6.1. Matrizenrechnung

Transkript

1 6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen werden mit großen Buchstben A, B, C, D, E, usw bezeichnet Vertuscht mn in einer (m,n)-mtrix A die Zeilen mit den Slten, so erhält mn die trnsonierte Mtrix A T vom Formt (n,m) Beisiel A 4 5 6, AT Definition (m,)-mtrizen heißen Sltenvektoren und werden mit kleinen Buchstben und Pfeilen r, b r, c r, usw bezeichnet (,n)-mtrizen heißen Zeilenvektoren und werden ls trnsonierte Sltenvektoren r T, b r T, c r T, usw geschrieben In der Physik dienen Vektoren zur Drstellung gerichteter Größen wie zb Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Krft und Imuls vehere (lt) fhren, befördern, vgl Vehikel Beisiel r 4, r T 4 Übungen Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr (Trnsonieren) Eine Mtrix A (n,n), bei der Sltenzhl und Zeilenzhl übereinstimmen, nennt mn qudrtische Mtrix Die Sltenzhl n heißt dnn uch Ordnung der Mtrix Die Hutdigonle einer qudrtischen Mtrix verbindet die Elemente,,, nn Beisiel A (4,4), 5, 5

2 Eine qudrtische Mtrix heißt obere (untere) Dreiecksmtrix, wenn lle Elemente unterhlb (oberhlb) der Hutdigonlen Null sind Beisiel B (4,4), 5, 5 Eine qudrtische Mtrix heißt Digonlmtrix, wenn lle Elemente ußerhlb der Hutdigonlen Null sind Beisiel C (4,4), 5 Eine Digonlmtrix, deren Hutdigonlelemente lle Eins sind, heißt Einheitsmtrix und wird mit E (n,n) bezeichnet Beisiel E (4,4) Eine Mtrix, deren Elemente lle Null sind, heißt Nullmtrix und wird mit (n,m) bezeichnet Beisiel (,4) 6 Multiliktion einer Mtrix mit einer reellen Zhl Beisiel Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr ) und b) Lösung von Aufgbe b) Um die Verteilung von Rohstoffen von jeweils ME Endrodukte uf jeweils ME umzurechnen, multiliziert mn die Verflechtungsmtrix B mit und erhält B Mn multiliziert eine Mtrix A mit einer reellen Zhl r, indem mn lle Elemente von A einzeln mit r multiliziert Die Multiliktion mit einer reellen Zhl ist kommuttiv Für eine reelle Zhl r und eine Mtrix A gilt r A A r Übung Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 6 Addition zweier Mtrizen Beisiel Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr c) Lösung von Aufgbe c) Um die Zhl der benötigten Zwischenrodukte vor und nch der Produktumstellung miteinnder vergleichen zu können, subtrhiert mn die beiden Mtrizen elementweise voneinnder und erhält die Differenzmtrix D D B B

3 Zwei Mtrizen gleichen Formts werden elementweise ddiert Die Mtrizenddition ist kommuttiv Für zwei Mtrizen A und A gleichen Formts gilt A + A B A 64 Multiliktion einer Mtrix mit einem Vektor Beisiel Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr d) Lösung zu Aufgbe d) Die benötigte Menge z ergibt sich, wenn mn die zu roduzierenden Mengen ( Elemente des Produktionsvektors ) einzeln mit den Bedrfsmengen ( Elemente des Zeilenvektors von B) multiliziert und nschließend ddiert z ME Entsrechend ergeben sich die Bedrfsmengen z und z durch Multiliktion des Produktionsvektors mit den beiden übrigen Zeilenvektoren der Mtrix B Zwischenrodukte z B * z z z Es werden lso z 4 ME Zwischenrodukt, z 9 ME Zwischenrodukt und z ME Zwischenrodukt für die Relisierung dieses Auftrges benötigt

4 Multiliktion eines Zeilenvektors von links mit einem Sltenvektor Mn multiliziert einen m-dimensionlen Zeilenvektor T von links mit einem m-dimensionlen Sltenvektor b, indem mn jeweils ds i-te Element von T mit dem i-ten Element von b multiliziert und nschließend die Summe bildet Multiliktion einer Mtrix von links mit einem Sltenvektor Mn multiliziert eine (l,m)-mtrix A von links mit einem m-dimensionlen Sltenvektor b, indem mn ncheinnder lle Zeilenvektoren von A mit dem Sltenvektor b multiliziert und die Ergebnisse in Form eines l-dimensionlen Sltenvektors untereinnder schreibt Achtung die Multiliktion ist nur möglich, wenn die Sltenzhl des linken Fktors mit der Zeilenzhl des rechten Fktors übereinstimmt! Übungen Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr e) und Nr Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 65 Linere Gleichungssysteme in Mtrizenschreibweise Beisiel Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr f) Lösung zu Aufgbe f) Der gegebene Zwischenroduktvektor z wird in die Verflechtungsgleichung eingesetzt B * z In diesem Fll muss die Verflechtungsgleichung erst nch ufgelöst werden Dfür formuliert mn die Mtrizengleichung wieder ls LGS und wendet ds Digonlverfhren (siehe 4) n * * * Ds Gleichungssystem besteht us Gleichungen für 4 Vriblen, so dss es nicht gelingt, lle Vriblen bis uf eine zu eliminieren In jeder Gleichung bleiben mindestens zwei Vriblen übrig Es hndelt sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen, die von einer willkürlich ls Prmeter usgewählten Vriblen bhängen Bestimmt mn 4 t ls frei wählbren Prmeter (t R), so lssen sich, 4

