Die Berechnung der Gravitation eines kugelförmigen Körpers und einer runden Fläche

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1 Die Beechnung de Gavitation eines kugelfömigen Köpes und eine unden Fläche ausgeabeitet von: Dpl. Ing. Matthias Kause Kichzaten, den (letzte Ändeung ) Copyight: Alle Rechte bleiben allein dem Vefasse vobehalten Zielsetzung Diese Aufsatz soll zwei unteschiedliche Beechnungsmöglichkeiten des Gavitationsfeldes in und um kugelfömige Köpe betachten. Die Egebnisse weden an entspechenden Beispielen veglichen und diskutiet. In einem zweiten Teil efolgt anschließend die Ableitung des Gavitationsfeldes fü die flächenhafte Ausdehnung von Massen. Die gaphischen Dastellungen mit ihen Egebnissen, die in diesem Aufsatz Vewendung finden, weden aus eine Modell-Exceldatei entnommen, mit deen Hilfe eine diskete Beechnung de Gavitation duchgefüht weden kann. 1. Gundlegendes zu Beechnung Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Gavitationsbeechnung in und um einem kugelfömigen Köpe duchzufühen. 1.1 Die zentumsbezogene, integale Rechenweise, die nu mit den Innenmassen abeitet. (Dezeit am häufigsten vewendete Beechnungsmethode.) Zu Beechnung weden in de Ableitung nu die Massen, die innehalb de visuellen Bahn des betachteten Massepunktes um das galaktische Zentum liegen, betachtet. Die Ableitung de Gavitation fü kugelfömige Köpe wid unte Punkt in alle Ausfühlichkeit nachvollzogen. Gaphik 1 Die zentumsbezogene integale Rechenweise Gaphik Die diskete, meßpunktbezogene Rechenweise 1. Die diskete, meßpunktbezogene Beechnung wid duch zahleiche Einzelbeechnungen mit eine Modelldatei ealisiet, in de die Massen geastet sind. In de gleichen Datei weden die Einzelbeechnungen dann zusammengefasst und in die jeweiligen Paamete umgeechnet. Vewendet weden in diesem Modell alle! Einzelmassen de geasteten Kugel, sowohl die Innen- als auch die Außenmassen de galaktischen Kugel bzw. Fläche. Zu Beechnung weden alle gavitativ elevanten Gößen beücksichtigt. 1

2 Betachtet weden die beiden unteschiedlichen Beechnungsmöglichkeiten und die Egebnisse deselben. Die diskete Beechnung efolgt an einem galaktischen Kugel- und Flächenmodell, das otationssymmetisch aufgebaut ist und insgesamt 5056 Massenpunkte fü die Kugel bzw. 357 fü die Fläche enthält. Vom Zentum ausgehend gibt es 10 Messpunkte bis zum Rand. Es wid ewatet, dass beide Modelle vegleichbae Egebnisse liefen. Eine gewisse Abweichung zwischen den Egebnissen wid duch die diskete Ausechnung (Rasteung) ewatet, diese Abweichung sollte sich abe deutlich im unteen einstelligen Pozentbeeich (ca.1%) als Toleanz befinden.. Die Ableitung de Gavitation in de zentumsbezogenen, integalen Rechenweise nach Alonso & Finn 1 Diese Ableitung ist eines de Standadweke zu diesem Thema, die wohl jede Student de Physik veinnelicht hat. Es wid an diese Stelle die Ableitung möglichst sinngemäß, abe mit eigenen Woten wiedegegeben : Alle Fomeln, die die Gavitation beteffen, gelten genau genommen stets fü Punktmassen. In de Beechnung des Laufes de Planeten um die Sonne sind die Abmessungen de kugelfömigen Köpe im Vehältnis zu ihem Abstand venachlässigba klein. Sie können deshalb als Punktmassen gelten. Nähet man sich abe eine kugelfömigen Masse, so ist zu untesuchen, ob die bishe fü Punktmassen vewendeten Fomeln auch fü voluminöse Köpe bei kuze Distanz gelten. Selbst Newton wa sich wegen diese Fagen nicht siche und veschob seine Veöffentlichungen übe die Gavitation um bald zwei Jahzehnte. Est als e eine Ekläung gefunden hatte, veöffentlichte e sein Wek. Die Anziehungskaft zwischen den Massen wid beechnet mit de Fomel m M F = γ (F 1) Es soll das Gavitationsfeld eine Kugelobefläche mit gleichmäßige Massenveteilung untesucht weden. Diese Kugel ist innen lee. Es wid zuest eine außehalb liegende Masse P betachtet. Gaphik Beechnung des Gavitationsfeldes fü einen Punkt, de sich außehalb eine Masse befindet, die gleichmäßig übe eine Kugelobefläche de Hohlkugel veteilt ist. 1 Ableitung stak angelehnt an die Themenbehandlung im 1. Teil de Reihe Fundamental Univesity Physics von Alonso & Finn Deutsche Fassung: M. Alonso/ E.J.Finn, Physik 3. Auflage (000) Oldenboeg Velag /S. 318 ff Die Gavitation eines kugelfömigen Köpes

3 Zu Käftebeechnung unteteilen wi die Kugelobefläche in keisfömige schmale Steifen, die alle ihen Mittelpunkt auf de Linie AB haben. De Radius eines jeden Steifens ist R = a sinθ und die Beite ist ad θ. Die Obefläche eines jeden Steifens ist Länge x Beite = ( πa sinθ ) ( adθ ) = πa sinθdθ. Wenn m die Gesamtmasse de Kugel ist, dann ist die Masse pe Obeflächeneinheit m 4πa 1 = Masse eines Steifens ist dann ( πa θ dθ ) m θ dθ sin sin m 4πa und die Alle Punkte des Steifens haben den gleichen Abstand R von P. Das gavitative Potential eines Steifens, de auf P wikt ist dann 1 γ m sinθ dθ γ m dv = = sinθ dθ R R (F1.1) Aus Gaphik folgt, dass R = a + a cosθ 0. Duch diffeenzieen folgt hieaus, daß a und konstant sind. R dr = a sinθ dθ sinθ dθ = Daduch können wi im Vegleich zu dv esetzen, und wi bekommen γ m dv = dr a R dr a Um das ganze Potential de Kugelobefläche zu bekommen, müssen wi integieen, wobei die Genzen fü R duch + a und - a festgelegt sind. (F) V + a γ m = a a γ m dr = a ( ) γ m = Fü > a (F3) Fü eine innenliegende Masse wid die Gavitation wie folgt abgeleitet Gaphik 3 Beechnung des Gavitationsfeldes fü einen Punkt innehalb eine Masse, die gleichmäßig übe eine Obefläche veteilt ist. 3

