Kapitel 11: Funktionen in einer Variablen

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Gerd Linden
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1 Kapitel : Fuktioe i eier Variable Für Fuktioe i eier Variable werde folgede elemetare e gelöst: Die Nullstelle vo Fuktioe erhält ma über de solve- bzw. fsolve-, die Liearfaktorezerlegug erfolgt mit factor ud eie Partialbruchzerlegug vo gebrocheratioale Fuktioe mit covert. Die Bestimmug vo Extremwerte, Wedepukte ud Asymptote ist im Abschitt über die Kurvediskussio zusammegefasst. Das Löse der Eizelprobleme erfolgt hierbei im Wesetliche durch solve, diff, simplify sowie plot. Speziell für die Etwicklug eier Fuktio i ei Taylor-Polyom beötigt ma de taylor-.. Bestimmug vo Nullstelle fsolve Gesucht sid Näheruge für die Nullstelle eier Fuktio f(x): f(x)=0 fsolve( f(x)=0, x); Parameter f(x): Fuktiosausdruck x: Variable der Fuktio Beispiel x 4 x = 0 > f(x) := sqrt(x) - 4*x^ : > fsolve(f(x)=0, x); 0. > fsolve(f(x)=0, x, x=0...); Optioale Parameter > fsolve(f(x)=0, x, x=x0..x); x=x0..x gibt das Itervall a, i dem eie Nullstelle äherugsweise berechet wird. > fsolve(f(x)=0, x, complex); berechet auch komplexe Lösuge. Ist f(x) ei Polyom vom Grade, da werde mit der Optio complex alle Nullstelle (sowohl reelle als auch komplexe) des Polyoms f(x) äherugsweise bestimmt. solve; Näherugsweises Löse eier Gleichug.

2 74 Kapitel : Fuktioe i eier Variable. Liearfaktorzerlegug vo Polyome factor Gesucht ist eie Zerlegug des Polyoms f(x) i Liearfaktore: f( x) = a x + a x a x+ a0 = a ( x x )( x x )...( x x ) factor( f(x) ); Parameter f(x): Polyom vom Grade Beispiele f( x ) = 7 x 6 7 x x 4 0 x x 3 x > f(x):= 7*x^6-7*x^5 +0*x^4-0*x^3 +3*x^ -3*x: > factor(f(x)); x ( 7 x 3 ) ( x + ) ( x ) > factor(f(x), complex); 7. ( x +. I) x ( x. I ) ( x ) ( x. ) x 4 > factor(x^4-, sqrt()); ( x + ) ( x ) Der factor- liefert falls möglich gazzahlige Nullstelle ud stellt das Polyom i de Liearfaktore dar. Mit der Optio complex werde auch die komplexe Nullstelle äherugsweise bestimmt ud ma erhält eie vollstädige Zerlegug i Liearfaktore. Das Polyom x 4 - besitzt keie gazzahlige Nullstelle. Mit der zusätzliche Optio sqrt() erhält ma aber eie Faktorisierug über. fsolve.

3 .3 Partialbruchzerlegug gebrocheratioaler Fuktioe 75.3 Partialbruchzerlegug gebrocheratioaler Fuktioe covert parfrac Partialbruchzerlegug der gebrocheratioale Fuktio a x + a x a x+ a0 f( x) = m m b x + b x b x+ b covert(f(x), parfrac, x); m m 0 Parameter f(x): Gebrocheratioale Fuktio x: Uabhägige Variable der Fuktio Beispiele x 6 x 5 + x x + f( x ) = x 4 x 3 + x > f(x):=(x^6-*x^5+x^4+4*x+) / (x^4-*x^3+*x-): > covert(f(x), parfrac, x); x ( x + ) 8( x ) ( x ) 3 4( x ) f( x ) = x > f(x):=/(x^-); > covert(f(x), parfrac,x, ^(/)); + 4( x + ) 4( x ) Optioale Parameter > covert(f(x), parfrac, x, K); Ist K die k-tewurzel eier positive gebrocheratioale Zahl, wird mit diesem Wurzelausdruck faktorisiert. > covert(f(x), parfrac, x, real); Es erfolgt eie Zerlegug über de reelle float-zahle. > covert(f(x), parfrac, x, complex); Es erfolgt eie Zerlegug über de komplexe float-zahle. - fsolve, factor.

4 76 Kapitel : Fuktioe i eier Variable.4 Asymptotisches Verhalte asympt Gesucht ist das asymptotische Verhalte gebrocheratioaler a x + a x a x+ a0 Fuktioe f( x) = m m b x + b x b x+ b asympt(f(x), x, ); m m 0 Parameter f(x): Gebrocheratioale Fuktio x: Uabhägige Variable der Fuktio : Etwicklug ach Terme x bis x Beispiel x 3 x + x + f( x ) = 3 x + 3 x + > f(x):=(x^3-*x^+x+) / (3*x^+3*x^+): > asympt(f(x), x, ); + 3 x O x > p:=covert(%,polyom); p := 3 x > plot([f(x), p], x=-0..0, -4..3, color=[red, blue], thickess=[,]); Mit covert kovertiert ma das Ergebis vo asympt i ei Polyom, welches ma da zusamme mit der Fuktio mit dem plot- i eiem Schaubild darstellt. covert, plot; Kurvediskussio.

