kontrakt mit dem Inhalt, in 9 Tagen 1 6 e zum Umtauschkurs von.9 US $ zu kaufen. Falls der Kurs nach Ablauf der 9 Tage auf.95 $ gestiegen ist, gewinnt der Investor $, da 1 6 e dann am Markt für $ verkauft werden können. Hier also t = 1. September T t = 9 Tage T = 3. November K = $ 17 / / 263 Pay-off-Profil (Auszahlungsprofil) eines Forward-Kontraktes zur Zeit T : payoff long position Forwards sind nicht standardisiert und bergen das Risiko in sich, dass eine Vertragsseite ausfällt (default risk). Sie werden deshalb an Börsen kaum gehandelt, sondern nur over the counter (OTC). K S T Eine Variante sind Futures, welche in standardisierter Form an Börsen gehandelt werden. Hierbei wird, z.b. täglich, die Wertveränderung des Futures (aufgrund von Wertänderungen des zugrundeliegenden Finanzgutes) zwischen den Vertragsparteien ausgeglichen, so dass der Wert des Futures anschließend wieder gleich Null ist. Unter schwachen Voraussetzungen stimmen Terminkurse (delivery prices) von Forwards und Futures überein. short position Futures werden z.b. an der CBOT gehandelt. Pay-off eines Forward-Kontraktes zum Laufzeitende T : Pay-off eines Forward-Verkaufskontraktes zum Laufzeitende T : S T K K S T 19 / / 263

6 Ein etwas komplizierteres Derivat: Definition 1.3 Eine Option gibt dem Käufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut bis zu einem zukünftigen Verfallszeitpunkt T (expiry, maturity) zu einem vereinbarten Ausübungspreis K (strike price) zu kaufen oder verkaufen. Pay-off einer long position bei einem Call zum Verfallszeitpunkt T payoff Der Optionskontrakt beinhaltet im Unterschied zum Forward oder Future jedoch nicht die Pflicht zur Ausübung. Beim Kaufrecht wird die Option als Call (Kaufoption), beim Verkaufsrecht als Put (Verkaufsoption) bezeichnet. K S T Ist die Ausübung der Option nur zum Verfallszeitpunkt T möglich, so spricht man von einer europäischen Option. Kann die Option jederzeit bis zum Zeitpunt T ausgeübt werden, wird diese amerikanische Option genannt. Der Käufer befindet sich in einer long position, der Verkäufer befindet sich in einer short position. 21 / 263 Pay-Off = (S T K) + = max{s T K, } = max{s T, K} K 22 / 263 Gewinn (yield) einer long position bei einer Call-Option Sei t T. S(t) < K : die Option ist out of the money S(t) = K : die Option ist at the money S(t) > K : die Option ist in the money yield Problem: Wie lautet der faire Preis C und P für eine Call- bzw. Put-Option? C K K+C S T 23 / / 263

7 Beispiel Markt mit drei Anlagemöglichkeiten: (risikoloser) Bond B Aktie S europäische Call-Option mit Strike K = 1 und Expiry t = T auf die Aktie S Investition zum Zeitpunkt t = mit Preisen (in e) B() = 1 S() = 1 C() =.2 Zum Zeitpunkt t = T soll sich die Welt (der Markt) in nur zwei möglichen Zuständen befinden können: mit Preisen (in e) und u (= up) oder d (= down) B(T, u) = 1.25, S(T, u) = 1.75, also C(T, u) =.75 Startkapital sei 25 e. Portfolio A : t = Portfolio A : t = T Anlage Anzahl Betrag in e Bond 1 1 Aktie 1 1 Call Anlage up down Bond Aktie Call B(T, d) = 1.25, S(T, d) =.75, also C(T, d) = 25 / / 263 Portfolio B : t = Anlage Anzahl Betrag in e Bond Aktie 7 7 Call Offensichtlich existiert in diesem Markt eine Arbitrage-Möglichkeit, da Portfolio A und Portfolio B denselben Gewinn erwirtschaften Portfolio B jedoch mit einem geringeren Einsatz! = Call-Option besitzt falschen Preis! Portfolio B : t = T Anlage up down Bond Aktie Call Stelle zum Zeitpunkt t = das Differenzportfolio C auf: Portfolio C := Portfolio B Portfolio A = (11.8, 7, 29) (1, 1, 25) = (1.8, 3, 4) 27 / / 263

8 Portfolio C zum Zeitpunkt t = : Anlage Aktion Bond Kaufe 1.8 Einheiten -1.8 Aktie Verkaufe 3 geliehene Einheiten, 3 welche zum Zeitpunkt t = T wieder zurückgegeben werden Call kaufe 4 Einheiten Dies ergibt zum Zeitpunkt t = einen Gewinn von.4 e. Portfolio C zum Zeitpunkt t = T : Anlage Aktion up down Bond Verkaufe 1.8 Einheiten Aktie Kaufe 3 Einheiten zurück Call Option ausüben, falls sinnvoll 3 Zum Zeitpunkt t = T ist das Portfolio C also ausgeglichen. Zum Zeitpunkt t = wurde damit ein risikoloser Gewinn von.4 e realisiert. Weitere Beobachtung: Mit 1.8 Bonds und 3 Aktien short kann die Wirkung der Call-Option zum Zeitpunkt t = T neutralisiert werden. Man sagt: Die Bond- und die Aktienposition bilden einen Hedge gegen die Position des Calls. Dies gilt unabhängig davon, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für den Zustand up/down der Welt sind! 29 / / 263 Put-Call-Parität Seien S t der Spot-Preis einer Aktie, C t und P t die Werte von auf der Aktie definierten europäischen Call- bzw. Put-Optionen mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K. Π t bezeichne den Wert eines Portfolios bestehend aus einer Aktie, einem Put und einer short position in einem Call: Beispiel: Aktie der Deutschen Bank (alle Preise in DM) t = 23. Juni 1997, T = 18. Juni 1998, K = 8., r = 3.15% p.a. Aktie S(t) = 97.7 Call C(t) = 23.3 Put P(t) = 4.16 S(t) + P(t) C(t) = Π t = S t + P t C t Satz 1.1 Für europäische Call- und Put-Optionen C t und P t auf der zugrunde gelegten Aktie S t (ohne Dividendenzahlung) gilt die Put-Call-Parität Diskontierter Strike-Preis: K 1 + r = = t T r(t t) Π(t) = S t + P t C t = Ke Ursachen für Differenz: Dividendenzahlung vor T, Nachfrageeffekte, / / 263