4 Wenn P innehalb de Kugel mit Abstand R, also zwischen den Genzen von a + und a - liegt, so wid de Wet fü das Potential fü R V a+ γ m = a a γ m dr = a ( ) γ m = a Fü < a (F4) Bzw. wi ehalten einen konstanten Wet, de unabhängig von de Lage von P ist. Duch Anpassen von Fomel (F1) finden wi fü die Feldstäke, die auf Punkte wikt, die außehalb de Kugelobefläche liegen m = γ G e Fü > a (F5) Und fü Punkte die innehalb de Kugelobefläche liegen G = 0 Fü < a (F6) Wenn wi die Fomeln (F3) und (F5) mit den entspechenden Fomeln fü die Flächenbeechnung vegleichen, kommen wi zu folgende Zusammenfassung: Die Feldstäke und die Enegie zeigt fü Punkte außehalb eine Masse, die gleichmäßig übe eine Kugelobefläche veteilt ist, die gleiche Feldstäke und ein gleich hohes Potential auch dann an, wenn man die gleiche Masse im Mittelpunkt de Kugel platzieen wüde. Fü alle Punkte innehalb de Hohlkugel ist die Feldstäke gleich Null und die Enegie ist konstant. 1 G V 1 G V M G=0 a M V=0 a m γ a V m = γ a Gaphik 4 Veändeung von G und V als Funktion des Abstandes zum Mittelpunkt fü eine Masse, die gleichmäßig übe eine Kugelobefläche veteilt ist. Nach de Hohlkugelbeechnung wid nun eine Vollkugel auf ih gavitatives Vehalten hin untesucht. Die Gaphik 4 zeigt die Veändeung von G und V als Funktion des Abstandes zum Mittelpunkt de Kugel. Geht man, aus dem Unendlichen kommend, von außen zum Mittelpunkt, so veändet sich das Potential beim Passieen de Kugelschale nicht (Die Steigung veändet sich wohl ungleichmäßig), wähend die gavitative Feldstäke G eine plötzliche Veändeung efäht und entspechend de Fomel (F5) unvemittelt zum Mittelpunkt hin auf Null abfällt. 4

5 Gaphik 5 Beechnung des Gavitationsfeldes fü einen Punkt außehalb eine massiven Kugel. Wenn σ die Massendichte auf eine Kugel ist, dann ist m =4Πa σ, so dass de Spung beim Passieen de Kugelobefläche in de Feldstäke gleich -4Πγσ ist. Es ist das gleiche Egebnis, wie fü eine Massenveteilung in eine ebenen Fläche. Fläche und Kugel vehalten sich in ihe gavitativen Wikung gleich. Untestellt man, dass die Massen im Kugelvolumen gleichmäßig veteilt sind, die Kugel also massiv ist, so können wi die Kugel als eine Summe aus laute dünnen Kugelschalen auffassen. Jede Kugelschale liefet eine Feldstäke, wie duch die Fomeln (F5) und (F6) vogegeben. Fü einen Punkt außehalb de Kugel weden, weil de Abstand von P zu den Mittelpunkten alle Kugelschalen gleich ist, die Massen aufgeteilt, so dass man wiede zu dem Egebnis von Fomel (F5) kommt. Deshalb gibt eine massive, gleichmäßig massenveteilte Kugel den Punkten außehalb de Kugel eine Feldstäke und ein Potential vo, die dem entspechen, als wenn alle Massen de Kugel im Mittelpunkt zu eine vegleichba goßen Punktmasse veeint wäen. Dieses Postulat gilt auch, wenn die Kugel nicht homogen ist, sofen sie eine kugelsymmetische Veteilung de Massen aufweist, ebenfalls geltend fü den Fall, dass die Massendichte allein vom Abstand zum Mittelpunkt de Kugel abhängt. Dies gilt nicht fü eine Massenveteilung, die von de Richtung abhängt. Gaphik 6 Beechnung des Gavitationsfeldes fü einen Punkt innehalb eine massiven Kugel. Um nun die Feldstäke innehalb eine homogenen Kugel zu finden, betachten wi einen Punkt P, de einen Abstand von < a vom Mittelpunkt hat. Wi zeichnen in die massive Kugel einen Radius ein und bemeken, dass die Schalen mit einem Radius, de göße als ist, nichts zu Feldstäke in Punkt P beitagen, weil P innehalb liegt, wähend die esultieende Feldstäke von allen Schalen mit einem Radius de kleine als ist, ein Feld liefet, wie in Fomel (F5). Wenn m die Masse ist, die in eine Kugel mit Radius liegt, dann ist dies die Feldstäke in P: m = γ G e (F7) M G linea a Gaphik 7 zeigt die Veändeung von G fü eine massive homogene Kugel als Funktion des Abstandes zum Mittelpunkt de Kugel. Das Volumen eine Kugel ist dann aus m 3 m = π π a π a 4 m = 3 a 3 3. Die Masse m folgt 5

6 Wenn wi alles in Fomel (F7) einsetzen, finden wi zum Schluss fü die Feldstäke innehalb de Kugel m = γ a G 3 Die Feldstäke innehalb eine homogenen Kugel ist deshalb abhängig vom Abstand zum Mittelpunkt (siehe Gaphik 7). Wi übelassen es dem Lese nachzuvollziehen, dass das Gavitationspotential fü einen Punkt außehalb de homogenen Kugel einen Wet hat, de gemäß Fomel (F4) meh gilt, als fü einen Punkt, de innehalb de Kugel liegt. ( a ) m V = γ 3 Fü < a 3 a Wenn wi statt eine homogenen Kugel einen Köpe mit eine andeen Fom von Symmetie, zum Beispiel eine nicht homogene Kugel betachten, müssen wi beachten, dass plötzlich Fehle in den Fomeln aufteten. Meh als alle Pobleme mit de Kugelsymmetie hängen die gavitativen Eigenschaften eine massiven, homogenen Kugel allein vom Abstand des Punktes P von dem Mittelpunkt de Kugel ab. Die Lösung viele physikalische Pobleme bei de Gavitationsbeechnung gelingt duch eine Anpassung an Symmetiebetachtungen. So wid duch diese Veeinfachung das Poblem in eine ansehnliche Mathematik umgewandelt. Die Gavitationswikungen zwischen zwei homogenen Kugeln hängt allein vom Abstand zwischen den Mittelpunkten ab. Zusammenfassung: Am Anfang dieses Kapitels wude die Fage gestellt, ob die Fomeln, die die Gavitation beteffen und nu fü Punktmassen gelten, auch fü voluminöse Köpe ihe Gültigkeit behalten. Diese Fage ist beantwotet. Alle Fomeln, die die Gavitation beteffen, gelten unte bestimmten Bedingungen - sowohl fü Punktmassen als auch fü kugelfömige Köpe. Kugelfömige Köpe können dann als Punktmassen gelten, wenn nu die Massen in de Rechnung beücksichtigt weden, die innehalb eine (die Gavitation kompensieenden) Umlaufbahn des Punktes P liegen. Die Massen außehalb diese Umlaufbahn finden keine Beücksichtigung. Und de kugelfömige Köpe sollte otationssymmetisch aufgebaut sein, sodass die Massen im Mittelpunkt des Volumens zusammengefasst weden können. M und liegen damit fest und können zu Beechnung von F eingesetzt weden. 3. Die Ableitung de Gavitation in de meßpunktbezogenen, disketen Rechenweise Zu disketen Rechenweise sind gundsätzliche Übelegungen anzustellen, aus denen ein neue Ansatz esichtlich wid. Es sind zwei Möglichkeiten gegeben, die im zweiten Kapitel ausfühlich als Egebnis dagestellt wuden. 1. Es wid davon ausgegangen, dass im Mittelpunkt eines kugelfömig, punktsymmetischen Köpes die Gavitation sich nicht spüen lässt. (Also aufgehoben ist.). Es ist davon auszugehen, dass innehalb eine Hohlkugel keine Gavitation spüen lässt (sich aufhebt), wenn die Massen auf de Obefläche de Kugel gleichmäßig veteilt sind. Es ist nun die Fage zu stellen, was geschieht, wenn die Massen ungleichmäßig, also asymmetisch veteilt sind. Betachten wi zunächst den estgenannten Ansatz, dass sich an einem Punkt P, de sich im Mittelpunkt eine Massenveteilung befindet, keine Gavitation spüen lässt (sich aufhebt). e 6