5 .5 Kurvediskussio 77.5 Kurvediskussio Kurvediskussio eier Fuktio f(x) i eier Variable x () Graph der Fuktio () Symmetrie (3) Nullstelle (4) Lokale Extrema (5) Wedepukte (6) Verhalte im Uedliche Maple-sfolge Parameter f(x): Ausdruck i der Variable x x: Uabhägige Variable Beispiel f( x ) = x x 4 + > f:=x -> x/sqrt(x^4+): () Fuktiosgraph: plot- > plot(f(x), x=-0..0); () Symmetrie: f(-x)=f(x) oder f(-x)=-f(x): simplify- > simplify(f(x)/f(-x), symbolic); - Die Fuktio ist puktsymmetrisch zum Ursprug.

6 78 Kapitel : Fuktioe i eier Variable (3) Nullstelle: solve- > solve(f(x)=0,x); 0 (4) Lokale Extrema: f (x) = 0 ud f (x) 0: Bestimmug der relevate Ableituge mit dem diff-. > fs:=simplify(diff(f(x), x)); > fss:=simplify(diff(f(x), x$)); > fsss:=simplify(diff(f(x), x$3)); x 4 fs := ( x 4 + ) ( 3 / ) fss := x3 ( x 4 0) ( x 4 + ) ( 5 / ) fsss := 6 x ( x 8 8 x 4 + 0) ( x 4 + ) ( 7 / ) Extrema: Nullstelle der erste Ableitug: solve- > e:=[solve(fs=0,x)]; e := [ ( 4 / ), I ( 4 / ), ( 4 / ), I ( 4 / ) ] > evalf(e); [.89075, I, , I ] Es gibt reelle Kadidate für lokale Extremwerte e[] ud e[3]. Ob diese Kadidate auch Extremwerte darstelle, etscheidet die zweite Ableitug > subs(x=e[],fss); > evalf(%); 34 / ) 4 ( Da die zweite Ableitug egativ ist, liegt hier ei lokales Maximum vor. Der Fuktioswert ist > evalf(f(e[])); > subs(x=e[3],fss); > evalf(%); 4 ( 34 / ) Da zweite Ableitug positiv, liegt hier ei lokales Miimum vor.

7 .5 Kurvediskussio 79 (5) Wedepukte: f (x) = 0 ud f (x) 0: > w:=[solve(fss=0,x)]; w := [ 0, 0, 0, 0 ( 4 / ), I 0 ( 4 / ), 0 ( 4 / ), I 0 ( 4 / ) ] > evalf(w); [ 0., 0., 0., , I, , I ] Es gibt 3 reelle Kadidate für Wedepukte w[], w[4] ud w[6]. Ob diese Kadidate auch Wedepukte darstelle, etscheidet die dritte Ableitug > subs(x=w[],fsss);evalf(%); 0 0. Da die dritte Ableitug Null, liegt für de Wert x=0 kei Wedepukt vor. I Frage komme u och die Werte bzw : > subs(x=w[4],fsss);evalf(%); bzw : > subs(x=w[6],fsss);evalf(%); Bei de Werte w[4] ud w[6] hadelt es sich also um Wedepukte. (6) Asymptotisches Verhalte: Das asymptotische Verhalte bestimmt ma mit dem asympt- > asympt(f(x), x, ); + O x x 5 Falls der solve- keie befriedigede Ergebisse liefert, sollte der fsolve- verwedet werde, der eie Näherugslösug der Nullstelle bestimmt. Mit simplify werde die Ausdrücke vereifacht. subs, fsolve, asympt, simplify; Löse eier Gleichug Näherugsweises Löse eier Gleichug Bestimmug vo Nullstelle Asymptotisches Verhalte Partialbruchzerlegug gebrocheratioaler Fuktioe.

8 80 Kapitel : Fuktioe i eier Variable.6 Taylor-Polyom eier Fuktio taylor Gesucht ist die Taylor-Etwicklug der Ordug N für eie Fuktio f(x) i eier Variable x ( ) ( ) f t ( x) = f( x0) + f '( x0)( x x0) f N ( 0 )( 0 ) N x x x N! taylor(f(x), x=x0, N+); Parameter f(x): Fuktiosausdruck x=x0: Etwicklugspukt N: Ordug der Taylor-Etwicklug Beispiel f( x ) = e x a der Stelle x 0 = 0 bis zur Ordug 5: > f:=x->exp(x): > taylor(f(x), x=0, 6); + x x 6 x3 4 x4 0 x5 O( x 6 ) > p:= covert(%,polyom); p := + x x 6 x3 4 x4 0 x5 > plot([f(x), p], x=-..4,color=[red,blue]); 3 O(x 6 ) bedeutet, dass Terme ab der Ordug 6 abgeschitte werde. Mit covert wird die Partialsumme i ei Polyom umgewadelt, welches da z.b. mit dem plot- gezeichet wird. Die allgemeie Taylor-Reihe mit eiem allgemeie Bildugsgesetz ka erst ab Maple durch de elemetare ssatz vo Maple bestimmt werde. covert, aimate, mtaylor; Taylor-Etwicklug eier Fuktio mit mehrere Variable Kovergez vo Potezreihe: Kovergezradius Fehlerrechug. 3 Aus Platzgrüde wird auf die Ausgabe der Graphik verzichtet.

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