Polynomfunktionen - Fundamentalsatz der Algebra

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1 Schule / Institution Titel Seite 1 von 7 Peter Schüller Polynomfunktionen - Funamentalsatz er Algebra Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynomfunktionen, Funamentalsatz er Algebra, Gra eines Polynoms, einfache un mehrfache Nullstellen Kurzzusammenfassung An Han ausgewählter Beispiele weren ie besoneren Eigenschaften von Polynomfunktionen (vor allem auf graphischem Weg) herausgearbeitet un zusammengefaßt. In iesem Zusammenhang weren ie Aussagen es Funamentalsatzes er Algebra bestätigt bzw. eingeführt. Zum Abschluß wir noch gezeigt, wie man aus einem gegebenen (beliebigen) Graphen en Gra es Polynoms ermitteln kann. Diaktische Überlegungen Die Schüler kennen bereits Merkmale un Zusammenhänge er besoneren Punkte wie Nullstellen, Extremwerte un Wenepunkte un haben an Han "technischer" Funktionen (Kombinationen aus Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen...) iese bereits mehrmals näher untersucht un urchgerechnet. Ich führe ann im Nachhinein ie Polynomfunktionen als einen Sonerfall ein, er urch seine Besonerheiten eine Reihe von Vorteilen bringt un weise (insbesonere im Hinblick auf ie späteren Reihenentwicklungen) auf ie besonere Stellung in er Mathematik hin. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / gang): Angewante Mathematik, 3.gang, alle Abteilungen Mathca-Version: Mathca 001 / 000 / 8 / 7 0) Definition: ( ) ( x a ) ( ) Wir efinieren eine Polynomfunktion als p n ( x) := x a 1... x a n, wobei n als er Gra es Polynomes bezeichnet wir. 1) Untersuchungen zum Thema Nullstellen: Betrachten wir vorerst ein Polynom vom Gra. :=, p ( x) := ( x + ) ( x 3) oer urch ausmultiplizieren p ( x) := x x Wir erhalten also eine Parabel.

2 Schule / Institution Titel Seite von 7 Untersuchen wir ie Nullstellen, so erkennen wir ie Werte - un +3. Durch einfaches Überlegen ist ies leicht zu begrünen [ (x+)(x-3)=0 ]. Gleichzeitig ist aber auch leicht zu sehen (algebraisch un geometrisch), aß es keine weiteren Nullstellen geben kann. p ( ) Diskussion: Die Form p n (x) := (x-α 1 )(x-α )...(x-α n ) bestimmt sichtlich nicht nur en Gra, sonern auch ie Anzahl un ie Werte er Nullstellen. Wir versuchen es mit mehreren Faktoren: p 3 ( x) := ( x + ) ( x 1) ( x 3) p 3 ( ) 0 1 p ( x) := ( x + ) x + ( x 1) ( x 3) p ( ) 0 1 Wir sehen unsere Vermutungen bestätigt. Un weils mir einem CAS so leicht geht, arfs ruhig ein bischen mehr sein...

3 Schule / Institution Titel Seite 3 von 7 p 7 ( x) := ( x + 3) ( x + ) ( x + 1) ( x) ( x 1) ( x ) ( x 3) 0 50 p 7 ( ) 0 Experimentiere nach Herzenslust mit verschieenen Polynomen un überenke ie Ergebnisse Diskussion: In en Nullstellen wechselt ie Funktion ie Seite er x-achse. Somit muß zwischen jeweils zwei Nullstellen ein Punkt existieren, in welchem ie Funktion am weitetsten von er x-achse entfernt ist, also "faktisch umreht" un zur x-achse zurückkehrt - ein Extremwert. Was geschieht nun, wenn ein Zerlegungsbinom als Potenz auftritt? Man nennt ies eine mehrfache Nullstelle. p 3 ( x) := ( x + 1) ( x ) 8 p 3 ( ) 0 oer auch p ( x) := ( x + 1) ( x ) p ( )

4 Schule / Institution Titel Seite von 7 Sichtlich erhalten wir in iesem Fall bei jeer mehrfachen Nullstelle einen Extremwert. Hierfür gibt es einfache Erklärungen: Algebraisch: oppelte Nullstellen bleiben beim Ableiten erhalten --> somit müssen sie auch Extremwert sein. p 3 ( x) := ( x + 1) ( x ) x ( x + 1) ( x ) ( x ) + ( x + 1) ( x ) er Faktor (x-) ist natürlich noch vorhanen Geometrisch: wir verschieben as Polynom jeweils um 1 nach oben un nach unten p 3a ( x) := ( x + 1) ( x ) 1 p 3b ( x) := ( x + 1) ( x ) + 1 p 3a ( ) p 3b ( ) 0 0 Wir erkennen: verschieben wir ie x-achse, so rücken ie beien Nullstellen immer näher, fallen sie schließlich zusammen, so bilen sie einen Extremwert (x-achse wir Tangente). Was geschieht aber anach? Geometrisch verschwinen beie Nullstellen gleichzeitig. Was beeutet ies aber algebraisch? Wir betrachten zuerst p 3a (x): p 3a ( x) := ( x + 1) ( x ) 1 oer p 3a ( x) := x 3 3 x + 3 wir sehen leicht, aß rei reelle Nullstellen vorhanen sin. Nun aber as noch oben verschobene Polynom p 3b (x): p 3b ( x) := ( x + 1) ( x ) + 1 oer p 3b ( x) := x 3 3 x + 5 x 3 3 x + 5 = 0 hat als Lösung(en) j j Wir sehen, aß zwei Nullstellen algebraisch noch vorhanen, aber in en komplexen Bereich "abgerutscht" sin. Aus all em läßt sich nun einfach erkennen, aß immer nur zwei Nullstellen gleichzeitig "verschwinen" können (also komplex weren).