7 Gaphik 8 Im Mittelpunkt eine homogenen massiven Kugel ist die Gavitation = 0 Die Massenveteilung in diesem kugelfömigen Köpe ist gleichmäßig. Die den Mittelpunkt umgebenden Massen de Kugel heben sich dann in ihe gavitativen Wikung auf, wenn sie, vom Mittelpunkt aus betachtet, sich gleichweit und genau entgegengesetzt gegenübeliegen. Daaus folgt, dass de Punkt P im Mittelpunkt keine Gavitationswikung efäht. Gaphik 9 Lässt man nun P aus dem Mittelpunkt de Kugel zum Rand wanden, so bleibt die Aufhebung de Gavitation fü alle P umgebenden Massen auch dann ehalten, solange sie sich gleichweit und gegenübeliegend von P befinden. P liegt dann im Zentum ode im Mittelpunkt eines linsenfömigen, punktsymmetischen Volumens, in dem sich alle Massen in ihe gavitativen Wikung in Bezug auf P aufheben. Dieses linsenfömige Volumen wid gebildet duch Spiegelung an eine othogonal zum Radius im Abstand gelegenen gedachten Fläche. Diese Fläche bildet zusammen mit de nahezu halbkugeligen Wölbung mit de Höhe a einen Kugelabschnitt (in de Gaphik als Keisabschnitt sichtba). Spiegelt man diesen Kugelabschnitt in P um 180 Gad, so egibt diese Kugelabschnitt zusammen mit de Spiegelung desselben, ein linsenfömiges, symmetisches Volumen, in dessen Mittelpunkt ode Zentum sich P befindet. Gavitative Wikungen auf P gehen von diesem linsenfömigen Volumen nicht aus, da sich alle Massen, die von P aus gesehen sich gegenübeliegen und gleichweit entfent sind, sich in ihe gavitativen Wikung auf P aufheben. Von de massiven Gesamtkugel bleibt nach Abzug des linsenfömigen Volumens nu ein beche- ode schalenfömiges Volumen, das gavitativ auf P wikt. Es liegt unmittelba links des linsenfömigen Volumens. Duch dieses beche- ode schalenfömige Volumen entsteht eine Asymmetie in de Massenveteilung de Gesamtkugel in Bezug auf Punkt P. Dem aufmeksamen Lese wid nicht vebogen geblieben sein, dass sich, das sich ja auf den Mittelpunkt des kugelfömigen Gesamtköpes bezieht, nun fü die gavitative Beechnung nicht meh elevant sein kann. Auch die Masse des nun bedeutungslos gewodenen Innenkeises aus de integalen, zentumsbezogenen Beechnung, ist veschieden von de Masse des beche- ode schalenfömigen Volumens. De Radius und die Innenkeismasse befinden sich ganz im Beeich de sich gegenseitig aufhebenden gavitativen Käfte und sind damit bedeutungslos. Betachten wi den zweitmöglichen Ansatz. Als Egebnis de Ableitung im zweiten Kapitel wude festgestellt, dass sich im Inneen eine Hohlkugel keine gavitativen Käfte auswiken. In de nun folgenden Gaphik 10 wid diese Hohlkugel zentisch im Inneen eine massiven Kugel dagestellt. Die Hohlkugel ist so goß, das sich P mit seine ganzen Innenbahn im Inneen de Hohlkugel befindet Es gibt damit keine Innenmassen, von denen P angezogen weden könnte. Es bleibt dem weten Lese übelassen, die sich egebenden Folgeungen in de Gaphik selbst nachzuvollziehen. Gezeigt weden die gavitativen Käfte und die unteschiedlichen Radien. Das aus de integalen, zentumsbezogenen Beechnung wid zu vis. umbenannt, weil sich die Innenbahn des Punktes P nu noch als eine visuelle Umlaufbahn dastellt. 7

8 Das Egebnis diese Betachtung ist fü beide Ansätze gleich. Im Innenbeeich de massiven Kugel gibt es keine gavitativen Kaftwikungen auf Punkt P von Massen, die nahe dem Zentum sind. Einzig das bechefömige Volumen im Randbeeich, in Gaphik 9 und 10 sichelfömig dagestellt, übt eine gavitative Wikung auf P aus. Gaphik 10 Es handelt sich in diese Gaphik um eine ein schematische Dastellung alle Kuven. Auch die Masse des bechefömigen Volumens kann nicht einfach zu einem gemeinsamen Schwepunkt zusammengefasst weden, da sich die Massen gegenseitig teilweise aufheben und auch unteschiedlich stak auf P, je nach Entfenung, einwiken. Im Rahmen dieses Aufsatzes wid keine genaue Beechnung duchgefüht, diese kann in einem weiteen Aufsatz in diese Webseite nachvollzogen weden. Es wid empfohlen, beide Aufsätze im Zusammenhang zu lesen. Es weden nu die Käfte, nicht die Massen, de einzelnen Massepunkte des bechefömigen Volumens zusammengefasst und in einem gemeinsamen Dehpunkt mit dem Abstand gav. von P festgelegt. (ot makiet in de Gaphik 9) Die Käftesumme des bechefömigen Volumens kann nun in ein entspechendes Massenäquivalent umgeechnet weden. Duch Umwandeln von (F1) ehalten wi: M gav F = γ m F = γ m gav.. in gav. umbenennen (F8) So ehalten wi die anziehende Masse (als Äquivalent), den Radius gav., aus de Zusammenfassung, und die Gavitation, die auf P wikt. Die diskete Beechnung kann zunächst nicht übe eine zusammenfassende Fomel gelöst weden. Sie wid abe möglich, indem man eine massive Kugel in eine möglichst goße Anzahl von Einzelpunkten aufteilt. Duch diese Rasteung entsteht eine Vielzahl von Einzelechnungen, die dann sinnvoll zu einem Egebnis zusammengefasst weden können. Mit den heutigen Möglichkeiten eine computegestützten Beechnung ist das ja auch duchaus mit einfachen Mitteln möglich. Es wude fü die diskete Beechnung ein Kugelmodell in EXCEL entwofen, das mit 5065 Massepunkten abeitet. Das Mehköpepoblem in de Beechnung eine Galaxie und de Viialsatz und seine Anwendung M. Kause 3/005 8