9 Schranken für Optionen Satz 1.2 Für europäische und amerikanische Call-Optionen gilt: t [,T ] t [,T ] C(t) C(t) S(t) ( ) + S(t) e r(t t) K Satz 1.3 Es ist nicht sinnvoll, eine amerikanische Call-Option vor ihrem Verfallsdatum auszuüben, da t [,T ] C A (t) = C E (t) Satz 1.4 (i) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Verfallsdatum, aber unterschiedlichen Ausübungspreisen K 1 < K 2, gilt für alle t [, T ] (a) C K1 (t) C K2 (t) (b) C K1 (t) C K2 (t) e r(t t) (K 2 K 1 ) (c) λ [,1] C λk1 +(1 λ)k 2 (t) λc K1 (t) + (1 λ)c K2 (t) (ii) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Ausübungspreis, aber unterschiedlichen Verfallsdaten T 1 und T 2, gilt T 1 T 2 = C(T 1 ) C(T 2 ) 33 / / 263 Ein-Perioden-Marktmodelle Satz 1.5 Für amerikanische Optionen gilt die folgende Put-Call-Beziehung: 1 Aktie mit Preis S = 15 1 Bond mit Preis B = 1 mit Zinsrate r im Zeitraum T t [,T ] r(t t) S(t) K C A (t) P A (t) S(t) Ke Zustand ω 1 mit W p Zustand ω 2 mit W 1 p Aktienpreis S T 18 9 Bondpreis B T 1 + r 1 + r Gesucht: Preis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K = / / 263

10 Auszahlung X T (ω) = (S T K) + (ω) = Erwartungswert von X T { 3 falls ω = ω 1 falls ω = ω 2 E(X T ) = 3 p + (1 p) = 3p Spezialfall: Für p = 1 2 und r = folgt X = 15 Wir zeigen: Dieser Optionspreis lässt jedoch Arbitrage zu! Dazu konstruieren wir aus Sicht des Käufers der Option ein Portfolio, das Arbitrage zulässt. Mögliche Definition des Call-Preises zum Zeitpunkt t = ( ) XT X = E = 3p 1 + r 1 + r 37 / / 263 Zeitpunkt t = : Aktion Cash Flow Kaufe die Option zum Preis von Leihe der Aktie und verkaufe diese zum Preis von 3 5 Kaufe festverzinsliches Wertpapier zum Preis von 35 (r = ) 35 Bilanz Zeitpunkt t = T : Zustand ω 1 Zustand ω 2 (Wert der Aktie S T = 18) (Wert der Aktie S T = 9) Option wird ausgeübt 3 Option wertlos Kaufe 1 3 Aktie und Rückgabe 6 Kaufe 1 3 Aktie und Rückgabe 3 Verkauf des Wertpapiers 35 Verkauf des Wertpapiers 35 Bilanz 5 5 Aufgabe: Konstruiere aus Sicht der die Option verkaufenden Seite ein Portfolio, bestehend aus einer Anzahl a festverzinslicher Wertpapiere (jeweils mit Wert 1 zum Zeitpunkt t = und Zinsrate r während der Laufzeit) und einer Anzahl b von Aktien, welches das Auszahlungsprofil (zum Zeitpunkt t = T ) der Option repliziert. Bestimme damit den arbitragefreien Wert der Option (zum Zeitpunkt t = ). Mit dieser Strategie wäre ein risikoloser Gewinn von 5 Geldeinheiten möglich. Also kann X = 15 kein arbitragefreier Preis der Option sein! 39 / / 263

11 Mit Werten: Zum Zeitpunkt t = : Lösung: Zum Zeitpunkt t = : Zum Zeitpunkt t = T : a 1 + b 15 = X a 1 + b S = X (1) (2) a (1 + r) + b 9 = a (1 + r) + b 18 = 3 Zum Zeitpunkt t = T : a (1 + r) + b S T (ω 1 ) = (S T (ω 1 ) K) + a (1 + r) + b S T (ω 2 ) = (S T (ω 2 ) K) + Auflösen des linearen Gleichungssystems mit den beiden Unbekannten a und b liefert aus (1) zunächst a = b 1+r damit 9 und b = / 263 also und a = r X = r 42 / 263 Man sagt, das o.g. Portfolio repliziert zu jedem Zeitpunkt die Call-Option. Mit dieser Replikationsstrategie kann der arbitragefreie Preis der Option ermittelt werden die die Option ausstellende Institution sich gegen Preisrisiken absichern (Hedging) Eine modernere Lösung des Problems besteht in der Anwendung der Methode der risikoneutralen Bewertung: (i) Ersetze p durch p so, dass der diskontierte Aktienpreisprozess ein faires Spiel ist: ( ) S = E ST 1 + r Hier: 15 = 1 1+r (p 18 + (1 p ) 9), also p = 2+5r 3 Für r = folgt p = 2 3 P = (p, 1 p ) ist das zum Aktienpreisprozess risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß (ii) Berechne den fairen Preis der Option bzgl. E ( ) X := E Xt = 3p 1 + r 1 + r = r 1 + r = r Für r = folgt X = 2 43 / / 263

12 Definition des Ein-Perioden-Modells: Der Finanzmarkt kennt nur die beiden Zeitpunkte t = und t = T. Es werden d + 1 Finanzgüter gehandelt mit Preisen zu den Zeitpunkten S () t = : S() =. R d+1 + S d () t = T : S(T ) = S (T ). S d (T ) R d+1 -wertige ZV wobei S i (T ), i {,..., d}, R + -wertige Zufallsvariablen auf dem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit Ω = N, F = P(Ω) und P({ω}) > für alle ω Ω = {ω 1,..., ω N } Hier: R + := [, ) + 45 / 263 Kauf und Verkauf der Finanzgüter zum Zeitpunkt t = gemäß der Handelsstrategie ϕ = ϕ. ϕ d R d+1 Zum Zeitpunkt t = Investition der Summe S(), ϕ = d ϕ i S i () R i= Zum Zeitpunkt t = T liegt das vom Zufall abhängige Kapital vor: S(T ), ϕ = d ϕ i S i (T ) i= reellwertige ZV 46 / 263 Definition 1.4 Der (oben definierte) Finanzmarkt lässt eine Arbitrage-Möglichkeit zu, falls es ein Portfolio ϕ R d+1 gibt, so dass die folgende Bedingung gilt: S(), ϕ und S(T, ω), ϕ und ω Ω S(T, ω), ϕ > ω Ω Gibt es kein solches ϕ, so heißt der Finanzmarkt arbitragefrei. Bemerkung: Falls es im oben definierten Finanzmarkt ein Portfolio ϕ R d+1 mit S(), ϕ < und S(T, ω), ϕ ω Ω Satz 1.6 Der (oben definierte) Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, falls es einen sogenannten Zustandspreis-Vektor ψ R N mit ψ i > für alle i {1,..., N} gibt, so dass wobei S = Sψ = S(), S (T, ω 1 ) S (T, ω N ).. S d (T, ω 1 ) S d (T, ω N ) Kurz: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es einen Zustandspreis-Vektor (state price vector, pricing kernel) gibt. gibt, ist ϕ eine Arbitrage-Möglichkeit. 47 / / 263

