von F bezüglich B eine obere Dreiecksmatrix ist, dh λ λ n x

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "von F bezüglich B eine obere Dreiecksmatrix ist, dh λ λ n x"

Transkript

1 3 Die Jordan-Normalform In diesem Abschnitt wollen wir Endomorphismen untersuchen, die nicht unbedingt diagonalisierbar sind Wir werden sehen, dass in vielen Fällen eine etwas schwächere Normalform der Darstellungsmatrix von F möglich ist, die zum Beispiel immer noch ermöglicht den Endomorphismus exp(f für F End C (V (bzw exp(a für A M(n n, C zu berechnen Wir starten mit Definition 31 (1 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V Dann heißt F trigonalisierbar, falls eine Basis B = {v 1,, v n } von V existiert, so dass die Darstellungsmatrix A B F von F bezüglich B eine obere Dreiecksmatrix ist, dh λ 1 A B 0 λ 2 F = 0 0 λ n für geeignete λ 1,, λ n K (2 Ist A M(n n, K, so heißt A trigonalisierbar, falls ein C GL(n, K existiert, so dass C 1 AC obere Dreiecksmatrix ist Bemerkung 32 (1 Ist F End K (V und A M(n n, K eine beliebige Dartstellungsmatrix von F, so gilt: F ist trigonalisierbar A ist trigonalisierbar (2 Ist F (bzw A trigonalisierbar, so folgt für das charakteristische Polynom P F (und ähnlich für P A, dass λ 1 x P F (x = det(a B 0 λ 2 x F x E = det = (λ 1 x(λ 2 x (λ n x 0 0 λ n x Wir sehen also, dass P F in Linearfaktoren zerfällt und die Diagonalelemente λ i von A B F sind gerade die Eigenwerte von F ( 0 1 (3 Aus (2 folgt: Die Matrix A = M(2 2, R ist nicht trigonalisierbar, da 1 0 P F (x = x über R nicht in Linearfaktoren zerfällt Fassen wir A aber als komplexe Matrix auf, so ist A sogar diagonalisierbar Wir sehen, dass es für diese Fragen ganz wichtig ist, über welchem Körper K wir arbeiten! Die Beobachtung in Punkt (2 der Bemerkung besitzt auch eine Umkehrung: Satz 33 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, und sei F End K (V Dann sind äquivalent: (1 F ist trigonalisierbar (2 Das charakteristische Polynom P F von F zerfällt in Linearfaktoren 1

2 2 Bemerkung 34 Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren Aus Satz 33 folgt also insbesondere, dass jedes F End C (V trigonalisierbar ist, wenn V ein endlich dimensionaler C-Vektorraum ist Die Richtung (1 = (2 des Satzes folgt aus Punkt (2 von Bemerkung 32 (2 = (1 folgt aus einem genaueren Satz (siehe Satz 36 weiter unten, den wir im folgenden erklären und beweisen wollen (ein direkter Beweis von Satz 33 findet sich im Buch von Fischer Wir starten mit: Definition 35 (1 Eine Matrix J M(m m, K heißt Jordan-Kasten, falls ein λ K existiert mit λ λ 1 0 J = 0 0 λ λ Wir sagen dann auch, dass J ein λ-kasten der Länge m ist (2 Eine Matrix A M(n n, K heißt in Jordan-Normalform (oder einfach nur Jordan- Matrix, falls λ i J J λ i 1 0 A =, so dass J i = M(k i k i, K 0 0 λ i J r 0 0 λ i für alle 1 i r ein Jordan-Kasten ist Beachte: (1 Jede 1 1-Matrix ist ein Jordan-Kasten der Länge 1, und damit ist auch jede Diagonalmatrix eine Jordan-Matrix (2 Die Eigenwerte λ i der Jordan-Kästen J i von A müssen nicht paarweise verschieden sein! Ein konkretes Beispiel für eine Jordan-Matrix ist gegeben durch A = = mit den Jordan-Kästen J 1 = 0 2 1, J 2 = J J J J 4 ( 2 1, J 3 = (3, und J 4 = 0 2 (

3 Im Rest dieses Abschnitts werden wir den folgenden Satz beweisen Als direkte Folgerung erhalten wir dann auch einen Beweis von Satz 33 Satz 36 (Jordan-Normalform Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V, so dass das charakteristische Polynom P F von F in Linearfaktoren zerfällt Dann existiert eine Basis B von V, so dass J A B 0 J 2 0 F = 0 0 J r eine Jordan-Matrix ist Analog: Ist A M(n n, K mit P A zerfällt in Linearfaktoren, so existiert ein C GL(n, K, so dass C 1 AC eine Jordan-Matrix ist Wie üblich folgt der zweite Teil des Satzes direkt aus dem ersten Teil, wenn wir den Endomorphismus F A : K n K n, F A (x = A x betrachten (vergl Blatt3, Aufgabe 1 Für den Beweis des Satzes benötigen wir einige Vorbereitungen 37 Direkte Summen von Endomorphismen und Blockmatrizen Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V Ist V 1 V mit F (V 1 V 1, so können wir einen Endomorphismus F 1 End K (V 1 durch F 1 (v := F (v für v V 1 definieren (also F 1 = F V1 : V 1 V 1 Besitzt V eine direkte Summenzerlegung V = V 1 V2 mit F (V 1 V 1 und F (V 2 V 2, so erhalten wir zwei Endomorphismen F 1 End K (V 1 und F 2 End K (V 2 und für jedes v = v 1 + v 2 V, mit v 1 V 1, v 2 V 2, gilt dann F (v 1 + v 2 = F 1 (v 1 + F 2 (v 2 Wir sagen dann: F ist die direkte Summe von F 1 und F 2 und wir schreiben F = F 1 F2 Sei nun B 1 = {v 1,, v r } eine Basis von V 1 und B 2 = {v r+1,, v n } eine Basis von V 2 Dann ist B := {v 1,, v r, v r+1,, v n } eine Basis von V und für jedes v j aus dieser Basis gilt { F1 (v F (v j = j = r i=1 a ijv i, falls j r F 2 (v j = n i=r+1 a ijv i, falls r < j Damit hat die Darstellungsmatrix A := A B F von F die Gestalt ( A1 0 A =, mit A 1 = A B 1 0 A F 1 und A 2 = A B 2 F 2 2 Ist umgekehrt F ein beliebiger Endomorphismus von ( V, so dass eine Basis B = {v 1,, v r, v r+1,, v n } von V existiert mit A B F = A1 0 Setzen wir dann V 1 = 0 A 2 LH{v 1,, v r } und V 2 = LH{v r+1,, v n }, so folgt V = V 1 V2 mit F (V i V i, also F = F 1 F2 mit F i := F Vi : V i V i wie oben Wir benötigen: ( A1 Lemma 38 (1 Sei A = M(n n, K eine Blockmatrix Dann gelten 0 A 2 det(a = det(a 1 det(a 2 und P A = P A1 P A2, 3