9 Bedingt duch die Rasteung ist mit nicht absolut genauen Egebnissen zu echnen. De Fehle liegt bei ca. 1% elative Toleanz. Dies ist angesichts des Umfangs de disketen Beechnung ein vetetbae Fehle. Es wuden 10 Messpunkte +1 Mittelpunkt vom Zentum bis zum Rand de massiven Kugel festgelegt. Fü jeden Messpunkt müssen die Käfte de andeen 5064 Massenpunkte neu beechnet weden, so dass die Gesamtsummen de Beechnungen bei übe Einzelechnungen liegt. Das Egebnis de disketen Beechnung des Gavitationsfeldes wid nun in de folgenden Gaphik dagestellt. Gaphik 11 Es sind (links im Bild) die Egebnisse fü eine Hohlkugel, deen G G Massen auf de Obefläche gleichmäßig veteilt sind und fü eine massive Kugel (echts im Bild) M a G=0 M a dagestellt. In beiden Kugeln wude fü P die Gavitation innehalb und außehalb beechnet. Vegleicht man die Egebnisse mit de integalen, linea zentumsbezogenen Beechnung, so stellt man fest, dass sich die Egebnisse entspechen. Die diskete, meßpunktbezogene Beechnung und die zentumsbezogene, integale Beechnung fühen beide, innehalb und außehalb eine massiven homogenen Kugel ode Hohlkugel zu den gleichen Egebnissen bei de auf den Punkt P wikenden Gavitationskaft! De Aufwand ist alledings bei de disketen Beechnung eheblich göße. Die diskete Methode hat abe einen entscheidenden Voteil gegenübe de zentumsbezogenen, integalen Beechnung. Die Massen können im Rahmen de Kugelsymmetie beliebig veändet weden und man handelt sich deswegen keine Fehle ein, wie das beim Modell 1 de Fall wäe. Einnen wi uns an den Satz aus Kapitel :.. Wenn wi statt eine homogenen Kugel einen Köpe mit eine andeen Fom von Symmetie, eine nicht homogenen Kugel betachten, müssen wi beachten, dass Fehle in den Fomeln aufteten. Diese Fehlequelle gibt es bei de disketen Beechnung nicht. Betachten wi nun den beeits ekannten Umstand de Veschiedenheit de Ausgangswete (, M), also von de gavitativ wikenden Masse M und dem Radius, in den beiden Beechnungsmodellen. Es ist schon estaunlich, dass die Gavitation als Egebnis in beiden Modellen gleich ist und die Ausgangswete, die zum gleichen Egebnis fühen, unteschiedliche nicht sein können. Vegleichen wi zunächst die Wete de anziehenden Massen de beiden Rechenmodelle miteinande. Gaphik 1 Es ist deutlich zu ekennen, wie unteschiedlich die auf P wikenden Massenanteile in den beiden Modellechnungen de massiven Kugel sind. Die disket emittelten Massenwete (Massenäquivalenz) de pinkfabenen Kuve weden selbst außehalb de Kugel nicht den absoluten Massenwet de massiven Kugel eeichen. De Gund liegt in den sich teilweise aufhebenden gegenübe von P liegenden Massen de Kugel. Liegen sie sich um 180 gegenübe, so wäe ihe gavitative Wikung auf P (bei gleiche Entfenung) gleich Null. Wid de Winkel kleine, so heben sie sich entspechend dem Käftepaallelogamm, nu noch teilweise auf. Die schwaze Kuve, de Innenmassenzuwachs de Kugelschalen bei de integalen Beechnung, geht beim Passieen de Kugelobefläche in eine Geade übe, da ein weitee Massenzuwachs nicht meh stattfindet. Es ist einsichtig, das bei gleichen Käften (als Egebnis) in den unteschiedlichen Rechenmethoden (integal und disket) abe unteschiedliche 9

10 Massen als Ausgangswet, zwangsläufig die Radien in den beiden Modellen auch unteschiedlich sein müssen. Auch dies soll gaphisch dagestellt weden. Gaphik 13 De Radius bei de integalen, zentumsbezogenen Beechnung ist stetig ansteigend und zeigt den Abstand zwischen P und dem Mittelpunkt de massiven Kugel an. De Radius fü die diskete, meßpunktbezogene Beechnung zeigt den Abstand zwischen P und dem gavitativen Dehpunkt de gavitativ wikenden Massen de massiven Kugel an. Diese Radius heißt gav. und ist zu untescheiden von vis. (= visuell), da de Innenkeis von P in de disketen Beechnung eine Libationsbahn und nicht die tatsächliche gavitative Bahn dastellt. Diese Libationsbahn ist nu die sichtbae (visuelle) Bahn von P um den Mittelpunkt de massiven Kugel. Man ekennt, dass eine auf die unteschiedlichen Radien ode auf die unteschiedlichen Massen aufbauende weitefühende Beechnung, fü die integale und fü die diskete Beechnung zu unteschiedlichen Egebnissen fühen muss. Möchte man z.b. die visuelle Umlaufgeschwindigkeit von P um den Mittelpunkt de massiven Kugel ausechnen, so ehält man folgeichtig auch unteschiedliche Geschwindigkeiten. Gaphik 13 Mit de disketen Rechenmethode ehält man im Randbeeich de Kugel, bei gleichmäßige Massenveteilung, eine höhee visuelle Umlaufgeschwindigkeit von P um den Mittelpunkt de Kugel. Bei eine ungleichmäßigen Massenveteilung, wenn meh Massen im zentalen Beeich de Kugel angesiedelt sind, wid, zwa in abgeschwächte Fom, auch die visuelle Umlaufgeschwindigkeit im Randbeeich höhe sein, als bei de integalen Beechnung. 4. Zusammenfassung fü die Beechnung de Gavitation eines kugelfömigen Köpes Fasst man die bisheigen Egebnisse zusammen, so wid kla, das die beiden Rechenmethoden zu unteschiedlichen Egebnissen fühen. Einzig fü die Beechnung de gavitativen Kaft ist die integale Methode die schnellee Möglichkeit um zu einem in diesem Fall koekten Egebnis zu kommen. Dieses gleiche Egebnis mit den beiden Rechenwegen zu Beechnung de gavitativen Kaft soll genaue untesucht weden ( * siehe weite unten) 10