13 Sei ψ ein solcher Zustandspreis-Vektor. Mit ψ := N ψ i gilt für q j := ψ j ψ (, 1] i=1 N q j = 1 j=1 d.h. durch (q 1,..., q N ) wird ein W -Maß Q auf Ω definiert. Damit S i () ψ = N S i (T, ω j )q j = E Q (S i (T )) j=1 Ist i ein Finanzgut mit S i (T, ω j ) > für alle j {1,..., N}, so können die Preise der anderen Finanzgüter als Vielfaches von S i (T, ω j ) ausgedrückt werden. Das Finanzgut i wird dann Numéraire gennant. Sei z.b. Finanzgut i = ein risikoloser Bond mit Damit S () ψ = ω Ω S (T, ω) = 1 N q j S (T, ω j ) = j=1 N q j = 1 j=1 Unter Q sind die mit ψ standardisierten Preise der Finanzgüter i {,..., d} deshalb risikoneutral. Ist r die Zinsrate pro Zeiteinheit, dann gilt S () = ψ = (1 + r) T 49 / / 263 Damit ergibt sich der Preis von Finanzgut i zum Zeitpunkt t = zu N ( ) S i (T, ω j ) S i () = q j (1 + r) T = E Si (T ) Q (1 + r) T d.h. j=1 ( ) S i () (1 + r) = E Si (T ) Q (1 + r) T In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie: Der stochastische Prozess { } Si (t) (1 + r) t : t {, T } ist ein Q-Martingal Achtung: Im allgemeinen ist dieser Prozess aber kein P-Martingal für ein von Q verschiedenes W -Maß P, welches z.b. die Einschätzung eines Anlegers widerspiegelt. Da für alle ω Ω P({ω}) > (nach Annahme) und Q({ω}) > (wie gezeigt) sind P und Q zwei sog. äquivalente Maße. Also ist Q ein zu P ein äquivalentes Martingalmaß. Damit: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein äquivalentes Martingalmaß gibt 51 / / 263

14 Bewertung eines neu eingeführten Finanzinstrumentes mit vom Zufall abhängigen Auszahlungen δ(t ) zum Zeitpunkt t = T durch ( ) δ(t ) δ() = E Q (1 + r) T mit einem äquivalenten Martingalmaß Q. Problem: Der Preis δ() ist nur eindeutig, falls Q eindeutig. Definition 1.5 Der (oben definierte) Finanzmarkt heißt vollständig, falls es zu jedem Finanzinstrument δ(t ) (das ist eine auf Ω = {ω 1,..., ω N } definierte reellwertige Zufallsvariable) ein aus den d + 1 Basisinstrumenten bestehendes Portolio ϕ R d+1 gibt, das δ(t ) repliziert, d.h. falls ϕ R d+1 ω {ω 1,...,ω N } oder kompakter falls d S i (T, ω)ϕ i = δ(t, ω) i= S ϕ = δ(t) := ϕ R d+1 δ(t, ω 1 ). δ(t, ω N ) 53 / / 263 Ein Finanzmarkt ist also genau dann vollständig, wenn die (d + 1) Vektoren S (T, ω 1 ) S d (T, ω 1 ).,...,. S (T, ω N ) S d (T, ω N ) den gesamten R N aufspannen. Satz 1.7 Der (oben definierte) Finanzmarkt sei arbitragefrei. Dann ist dieser Markt genau dann vollständig, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-Vektor ψ gibt. Eine Kombination der Sätze 1.6 und 1.7 ergibt: Ein Finanzmarkt ist genau dann vollständig und arbitragefrei, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-Vektor gibt. Probabilistische Interpretation unserer Ergebnisse: Ein Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein äquivalentes Martingalmaß existiert. Ein arbitragefreier Finanzmarkt ist genau dann vollständig, wenn genau ein äquivalentes Martingalmaß existiert. 55 / / 263

15 Beispiel: Binäres Einperiodenmodell d + 1 = 2 Ω = {ω 1, ω 2 } r = Also Basisinstrumente Raum der möglichen Zustände Zinsrate ( ) ( ) S () 1 S() = = S 1 () 15 S (T ) = ( ) 1, S 1 (T ) = 1 S = ( ) ( ) 18 9 Zustandspreis-Vektor ψ R 2 + : ( Sψ = S() ) ( ) 1 ψ = 15 wird (in eindeutiger Weise) gelöst durch ( ) 2/3 ψ = (= ψ = ψ 1 + ψ 2 = 1) 1/3 Also existiert (zu jedem nichtdegenerierten W-Maß P) ein eindeutiges äquivalentes Martingalmaß Q mit Q(ω 1 ) = ψ 1 ψ = 2 3 und Q(ω 2 ) = ψ 2 ψ = / / 263 Der oben definierte Finanzmarkt ist vollständig, da zu jedem (neuen) Finanzinstrument δ(t ) mit Zahlungen δ(t, ω 1 ) und δ(t, ω 2 ) ein replizierendes Portfolio ϕ R 2 existiert, d.h. S ϕ = δ(t ) da die Spalten von S den R d+1 = R N aufspannen. Sei δ(t ) die im letzten Beispiel genannte europäische Call-Option { δ(t, ω) = (S(T, ω) K) + 3 für ω = ω 1 = für ω = ω 2 2. Bedingte Erwartungen und Martingale Eine gut lesbare Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie: J. Jacod and P. Protter. Probability Essentials. 2nd Ed. Springer 24. Eine klassische Einführung in die Martingal-Theorie: D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge Ein schönes Lehrbuch, das einen weiten Bogen von der Maßtheorie bis zur Stochastischen Analysis schlägt: D. Meintrup, S. Schäffler. Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer 25. Dann wird ( durch ϕ = 3 und ϕ 1 = 1 3 (eindeutig) gelöst. 59 / 263 ) ( ) ϕ = ϕ 1 ( ) 3 Etwas anspruchsvoller: J. Wengenroth. Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter 28. A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage, Springer / 263

16 Im Folgenden sei (Ω, F, P) immer ein Wahrscheinlichkeitsraum. (Eingeführt durch Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ), Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933) Definition. Seien P und Q zwei auf derselben σ-algebra F definierte Maße. Q heißt P-stetig, falls A F P(A) = = Q(A) = In Zeichen: Q P Satz von Radon-Nikodým. Seien P und Q zwei auf derselben σ-algebra F definierte endliche Maße. Es gilt Q P genau dann, wenn es eine F-B-messbare nichtnegative Funktion f gibt mit A F Q(A) = A f dp 61 / / 263 Satz 2.1. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). σ-algebra C F. Dann existiert eine ZV Z : (Ω, F, P) (R, B) mit folgenden Eigenschaften: ( ) ( ) Z ist integrierbar und C-B-messbar X dp = Z dp C C C Z ist eindeutig bis auf die Äquivalenz = P C -f.ü.. Definition 2.1. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). σ-algebra C F. Die Äquivalenzklasse (im eben definierten Sinne) der ZVn Z: (Ω, F, P) (R, B) mit ( ) und ( ) oder auch ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse heißt bedingte Erwartung von X bei gegebenem C. In Zeichen: E(X C) C Häufig wird ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse als eine Version von E(X C) bezeichnet. E(X C) ist eine Vergröberung von X. Bemerkung 2.4. Geometrische Interpretation des bedingten Erwartungswertes: Es sei L 2 (Ω, F, P) der Hilbertraum der Äquivalenzklassen quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen auf (Ω, F, P) und C eine Teil-σ-Algebra von F. 63 / / 263