4 4 wobei P A, P A1, P A2 die charakteristischen Polynome von A, A 1 und A 2 bezeichnen (2 Sei F = F 1 F2 die direkte Summe zweier Endomorphismen F i End K (V i, i = 1, 2 Dann gilt det(f = det(f 1 det(f 2 und P F = P F1 P F2 Beweis: Sei A 1 M(l l, K Wir beweisen die Determinantenformel durch Induktion nach l Für l = 1 folgt die Formel sofort durch Entwicklung der ( Determinante nach der ersten Spalte A1 Für den Induktions-Schritt von l 1 nach l sei A = mit A 1 M(l l, K, l > 1 0 A 2 Wir nehmen an, dass die Determinantenformel für Blöcke kleinerer Größe bereits bewiesen ist Sei dann A i die Matrix, die durch Streichen der ersten Spalte und der i-ten Zeile von A entsteht, und sei A 1,i die Matrix die durch Streichen der ersten Spalte und der i-ten Zeile von ( A1,i A 1 entsteht, 1 i l Dann gilt A i = für alle 1 i r Da alle Einträge der 0 A 2 ersten Spalte von A unterhalb der l-ten Zeile verschwinden, erhalten wir durch Entwicklung der Determinante von A (bzw A 1 nach der ersten Spalte: l l ( det(a = ( 1 i+1 a i1 det(a i = ( 1 i+1 A1,i a i1 det 0 A 2 i=1 Ind-Ann = i=1 l ( 1 i+1 a i1 det(a 1,i det(a 2 = det(a 1 det(a 2 i=1 Die Formel für das charakteristische ( Polynom von A folgt dann durch Anwenden der Determinantenformel auf A x E = 1 A1 x E, wobei E 1 und E 2 die zu den 0 A 2 x E 2 Kästen A 1 und A 2 passenden Einheitsmatrizen bezeichnen Der Beweis von (2 folgt nun aus ( (1 und der Tatsache, dass für F = F 1 F2 eine Darstellungsmatrix der Gestalt A B F = A B 1 F A B existiert 2 F 2 Völlig analog zum oben betrachteten Fall F = F 1 F2 kann man auch direkte Summen von mehr als zwei Endomorphismen betrachten Sei dazu V = V 1 V2 Vr mit F (V i V i für 1 i r Ist F i End K (V i definiert durch F i = F Vi : V i V i, so schreiben wir F = F 1 F2 Fr und sagen, dass F die direkte Summe von F 1,, F r ist Ist B i eine Basis von V i, und ist B = {B 1,, B r }, so folgt, wie für den oben behandelten Fall r = 2, dass A B 1 F A B F = A Br F r Miit Lemma 38 und einer leichten Induktion erhält man dann (31 det(f 1 Fr = det(f 1 det(f 2 det(f r und P F = P F1 P F2 P Fr Zurück zur Jordan-Normalform Wir wollen zunächst untersuchen, wann F End K (V eine Basis B besitzt, so dass A B F aus genau einem Jordan-Kasten besteht:

5 Lemma 39 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, sei F End K (V und sei B = {v 1,, v k } eine Basis von V Dann gilt λ λ 1 0 { } A B F = vi 1, falls i > 1; (F λ id(v i = 0, falls i = λ λ Beweis: Setzen wir A := A B F und identifizieren wir V mit Kk vermöge v i e i, so ist die Aussage des Lemmas äquivalent zu { } ei 1, falls i > 1 (A λe e i = A λe = 0, falls i = Diese Äquivalenz folgt durch direktes Nachrechnen Bemerkung 310 Ist F wie im Lemma und ist 1 l k, so gilt ker(f λ id l = LH{v 1,, v l } Insbesondere folgt ker(f λ id k = LH{v 1,, v k } = V, also (F λ id k = 0 1 Allgemeiner gilt: Ist λ J A := A B 0 J λ 1 0 F =, so dass J i = M(k i k i, K 0 0 λ J r 0 0 λ für jedes 1 i r ein Jordan-Kasten zu genau einem Eigenwert λ von F ist, so folgt N N A λe = mit N i = M(k i k i, K N r Damit folgt für k := max{k 1,, k r }: N k (A λe k 0 N2 k 0 = = 0, 0 0 Nr k 1 Zur Veranschaulichung und zum besseren Verständnis empfehle ich, einmal direkt die Potenzen N l mit N := A λe wie in Lemma 39 zu berechnen! 5

6 6 also auch (F λ id k = 0 Endomorphismen mit einer solchen Eigenschaft verdienen einen eigenen Namen! Definition 311 Sei V ein K-Vektorraum Ein G End K (V heißt nilpotent, falls ein k N existiert mit G k = G G G (k-mal = 0 Analog: N M(k k, K heißt nilpotent, falls ein k N existiert mit N k = 0 Ist dann k N minimal mit G k = 0 (bzw N k = 0, so heißt k die Nilpotenzlänge von G (bzw N Die Idee im Beweis der Existenz einer Jordan-Normalform für F End K (V besteht nun darin, den Raum V in eine direkte Summe V = V λ1 Vλ2 Vλm zu zerlegen, und entsprechend F in eine direkte Summe F = F λ1 Fλm mit F λi := F Vλi : V λi V λi wobei λ 1,, λ m die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F sind und alle F i λ i id End K (V λi nilpotent sind Gelingt es uns dann geeignete Basen B i für V λi anzugeben, so dass A B i F i aus lauter λ i -Jordan-Kästen besteht, so wird B = {B 1,, B m } zu einer Jordan-Basis von V, dh A B F ist in Jordan-Normalform Wir benötigen: Lemma 312 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei G End K (V Für alle l N 0 setze V l := ker G l V 2 Dann gilt G(V l V l 1 V l für alle l N und es existiert genau ein k N 0 mit {0} = V 0 V 1 V 2 V k = V k+1 und V l+1 = V l für alle l k Insbesondere folgt: G ist genau dann nilpotent, wenn V k = V Beweis: Wegen G l 1 (G(V l = G l (V l = {0}, folgt G(V l ker G l 1 = V l 1, und ist v V l 1, so folgt G l (v = G(G l 1 (v = G(0 = 0, also v V l Es folgt {0} = V 0 V 1 V l V l+1 Wäre V l+1 V l für alle l N, so wäre dim(v dim(v l l für alle l N, also dim(v = Da aber nach Voraussetzung dim(v <, existiert ein kleinstes k N 0 mit V k+1 = V k, und dann folgt {0} = V 0 V 1 V 2 V k = V k+1 wie im Lemma Für l k gilt dann V l+1 = V l, denn wäre v V l+1 V l, so wäre 0 = G l+1 (v = G k+1 (G l k (v aber 0 G l (v = G k (G l k (v, also G l k (v V k+1 V k = Dies ist unmöglich! Definition 313 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, sei F End K (V und sei λ ein Eigenwert von F Für jedes l N 0 setze V l,λ := ker(f λ id l Nach Lemma 312 existiert ein k N mit {0} = V 0,λ V 1,λ V 2,λ V k,λ = V k+1,λ =: V λ 3 Dann heißt V λ der verallgemeinerte Eigenraum (oder Hauptraum von F zum Eigenwert λ Ist 0 v V λ, so heißt v verallgemeinerter Eigenvektor von F zum Eigenwert λ Ist v V l,λ V l 1,λ für 1 l k, so heißt v verallgemeinerter Eigenvektor der Ordnung l 2 Es folgt insbesondere, dass V0 = ker G 0 = ker id = {0} 3 also Vλ = l N V l,λ = l N ker(f λ id l Beachte, dass k 1, da λ ein Eigenwert von F ist