11 Einschänkend sollte abe gesagt weden, dass bei de integalen Rechenmethode, nu bei gleichmäßige Massenveteilung innehalb de Kugel, ein ichtiges Egebnis fü die gavitative Kaft zu ewaten ist. Andes vehält es sich mit de disketen, meßpunktbezogenen Rechenmethode, sie ist zwa eheblich aufwendige und auch nu mit Hilfe eines Rechnes paktikabel einsetzba, dafü ist sie abe fü jede Gavitationskäftebeechnung univesell bei jede kugelsymmetischen Massenveteilung einsetzba. Es konnte gezeigt weden, dass die Basiswete fü die Gavitationsbeechnung (de anziehenden Masse und des elevanten Radius) in den beiden Rechenmodellen nicht nu eheblich voneinande abweichen, sonden sich in gewissen Genzen als gegenläufig dastellen. Daaus folgt, dass im voliegenden Fall jede weitee Beechnung mit den unteschiedlichen Basisweten zu unteschiedlichen Egebnissen fühen kann. Weitehin wid bei de disketen Rechenmethode eine visuelle (scheinbae, von einem otsunabhängigen Inetialbeobachte wahnehmbaen) Umlaufgeschwindigkeit um den Mittelpunkt de massiven Kugel nu übe den gavitativen Umlauf eechnet. Beide Umlaufzeiten (de gavitative, sowie de visuelle) dauen gleichlang, haben abe unteschiedliche Umlaufgeschwindigkeiten. (Gaphik 13) Die Folgen diese unteschiedlichen Egebnisse bei de Umlaufgeschwindigkeitsbeechnung sind abe noch weiteichende. Vesucht man bei eine fenen Galaxie die Masse deselben übe die visuelle Umlaufgeschwindigkeit de sie umundenden Massen zu bestimmen, so wid mit de integalen, zentumsbezogenen Beechnung zwangsläufig eine zu goße Masse eechnet weden. Diese Rechenfehle füht dann unausweichlich zu de iigen Annahme eine nicht sichtbaen dunklen Mateie. Siehe auch den Vegleich zwischen Integale und diskete Beechnung in eine weiteen Abeit hie im Foum. 3 * Was ist de Gund dafü, dass die diskete und die integale Rechenmethode zu einem gleichen Egebnis nu in de gavitativen Käftebeechnung fühen? Untesucht man die Heleitung de Fomeln fü die integale, zentumsbezogene Beechnung genaue, so ist folgendes festzustellen: Es sind zwei gegenläufige Fehle (Untelassungen), die in de Heleitung gemacht weden, die sich bei de Integation wiede gegenseitig aufheben. Es sind keine Fehle in de mathematischen Heleitung, diese ist koekt nach den Regeln efolgt. Es sind zwei gedankliche Fehle, genaue gesagt, es sind Untelassungen, die gemacht wuden. Wobei de zweite Fehle in einem andeen physikalischen Beeich, zum Beilspiel de Statik kein Fehle wäe. Die Zusammenfassung de Massen geschieht zunächst nu übe das Potential V (Skala) und nicht übe die gavitativen Käfte G ode F (Vekto). Das Poblem ist dabei, das die übe die Skalabeechnung ehaltene Fomel, die keine Richtungsangabe enthält, dann in eine Vektofomel mit allgemeine Richtungsangabe (e ) umgewandelt wid. Fomel (F4) in Fomel (F5) und (F6) Diese Umwandlung ist nicht koekt, da keine Richtungsangaben de Käfte in Bezug auf Punkt P aus de Potentialfomel abgeleitet weden können. Mit diesem Kunstgiff eine vesuchten Veeinfachung handelt man sich einen Fehle ein. Untesucht man nun die elevanten Fomeln und betachtet sie als Ableitung de Käfte, die auf Punkt P wiken, so wid deutlich, wo die Fehle liegen. Es wid also im folgenden Absatz das gavitative Käftepotential V so behandelt, als wäe es F ode G. De eigentliche Bezug wid in Klammen dahinte gesetzt. De este Fehle wid in de Fomel (F1.1) gemacht. Die gavitativen Käfte F ode G ( Das Gavitationpotential V) eines Steifens, das auf P wikt, ist zu hoch angesetzt. Es wid an diese Stelle de Beechnung vesäumt, das sich gegenseitige teilweise Aufheben de sich gegenübeliegenden Massen im Steifen in Bezug auf P in die Beechnung mit einzubeziehen. Diese Reduzieung de Käfte (des Potentials) hätte gemäß de Aufsplittung de Käfte in einem Käftepaallelogamm efolgen müssen. Je nähe de Punkt P von außen an die Obefläche de Kugel ückt, desto göße wid de Öffnungswinkel ( x α )zwischen den gegenübeliegenden Massen des Steifens und damit wid de sich aufhebende Käfteanteil auch göße. Duch diese Untelassung weden die gavitativen Käfte (wid das Potential) des Steifens göße geechnet, als sie (es) eigentlich sind (ist). Wie man Massen koekt zusammenfasst, kann unte 4 in diesem Foum eingesehen weden. Gaphisch wid diese Fehle nachfolgend an dem Bild gezeigt, de die Steifen in Gaphik dastellt. 3 De Vegleich von integale und diskete Beechnung bei de galaktischen Massenbestimmung. M. Kause 3/005 4 Das Mehköpepoblem in de Beechnung eine Galaxie und de Viialsatz und seine Anwendung M. Kause 3/005 Seite 6 und 7 11

12 Gaphik 14 a (ehemals Gaphik ) Nu de Käfteanteil im Käftepaallelogamm, de auf Punkt P geichtet ist, wikt gavitativ auf P. Hie dagestellt duch die blauen Pfeile im obeen Teil des Bildes. (die untee Hälfte de Kugel vehält sich spiegelbildlich) Fü die Steifen, die auf de Kugelobefläche liegen, gilt das in gleiche Weise. Liegt P z.b. im Mittelpunkt des keisfömigen Steifens (ganz echts dagestellt), so heben sich alle Käfte des Massesteifens in Bezug auf P (G = 0) auf. Gaphik 14 b De zweite Fehle findet in de Fomel (F3) seinen Niedeschlag, hie weden die Käfte (wid das Potential) zu niedig angesetzt. De Gund liegt in de Zusammenfassung alle Steifen-Käfte (Potentiale) im Mittelpunkt de Massen de Kugel (blau) und nicht im gavitativen Mittelpunkt de Käfte (Potentiale), als pinkfabene Keis dagestellt. Fü eine Beechnung in de Statik ist diese Umstand uneheblich, nicht abe im Beeich de Gavitation. So, duch die Zusammenfassung alle Massen im Mittelpunkt de Kugel, ückt die zusammengefasste Masse weite von P weg (Abstand ), als dies im gavitativen Schwepunkt de Fall wäe (Abstand gav.). Damit wid auch die Kaft (das Potential) kleine, als diese(s) in Wiklichkeit ist. Die quadatische Zunahme de Kaft, in 1