17 Es sei M der lineare Teilraum von L 2 (Ω, F, P), dessen Elemente als Repräsentanten C-B-messbare Zufallsvariablen haben. Man kann zeigen, dass M abgeschlossen ist. Sei X L 2 (Ω, F, P) mit Repräsentanten X und Y := E(X C) mit zugehöriger Äquivalenzklasse Ŷ. Man kann zeigen, dass Ŷ die orthogonale Projektion von X auf M ist und das Proximum (bestapproximierendes Element im Sinne der L 2 (Ω, F, P)-Norm) in M zu X darstellt. Mit anderen Worten: Y := E(X C) minimiert unter allen C-B-messbaren Zufallsvariablen den Ausdruck E X Y 2 Unter Verwendung eines Stutzungargumentes kann diese Definition auch auf die Klasse der integrierbaren Zufallsvariablen fortgesetzt werden. Beispiele C = F... E(X C) = X f.s. C = {, Ω}... E(X C) = EX C = {, B, B c, Ω} mit < P(B) < 1. 1 X dp =: E(X B), ω B P(B) B (E(X C))(ω) = 1 P(B c X dp, ω B c ) B c E(X B) heißt bedingter Erwartungswert von X unter der Hypothese B 65 / / 263 Satz 2.2. X, X i integrierbar; σ-algebra C F; c, α 1,2 R. a) E(X C)dP = X dp C C C C b) X = c P-f.s. = E(X C) = c f.s. c) X P-f.s. = E(X C) f.s. d) E(α 1 X 1 + α 2 X 2 C) = α 1 E(X 1 C) + α 2 E(X 2 C) f.s. e) X 1 X 2 P-f.s. = E(X 1 C) E(X 2 C) f.s. f) X C-B-messbar = X = E(X C) f.s. g) X integrierbar, Y C-B-messbar, XY integrierbar = E(XY C) = YE(X C) f.s. g ) X, X integrierbar, XE(X C) integrierbar = E(XE(X C) C) = E(X C)E(X C) f.s. h) σ-algebra C 1,2 mit C 1 C 2 F, X integrierbar E(E(X C 1 ) C 2 ) = E(X C 1 ) f.s. E(E(X C 2 ) C 1 ) = E(X C 1 ) f.s. Hier f.s. im Sinne von P C2 -f.s. bzw. P C1 -f.s. Definition 2.2. σ-algebra C F. A F. P(A C) := E(1 A C) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebener σ-algebra C. Bemerkung 2.1. Zu Definition 2.2. P(A C) dp = P(A C). C C Beispiel. C = {, B, B c, Ω} mit < P(B) < 1. (P(A C))(ω) = C P(A B) P(B) P(A B c ) P(B c ) =: P(A B), ω B =: P(A B c ), ω B c. 67 / / 263

18 Definition 2.3. a) Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). ZV Y : (Ω, F, P) (Ω, F ). E(X Y ) := E(X Y 1 (F ) } {{ } ) [kleinste σ-algebra in Ω, bzgl. der Y messbar ist... F(Y )( F)]... bedingte Erwartung von X bei gegebenem Y b) Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). ZVn Y i : (Ω, F, P) (Ω i, F i ) (i I ) C( F) sei die kleinste σ-algebra in Ω, bzgl. der alle Y i messbar sind [C = F( Y 1 i I i (F i ))... F(Y i, i I )] E(X (Y i ) i I ) := E(X C)... bedingte Erwartung von X bei gegebenem Y i, i I Bemerkung 2.2. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). a) σ-algebra C in F (X 1 (B), C) unabhängig = E(X C) = EX f.s. b) ZV Y : (Ω, F, P) = (Ω, F ) (X, Y ) unabhängig = E(X Y ) = EX f.s. c) A F; ZV Y : (Ω, F, P) (Ω, F ). P(A Y ) := E(1 A Y )... bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem Y 69 / / 263 Satz 2.3. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). ZV Y : (Ω, F, P) (Ω, F ). Dann ex. Abb. g: (Ω, F ) (R, B) mit E(X Y ) = g Y. g ist die sog. Faktorisierung der bedingten Erwartung. g ist eindeutig bis auf die Äquivalenz = P Y -f.ü.. Definition 2.4. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B) bzw. A F. ZV Y : (Ω, F, P) (Ω, F ). Sei g bzw. g A eine bis auf Äquivalenz = P Y - f.ü. eindeutig bestimmte Faktorisierung von E(X Y ) bzw. von P(A Y ). E(X Y = y) := g(y)... bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y = y P(A Y = y) := g A (y)... bed. Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypoth. Y = y E(X Y = ) = g Satz 2.4. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B) bzw. A A. ZV Y : (Ω, F, P) (Ω, F ) a) A F A E(X Y = y) P Y (dy) = Y 1 (A ) X dp, insbesondere Ω E(X Y = y) P Y (dy) = EX. b) A F A P(A Y = y) P Y (dy) = P(Y 1 (A ) A), insbesondere Ω P(A Y = y) P Y (dy) = P(A). P(A Y = ) = g A 71 / / 263

19 Beispiel. X bzw. A sowie Y wie zuvor. Sei y Ω mit {y} F und P Y ({y}) >. a) E(X Y = y) = E(X [Y = y]) } {{ } } {{ } s. Def s. Beispiel nach Def b) P(A Y = y) = P(A [Y = y]) } {{ } } {{ } s. Def s. Beispiel nach Def Satz 2.5. Integrierbare ZV X : (Ω, F, P) (R, B). ZV Y : (Ω, F) (Ω, F ). a) X = c f.s. = E(X Y = ) = c P Y -f.ü. b) X f.s. = E(X Y = ) P Y -f.ü. c) E(αX 1 + βx 2 Y = ) = αe(x 1 Y = ) + βe(x 2 Y = ) P Y -f.ü. d) X 1 X 2 f.s. = E(X 1 Y = ) E(X 2 Y = ) P Y -f.ü. 73 / / 263 Martingale Definition 2.6. Eine Folge (X n ) n N von integrierbaren ZVn X n : (Ω, F, P) (R, B) heißt bei gegebener monoton wachsender Folge (F n ) n N von σ-algebren F n F mit F n -B-Messbarkeit von X n [wichtiger Fall F n = F(X 1,..., X n ) (n N)] a) ein Martingal bzgl. (F n ), wenn [d.h. n N n N E(X n+1 F n ) = X n f.s. C F n b) ein Submartingal bzgl. (F n ), wenn n N E(X n+1 F n ) X n f.s., d.h. n N C X n+1 dp = C F n C X n dp], C X n+1 dp C X n dp Die in Definition 2.6 genannte Folge von aufsteigenden σ-algebren wird auch als Filtration bezeichnet (P.A. Meyer). Bemerkung 2.3. Ein Martingal (X n ) bzgl. (F n ) ist auch ein Martingal bzgl. (F(X 1,..., X n )). Entsprechend für Sub-, Supermartingal. c) ein Supermartingal bzgl. (F n ), wenn ( X n ) ein Submartingal bzgl. (F n ) ist. 75 / / 263