7 314 Wir wollen nun noch einmal von unserem Ziel, der Jordan-Normalform ausgehen, und uns dabei die Lage des verallgemeinerten Eigenraums V λ genauer betrachten Sei dazu B eine Basis von V, so dass A := A B F eine Jordan-Matrix ist Durch Vertauschen der Basisvektoren können wir leicht erreichen, dass alle Jordan-Kästen zu einem fest gewählten Eigenwert λ von F zuerst auftauchen, also J 1,λ A := J r,λ J r+1, Js 7 wobei J λ,1, J λ,r genau die λ-kästen von A sind Die Matrix A λe hat dann die Gestalt N A λe = N r I r+1, mit N i = M(k i k i, K Is nilpotent der Länge k i, 1 i r, und λ j λ λ j λ 1 0 I j = M(k j k j, K 0 0 λ j λ λ j λ invertierbar für alle r < j s (da λ λ j und daher det(i j = (λ j λ kj 0 Ist nun k = max{k 1,, k r }, so folgt N k 1 0 (A λ id k = Nr k ( Ir+1 k = I k =, r+1 0 A 2 Is k Is k mit A 2 := I k r+1 invertierbar Zerlegen wir also unsere gegebene Basis in den zu I k s den λ-kästen gehörenden Teil B 1, und in den restlichen, zu den Kästen J r+1,, J s gehörenden Teil B 2, so sehen wir, dass B 1 den Raums V λ = ker(f λ id k aufspannt, und B 2 ist eine Basis des Bildes Im(F λ id k von (F λ id k

8 8 Aus diesen Beobachtungen folgt: Ist der Satz über die Jordan-Normalform wahr, und ist F End K (V beliebig, so muss jeder Eigenwert λ von F eine Zerlegung V = V λ V2 induzieren, wobei V λ = ker(f λ id k und V 2 = Im(F λ id k für ein genügend großes k N Diese Beobachtung gibt den entscheidenden Schritt im Beweis von: Satz 315 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V, so dass das charakteristische Polynom P F von F in Linearfaktoren zerfällt Seien λ 1,, λ m die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F Dann gilt V = V λ1 Vλ2 Vλm und F (V λi V λi für alle 1 i m Insbesondere folgt F = F λ1 Fλ2 Fλm mit F λi := F Vλi : V λi V λi Beweis: Wir beweisen den Satz per Induktion nach der Dimension von V Ist dim(v = 1, so ist nichts zu zeigen Sei also nun dim(v = n > 1 und der Satz sei richtig für kleinere Dimensionen Da P F in Linearfaktoren zerfällt, besitzt P F mindestens eine Nullstelle Also besitzt F mindestens einen Eigenwert λ Setze V 1 := V λ, und wähle k N wie in Lemma 312 mit V λ = ker(f λ id k Ist V λ = V, so ist λ der einzige Eigenwert von F, denn wäre λ λ ein weiterer Eigenwert, so wäre (F λ id(v = F (v λv = (λ λ v für jeden Eigenvektor 0 v von F bezüglich λ Aber dann wäre (F λ id k (v = (λ λ k v 0, da v 0 und λ λ Dies ist aber ein Widerspruch zu V = V λ = ker(f λ id k Wir erhalten also F = F λ für den einzigen Eigenwert λ von F, und damit die gewünschte Struktur Sei nun V λ V Setze V 1 := V λ und V 2 := Im(F λ id k Wir zeigen: (i F (V i V i für i = 1, 2, (ii V = V 1 V2 Für (i genügt es zu zeigen, dass (F λ id(v i V i (dann gilt auch F (V i (F λ id(v i + λ V i V i Für i = 1 folgt dies aus V 1 = ker(f λ id k und (F λ id k (F λ id(v 1 = (F λ id (F λ id k (V 1 = (F λ id({0} = {0} Für i = 2 erhalten wir die Rechnung (F λ id(v 2 = (F λ id ( (F λ id k (V = (F λ id k( (F λ id(v (F λ id k (V = V 2 Wir beweisen nun (ii: Zunächst folgt aus der Dimensionsformel für die lineare Abbildung (F λ id k, dass dim(v = dim ( ker(f λ id k + dim ( Im(F λ id k = dim(v 1 + dim(v 2 Für den Beweis von (ii genügt es also zu zeigen, dass V 1 V 2 = {0} Ist aber v V 1 V 2, so existiert wegen v V 2 ein w V mit v = (F λ id k (w, und da v V 1 folgt (F λ id k (v = (F λ id 2k (w = 0 Es folgt w V 2k,λ = ker(f λ id 2k Nach Lemma 312 und der Wahl von k gilt aber Es folgt w V λ und v = (F λ id k (w = 0 V λ = V k,λ = V k+1,λ = = V 2k,λ

9 Aus (i und (ii folgt, dass F = F 1 F2 mit F i = F Vi : V i V i Nach Lemma 38 gilt P F = P F1 P F2, und daher zerfällt mit P F auch P F2 in Linearfaktoren Sind λ 2,, λ m die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F 2, so besitzt F 2 nach Induktionsvoraussetzung eine Zerlegung F 2 = F λ2 Fλm, und setzen wir λ 1 := λ, so erhalten wir mit F λ1 = F 1 die gewünschte Zerlegung F = F λ1 Fλm 4 Bemerkung 316 Wir sind leider immer noch nicht fertig mit dem Beweis der Existenz der Jordan-Normalform Satz 315 reduziert das Problem aber auf den Fall, dass F = F λ für einen (und dann den einzigen Eigenwert λ von F Gelingt es uns für solche Endomorphismen eine Jordan-Basis zu konstrieren, so können wir für jeden Summanden F λi in der Zerlegung F = F λ1 Fλm von Satz 315 eine Basis B i von V λi angeben, so dass die zugehörige Darstellungsmatrix A i = A B i F λi eine Jordan-Matrix ist Ist dann B = {B 1, B 2,, B l } die entsprechend zusammengestetzte Basis von V, so ist auch A A B 0 A 2 0 F = 0 0 A m eine Jordan-Matrix Wir wollen also nun in einem letzten Schritt eine Jordan-Basis für F λ konstruieren! Wir benötigen: Lemma 317 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei G End K (V nilpotent Für l N 0 setze V l := ker G l Nach Lemma 312 existiert dann ein k N mit Sei nun 2 l k und sei {0} = V 0 V 1 V k 1 V k = V B = {u 1,, u r, w 1,, w s, v 1,, v t } eine Basis von V l, so dass {u 1,, u r } eine Basis für V l 2 und {u 1,, u r, w 1,, w s } eine Basis für V l 1 ist Dann gilt t s, und wir können die Vektoren w 1,, w s V l 1 V l 2 so abändern, dass zusätzlich G(v i = w i für alle 1 i t gilt 5 Beweis: Sei V := LH{v 1,, v t } Dann gilt V l = V l 1 V, also insbesondere V V l 1 = {0} Wir zeigen zunächst, dass die Vektoren u 1,, u r, G(v 1,, G(v t V l 1 linear unabhängig sind Sei dazu 0 = r i=1 µ iu i + t j=1 ν jg(v j Setze u := r i=1 µ iu i V l 2 und v := t j=1 ν jv j V Dann folgt 0 = u + G(v, also G(v = u V l 2 = ker G l 2 und damit v ker G l 1 = V l 1 Damit folgt v V V l 1 = {0}, also v = 0 und dann auch u = 0 Da u 1,, u r und v 1,, v t linear unabhängig sind erhalten wir 0 = µ 1 = µ r = ν 1 = = ν t Insbesondere folgt r + t dim(v l 1 = r + s, also t s Setzen wir nun w i := G(v i für 1 i t, so existieren nach dem Basisergänzungssatz weitere Vekoren w r+1,, w s V l 1, so dass {u 1,, u r, w 1,, w s } eine Basis von V l 1 ergibt Das System {u 1,, u r, w 1,, w s, v 1,, v t } hat dann alle gewünschten Eigenschaften 9 4 Man beachte auch, dass λ1 kein Eigenwert von F 2 ist Ich lasse diese einfache Tatsache als Übungsaufgabe! 5 Danach erhalten wir B = {u1,, u r, w 1 = G(v 1,, w t = G(v t, w t+1,, w s, v 1,, v t}