13 Bezug auf P, ist als schwaze Kuve angedeutet. Wie Einzelmassen disket ichtig zusammengefasst 5 weden, ist unte in diesem Foum nachvollziehba. Beide Fehle, de positive und de negative, addieen sich in de integalen, zentumsbezogenen Beechnung und heben sich zufällig in ihe Summe auf. Das ist de Gund, waum wi zu einem ichtigen Egebnis in de integalen Gavitationsbeechnung de Kugel kommen. Da die Integale, Zentumsbezogenen Rechenweise in allen Paameten, auße de gavitativen Kaft, andee Wete zeigt als die diskete, meßpunktbezogene Rechenweise, ist sie aufgund diese Tatsache und ihe fehlehaften Zusammenfassung de Kugelmassen, totz eines ichtigen Egebnisses im Beeich de Gavitation, gundsätzlich zu Beechnungen in de Himmelsmechanik unbauchba. Fü die Kugel wude eine Ableitung in de disketen und de integalen Beechnung vogestellt. Wie abe sieht es bei de Massenfläche aus? Entspechen sich dot auch die Käfte, wie bei de Kugelbeechnung? Deshalb soll nachfolgend, in einem zweiten Teil diese Abeit, die Heleitung de Gavitation eine Massenfläche folgen. Teil 5 Das Mehköpepoblem in de Beechnung eine Galaxie und de Viialsatz und seine Anwendung M. Kause 3/005 Seite 3 ff 13

14 5. Die Heleitung de Gavitation eine Massenfläche aus de Kugelbeechnung Es wid zunächst von eine idealen Hohlkugel ausgegangen, auf deen Obefläche die Masse gleichmäßig veteilt ist. Im esten Teil diese Abeit wude gezeigt, das es fü einen Punkt P innehalb diese Hohlkugel keine Gavitationswikungen gibt. Folgende Übelegung soll nun nähe betachtet weden. De kugelfömige Köpe wid in schmale, waageechte Flächen unteteilt. Zwei diese Flächen (genau genommen sind es nu Masseninge) weden nähe betachtet. Im Punkt P wid die Kugel othogonal zum Radius im Abstand in zwei Kugelsegmente zetennt. Alle Massen des vom Mittelpunkt abgewandten Kugelsegments ziehen mit eine geichteten Kaft, die vom Mittelpunkt weg weist, gavitativ an P. Diese Kaft soll negative Gavitation heißen, weil sie vom Kugelmittelpunkt wegweist. Alle Massen des andeen Kugelsegments ziehen am Punkt P mit genau de gleichen Kaft in die Gegenichtung, nämlich zum Kugelmittelpunkt. Diese Kaft heißt dann positive Gavitation. Da sich die gavitativen Käfte de beiden Kugelsegmente gegenseitig aufheben, ist die Gavitation innehalb de Hohlkugel im Punkt P = 0. Gaphik 15 In diese Gaphik sind zwei Flächen besondes hevogehoben: Es ist die Mittelfläche, in deen Zentum de Mittelpunkt de Kugel liegt. Und es ist eine Fläche im obeen Teil de Kugel, deen Radius kleine als de Radius vom Punkt P aus ist. Die gavitative Kaft alle Flächen zusammen auf Punkt P wikend ist gleich 0, da alle Flächen zusammen die gesamte Hohlkugel egeben. Betacht man die Fläche, deen Radius kleine als de Radius des Punktes P ist, so ist kla, dass in diese Fläche nu Käfte in Richtung zum Mittelpunkt hin, in Bezug auf Punkt P, wiken können. Dies wid kenntlich gemacht duch einen Pfeil, de Richtung Mittelachse und damit Richtung Mittelpunkt de Hohlkugel weist. Diese Fläche übt auf Punkt P eine positive (zum Mittelpunkt de Hohlkugel geichtete) Kaft aus. Betachtet man nun die Mittelfläche, so ist esichtlich, dass es zwei gavitative Beeiche gibt. De pinkfabene Beeich de Mittelfläche übt eine zum Mittelpunkt hin geichtete Kaft auf den Punkt P aus, wähend de blaue Teil de Mittelfläche, de Mittelpunkt abgewandten Seite, eine zum Rand hin weisende Kaft auf den Punkt P ausübt. Die Fage, welche de Beeiche de Mittelfläche stäke gavitativ wikt und damit welche Kaftwikungen auf Punkt P von de Mittelfläche in Summe ausgeübt weden, ist leicht zu beantwoten. Wenn die Summe alle Flächenkäfte (de Gesamthohlkugel) auf Punkt P gleich Null ist, dann ist die Kaft de Mittelfläche auf Punkt P negativ, das heißt zum Rand hin geichtet. De Gund hiefü liegt in de positiv wikenden kleinen Fläche, deen Radius kleine als de des Punktes P ist. Ist diese hie positiv, so muss jene zum Ausgleich (um auf F = 0 in de Gesamtkugel zu kommen) negativ sein. 14

