Statistische Anwendungen. Claudia Dilger

Transkript

1 Statistische Anwendungen Claudia Dilger

2 Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast! Quelle: unbekannt

3 Statistik - was ist das überhaupt? Stochastik Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik Berechnung anderer Wahrscheinlichkeiten aus bekannten W keiten Schätzung von Wahrscheinlichkeiten aus Beobachtungen

4 Stochastik von gr. stochastike techne = Ratekunst, Kunst des Vermutens Statistik von lat. statisticum = den Staat betreffend Unterscheidung zwischen: - deskriptiver (beschreibender) und - induktiver (schließender) Statistik Deskriptiv: Induktiv: Mathematische Beschreibung von Daten Ableitung von Eigenschaften einer Grundmenge durch Überprüfung von Stichproben

5 Wusstest du schon... Der durchschnittliche Regentropfen erreicht eine Geschwindigkeit von 35km/h. Das einzige Land, das 0 Geburten im Jahre 1983 verzeichnete, war der Vatikan. 53 Prozent Highschool Absolventen und 27 Prozent College Absolventen haben das meiste ihres Wissens aus dem Fernsehen. Jungen mit unkonventionellen Vornamen haben eher mentale Probleme, als Jungs mit einem üblichen Namen. Mädchen haben dieses Problem nicht.

6 In Schweden passieren die wenigsten Morde auf der ganzen Welt. Die Wahrscheinlichkeit, dass man von einem Flugzeug getroffen wird, das vom Himmel stürzt: 1 zu 25 Millionen. Wahrscheinlichkeit, dass es heute passiert: 1 zu 7 Trillionen. Kaffee ist das zweitgrößte Produkt auf der Liste des Internationalen Verkaufs auf der Welt. Statistisch gesehen ist das sicherste Alter 10 Jahre. Laut einer Studie 1991 wissen 49 Prozent der Amerikaner nicht, dass Weißbrot aus Weizen besteht.

7 Überblick: 1. Hypothesentests 2. Statistische Alternativprobleme 3. Der exakte Test von Fisher 4. Monte-Carlo-Methode

8 1. Hypothesentest: Was ist das? Die Untersuchung einer aufgestellten Vermutung auf Signifikanz Beispiel für einen einseitigen Test : Kann ein neugeborenes Küken Körner erkennen oder lernt es dies erst durch Erfahrung?

9 Durchführung des Experiments: Einem frisch geschlüpften Küken werden Kreise und Dreiecke gleicher Fläche aus Papier vorgelegt H 0 (Nullhypothese): Laplace-Verhalten des Kükens, p Kreis =1/2 H 1 (Gegenhypothese): Bevorzugung runder Objekte p Kreis >1/2

10 Unter einem Test versteht man eine Vorschrift, die angibt, ob man sich aufgrund der Versuchsbeobachtungen für H 0 oder H 1 entscheiden soll. Folgende Arten von Fehlern können auftreten: Ein Fehler erster Art: H 0 ist wahr und wird verworfen Ein fehler zweiter Art: H 0 ist falsch und wird angenommen Eine Fehlentscheidung lässt sie nie ausschließen!

11 Mögliche Versuchsdurchführung: Man lässt das Küken 16mal picken und zählt die Anzahl X, wie oft es auf einen Kreis gepickt hat. Mögliche Entscheidungsregel: Falls X<12: H 0 wird angenommen Falls X 12: H 0 wird verworfen Für die Hypothese H 1 sprechen also die Werte aus dem kritischen Gebiet K = {12, 13, 14, 15, 16}

12 Irrtumswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit α, einen Fehler erster Art zu begehen. Statistische Sicherheit: Die Wahrscheinlichkeit 1-α, keinen Fehler erster Art zu begehen. Forscher wählen das kritische Gebiet häufig so, dass die Abweichung auf dem 5%-Niveau gesichert ist

13 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis in das kritische Gebiet fällt, unter der Annahme, dass H 0 wahr ist. Mögliche Pickfolgen mit X K: Gleichwahrscheinliche mögliche Pickfolgen der Länge 16: 2 16 = In 3,84% der Fälle wird ein Fehler 1.Art begangen

14 Üblicherweise wird aus der Beobachtung und allen noch extremeren Werten erst nach Versuchsdurchführung das kritische Gebiet K definiert. Ist dann α = P(K), so kann man die Gegenhypothese mit einer statistischen Sicherheit von 1-α annehmen.