10 10 Wir kommen nun zum Abschluss des Beweises von Satz 36 Wir erinnern daran (siehe Bemerkung 316, dass es genügt den Fall V = V λ und F = F λ zu betrachten Dann ist F λ id nilpotent! Satz 318 Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V mit V = V λ für einen Eigenwert λ von F Setze G := F λ id und V l := ker G l für l N 0 Sei k N mit {0} = V 0 V 1 V k = V, und setze d l := dim(v l dim(v l 1 für 1 l k Dann gilt d l d l 1 für alle 2 l k, und wir finden eine Basis B von V nach dem folgenden Schema: v 1,1 v 1,2 v 1,l v 1,k 1 v 1,k v 2,1 v 2,2 v 2,l v 2,k 1 v 2,k v dk,1 v dk,2 v dk,l v dk,k 1 v dk,k v dk 1,1 v dk 1,2 v dk 1,l v dk 1,k 1 v dl,1 v dl,2 v dl,l v d2,1 v d2,2 v d1,1 Hierbei gelten: (i Die Vektoren in den ersten l Spalten ergeben zusammen genommen eine Basis von V l Insbesondere bilden alle Vektoren des Schemas eine Basis von V (ii Ist 1 i d 1 ein beliebiger Zeilenindex, so gilt v i,l 1 = G(v i,l für alle 2 l k i, wobei k i der Index derjenigen Spalte ist, in der die i-te Zeile endet Ist dann B i die i-te Zeile des Schemas und setzen wir B := {B 1, B 2,, B d1 }, so ist B eine Basis von V und A B F ist in Jordan-Normalform Beweis: Die Beziehung d l d l 1 für 2 l k ist eine direkte Konsequenz aus Lemma 317 Zur Konstruktion des Schemas mit den gewünschten Eigenschaften wählen wir zunächst eine Basis U 1 von V 1, ergänzen diese zu einer Basis U 2 von V 2 und fahren induktiv fort bis wir ein

11 Schema u 1,1 u 1,2 u 1,l u 1,k 1 u 1,k u 2,1 u 2,2 u 2,l u 2,k 1 u 2,k u dk,1 u dk,2 u dk,l u dk,k 1 u dk,k u dk 1,1 u dk 1,2 u dk 1,l u dk 1,k 1 u dl,1 u dl,2 u dl,l u d2,1 u d2,2 u d1,1 erhalten, indem die ersten l Spalten zusammen jeweils eine Basis von V l bilden (die Vektoren aus U 1 finden wir also in der ersten Spalte, etc Wir setzen zunächst v i,k := u i,k für 1 i d k Durch Anwenden von Lemma 317 auf die vorletzte Spalte können wir dann die Vektoren u 1,k 1,, u dk 1,k 1 durch geeignete Vektoren v 1,k 1,, v dk 1,k 1 ersetzen, so dass v i,k 1 = G(v i,k für 1 i d k gilt Im nächsten Schritt wenden wir das Lemma auf die k 2- te Zeile an, und ersetzen die Vektoren u i,k 2 durch Vektoren v i,k 2, so dass v i,k 2 = G(v i,k 1 für 1 i d k 1 gilt Nach k Schritten erhalten wir dann das gesuchte Schema Setzen wir v i := v i,ki, so folgt aus (2, dass die i-te Zeile B i des Schemas wie folgt aussieht: B i = {G k i 1 (v i, G k i 2 (v i, G k i 3 (v i,, G(v i, v i } Setzen wir dann Ṽi := LH(B i, so folgt G(Ṽi Ṽi, und dann auch F (Ṽi Ṽi, da F = G+λ id Lemma 39 liefert dann, dass F i := F Ṽi : Ṽi Ṽi die Darstellungsmatrix λ λ 1 0 A B i F i = J i = M(k i k i, K 0 0 λ λ besitzt Setzen wir dann B := {B 1,, B d1 }, so erhalten wir eine Basis B von V mit A B F = J 1 11 J d1 Bemerkung 319 Die verschiedenen Schritte im Beweis von Satz 36 liefern auch ein Verfahren zur Berechnung der Jordan-Normalform und einer zugehörigen Jordan-Basis Konkret gehen wir wie folgt vor: (1 Berechne alle paarweise verschiedenen Eigenwerte λ 1,, λ m von F

12 12 (2 Sei λ := λ j der j-te Eigenwert von F Bestimme zunächst das minimale k N mit ker(f λ id k+1 = ker(f λ id k = V λ Für alle 1 l k bestimme eine Familie C l = {u 1,l, u dl,l} von Vektoren in V, so dass {C 1,, C l }eine Basis von von V l,λ = ker(f λ id l ist Hierfür bestimmen wir zunächst eine beliebige Basis C 1 von V 1,λ, ergänzen diese durch geeignete Wahl von C 2 zu einer Basis von V 2,λ und fahren entsprechend fort, bis wir C = {C 1,, C k } bestimmt haben (3 Sei λ = λ j wie in (2 Setze zunächst v 1,k := u 1,k,, v dk,k := u dk,k, und setze dann v 1,k 1 := (F λ id(v 1,k,, v dk,k 1 := (F λ id(v dk,k Wähle dann beliebige Vektoren v dk +1,k 1,, v dk 1,k 1 aus C k 1 so dass die Vektoren v 1,k 1,, v dk 1,k 1 linear unabhängig sind 6 Haben wir dann nach l 1 Schritten die Vektoren v 1,l,, v dl,l konstruiert, so setzen wir wieder v 1,l 1 := (F λ id(v 1,l,, v dl,l 1 := (F λ id(v dl,l und wählen weitere Vektoren v dl +1,l 1,, v dl 1,l 1 C l 1, mit v 1,l 1,, v dl 1,l 1 linear unabhängig Auf diese Weise erhalten wir ein Schema von Vektoren v i,l wie in Satz 318, das alle im Satz erwähnten Anforderungen erfüllt Wie im Satz beschrieben erhalten wir dann eine Jordan-Basis B λ von V λ für F λ = F Vλ Genauer: Ist B i die i-te Zeile des Schemas, so setzen wir B λ := {B 1,, B d1 } Zu jeder Zeile B i erhalten wir dann einen λ-jordan-kasten der Länge k i, wenn k i die Länge der Zeile B i bezeichnet (4 Ist zu jedem λ j wie in (3 die Basis B λj von V λj konstruiert, so ist B := {B λ1,, B λm } eine Jordan-Basis für F Die zugehörige Darstellungsmatrix hat dann die Blockstruktur A B F = A 1 wobei A j die in (3 konstruierte Jordan-Matrix von F λj ist Beachte: A j enthält alle Jordan-Kästen zum Eigenwert λ j! Beachte: Ist B M(n n, K, ist F : K n K n, F (v = B v der zugehörige Endomorphismus und ist B = {c 1,, c n } eine Jordan-Basis für F, so ist C := (c 1,, c n eine invertierbare Matrix, so dass A B F = C 1 BC die zu B gehörende Jordan-Normalform ist A m, Beispiel 320 Sei F : R 5 R 5 ; F (v = B v mit B := In der Regel reicht es hier aus willkürlich Vektoren vdk +1,k 1,, v dk 1,k 1 C k 1 auszuwählen Die lineare Unabhängigkeit von v 1,k 1,, v dk 1,k 1 ist dann fast immer erfüllt!