15 1,00E+9 5,00E+8 0,00E+00-5,00E+8-1,00E+9 gavitative Käfte, die in den Flächen aufteten Gaphik 16 Es weden in diese Gaphik die gavitativen Käfte, die auf Punkt P wiken wüden, fü 10 Flächen (je obe- und untehalb de Mittelfläche) de Gesamthohlkugel dagestellt. In de Summe egeben sie fü die Käfte innehalb de Gesamthohlkugel F = 0 (Wete entnommen aus de EXCEL Modelldatei KOKUG10..) -1,50E+9 Die elevante Mittelfläche ist duch die pinkfabene Kuve makiet. -,00E+9 -,50E+9 Deutlich ist zu ekennen, dass ein Teil de Flächen nu positiv auf P einwiken, wähend die Mittelfläche -3,00E+9 übewiegend den negativen -3,50E+9 Ausgleich liefen muss. Die Mittelfläche de Hohlkugel ist ja -4,00E+9 die Massenfläche, in deen Ebene De Mittelpunkt und auch Punkt P liegen. Sie ist die Fläche, deen Kaftwikungen auf Punkt P nähe untesuch weden soll. Es ist nu zu offensichtlich, das die Egebnisse de Gavitationsbeechnung, die fü die Hohlkugel gelten, nicht auf die Fläche übetagba sind. Die Massenfläche, deen gesamte Masse gleichmäßig am Rand veteilt ist, vehält sich nicht wie eine Hohlkugel. Eine ideale Hohlkugel übt keine gavitativen Käfte auf einen innenliegenden Punkt P aus, bei eine unden Hohlfläche ist das im Gegensatz dazu andes, hie wid de Punkt P gavitativ nach außen zum Rand hin angezogen. Diese zum Rand hin geichtete Gavitation wid umso stäke, je nähe de Punkt P am Rand liegt. Betachten wi noch die ideale massive homogene Vollkugel und die dain enthaltene Mittelfläche. Gaphik 17 Wiede zeteilen wi die Kugel in viele waageechte Flächen und betachten speziell die Mittelfläche, in deen Mitte de Mittelpunkt de Kugel liegt. Da in de gesamten Mittelfläche eine homogene Massenveteilung voliegt, können wi duch Spiegelung des blau makieten Keissegments, deen Massen eine zum Rand hin wikende gavitative Kaft auf Punkt P ausüben, den Beeich in de Fläche emitteln, de zu Aufhebung de negativ wikenden Käfte benötigt wid. De pinkfabene Beeich mit de blauen Stichelung zusammen mit dem blauen Beeich zeigt den linsenfömigen Flächenbeeich, in dem sich alle gavitativen Käfte in Bezug auf Punkt P gegenseitig aufheben. Zieht man diesen neutalen Beeich von de Gesamtmittelfläche ab, so bleibt 15

16 de Beeich de Fläche übig, de den Punkt P zum Mittelpunkt de Fläche zieht. Auch hie ist esichtlich, dass de gavitative Schwepunkt nicht im Mittelpunkt de Fläche liegen kann. 9E+34 8E+34 7E+34 6E+34 5E+34 4E+34 gavitative Käfte, die in den Flächen aufteten Gaphik 18 In diese Gaphik weden die gavitativen Käfte, die auf Punkt P wiken wüden, fü 10 Flächen (je obe- und untehalb de Mittelfläche) de massiven Gesamtkugel dagestellt. In de Summe egeben sie fü die Gesamtkugel F = linea ansteigend, wie in Gaphik 11 (echte Seite) zu betachten. (Wete entnommen aus de EXCEL Modelldatei KOKUG10..) 3E+34 Die Steigung de E+34 Gavitationskaft ist innehalb de Fläche nicht linea, wie es bei 1E+34 de idealen Vollkugelbetachtung ja wa, sonden sie ist 0 quadatisch ansteigend mit lineaem Anteil, da de neutale Beeich de Gesamtfläche, mit dem stets näheen Platzieen von Punkt P zum Rand de Fläche, nichtlinea kleine wid. Gaphik 18 zeigt nun den unteschiedlichen gavitativen Käfteanteil von 10 Einzelflächen (die de obeen und unteen Halbkugel wuden aus Günden de Symmetie zusammengefasst.), dagestellt duch die fabigen Kuven. Die pinkfabene Kuve stellt die gavitative Kaft auf Punkt P in de Mittelfläche da. Und nu diese Kuve ist fü die Flächenbetachtung elevant. Wüde man alle Kuven addieen, so ehält man wiede den lineaen Anstieg de Kuve innehalb de ganzen Kugel, wie in de Gaphik 7und 11 dagestellt. Außehalb de massiven Mittelfläche nimmt die Gavitation fü Punkt P bei de disketen Beechnung auch quadatisch ab. Alledings nicht in de gleichen Weise, wie das bei de Kugelbeechnung de Fall wa. De gavitative Schwepunkt (in de Fläche) liegt nähe am Punkt P (bei de disketen Beechnung), als de Mittelpunkt de Fläche, damit wid eine eheblich gößee, gavitative Kaft auf Punkt P in de Fläche ausgeübt. Die nebenstehende Gaphik 19 zeigt die beechneten gavitativen Käfte innehalb und außehalb de massiven homogenen Fläche, die auf einen Punkt P ausgeübt weden. (Schematische Dastellung) Es gibt, duch die integale und die diskete Beechnung, keine Vegleichbakeit de eechneten Käfte. Die pinkfabene Kuve zeigt die gavitativen Käfte, die auf einen Punkt P wiken, nach de disketen Beechnung. Die blaue Kuve zeigt im Unteschied dazu die gavitativen Käfte, die auf einen Punkt P wiken, nach de integalen Beechnung. Die Gegensätzlichkeit de unteschiedlichen Beechnungs- Aten titt, in de gavitativen Käftebeechnung, meh als deutlich zutage. 16

17 Gegenübestellung de gavitativen Käftebeechnung im integalen Modell und im disketen Modell Die Integale und die diskete Rechenweise untescheiden sich in de Massenfläche in allen Wetebeeichen de Kaft F, de gavitativ wikenden Masse M, und dem Abstand. Wa bei de Kugelbeechnung wenigsten noch die Gavitationskaft F in beiden Rechenmodellen gleich, so ist das bei de Gavitationsbeechnung fü die massive, homogene Fläche nicht meh de Fall. Die ehebliche Abweichung zwischen de integalen und de disketen Gavitationsbeechnung in de Fläche wid duch die folgende Gaphik dagestellt. Käfte de Mittelfläche: Abweichung zwischen Integale und Diskete Beechnung (Basis Integal) 50% 00% Gaphik 0 Die pozentuale Abweichung de disket eechneten Gavitation von de Integalen Beechnung fü die massive Fläche. (Basis 100% integale Beechnung) (Wete entnommen aus de EXCEL Modelldatei KOKUG10..) 150% Die 100% Linie in diese Gaphik stellt die Käfte de duch die Integale Abstand vom Mittelpunkt Beechnung emittelten Wete da. Alle 100% Wete, die übe die 100% Make hinausgehen, zeigen an, dass duch die diskete Beechnung die Kaft, die auf P 50% ausgeübt wid im Randbeeich de Fläche einen höheen Wet hat, als de duch die integale Beechnung 0% gefundene Wet. Im zentumsnahen Beeich de Fläche vehält es sich mit de gavitativen wikenden Kaft auf den Punkt P genau andesheum, hie ist die Gavitation, nach de disketen Rechenmethode emittelt, mehfach geinge, als die Gavitation, die nach de integalen Methode beechnete Wete. Im Inneen de massiven homogenen Fläche, nahe dem Zentum, sind die disket eechneten Wete fü die Gavitation eheblich niedige als die integal eechneten Wete. Veschiebt man den Punkt P in Richtung Flächenand, so nimmt die Gavitation in de disketen Beechnung stäke zu, als bei de integalen Beechnung, um dann am Rand den doppelten Wet de gavitativen Kaft zu eeichen, (Die Einzelpunkte in de Gaphik stellen unteschiedliche Entfenungen vom Mittelpunkt de Fläche da, links beginnend mit 1 bis zu senkechte Linie, dem Rand de Fläche, wo de Wet 10 eeicht wid. Im Punkt 11 wid die gößte Gavitation eeicht, weil hie im disketen Modell estmalig alle Massen de Fläche gavitativ auf Punkt P wiken können. (Die Rasteung vehindet dies noch im Punkt 10) De ote Punkt (nu zu Oientieung ot eingefäbt) makiet eine Position außehalb de Fläche mit Abstand 1, gefolgt von 15, 30, 45, 60 und 100) Außehalb de homogenen Masse-Fläche nimmt dann die Gavitation quadatisch ab, ohne abe den, nach de integalen Rechenmethode emittelten, niedigeen Wet de Gavitation je zu eeichen. Das heißt, dass die Gavitationskaft im disket geechneten Modell außehalb de Fläche, auch bis zu gößeen Abstände hin, stets einen höheen Wet eeicht als bei de integalen Rechenweise. Fazit: Die nach de integalen, zentumsbezogenen Methode** emittelten Wete de gavitativen Käfte fü eine Hohl- und Vollkugel sind falsch. 17