20 Die Herkunft der Bezeichnung Martingal (engl. martingale) ist nicht genau geklärt. Teil des Zaumzeuges, um die Kopfbewegung des Pferdes zu kontrollieren Eine Seil, um den Klüverbaum zu verspanen Ein Wettsystem, bei dem nach einem Verlust der Einsatz verdoppelt wird Der Begriff des Martingals im mathematischen Sinne wird J. Ville (1939) zugeschrieben. Paul Lévy ( ) und Joseph Leo Doob ( ) lieferten wichtige Beiträge zur Martingal-Theorie. Abbildung: P. Lévy und J.L. Doob 77 / / 263 Beispiele für Martingale: 1. Partialsummenfolge ( n i=1 V i) n N zu einer unabhängigen Folge (V n ) n N von integrierbaren reellen ZVn mit Erwartungswerten. 2. Aktienpreise: S n = S ξ 1 ξ n mit unabhängigen positiven Zufallsvariablen ξ i mit Eξ i = Sammeln von Information über eine Zufallsvariable (Williams 1991): Sei ξ eine Zufallsvariable mit endlichem erstem Moment und (F n ) eine Filtration in F. Dann wird durch M n := E(ξ F n ) Satz 2.6 (Martingalkonvergenzsatz von Doob) Ist X ein L 1 -beschränktes Sub- oder Supermartingal, d.h. sup E( X n ) <, n so existiert eine Zufallsvariable X mit X n X f.s. (n ) ein Martingal definiert. Mit den nachfolgend vorgestellten Martingalkonvergenzsätzen kann gezeigt werden, dass M n M := E(ξ F ) f.s. und in L 1 wobei F := σ( n=1 F n) die sogenannte Doomsday-σ-Algebra. 79 / / 263

21 Satz 2.7 (Konvergenzsatz für UI-Martingale) Für ein Martingal X sind äquivalent: (i) X n konvergiert in L 1 (ii) X ist L 1 -beschränkt und der f.s.-limes X erfüllt X n = E(X F n ) Definition 2.7. Eine auf einem gemeinsamen W-Raum definierte Familie von Zufallsvariablen X = {X i i I } mit Indexmenge I heißt stochastischer Prozess. Im Folgenden wird häufig I = {, 1,..., T } oder I = {, 1, 2,...} gewählt. Definition 2.8. Der stochastische Prozess X = (X n ) n= heißt zur Filtration (F n ) n= adaptiert, falls n N X n ist F n -messbar (iii) X ist gleichgradig integrierbar (uniformly integrable), d.h. lim sup E( X n 1 K [ Xn >K]) = n Sei X n X n 1 der zufällige Gewinn pro Einheit des Wetteinsatzes in Spiel n (n N) in einer Serie von Spielen. Ist X = (X n ) ein Martingal, d.h. E (X n X n 1 F n 1 ) =, so kann dieses Spiel als fair bezeichnet werden. 81 / / 263 Definition 2.9. Ein stochastischer Prozess C = (C n ) n N heißt vorhersagbar (predictable, previsible), falls (C existiert nicht). C n ist F n 1 -messbar für alle n N Ist C n der Wetteinsatz in Spiel n, so ist die Entscheidung über die Höhe von C n ausschliesslich auf die bis zum Zeitpunkt n 1 verfügbare Information gegründet. Gewinn zum Zeitpunkt n: C n (X n X n 1 ) Gewinn bis einschließlich Zeitpunkt n: Y n = n C k (X k X k 1 ) =: (C X ) n =: k=1 n C dx Sinnvoll: (C X ) := Klar: Y n Y n 1 = C n (X n X n 1 ) 83 / / 263

22 Definition 2.1. Der durch C X = ((C X ) n ) definierte stochastische Prozess heißt Martingal-Transformation von X unter C (D.L. Burkholder). Dies ist das diskrete Analogon zum später noch zu definierenden stochastischen Integral C dx. Satz 2.8. Sei C ein beschränkter vorhersagbarer stochastischer Prozess, d.h. es gibt eine reelle Zahl K mit C n (ω) K für alle n und alle ω, und X ein Martingal. Dann ist C X ein Martingal mit (C X ) =. Satz 2.9. Eine zur Filtration F = (F n ) n N adaptierte Folge M = (M n ) n N von Zufallsvariablen ist genau dann ein Martingal, wenn für jede beschränkte vorhersagbare Folge H = (H n ) n N ( n ) E H k M k = n N k=1 Stoppzeiten Definition 2.11 Eine Zufallsvariable T mit Werten in {, 1, 2,..., } heißt Stoppzeit, falls n {,1,2,, } oder äquivalent [T n] := {ω T (ω) n} F n n {,1,2,, } [T = n] F n Eine Stoppzeit kann z.b. dazu verwendet werden zu entscheiden, ob ein Spiel zum Zeitpunkt n abgebrochen oder fortgeführt wird. Hierbei wird nur die Information verwendet, die bis einschließlich Zeitpunkt n vorliegen kann. Wird z.b. beim Verkauf einer Aktie Insiderwissen verwendet, ist die vorgenannte Eigenschaft verletzt. 85 / / 263 Satz 2.1 (Doob s Optional Sampling Theorem) Sei T eine Stoppzeit und X = (X n ) ein Supermartingal. Ist T oder X beschränkt, so ist X T integrierbar und EX T EX Ist X ein Martingal, dann gilt sogar EX T = EX Proposition 2.1 Stoppen der Folge X = (X n ) zur (zufälligen) Zeit T : X T := (X T n ) := (X n T ). Dann gilt: Ist (X n ) adaptiert und T eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge (X n T ) adaptiert. Ist (X n ) ein (Super-) Martingal und T eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge (X n T ) ein (Super-)Martingal (Optional Stopping Theorem). Ein faires Spiel bleibt fair, wenn es ohne Vorkenntnis über ein zukünftiges Ereignis gestoppt wird. 87 / / 263

23 Beispiel: Einfache Irrfahrt (simple random walk) S n := n i=1 X i mit unabhängigen Zufallsvariablen X i, wobei X i = 1 mit W. p = 1/2 und X i = 1 mit W. p = 1/2. Sei T := inf{n S n = 1}, d.h., wir hören auf zu spielen, sobald wir eine Geldeinheit gewonnen haben. Man kann zeigen, dass P(T < ) = 1. Beachte: S = (S n ) ist ein Martingal und T eine Stoppzeit Mit obiger Proposition: E(S T n ) = E(S ) = für jedes n. Jedoch: 1 = E(S T ) E(S ) = Also kann auf die Beschränktheitsbedingungen in Satz 2.1 nicht gänzlich verzichtet werden! Man kann zeigen, dass weder T noch der Verlust vor dem ersten Netto-Gewinn beschränkt sind. Dieses Spiel kann in der Praxis also nicht realisiert werden! Die Snell-Einhüllende Definition 2.12 Ist X = (X n ) N n= eine (endliche) Folge von zur Filtration (F n ) adaptierten Zufallsvariablen, so heißt die durch Z N := X N Z n := max{x n, E(Z n+1 F n )} (n N) definierte Folge Z = (Z n ) N n= die Snell-Einhüllende von X. Satz 2.11 Die Snell-Einhüllende (Z n ) von (X n ) ist das kleinste Supermartingal, welches die Folge (X n ) dominiert (d.h. Z n X n für alle n). Proposition 2.2 T := inf{n Z n = X n } ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge (Z T n ) ist ein Martingal. 89 / / 263 Satz 2.12 Sei T n,n eine Familie von Stoppzeiten mit Werten in {n,..., N}. Dann löst die Stoppzeit T das optimale Stoppproblem für X : Z = E(X T F ) = sup{e(x T F ) T T,N } Sind die Werte von X bis zum Zeitpunkt n bereits bekannt, löst T n := inf{j n Z j = X j } das optimale Stoppproblem für X : Z n = E(X Tn F n ) = sup{e(x T F n ) T T n,n } Bei der Bewertung von amerikanischen Optionen soll zu dem Zeitpunkt die Option ausgeübt werden, zu dem die erwartete Auszahlung maximal ist. Die beiden letzten Aussagen zeigen, dass T bzw. T n die hierfür optimalen Zeitpunkte liefern bei Verwendung der bis zu diesem Zeitpunkt zur Verfügung stehenden Information (ohne Vorgriff auf zukünftige Ereignisse). 91 / 263 Der folgende Satz zeigt, dass die oben definierte Stoppzeit T die kleinste optimale Stoppzeit für (X t ) ist. Satz 2.13 Eine Stoppzeit T ist genau dann optimal für die Folge (X t ), falls die beiden folgenden Bedingungen gelten: (i) X T = Z T (ii) Z T ist ein Martingal Satz 2.14 (Doobsche Zerlegung von Submartingalen) Sei (X n ) n N ein Submartingal bezüglich einer Folge (F n ) n N von wachsenden σ-algebren. Dann existieren ein Martingal (M n ) n N und ein wachsender vorhersagbarer Prozess (A n ) n N (d.h. A n+1 A n f.s., A n+1 F n -messbar) so, dass X n = X + M n + A n, wobei M = A =, für alle n N. Diese Zerlegung ist f.s. eindeutig. 92 / 263