13 Man sieht sofort, dass P F (x = det(b x E = (1 x 5 Also ist 1 der einzige Eigenwert von F Nachrechnen ergibt B E = , (B E 2 = und (B E 3 = Damit erhalten wir V 1 := ker(b E = LH{e 1, e 2 }, V 2 := ker(b E 2 = LH{e 1, e 2, e 3, e 4 }, V 3 := ker(b E 3 = R 5, und d 1 = dim(v 1 = 2, d 2 = dim(v 2 dim(v 1 = 2 und d 3 = dim(v 3 dim(v 1 = 1 Nach Blatt4, Aufgabe 3, folgt hieraus, dass die Jordan-Normalform A von F zwei Jordan-Kästen zum Eigenwert 1 besitzt, und zwar einen der Länge 3 und einen der Länge 2 Zur Konstruktion einer Jordan-Basis für F setze v 1,3 := e 5, v 1,2 = (B Ee 5 = (4, 3, 2, 1, 0 t und v 1,1 = (B E 2 e 5 = (1, 2, 0, 0, 0 t Ferner setze v 2,2 = e 4 und v 2,1 = (B Ee 4 = (3, 2, 0, 0, 0 t Dann ist v 1,1 v 1,2 v 1,3 v 2,1 v 2,2 ein Schema wie in Satz 318 und B = {v 1,1, v 1,2, v 1,3, v 2,1, v 2,2 } = 0, 2, 0, 0, ist eine Jordan-Basis für F mit zugehöriger Jordan-Normalform A := A B F = Setzen wir C := , so folgt A = C 1 BC

14 14 4 Eine Anwendung der Jordan-Normalform in der Analysis In vielen physikalischen Anwendungen ist es notwendig, Systeme von Differentialgleichungen der Form: y 1(t = b 11 y 1 (t + b 12 y 2 (t + + b 1n y n (t y 2(t = b 21 y 1 (t + b 22 y 2 (t + + b 2n y n (t y n(t = b n1 y 1 (t + b n2 y 2 (t + + b nn y n (t zu betrachten, wobei y 1,, y n : R R differenzierbare reelle Funktionen sind, und b ij R für alle 1 i, j n Ist dann B = (b ij die Matrix mit den Koeffizienten b ij, so können wir das System auch in der Kurzschreibweise y (t = B y(t, y(t := ( y 1 (t, y 2 (t,, y n (t t formulieren, wobei dann y (t := ( y 1 (t,, y n(t t die komponentenweise Ableitung von y : R R n bezeichnet Definieren wir Konvergenz von Vektoren durch die Konvergenz der Komponenten, so ist y : R R n differenzierbar in t genau dann, wenn y 1 ( (t = lim y(t + h y(t h 0 h existiert In der Regel wird zusätzlich zum oben gegebenen System von Differentialgleichungen noch eine Anfangsbedingung y(t 0 = y 0 = (y 10,, y n0 t vorgegeben, wobei t 0 R eine gegebene Anfangszeit ist Gesucht sind also alle (komponentenweise differenzierbaren Funktionen y : R R n mit y = B y und y(t 0 = y 0 Eine Gleichung der Form y = By heißt auch (homogenes System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Beispiel 41 Ein Zahlen-Beispiel: Gesucht sind alle differenzierbaren Funktionen y 1, y 2, y 3 : R R mit y 1(t = y 1 (t + 2y 2 (t y 3 (t y 2(t = y 2 (t + y 3 (t y 3(t = 3y 1 (t + y 2 (t und der Anfangsbedingung y 1 (0 = 1, y 2 (0 = 0, y 3 (0 = 2 Ist dann B = 0 1 1, so ist das obige System von Differentialgleichungen gegeben durch die Gleichung y = B y, y(0 = (1, 0, 2 t, wobei y = (y 1, y 2, y 3 t : R R 3 die gesuchte R 3 -wertige Funktion ist Bemerkung 42 (1 Tatsächlich ist es nützlich, sich nicht auf den Fall reeller Funktionen zu beschränken, sondern auch komplexwertige Funktionen und komplexe Matrizen zuzulassen Ist dabei f : R C, so ist f differenzierbar in t R, wenn f f(t+h f(t (t := lim h 0 h existiert Ist f = g + ih und g, h : R R, so ist f genau dann differenzierbar in t, wenn g

15 und h in t differenzierbar sind, und dann gilt f (t = g (t + ih (t Mit diesem Verständnis für die Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen auf R können wir jetzt auch Systeme der Form y = B y, y(t 0 = y 0 mit B M(n n, C und y 0 C n betrachten Die gesuchte Lösung ist dann eine Funktion y : R C n Wir werden im folgenden diesen allgemeineren Fall betrachten (2 Durch die Substitution t t t 0 können wir uns immer auf den Fall t 0 = 0 beschränken: Ist ỹ : R C n mit ỹ = B ỹ und ỹ(0 = y 0, und setzen wir y(t := ỹ(t t 0, so folgt sofort aus den Ableitungsregeln, dass y = B y mit y(t 0 = y 0 Im eindimensionalen Fall ist es sehr leicht, eine Lösung der Differentialgleichung y (t = b y(t, y(0 = y 0 anzugeben Nachrechnen zeigt sofort, dass y(t = e tb y 0 eine Lösung dieser Gleichung ist Mit etwas mehr Mühe sieht man dann sogar ein, dass dies die einzige Lösung der Gleichung ist Wir werden gleich sehen, dass eine ähnliche Formel auch für Systeme gilt Definition 43 Für B M(n n, C definieren wir 1 exp(b := k! Bk, mit B 0 := E und B k = B B B (k-mal, für k > 0 Bemerkung 44 (1 Konvergenz der Reihe bedeutet, dass jede Komponente b ij (n der Entsprechenden Folge der Partialsummen B(n := n 1 k! Bk M(n n, C konvergiert Man kann zeigen (wir werden dies später nachholen, dass die Reihe in Definition 43 in diesem Sinne immer konvergiert! (2 Ist B M(n n, R eine reelle Matrix, so ist nach (1 jede Komponente von exp(b ein Grenzwert einer reellen Folge, und damit ist auch exp(b M(n n, R (3 Ist A = C 1 BC für ein C GL(n, C, so folgt A k = (C 1 BC (C 1 BC (C 1 BC = C 1 B(C 1 CB(C 1 C (C 1 CBC = C 1 BEBE EBC = C 1 B k C, für jedes k N 0, und damit folgt 1 1 exp(a = k! Ak = k! C 1 B k C = 7 C 1 ( 1 k! Bk C = C 1 exp(bc Ähnlich wie im Komplexen erhält man eine überaus nützliche Funktionalgleichung: Lemma 45 Seien A, B M(n n, C mit A B = B A Dann gilt exp(a + B = exp(a exp(b Beweisidee: Sind A, B M(n n, K mit A B = B A, so folgt mit dem üblichen Induktionsbeweis (siehe HM1 die Binomische Formel k (A + B k ( = kj Aj B k j, j=0 7 Hier muss man eigentlich noch überlegen, warum wir die Matrizen C 1 und C aus der unendlichen Summe herausziehen dürfen! 15