18 ** (Hinte diese Beechnungsmethode vebigt sich die Zusammenfassung de Massen, die sich in eine homogenen massiven Kugel (auch Hohlkugel) ode eine homogenen massiven Fläche (auch Hohlfläche) befinden, zu eine Punktmasse im Mittelpunkt diese Kugel ode diese Fläche. Das Integale Zusammenfassen de Kugelmassen im Kapitel diese Abeit geschieht zwa augenscheinlich übe die Potentiale und damit scheinba übe die gavitativen Käfte, entspicht abe letztlich doch nu dem lineaen Zusammenfassen de Massen im Mittelpunkt de Kugel, wie es auch in de Statik üblich ist.) Weitee Anwendung de disketen Gavitationsbeechnungen Zwei deutliche Beispiele fü die fehlehafte Beechnung mittels de integalen, zentumsbezogenen Beechnung liefen die Pobleme, die mit den Entfenungsbeechnung de Pionee Sonden und de Lichtablenkung de galaktischen Gavitationslinsen aufteten. Die abgebemste Pionee Sonde In diesem Umstand de fehlehaften Beechnung liegt also eine mögliche und seh wahscheinliche Ekläung fü das unewatete, zögeliche sich Entfenen de beiden Pionee Sonden aus dem Sonnensystem. Gibt man die Planetenmassen unsees Sonnensystems (evt. auch die Masse de Ootschen Wolke, was eine weitgehende Konstanz de Geschwindigkeit bewiken wüde) in das disket echnende Excel- Modell ein, so ehält man in de Entfenung de Pionee Sonde zu Sonne eine um 0,0064% 6 ehöhte Gavitation gegenübe dem integalen, zentumsbezogenen Rechenmodell. 7 Dies wüde die ätselhafte Bemswikung ekläen, die die Pioneesonde efäht. Es baucht also keine neue Enegie postuliet zu weden, wie im genannten Atikel befüchtet, die gute alte newtonsche Gavitation, mit de ichtigen (disketen!) Rechenmethode, eicht zu Ekläung des Phänomens völlig aus. Zu schwache Gavitationslinsen Auch die Eigenschaft fene galaktische Gavitationslinsen, das Licht stäke als ewatet abzulenken ist jetzt poblemlos ekläba. De übe die integale Rechenmethode emittelte zu niedige (weil fehlehafte) Wet de Gavitation eicht nicht aus, um die Ablenkung des Lichtes de dahinte liegenden Galaxien zu ekläen. Das ist nu zu veständlich. De meh als doppelt so hohe Wet de Gavitation am Rand de Galaxie, de bei de disketen Flächenbeechnung heauskommt, sollte zu Ablenkung des Lichtes duch die als Gavitationslinse wikende Galaxie hingegen auseichen. Zwei beobachtbae, bishe unekläliche Phänomene wäen damit, ohne die Annahme eine zusätzlichen dunklen Mateie, abe mit eine ichtigen Beechnung, ekläba. Fagliche dunkle Mateie Meh noch als bei de integalen Kugelbeechnung titt de Fehle bei de integalen Flächenbeechnung eklatant zu tage. Vesucht man bei eine fenen flächenhaften Galaxie ihe Masse übe die visuelle Umlaufgeschwindigkeit de sie umundenden Massen zu bestimmen, so wid mit de integalen, zentumsbezogenen Beechnung in de Fläche zwangsläufig eine eheblich zu goße Masse heauskommen. Diese Rechenfehle füht dann unausweichlich zu de iigen Annahme eine nicht 6 De eechnete Wet hat eine elative Toleanz von 1% auf die eechnete Diffeenz, entspechend + - o,oooo3 % auf den Ausgangswet 7 Diesen Atikel findet man auf NZZ Online unte: 18

19 sichtbaen dunklen Mateie. Siehe auch den Vegleich zwischen Integale und diskete Beechnung in eine weiteen Abeit hie im Foum Liteatu Zusammenfassung Ableitung stak angelehnt an die Themenbehandlung im 1. Teil de Reihe Fundamental Univesity Physics von Alonso & Finn Deutsche Fassung: M. Alonso/ E.J.Finn, Physik 3. Auflage (000) Oldenboeg Velag S. 318ff Die Gavitation eines kugelfömigen Köpes Das Mehköpepoblem in de Beechnung eine Galaxie und de Viialsatz und seine Anwendung M. Kause 3/005 De Vegleich von integale und diskete Beechnung bei de galaktischen Massenbestimmung. M. Kause 3/005 Den Atikel zu Pionee Sonde findet man auf NZZ Online unte: EXCEL Modelldatei KOKUG10..(Es ist geplant die Datei so weit zugänglich zu machen, das man Daten eingeben und auch abfagen kann.) 7. Danksagung An diese Stelle möchte ich seh hezlich jenem Dokto de Physik danken, de mi feundlicheweise in niedeländisch abgefassten Untelagen übe die integale Beechnung de Gavitation in kugelfömigen Köpen zu Vefügung gestellt hat. Duch den Biefwechsel mit ihm sind mache Ungeeimtheiten im Integalen Rechenmodell noch deutliche gewoden. E möchte nicht namentlich ewähnt weden, da e nicht hinte diese Abeit steht, wofü ich menschlich goßes Veständnis habe. 8 De Vegleich von integale und diskete Beechnung bei de galaktischen Massenbestimmung. M. Kause 3/005 19

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