15 Beispiel für einen zweiseitigen Test : Sind Ratten farbenblind? Durchführung des Experiments: Ratten werden durch einen Gang geschickt, der sich in einen grünen und einen roten Gang verzweigt. H 0 : Ratten sind indifferent gegenüber den Farben; p = 1/2 H 1 : Ratten ziehen eine der beiden Farben vor; p<1/2 oder p>1/2

16 Ergebnis: Von den 10 Versuchsraten wählen X den grünen Gang. Sowohl große, als auch kleine Werte für X sprechen gegen H 0! zweiseitiger Test Angenommen X=8 Frage: Wie signifikant ist dieses Ergebnis?

17 Auswertung: K={0, 1, 2, 8, 9, 10} Mögliche Fälle: 2 10 = 1024 Für K günstige Fälle: Ergebnis reicht nicht aus zur Verwerfung von H 0

18 Vorgehensweise beim Hypothesentest: 1. Aufstellen einer Hypothese 2. Planung eines Experiments zu ihrer Überprüfung 3. Durchführung des Versuchs und Sammeln von Beobachtungsdaten 4. Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit α für einen Fehler 1.Art

19 2. Das statistische Alternativproblem Es seinen 9 Urnen mit je 3 Kugeln gegeben. In einer Urne befinden sich 2 schwarze und eine weiße Kugel, in den anderen 8 Urnen sei die Verteilung umgekehrt. Eine Urne wird zufällig ausgewählt und bei 12 Ziehungen mit Zurücklegen ergebe sich folgende Sequenz: Frage: Aus einer Urne welcher Verteilung wurde gezogen?

20 Berechnen der verschiedenen Pfade: sswwssswswss

21 Durch hinreichend viele Ziehungen kann die Art der Urne mit beliebig kleiner Irrtumswahrscheinlichkeit bestimmt werden. Das ist in der Praxis im Allgemeinen nicht praktikabel, denn: Qualitätskontrollen in der Industrie sind teuer Häufig zerstört die Prüfung das Werkstück Bei Medikamententests werden Menschenleben gefährdet

22 Ausweg: Wald scher Sequentialtest Objekte werden der Reihe nach geprüft, bis gewünschte statistische Sicherheit erreicht ist.

23 3. Der exakte Test von Fisher Bei Tests mit sehr großer Datenmenge ist die Auswertung meist recht eindeutig. Hat man nur eine geringe Zahl an Daten (z.b. bei Behandlung einer seltenen Krankheit), müssen die Ergebnisse sehr genau geprüft werden! Zur Veranschaulichung wird häufig eine Vier-Felder-Tafel genutzt:

24 Beispiel: Eine gefährliche Krankheit wurde bisher mit dem Mittel B behandelt. Ein neues Mittel A soll erprobt werden. Von 15 Patienten werden 8 mit A und 7 mit B behandelt, wobei keiner weiß, welches Mittel er bekommen hat. sterben überleben Summe Mittel A Mittel B Summe

25 Testen der Hypothese Das Schicksal der Patienten ist unabhängig von der Art der Medikamenteneinnahme Von den 15 Patienten wären 6 auf jeden Fall gestorben. Bei der Wahl der Versuchsgruppe für Mittel A wurden zufällig nur 2 von 6 Todgeweihten ausgewählt. Zu prüfen: Wie wahrscheinlich ist es, zwei oder weniger Todgeweihte auszuwählen?

26 Die Monte-Carlo-Methode Reale Vorgänge sind meist vom Zufall gesteuert und die Berechnungen oft sehr kompliziert. Ausweg: Simulation mit Zufallsgeräten Universelles Zufallsgerät: Zufallsziffern Monte-Carlo-Methode Beispielaufgabe: Wie viele Enten überleben im Durchschnitt, wenn 10 Jäger gleichzeitig unabgesprochen je einen Schuss auf 10 Enten abfeuern?

27 Bestimmung von Pi mittels der Monte-Carlo-Methode Ein Quadrat mit einbeschriebenem Kreis wird beregnet. Beispielsweise durch Interpretation von Zufallsziffern als Koordinaten eines darüberliegenden Gitters.

28 Teilt man nun die Anzahl der Kreistreffer durch die Anzahl der Randtreffer, erhält man einen Näherungswert für :

29 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Quellen: Siehe Ausarbeitung