16 16 für all k N 0 Mit dem Cauchy-Produkt für absolut konvergente Reihen (in einer entsprechenden Version für Matrixreihen folgt dann 1 exp(a + B = k! (A + 1 k ( Bk = kj Aj B k j k! j=0 k ( ( ( = 1 1 j! Aj (k j! Bk j CP = 1 j! Aj 1 k! Bk j=0 = exp(a exp(b Ist B M(n n, C, so wollen wir nun die Matrixwertige Funktion Y : R C n ; Y (t := exp(tb betrachten Wir definieren Differenzierbarkeit von Matrixwertigen Funktionen wie für Vektorwertige Funktionen durch die Differenzierbarkeit aller Komponenten Dies ist wieder äquivalent zur (komponentenweisen Existenz des Grenzwertes Y 1 ( (t = lim Y (t + h Y (t h 0 h Satz 46 Seien B M(n n, C, Y (t := exp(tb und y 0 C n Dann gelten: (i Y (t = B exp(tb = B Y (t (ii y : R C n ; y(t := exp(tb y 0 ist eine Lösung des Systems y = B y, y(0 = y 0 Beweis: Betrachten wir die Funktion Y (t = exp(tb = 1 k! tk B k, so stellen wir fest, dass jede Komponente Y (t ij von Y (t durch eine Potenzreihe d ij(kt k gegeben ist, wobei d ij (k die ij-te Komponente der Matrix 1 k! Bk ist Da wir (bis jetzt ohne Beweis davon ausgehen, dass die Exponentialreihe für alle tb konvergiert, haben alle diese Reihen unendlichen Konvergenzradius, und wir dürfen auf ganz R gliedweise differenzieren (siehe HM1 Damit folgt ( Y 1 (t = k! ktk 1 B k 1 = B (k 1! tk 1 B k 1 k=1 k=1 ( 1 = B k! tk B k = B exp(tb Mit (1 erhalten wir für y(t = Y (t y 0 : y 1 ( 1 ( (t = lim y(t + h y(t = lim Y (t + h y0 Y (t y 0 h 0 h h 0 h ( 1 ( = lim Y (t + h Y (t y 0 = B Y (t y 0 h 0 h = B y(t j=0

17 17 und y(0 = exp(0b y 0 = E y 0 = y 0 8 Bemerkung 47 (1 Man kann auch hier zeigen, dass die im Satz angegebene Lösung die einzige Lösung des Systems ist y = By mit der Anfangsbedingung y(0 = y 0 ist! Wir werden dies später vieleicht noch tun! (2 Da exp(tb M(n n, R wenn B M(n n, R (siehe Bemerkung 44 folgt: Sind B und y 0 reell, so ist auch y(t für alle t R reell! 48 Berechnung der Funktion Y (t = exp(tb Wir wollen nun überlegen, wie wir die Funktion Y (t = exp(tb für B M(n n, C mit Hilfe einer Jordan-Normalform von B explizit berechnen können Da jedes Polynom über C in Linearfaktoren zerfällt, können wir nach Satz 36 eine Matrix C GL(n, C finden (und im Prinzip auch berechnen, so dass A = C 1 BC eine Jordan-Matrix ist Dann folgt tb = CtAC 1 und exp(tb = C exp(tac 1 Es genügt also zu wissen, wie die Funktion exp(ta für jede Jordan-Matrix A berechnet werden kann Sei nun A = J 1 eine beliebige Jordan-Matrix mit den Jordan-Kästen J 1,, J m Nach den Rechenregeln für Blockmatrizen gilt dann A k = J k 1 J m, Jm k und daraus folgt schnell exp(tj 1 exp(ta = exp(tjm Es genügt also zu wissen, wie die Matrix exp(tj zu berechnen ist, wenn λ λ 1 0 J = 0 0 λ λ 8 Ist 0n M(n n, C die Null-Matrix, so folgt exp(0 n = P 1 k! Ok n = 1 0! O0 n = 1 E = E

18 Dann gilt aber J = λe + N mit N := Da λe mit N vertauscht (und dann auch tλe mit tn folgt mit Lemma 45, dass Wegen (tλe k = (tλ k E folgt exp(tj = exp(tλe + tn = exp(tλe exp(tn exp(tλe = ( 1 1 k! (tλek = k! (tλk E = e tλ E Eine leichte Rechnung (benutze Lemma 39 ergibt ferner, dass N l := (0,, 0, e 1,, e k l, wobei die ersten l Einträge aus Nullspalten bestehen, und dann die ersten k l Einheitsvektoren des C k als weitere Spalten der Matrix N l auftreten Insbesondere gilt N k = 0 falls N M(k k, C Einsetzen in die Exponentialreihe ergibt (mit N 0 = E: exp(tn = E + tn + t2 2 N 2 + t3 3! N tk 1 (k 1! N k 1 = t 1 t 2 t 3 t 2 3! k 1 (k 1! t 0 1 t t 0 1 Zusammen folgt e tλ te tλ t2 e tλ t 3 e tλ t 2 3! k 1 e tλ (k 1! 0 e tλ te tλ t2 e tλ 2 exp(tj = e tλ exp(tn = 0 e tλ te tλ 0 e tλ Beispiel 49 Sei B := Dann ist C := eine Trransformations-Matrix mit A = C 1 BC = Damit folgt exp(tb =

19 19 C exp(tac 1 mit t 1 t t 0 0 exp(ta = e 2t te 2t e 2t Nachrechnen ergibt: 1 t t 2 1 t t 2 + e 2t 1 + t t2 e 2t + 2te 2t 0 1 2t 1 2t + e 2t 1 + t e 2t + 2te 2t Y (t := exp(tb = e 2t e2t + 2te 2t e 2t 2te 2t e 2t Für das System y = By, y(0 = (1, 0, 2, 0, 1 t ergibt sich die eindeutig bestimmte Lösung 2 + t t2 e 2t + 2te 2t 1 + 3t e 2t + 2te 2t 5 y(t = Y (ty 0 = e2t + 2te 2t 2te 2t e 2t

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen

Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen Proseminar Lineare Algebra SS10 Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen Simon Strahlegger Heinrich-Heine-Universität Betreuung: Prof. Dr. Oleg Bogopolski Inhaltsverzeichnis:

Mehr

3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform

3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform LinAlg II Version 1 29. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 219 3.5 Trigonalisierbarkeit, verallgemeinerte Eigenräume und Jordansche Normalform Das Problem der Normalformen für Endomorphismen handelt kurz gesprochen

Mehr

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren

Mehr

KAPITEL 8. Normalformen. 1. Blockmatrizen. ,C K m 2 n 1. X = K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L. und Y = M N Blockmatrizen mit.

