Anhang D: Stabilität t linearer Systeme

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1 Anhng D: Stbilität t linerer Systeme (- / ) Im{G o (jω) Re{G o (jω) ω FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik

2 - Stbilitätskriterien tskriterien Aufgbe: Entwurf stbiler Regelkreise Problem: Koeffizienten i der ÜF eines geschlossenen Kreises hängen von den Reglerprmetern p b, numerische oder geschlossene nlytische Berechnung der Pole nicht möglich G () s x x () s () s b ( ) ( ) ( ) m p + b ( ) p s bm p s + bm p ( p) ( p) s ( p) n s + ( p) = = e n n s s m n = Z P ( s, p) ( s, p) Abhilfe: Stbilitätskriterien liefern Aussgen über die Stbilität des geschlossenen Kreis uch ohne explizite Berechnung der Pole bzw. Zeitntwort FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik

3 - Ds Stbilitätskriterium tskriterium nch Hurwitz Stbilitätskriterium nch Hurwitz: - Alle Koeffizienten i vorhnden und gleiches Vorzeichen - Hurwitz -Determinnten D i müssen lle > sein Kriterium liefert einen Stz von Ungleichungen für die gesuchten Reglerprmeter p D D D 3 D 4 D 5 D n FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 3 Regelungstechnik n

4 - Beispiel Anwendung Hurwitz-Kriterium Gegeben: Geschlossener Regelkreis mit I-Regler und PT -Strecke w K R _ ( + s)( + T s) s T y Übertrgungsfunktion des geschlossenen Kreises G () s Go + G R w = = = 3 o K R + s + ( T + T ) s + TT s K Z P ( s) () s Nenner P(s) ist Funktion des freien Reglerprmeters K R FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 4 Regelungstechnik

5 - Beispiel Anwendung Hurwitz-Kriterium i > : D j > : D Resultt: Regelkreis stbil für = = K R ( T + T ), =, =, 3 = TT K > ( ) R 3 T T TT K R K < > R T + T < T T Einfch einzusetzen (grphische Auswertung Stbilitätskrte ) Liefert strukturelle Einsichten bei der Whl der Reglerprmeter Automtische Plusibilitätsprüfung von Eingbeprmetern T + K R < T T T + > FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 5 Regelungstechnik

6 - Ds Nyquist-Kriterium Nchteile des Hurwitz-Kriteriums - Übertrgungsfunktion G(s) des geschlossenen Kreises muss beknnt sein - Oft liegt der Frequenzgng eines offenen Regelkreises G o (s=jω) grphisch oder tbellrisch vor (z.b. us Messungen) ( ) t st - Totzeiten G s = e im Kreis können nicht behndelt werden T t Alterntives Stbilitätskriterium erforderlich: Nyquist - Kriterium FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 6 Regelungstechnik

7 - Ds Nyquist-Kriterium w _ G R (s) G S (s) y x e x Regelkreis wird ufgetrennt An der Trennstelle wird ein Sinussignl eingespeist Offener Kreis überträgt ds Signl bis zur Trennstelle x Frge: Wnn würde die Schwingung bei umgelegtem Schlter ufrecht erhlten? FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 7 Regelungstechnik

8 - Ds Nyquist-Kriterium w = _ G R (s) G S (s) y x e x Die Schwingung bleibt genu dnn erhlten, wenn gilt:! x = x x x e e e + = GS () s GR ()( s ) xe = Go () s ( + Go () s ) = Go () s = G () s = ( ) o FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 8 Regelungstechnik x e

9 - Ds Nyquist-Kriterium Im{G o (jω) Re{G o (jω) (- / ) ω FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 9 Regelungstechnik

10 - Ds Nyquist-Kriterium Ds vereinfchte Nyquist-Kriterium lutet dher Ist der offene Kreis symptotisch stbil, so ist der geschlossene Kreis genu dnn symptotisch stbil, wenn der kritische Punkt (-/) in Richtung wchsender ω-werte links der Ortskurve von G o (jω) liegt. Verllgemeinerte Versionen des Kriteriums verfügbr für - Instbile offene Regelkreise - Stbile und instbile offene Mehrgrößenregelkreise FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik

11 - Ds Smll-gin -Theorem Annhme: Offener Kreis stbil Regelkreis stbil, wenn G o ( jω) < für lle ω Vorteil: Amplitudenbetrchtung hinreichend für Stbilität, Phsenverluf wird nicht benötigt Nchteil: Konservtiv, keine notwendige Bedingung Grundlge moderne Reglerentwurfsverfhren (H /μ-synth.) (- / ) Im{G S (jω) Re{G S (jω) FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik

12 - Beispiel mit Totzeit Audio-Anlge mit Lutsprecher und Mikrophon Positive Rückkopplung möglich Instbilität Abhilfe: Lutstärke reduzieren Funktioniert nch Smll-Gin Theorem immer (uch ohne genue Kenntnis der Strecke) D G T t stt ( D) ( s) = K( D) e FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite Regelungstechnik

13 - Stbilitätsreserven tsreserven J/Nein-Aussge der Stbilitätskriterien llein nicht usreichend für die Reglersynthese Zusätzlich benötigt: Angben über den Abstnd des geschlossenen Regelkreises von der Stbilitätsgrenze Stbilitätsreserven ls Abschätzungen für erreichbre - Regelgüte - Robustheit/Unempfindlichkeit des geschlossenen Kreises gegenüber Unsicherheiten bzw. Vritionen der Regelstrecke FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 3 Regelungstechnik

14 - Absolute Stbilitätsreserve tsreserve Betrchtung der Pole des geschlossenen Kreises Im Alle Pole sind stbil und hben einen Mindestbstnd σ R zur Im-Achse Re Grntiert eine bestimmte Einschwingzeit Nchteil: Resonnzschwingungen höherer Frequenz (Pole mit großem Im{}-Teil) können vergleichsweise schwch gedämpft sein σ R FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 4 Regelungstechnik

15 - Reltive Stbilitätsreserve tsreserve Winkel ϕ ist ein Mß für die Dämpfung konjugiert komplexer Eigenwerte Bessere Beschreibung des Abklingverhltens ϕ Im Re Problem: Lngsme konjugierte komplexe Eigenwerte können zu lngen Einschwingvorgängen führen Absolute und reltive Stbilitätsreserve wird oft gemeinsm bewertet Im Re FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 5 Regelungstechnik

16 - Amplitudenrnd und Phsenrnd Je größer der Abstnd zum kritischen Punkt, desto größer die Stbilitätsgüte Auswertung des Abstnds n zwei Punkten besonders einfch - Amplitudenrnd Abstnd des Schnittpunktes mit der reellen Achse von (-/) - Phsenrnd Winkel zwischen reeller Achse und Durchtritt der Ortskurve durch den Kreis mit Betrg Im{G S (jω) FHD Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitg Seite 6 Regelungstechnik A R ϕ R Re{G S (jω)