5 und in Abhängigkeit von t berechnen und mn erhält t 4 9 t 9 4 t 45 t t t 45 R D nur ositive gnzzhlige Produktionszhlen relisierbr sind bleibt nur eine einzige Lösung, nämlich für t 4 Probe B * 4 Antwort Der Lgerbestnd lässt sich restlos ufbruchen, wenn 4 ME E und ME E roduziert werden Übungen Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr 66 Multiliktion zweier Mtrizen Beisiel Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr g) Lösung zu Aufgbe g) Die Rohstoff-Zwischenrodukt-Mtrix A und die Zwischenrodukt-Endrodukt-Mtrix B hben lso die folgende Gestlt mit t E E E E 4 Z Z Z Z R,, Z R,,5 Z Die Rohstoff-Endrodukt-Mtrix ist dnn E E E E 4 R 4 7 R 6 Die für die Herstellung von ME E benötigte Menge n Rohstoff beträgt nch dem Digrmm r, , 4 ME Aus den Tbellen erhält mn diesen Ausdruck durch Multiliktion des zu E gehörenden Sltenvektors mit dem zu R gehörenden Zeilenvektor Für den Bedrf r multiliziert mn den gleichen zu E gehörenden Sltenvektor mit dem zu R gehörenden Zeilenvektor und erhält r, ,5 6 ME Der Sltenvektor für E in der Mtrix C entsteht lso durch Multiliktion des Sltenvektors für E der Mtrix A mit der komletten Mtrix B Entsrechend erhält mn den Sltenvektor für E in der Mtrix C durch Multiliktion des Sltenvektors für E in der Tbelle A mit der komletten Mtrix B, , 7, ,5 Auf die gleiche Art erhält mn die Sltenvektoren bzw Bestelllisten für E und E 4 Die Rechnung lässt sich übersichtlicher in Mtrizenschreibweise drstellen 5

6 Gegeben sind die Inut-Outut-Mtrizen A,,,,5 und B für die Verhältnisse Rohstoffe-Zwischenrodukte und Zwischenrodute-Endrodukte Die gesuchte Mtrix C für ds Verhältnis Rohstoffe-Endrodukte erhält mn durch Multiliktion der Mtrizen A und B C A B,,,,5,,,,5 4 7, 4 7 6, , 4 7 6, 4 45 Multiliktion zweier Mtrizen Mn multiliziert eine (l,m)-mtrix A von links mit einer (m,n)-mtrix B, indem mn die (l,n)-mtrix C so bildet, dß in Slte i und Zeile j ds Produkt us dem i-ten Sltenvektor von B mit dem j-ten Zeilenvektor von A steht Bemerkungen Ds Produkt A*B läßt sich nur berechnen, wenn die Sltenzhl ( Länge der Zeilenvektoren) von A und die Zeilenzhl ( Länge der Sltenvektoren) von B übereinstimmen Die Mtrizenmultiliktion ist nicht kommuttiv, dh im llgemeinen ist A*B B*A! Beisiel 4 B (,) A (,) A (,) C (,) B (,) D (,) A (,) B (,) C (,) B (,) A (,) D (,) Übungen Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 4 und 5 Anwendungsufgben zur Mtrizenrechnung Nr 4-6 6

7 67 Regeln für ds Rechnen mit Mtrizen Beisiele Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 6 und 7 Rechenregeln für beliebige Mtrizen Assozitivgesetz (A*B)*C A*(B*C) Distributivgesetze von links und von rechts A*(B + C) A*B + A*C und (A + B)*C A*C + B*C Vorussetzung ist ber, dß Multiliktion und Addition überhut möglich sind, dh, dß die Formte der Mtrizen zusmmenssen! Beisiele Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 8 Rechenregeln für qudrtische Mtrizen Potenzen A E, A A, A + A * A 4 Potenzgesetze A + q A * A q und A q (A ) q 5 Neutrles Element ist die Einheitsmtrix E A*E E*A A Beisiele Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 9 Rechenregeln für trnsonierte Mtrizen 6 Addition Für zwei Mtrizen A und B mit gleichem Formt gilt (A + B) T A T + B T 7 Multiliktion mit reellen Zhlen (r A) T r A T für r R 8 Multiliktion zweier Mtrizen Für eine (l,m)-mtrix A und eine (m,n)-mtrix B gilt (A*B) T B T *A T Der Stz vom Nullrodukt gilt nicht für Mtrizen, dh, es existieren Mtrizen A und B mit A* B Beisiel Übung Aufgben zur Mtrizenrechnung Nr 7