KAPITEL 8. Normalformen. 1. Blockmatrizen. ,C K m 2 n 1. X = K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L. und Y = M N Blockmatrizen mit. KAPITEL 8 Normalformen Definition 8.1 (Blockmatrizen). Sind 1. Blockmatrizen A K m 1 n 1,B K m 1 n 2,C K m 2 n 1 und D K m 2 n 2 so nennet man die Matrix X = ( A B C D ) K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) eine Blockmatrix

Mehr

2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit 2.11. EIGENWERTE UND DIAGONALISIERBARKEIT 127 Die Determinante eines Endomorphismus Wir geben uns jetzt einen endlichen erzeugten K-Vektorraum V und einen Endomorphismus ϕ : V V vor. Wir wollen die Determinante

Mehr

Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Blatt 2, Aufgabe 3 a) Wir zeigen, daß das Ideal (2, X) kein Hauptideal in Z[X] ist. (Dieses Ideal besteht aus allen Elementen in Z[X], die von der Form

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung

Rückblick auf die letzte Vorlesung Rückblick auf die letzte Vorlesung Lineare Differentialgleichungen Ausblick auf die heutige Vorlesung Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform

Mehr

Musterlösung Donnerstag - Determinanten und Eigenwerte

Musterlösung Donnerstag - Determinanten und Eigenwerte Musterlösung Donnerstag - Determinanten und Eigenwerte 6. März Aufgabe : Zum Aufwärmen () Zeige, dass eine nilpotente Endomorphismus nur die Null als Eigenwert hat. Hinweis: Ein Endomorphismus heißt nilpotent,

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 215/216 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 27 In der letzten Vorlesung haben wir die Haupträume zu einem Eigenwert λ zu einem Endomorphismus ϕ als Kern

Mehr

m 1 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) k 12 k 12 k 12 k k 23

m 1 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) k 12 k 12 k 12 k k 23 Kapitel 5 Eigenwerte 5. Definition und Beispiele Wir sehen uns ein System dreier schwingender Kugeln der Massen m, m und m 3 an, die durch Federn aneinander gekoppelt sein sollen. m k m k 3 m 3 x ( t x

Mehr

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte : und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b

Mehr

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 12

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 12 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 12 Schriftliche Aufgaben Aufgabe 1. Sei A M(n n, C). Zeigen Sie: (1) exp(a) ist invertierbar mit exp(a) 1 = exp( A). (2) Ist A M(n n, C) selbstadjungiert

Mehr

6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.

6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar. Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +

Mehr

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich

Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:

Mehr

Wir wollen Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung über einem offenen Intervall I R untersuchen:

Wir wollen Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung über einem offenen Intervall I R untersuchen: 23 23 Lineare Systeme Wir wollen Systeme von linearen Differentialgleichungen Ordnung über einem offenen Intervall I R untersuchen: y = y A(t + b(t, mit stetigen Abbildungen A : I M n,n (R und b : I R

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt

Mehr

Lineare Algebra - Determinanten und Eigenwerte

Lineare Algebra - Determinanten und Eigenwerte Lineare Algebra - Determinanten und Eigenwerte 26 März 2011 1 Determinanten 11 Definition (Determinanten): Sei K ein Körper und N n 0 Dann nennt man eine durch det : M(n n, K) K, a det(a) definierte Abbildung

Mehr

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009 I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Blockmatrizen. Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 :

Blockmatrizen. Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 : Blockmatrizen Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 : 2 1 3 1 1 0 1 0 1 0 0 2 1 1 11 1 1 4 0 1 0 1 0 1 4 1 0 2 1 0 1 0 1 0 3 1 2 1 = 2 4 3 5 11 1 1 4 0 1 0 1 0 1 5 1 2 1 2 4 3 5

Mehr

2 Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren

2 Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren 2 ÄHNLICHKEIT VON MATRIZEN, EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 1 19. Mai 2000 2 Ähnlichkeit von Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation. Es seien: V ein K-Vektorraum mit dim V = n < und F End V, Φ,

Mehr

4.2 Die adjungierte Abbildung

4.2 Die adjungierte Abbildung 4.2. DIE ADJUNGIERTE ABBILDUNG 177 4.2 Die adjungierte Abbildung Die Vektorräume dieses Paragraphen seien sämtlich euklidisch, die Norm kommt jetzt also vom inneren Produkt her, v = v v. Zu f Hom R (V,

Mehr

23. Die Jordan sche Normalform

23. Die Jordan sche Normalform Chr.Nelius, Lineare Algebra II (SS 2005) 1 23. Die Jordan sche Normalform Wir suchen für einen trigonalisierbaren Endomorphismus unter seinen dreiecksförmigen Darstellungsmatrizen eine Darstellungsmatrix,

Mehr

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)

Eigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein

Mehr

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q:

Serie 5. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink. 1. [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: Lineare Algebra D-MATH, HS 214 Prof Richard Pink Serie 5 1 [Aufgabe] Invertieren Sie folgende Matrizen über Q: 1 a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 b) 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 c) 1 3 3 2 2 1 5 3 1 2 6 1 [Lösung]

Mehr

Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07

Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07 6. Vorlesung Michael Karow Themen heute: 1. Die geschlossene Lösungsformel für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. 2. Die Matrixexponentialfunktion

Mehr

Kapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren

Kapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren Kapitel Eigenwerte und Eigenvektoren. Problem der Diagonalisierbarkeit Es sei wieder K gleich R oder. Eine n n)-matrix A mit Koeffizienten aus K wird als diagonalisierbar bezeichnet, wenn es eine invertierbare

Mehr

7.2 Die adjungierte Abbildung

7.2 Die adjungierte Abbildung 7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)

Mehr

Lösungsskizze zur Wiederholungsserie

Lösungsskizze zur Wiederholungsserie Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Blatt 3 - Lösung

Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Blatt 3 - Lösung Technische Universität München Physik Department Pablo Cova Fariña, Claudia Nagel Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 207/8 Blatt 3 - Aufgabe : Darstellungsmatrizen Sei

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist

Mehr

Berechnung der Determinante

Berechnung der Determinante Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Leitfaden 20. t = dim V dimu.

Leitfaden 20. t = dim V dimu. Leitfaden 2 Einschub (Nachtrag zur LA I): Komplementärbasen Sei V ein Vektorraum, U ein Unterraum Eine Folge (v,, v t ) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig modulo U, falls folgendes gilt: sind p

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 0/06 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen Beziehung zwischen Eigenräumen Wir

Mehr

4 Determinanten, Eigenwerte, Diagonalisierung, Jordansche Normalform

4 Determinanten, Eigenwerte, Diagonalisierung, Jordansche Normalform Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Donnerstag WS 2/2 4 Determinanten, Eigenwerte, Diagonalisierung, Jordansche Normalform 4 Determinanten 4 Definition

Mehr

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 12 Hausaufgaben Aufgabe 12.1 Sei f : R 3 R 3 gegeben durch f(x) :=

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

5 Diagonalisierbarkeit

5 Diagonalisierbarkeit 5 Diagonalisierbarkeit Sei V ein K Vektorraum mit einer Basis B = (v 1,..., v n ) Wiederholung aus 2: Sei f : V V K linear. Stelle f(v j ) für j = 1,..., n dar in der Form a 1j Das n Tupel a j =. a nj

Mehr

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1

18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Eigenwerttheorie. Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 2007/2008

Eigenwerttheorie. Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 2007/2008 Eigenwerttheorie Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Motivation Gegeben seien ein K-Vektorraum V der Dimension n < und eine K-lineare Abbildung f : V V Wir suchen eine Basis V = v 1,, v n von V,

Mehr

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,

a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2, Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist

Mehr

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger

Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit

Mehr

und Unterdeterminante

und Unterdeterminante Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,

Mehr

und Unterdeterminante

und Unterdeterminante Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie-

Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie- 1 Vorbemerkungen Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie- benen Vektoren. Wird die Matrix A = ( a 1,..., a n ) mit dem Vektor c = c 1. c n multipliziert,

Mehr

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9

Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Prof Dr Katrin Wendland Priv Doz Dr Katrin Leschke Christoph Tinkl SS 27 Lineare Algebra II, Lösungshinweise Blatt 9 Aufgabe (4 Punkte) Sei 2 3 4 A = 5 6 Berechnen Sie A k für alle k N und verifizieren

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA II 19. Juli 2008

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA II 19. Juli 2008 KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA II 19. Juli 2008 MUSTERLÖSUNG Name: Studiengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter die Aufgabenstellung

Mehr

Determinanten. Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem =. (1) y = Sei o.b.d.a a 0 und c 0. Dann ist (1) äquivalent zu. = ac ad y.