24 3. Finanzmarktmodelle in diskreter Zeit Wir betrachten folgenden Finanzmarkt M: (Ω, F, P) W-Raum mit Ω < F F 1... F T F aufsteigende Folge F von in F enthaltenen σ-algebren F = {, Ω}, P({ω}) > ω Ω F T = F = P(Ω) d + 1 Finanzgüter mit Preisen S (t), S 1 (t),..., S d (t) zum Zeitpunkt t {, 1,..., T }, welche F t -messbare Zufallsvariable seien 93 / 263 Dann ist S(t) = S (t). S d (t) ein F t -messbarer Zufallsvektor mit mit Werten in R d+1 Definition 3.1. Ein Numéraire ist ein Preisprozess (X t ) t {,1,...,T } (also ein stochastischer Prozess), welcher strikt positiv ist für alle t {, 1,..., T }. Das mit i = indizierte Finanzinstrument wird als Numéraire verwendet und ist meist eine risikolose Kapitalanlage mit S () = 1 Ist r der während einer Zeitperiode (t t + 1) gewährte Zins, so gilt S (t) = (1 + r) t Damit definieren wir den Diskont-Faktor β(t) := 1/S (t) 94 / 263 Definition 3.2 Eine Handelsstrategie (oder dynamisches Portfolio) ist ein vorhersagbarer R d+1 -wertiger stochastischer Prozess ϕ (t) ϕ 1 (t) ϕ =. ϕ d (t) t {1,...,T } d.h. eine Folge von T Zufallsvektoren mit Werten in R d+1. ϕ i (t) ist die Anzahl von Anteilen des Finanzgutes i, basierend auf den Informationen zum Zeitpunkt t 1. Die Adjustierung des Portfolios fand also kurz nach Bekanntgabe der Preise S (t 1),..., S d (t 1) statt. 95 / 263 Definition 3.3. Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch V ϕ () = ϕ(1), S() und V ϕ (t) := ϕ(t), S(t) = d ϕ i (t)s i (t), t {1,..., T } i= Der dadurch definierte stochastische Prozess V ϕ heißt Wertprozess der Handelsstrategie ϕ. V ϕ () ist das Anfangskapital des Investors. Definition 3.4. Der Zuwachsprozess G ϕ der Handelsstrategie ϕ ist gegeben durch G ϕ (t) := t ϕ(τ), S(τ) S(τ 1) = τ=1 für t {1,..., T }. t ϕ(τ), S(τ) τ=1 96 / 263

25 Sei S(t) = (1, β(t)s 1 (t),..., β(t)s d (t)) der auf den Zeitpunkt t = abdiskontierte Preisvektor. Ähnlich: Abdiskontierter Wertprozess für t {1,..., T }. Ṽ ϕ (t) = β t ϕ(t), S(t) = ϕ(t), S(t) Abdiskontierter Zuwachsprozess G ϕ (t) = t ϕ(τ), S(τ) τ=1 Definition 3.5 Eine Handelsstrategie ϕ heißt selbstfinanzierend, falls ϕ(t), S(t) = ϕ(t + 1), S(t) t {1,...,T 1} Interpretation: zum Handelszeitpunkt t werden die neuen Preise S(t) bekannt. Das Portfolio hat dann den Wert ϕ(t), S(t). Aufgrund der Kenntnis der neuen Preise S(t) schichtet der Investor sein Portfolio mit Anteilen ϕ(t) zu einem Portfolio mit ϕ(t + 1) Anteilen um ohne jedoch Kapital abzuziehen oder einzubringen. für t {1,..., T }. 97 / / 263 Behauptung 3.1. Sei X (t) ein Numéraire. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstfinanzierend bzgl. S(t), falls ϕ selbstfinanzierend bzgl. S(t)/X (t) ist. Also ist eine Handelsstrategie ϕ genau dann selbstfinanzierend bzgl. S(t), falls ϕ selbstfinanzierend bzgl. S(t) ist. Behauptung 3.2. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstfinanzierend, wenn t {,1,...,T } Ṽ ϕ (t) = Ṽϕ() + G ϕ (t) Die nächste Behauptung zeigt, dass der Wert des Portfolios vollständig durch das Anfangsvermögen und die Handelsstrategie (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) t {1,...,T } bestimmt ist vorausgesetzt der Investor folgt einer selbstfinanzierenden Strategie. Behauptung 3.3. Für jeden vorhersagbaren Prozess (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) t {1,...,T } und jedes F -messbare V existiert genau ein vorhersagbarer Prozess (ϕ (t)) t {1,...,T }, so dass die Handelsstrategie ϕ (t) ϕ 1 (t) ϕ =. ϕ d (t) selbstfinanzierend und V = V ϕ () der Anfangswert des Portfolios ist. 99 / / 263