Determinanten. Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem =. (1) y = Sei o.b.d.a a 0 und c 0. Dann ist (1) äquivalent zu. = ac ad y. Determinanten Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem [ [ [ a b x u = (1) c d y v Sei obda a und c Dann ist (1) äquivalent zu [ [ ca cb x = ac ad y und ferner zu [ [ ca cb x ad cb y Falls

Mehr

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen.

Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. Definition: Lineare Abbildung Lineare Abbildungen Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. 8.1 Definition: Lineare Abbildung Eine Funktion f : V Ñ W zwischen

Mehr

10 Unitäre Vektorräume

10 Unitäre Vektorräume 10 Unitäre Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 98 10 Unitäre Vektorräume Die Theorie komplexer Vektorräume mit Skalarprodukt folgt denselben Linien wie die Theorie reeller Vektorräume mit Skalarprodukt;

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 $Id: jordantex,v 7 9/6/ :8:5 hk Exp $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5 Die Jordansche Normalform Nachdem wir bisher das Vorgehen zur Berechnung

Mehr

Zusammenfassung. 2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 53. in 2.1: Lösung eines linearen Gleichungssystems

Zusammenfassung. 2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 53. in 2.1: Lösung eines linearen Gleichungssystems 7 Eigenwerte und Eigenvektoren 53 Zusammenfassung in : Lösung eines linearen Gleichungssystems Formalisierung: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m A x b Lösungsmethode:

Mehr

45 Eigenwerte und Eigenvektoren

45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Darstellungsmatrizen 2 2 Diagonalisierbarkeit

Mehr

Klausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen.

Klausur Lineare Algebra I am Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Klausur Lineare Algebra I am 03.02.10 Es sind insgesamt 60 Punkte bei der Klausur zu erreichen. Aufgabe 1. (6 Punkte insgesamt) a.) (3P) Definieren Sie, was eine abelsche Gruppe ist. b.) (3P) Definieren

Mehr

Lineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse

Mehr

44 Spektralzerlegung normaler Operatoren im endlichdimensionalen Fall

44 Spektralzerlegung normaler Operatoren im endlichdimensionalen Fall 44 Spektralzerlegung normaler Operatoren im endlichdimensionalen Fall 44 1 Zusammenfassung Dieser Paragraf richtet sich im Aufbau weitgehend nach 42, um den Zerlegungssatz (44.7) analog zum Satz über die

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

VI.3. JORDAN SCHE NORMALFORM 167

VI.3. JORDAN SCHE NORMALFORM 167 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 67 VI3 Definition (Verallgemeinerte Eigenräume Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ϕ: V V linear und λ ein Eigenwert von ϕ Unter dem verallgemeinerten Eigenraum von

Mehr

1. Hausübung ( )

1. Hausübung ( ) Übungen zur Vorlesung»Lineare Algebra B«(SS ). Hausübung (8.4.) Aufgabe Es seien σ (3, 6, 5,, 4, 8,, 7) und τ (3,,, 4, 6, 5, 8, 7). Berechnen Sie σ τ, τ σ, σ, τ, die Anzahl der Inversionen von σ und τ

Mehr

4 Eigenwerte und Eigenvektoren

4 Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei V {0} ein K Vektorraum und f : V V K linear. Definition: Ein Eigenwert von f ist ein Element λ K, für die es einen Vektor v 0 in V gibt, so dass f(v) = λ v. Sei nun λ

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 11. Lineare Unabhängigkeit

Mathematik I. Vorlesung 11. Lineare Unabhängigkeit Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 11 Lineare Unabhängigkeit Definition 11.1. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren v i, i I,

Mehr

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 24 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 24 Seien V, W zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

1 Die Jordansche Normalform

1 Die Jordansche Normalform Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 4/5 A Die Jordansche Normalform Vierter Tag (9.03.205) Im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu

Mehr

Lösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink

Lösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lineare Algebra D-MATH, HS 201 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 18 1. Sei V,, ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Zeige, dass zu jeder Sesquilinearform f : V V C eine eindeutige lineare Abbildung

Mehr

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt

Lineare Algebra II 6. Übungsblatt Lineare Algebra II 6 Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 2011 Prof Dr Kollross 18/19 Mai 2011 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minimalpolynom) Bestimmen Sie das Minimalpolynom der

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und Geometrie I Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr. Peter Eichelsbacher 3. April 2007, 9.00-13.00 Uhr, 240 Minuten Name und Geburtsdatum: Matrikelnummer: Hinweise: Überprüfen

Mehr

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER

LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders

Mehr

9 Lineare Differentialgleichungen

9 Lineare Differentialgleichungen Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 $Id: linear.tex,v.4 2/2/ :7:45 hk Exp hk $ 9 Lineare Differentialgleichungen 9.3 Differentialgleichungen mionstanten Koeffizienten Während sich allgemeine

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG Aufgabe 1 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und seien v 1,..., v n V (n N). (a) Definieren Sie, wann die endliche Familie v 1,...,

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.

Mehr

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen

Fachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung

Mehr

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau

4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau 312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind

Mehr

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen

3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses

Mehr

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension

5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension 8 Kapitel 5. Lineare Algebra 5.7 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension Seien v,...,v n Vektoren auseinemvektorraumv über einem KörperK. DieMenge aller Linearkombinationen von v,...,v n, nämlich { n

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 53 Norm von Endomorphismen und Matrizen Definition 53.1. Es seien V und W endlichdimensionale normierte K-

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

3.3 Das charakteristische Polynom

3.3 Das charakteristische Polynom LinAlg II Version 1 2. Mai 2006 c Rudolf Scharlau 209 3.3 Das charakteristische Polynom Wir setzen die im vorigen Abschnitt begonnene Untersuchung von Eigenvektoren und Eigenwerten fort und stellen den

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018

Mathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 5. April 2018 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

Proseminar Lineare Algebra SS10

Proseminar Lineare Algebra SS10 Proseminar Lineare Algebra SS1 Normalform von Matrizen Jordansche Normalform Philip Bauermeister Heinrich-Heine-Universität Betreuung Prof. Dr. Oleg Bogopolski 2 1 Matrizen linearer Abbildungen 1.1 Definition

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 16. Eigentheorie

Mathematik I. Vorlesung 16. Eigentheorie Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 009/00 Mathematik I Vorlesung 6 Eigentheorie Unter einer Achsenspiegelung in der Ebene verhalten sich gewisse Vektoren besonders einfach Die Vektoren auf der Spiegelungsachse

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen

2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen 2.5. SMITH-NORMALFORM FÜR MATRIZEN ÜBER EUKLIDISCHEN RINGEN73 2.5 Smith-Normalform für Matrizen über Euklidischen Ringen Bemerkung 2.74. Sei K ein Körper und A K n m, b K n 1. Das lineare Gleichungssystem

Mehr

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.

(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. () In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.

Mehr

D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13. (A ± I)x = 0 Ax ± x = 0 Ax = ±x Ax = λx

D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13. (A ± I)x = 0 Ax ± x = 0 Ax = ±x Ax = λx D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 13 1. Die Matrix A±I ist singulär falls es einen Vektor x 0 gibt der die Gleichung (A±I)x = 0 erfüllt, d.h. wenn A ± I als

Mehr

Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik

Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum

Mehr