26 Definition 3.6. Eine selbstfinanzierende Strategie ϕ heißt Arbitrage-Strategie, falls V ϕ () = mit Wahrscheinlichkeit 1 V ϕ (T ) mit Wahrscheinlichkeit 1 V ϕ (T ) > mit Wahrscheinlichkeit > Der (oben definierte) Finanzmarkt M heißt arbitragefrei, falls es keine Arbitrage-Strategie in der Klasse aller Handelsstrategien gibt. Definition 3.7. Ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, F T ) heißt ein Martingalmaß für den stochastischen Prozess S, falls S ein P -Martingal bezüglich der Filtration F = (F t ) t {,1,...,T } ist. P( S) bezeichne die Klasse aller äquivalenten Martingalmaße (für S). Behauptung 3.4. Sei P ein äquivalentes Martingalmaß und ϕ eine selbstfinanzierende Handelstrategie. Dann ist der Wertprozess Ṽ ϕ (t) ein P -Martingal bezüglich der Filtration F. Behauptung 3.5. Existiert ein äquivalentes Martingalmaß, dann ist der Markt M arbitragefrei. Setze X + := {X : Ω R + X ist eine Zufallsvariable} Γ := {X X + X (ω) und X (ω) > } ω Ω ω Ω Γ ist ein Kegel. 11 / / 263 Ist M ein arbitragefreier Markt, so gilt für jede selbstfinanzierende Strategie ϕ V ϕ () = = Ṽϕ(T ) Γ Mit Behauptung 3.2 folgt: G ϕ (T ) Γ Das nächste Lemma zeigt, dass G ϕ (T ) Γ immer noch gilt, falls ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) ein vorhersagbarer Prozess ist und ϕ so gewählt wird, dass die Strategie ϕ = (ϕ,..., ϕ d ) das Startkapital V = besitzt und selbstfinanzierend ist. Lemma 3.1. In einem arbitragefreien Markt erfüllt jeder vorhersagbare Prozess ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) die Relation Behauptung 3.6. Ist der Markt M arbitragefrei, dann existiert ein zu P äquivalentes Martingalmaß P. Eine Kombination der Behauptungen 3.5 und 3.6 liefert Satz 3.1 (No-Arbitrage-Satz). Der Finanzmarkt M ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein zu P äquivalentes Martingalmaß P gibt, unter dem der diskontierte Preisprozess S ein P -Martingal ist. G ϕ (T ) Γ 13 / / 263

27 Risikoneutrale Bewertung von Finanzderivaten Definition 3.8. Ein Finanzderivat mit Verfallszeitpunkt T ist eine nichtnegative F T -messbare Zufallsvariable X. Das Derivat heißt erreichbar (attainable), falls es eine das Derivat replizierende Handelsstrategie ϕ gibt, die selbstfinanzierend ist und für die gilt, dass V ϕ (T ) = X Zwei Handelsstrategieen werden als äquivalent angesehen, wenn sie denselben Wertprozess besitzen. X ist meist eine Funktion des Preisprozesses S: X = f (S) Beispiel: X := (S T K) + für eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K und Ausübungszeitpunkt T Grundidee der Arbitrage-Bewertung von Derivaten: Da der Wert eines erreichbaren Derivates X zu einem Zeitpunkt t T eindeutig sein sollte (sonst existiert eine Arbitragemöglichkeit), muss der Preis des Derivates zum Zeitpunkt t T mit dem Wert V ϕ (t) des Portfolios zur replizierenden Handelsstrategie ϕ zum Zeitpunkt t übereinstimmen. Deshalb ist folgende Definition sinnvoll: Definition 3.9. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei und X ein erreichbares Derivat mit Verfallszeitpunkt T. Dann ist der Arbitragepreisprozess (π X (t)) t {,...,T } gegeben durch den Wertprozess der X replizierenden Strategie ϕ. Behauptung 3.7. Ist M ein arbitragefreier Finanzmarkt, dann ist jedes erreichbare Finanzderivat X eindeutig in M replizierbar. 15 / / 263 Da die Arbitrage-Bewertungsmethode offensichtlich unabhängig vom zugrundeliegenden Maß P ist also unabhängig vom Modell, das sich ein Investor vom weiteren Kursverlauf macht sollte ein Investor, welcher statt dem Maß P das risikoneutrale Maß P zugrundelegt, das Derivat mit demselben Preis bewerten. Behauptung 3.8. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei. Dann ist der Arbitragepreisprozess (π X (t)) t {,...,T } jedes erreichbaren Finanzderivats X durch die Formel der risikoneutralen Bewertung t {,...,T } π X (t) = β(t) 1 E (β(t )X F t ) gegeben, wobei E die Erwartung bezüglich eines (zu P) äquivalenten Martingalmaßes P (für den auf den Zeitpunkt t = abgezinsten Preisprozess) darstellt. Vollständige Märkte Definition 3.1. Der Finanzmarkt M heißt vollständig, wenn jedes Derivat erreichbar ist, also für jede nichtnegative F T -messbare Zufallsvariable X X + eine replizierende selbstfinanzierende Handelsstrategie ϕ mit V ϕ (T ) = X existiert. Satz 3.2 (Vollständigkeitssatz). Ein arbitragefreier Finanzmarkt M ist genau dann vollständig, wenn es genau ein zu P äquivalentes Martingalmaß gibt (unter welchem der abgezinste Preisprozess S ein Martingal ist). Frage: Unter welchen Bedingungen ist jedes Finanzderivat erreichbar, also mittels einer Handelsstrategie replizierbar? 17 / / 263

28 Die Kombination des No-Arbitrage- und des Vollständigkeitssatzes (Sätze 3.1 und 3.2) ergibt den Fundamentalsatz der Preistheorie für Derivate: In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt M existiert genau ein äquivalentes Martingalmaß P. Ferner mit Behauptung 3.8: In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt M ergibt sich der arbitragefreie Preis π X (t) eines Derivates X als (bedingter) Erwartungswert des Derivates unter dem risikoneutralen (d.h. äquivalenten Martingal-) Maß P : t {,...,T } π X (t) = β(t) 1 E (β(t )X F t ) Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Wir betrachten folgenden Finanzmarkt M mit T Handelsperioden: risikolose Anlage B (Bond) mit B(t) = (1 + r) t, t {,..., T } risikobehaftete Anlage S (z.b. Aktie) mit { us(t) mit W p, S(t + 1) = ds(t) mit W 1 p, t {,..., T } wobei < d < u und S Die Veränderung S(t+1) S(t) {u, d} ist unabhängig von S(),..., S(t) für alle t {,..., T } 19 / / 263 S(1)=uS() p S(2)=uuS() Explizite Konstruktion eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, P, F) und einer Filtration F: Ω := T t=1 Ω t wobei Ω t := Ω := {u, d}, also Ω = {u, d} T F := P(Ω) p 1 p P := T t=1 Pt wobei P t := P mit P({u}) := p und P({d}) := 1 p, also S() S(2)=udS() 1 p p S(1)=dS() 1 p S(2)=ddS() T= T=1 T=2 Die ersten beiden Handelsperioden eines Binomialmodells P({ω}) = T P t ({ω i }) t=1 mit ω = (ω 1,..., ω T ) und ω t {u, d} F = (F t ) t {,...,T } mit F := {, Ω} F t := σ(s(1),..., S(t)), t {1,..., T 1} F T := F = P(Ω) 111 / / 263

29 Definition Der oben definierte Finanzmarkt M heißt Cox-Ross-Rubinstein-Modell (CRR-Modell). Bemerkung. Sei Z(t + 1) := S(t+1) S(t) die relative Preisänderung der risikobehafteten Anlage vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t + 1 (t {,..., T 1}). Dann folgt aus den Modellannahmen: S(t) = S() t Z(τ), t {1,..., T 1} τ=1 Z(1),..., Z(T ) sind unabhängige Zufallsvariablen Behauptung 3.9. Im CRR-Modell existiert genau dann ein äquivalentes Martingalmaß Q, wenn < d < 1 + r < u Existiert ein äquivalentes Martingalmaß Q, so ist dieses eindeutig und durch q = 1 + r d u d festgelegt, es gilt also mit Q = T t=1 Qt Q t ({u}) = q und Q t ({d}) = 1 q 113 / / 263 Behauptung Im CRR-Modell ist der Arbitragepreis eines Derivates X durch Aufgrund von Behauptung 3.9 gehen wir bei CRR-Modellen im Folgenden immer davon aus, dass < d < 1 + r < u gilt. Behauptung 3.1. Das CRR-Modell ist arbitragefrei. Behauptung Das CRR-Modell ist vollständig. Behauptung Ein Mehrperioden-Marktmodell ist genau dann vollständig, wenn jedes darin enthaltene Einperioden-Modell vollständig ist. t {,...,T } π X (t) = B(t) E (X /B(T ) F t ) gegeben, wobei E die Erwartung bezüglich des eindeutigen (zu P) äquivalenten Martingalmaßes P (für den auf den Zeitpunkt t = abgezinsten Preisprozess) darstellt, welches durch über mit p = 1 + r d u d P = T t=1 Qt Q t ({u}) = p und Q t ({d}) = 1 p festgelegt ist. 115 / / 263

30 Behauptung Der Arbeitragepreis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K, basierend auf einer Aktie S, ist im CRR-Modell gegeben durch t {,...,T } T t ( T t C(t) = (1 + r) (T t) j j= ) p j (1 p ) T t j (S(t)u j d T t j K) + Behauptung Im CRR-Modell ist die eine europäischen Call-Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K replizierende Handelsstrategie ϕ = (ϕ (t), ϕ 1 (t)) t {1,...,T } gegeben durch ϕ 1 (t) = C(t, S t 1u) C(t, S t 1 d) S t 1 (u d) ϕ (t) = uc(t, S t 1d) dc(t, S t 1 u) (1 + r) t (u d) 117 / / 263 Binomialapproximation Modellierung von Preisprozessen in stetiger Zeit mittels eines stochastischen Prozesses in stetiger Zeit einer Approximation mit einer Folge stochastischer Prozessen in diskreter Zeit Jetzt: Approximation der Preisprozesse in stetiger Zeit t [, T ] mittels einer Folge von CRR-Modellen in diskreter Zeit mit k n Handelszeitpunkten, wobei (k n ) eine wachsende Folge aus N sei Teile [, T ] in k n Teilintervalle der Länge n = T k n Handel nur in den Zeitpunkten: t n,j = j n, j {,..., k n } Modellierung des Bonds: Sei r n der risikolose Zins Preisentwicklung des Bonds: B(t n,j ) = (1 + r n ) j, j {,..., k n } Im zeitstetigen Modell: B(t) = e rt mit stetiger Zinsrate r > Falls für r n gilt 1 + r n = e r n folgt (1 + r n ) j = e rj n = e rt n,j 119 / / 263

31 Modellierung der risikobehafteten Anlage: Sei Z n,i = S(t n,i+1) S(t n,i ) {u n, d n } die relative Veränderung in der Handelsperiode i i + 1 (i {,..., k n 1}) mit P(Z n,i = u n ) =: p n = 1 P(Z n,i = d n ) mit einem noch zu bestimmenden p n (, 1) Aktienpreisprozess im n-ten CRR-Modell (mit k n Handelsperioden) S n (t n,j ) = S n () j Z n,i, j {1,..., k n } i=1 Annahme: Für jedes feste n gilt: Z n,1,..., Z n,kn unabhängige ZV n Nach Behauptung 3.9 ist das n-te CRR-Modell genau dann arbitragefrei, wenn d n < 1 + r n < u n Dieses ist in eindeutiger Weise charakterisiert durch p n = 1 + r n d n u n d n Damit ist das n-te CRR-Modell bis auf die Parameter u n und d n festgelegt. 121 / / 263 Wir wählen u n = e σ n und d n = e σ n Das risikoneutrale Maß für das n-te CRR-Modell ist dann gegeben durch pn = 1 + r n d n = er n e σ n u n d n e σ n e σ n Mögliche Preise der Aktie S zum Zeitpunkt T : S()u j nd kn j n, j {,..., k n } Mit Behauptung 3.13 folgt der Arbitragepreis C n () des europäischen Calls auf die Aktie S mit Strike K und Expiry T im n-ten CRR-Modell: C() = (1 + r n ) kn E (S(T ) K) + k n = (1 + r n ) kn j= ( kn j ) ( ) + pn j (1 pn) kn j S()und j n kn j K 123 / 263 Mit a n = min{j N S()u j nd kn j n k n ( kn > K} folgt ) ( ) pn j (1 pn) kn j S()und j n kn j K C n () = (1 + r n ) kn j j=a n k n ( ) ( ) kn p = S() n u j ( ) n (1 p n )d kn j n j 1 + r n 1 + r n j=a n k n ( ) kn (1 + r n ) kn K pn j (1 p j n) kn j j=a n { ( ) } p = S n () 1 Bin n u n, k n (a n 1) 1 + r n K(1 r n ) kn {1 Bin (p n, k n ) (a n 1)} Bemerkung: < p n u n 1+r n < / 263

32 Satz 3.3 (Black-Scholes-Formel für den Preis einer europäischen Call-Option). Mit obiger Notation gilt: C() := lim n C n() = S()Φ(d 1 (S(), T ) Ke rt Φ(d 2 (S(), T )) wobei d 1 (s, t) = log(s/k) + (r + σ2 2 )t σ t d 2 (s, t) = d 1 (s, t) σ t = log(s/k) + (r σ2 2 )t σ t und Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichne. Der Preis für die europäische Put-Option ergibt sich sofort über die Put-Call-Parität. Dieses Resultat wurde 1997 mit dem Nobelpreis für Ökonomie gewürdigt. 125 / 263 Bemerkung: Sei t [, T ] mit t/t rational, also gibt es a, b N mit t = a b T Wähle j n := na, k n := nb und n = T k n Dann gilt t = t n,jn = j n n Wir betrachten den Preisprozess S n im n-ten CRR-Modell Also gilt speziell S n (t n,j ) = S n () j Z n,i, j {,..., k n } i=1 S n (t) = S n (t n,jn ) = S n () j n Z n,i i=1 126 / 263 Schätzung der Volatilität Mit Methoden wie im Beweis zu Satz 3.3 kann gezeigt werden: ( S n (t) D S(t) := S() exp(tr) exp (tσ 2 Z 1 )) (n ) 2 mit einer N(, 1)-verteilten Zufallsvariablen Z Der stochastische Prozess S = (S t ) t T (Q [,1]) kann zu einem stochastischen Prozess in stetiger Zeit t [, T ] fortgesetzt werden. Dieser Prozess ist dann eine sogenannte geometrische Brownsche Bewegung mit Drift r S t ist lognormalverteilt mit Erwartungswert t(r σ 2 /2) und Varianz tσ 2 von log(s t /S ) unter Verwendung der historischen Werte des Aktienkurses S der an der Börse notierten Preise ähnlicher Optionen 127 / / 263