5 Schule / Institution Titel Seite 5 von 7 Was beeutet nun eine reifache Nullstelle? Versuchen wir vielleicht vorerst algebraisch zu überlegen! Der Faktor (x - α i ) 3 muß nach en Gesetzen er Differentialrechnung nun nicht nur ie 1. Ableitung "überstehen", sonern auch noch in er. Ableitung vorhanen sein! p ( x) := ( x + 1) ( x ) 3 sei eine Polynomfunktion p (x) mit reifacher Nullstelle x p ( x) ( x ) ( x + 1) ( x ) ist ann ie 1. Ableitung p ( x) x ( x ) + ( x + 1) ( x ) ie. Ableitung Richtig! Der Faktor (x-) ist immer noch vorhanen. Die beeutet, as er Punkt mit x = nicht nur Nullstelle un Extremwert ist, sonern auch noch ein Wenepunkt sein muß. Wir schauen uns ies sofort in er Graphik an: p ( x) := ( x + 1) ( x ) 3 5 p ( ) 0 5 Einen solchen Punkt bezeichnen wir als Flachpunkt. ) Funamentalsatz er Algebra: Die Nullstellenberechnung von Polynomfunktionen ist gleichzusetzen mit em Lösen von algebraischen Gleichungen n-ten Graes: p n (x) := (x-a 1 )(x-a )...(x-a n ) entspricht p n (x) := a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0. Berechnet man nun ie Nullstellen, so erhält man a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = 0, also eine Gleichung n-ten Graes.

6 Schule / Institution Titel Seite von 7 Aus en vorangegangenen Untersuchungen können wir nun folgene Sätze formulieren: Eine Gleichung n-ten Graes [mit reellen Koeffizienten] hat immer genau n Lösungen (Wurzeln) im Bereich C. Sin a 1, a,...a n ie Lösungen (Wurzeln) er Gleichung, so läßt sich ie Gleichung in er Form (x-a 1 )(x-a )...(x-a n ) = 0 arstellen. 3) Überlegungen zum Thema Extremwerte, Wenepunkte: Da eine Polynomfunktion vom Gra n ie Form p n (x) := a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 hat, muß nach en Grunregeln er Differentialrechnung ihre 1. Ableitung vom Gra n-1 sein un ihre. Ableitung vom Gra n-. Die Berechnung von Extremwerten un Wenepunkte führt wieerum auf as Lösen von algebraischen Gleichungen n-ten Graes, ie sich von jenen er Nullstellenberechnung leiglich im Gra er Gleichungen unterscheien. In iesem Sinne lassen sich eine Reihe von prägnanten Aussagen machen, ie speziell auf Polynomfunktionen zutreffen. Aussagen mit spezieller Gültigkeit für Polynomfunktionen Eine Polynomfunktion n-graes hat maximal n reelle Nullstellen. Diese Anzahl kann sich jeweils um Vielfache von verringern (komplexe Lösungen). Polynomfunktionen von ungeraem Gra haben somit immer minestens eine reelle Nullstelle. Eine Polynomfunktion n-graes kann maximal n-1 Extremwerte aufweisen [Schnellbestimmung es Graes urch Zählen er Extremwerte]. Zwischen zwei Nullstellen muß minestens ein Extremwert liegen. Eine Polynomfunktion n-graes kann maximal n- Wenepunkte aufweisen. ) Graphische Bestimmung es Graes einer Polynomfunktion Wir haben aus unseren Überlegungen erkannt, aß ie Anzahl er Nullstellen oer Extremwerte nicht immer ie richtige Auskunft über en Gra er Polynomfunktion gibt. Betrachten wir etwa folgenes Beispiel: p ( x) := x x + x 3 + x p ( ) 5.5 Wir könnten iese Polynomfunktion als ein wenig "entartet" bezeichnen. Angenommen, wir wissen nun, aß es sich hier um eine Polynomfunktion hanelt, wissen jeoch ihre Gleichung nicht. Haben wir eine Möglichkeit, trotzem ihren Gra zu bestimmen? 1

7 Schule / Institution Titel Seite 7 von 7 algebraische Überlegung: Nutzen wir ie Fähigkeiten er Computeralgebra un schneien wir etwa ein Polynom. Graes mit eine beliebigen Graen, ie aber jeenfalls nicht ie x-achse sein soll! p ( x) := x x + x 3 + x 3 g( x) := x 3 ies ergibt algebraisch: un umgeformt: x x + x 3 + x 3 x x + x 3 x = 0 = x 3 also wieer eine Gleichung vom Gra. Diskussion: Der Schnitt einer Polynomfunktion (Gra n) mit einer Geraen (Gra 1) führt stets wieer auf eine Gleichung vom Gra n. [Die Berechnung er Nullstellen ist eben nur er Spezielfall es Schnittes mit er Geraen x-achse]. Somit gibt uns nicht nur ie Zahl er Nullstellen Auskunft über en Gra er Funktion, sonern er Schnitt mit jeer beliebigen Graen. Wir brauchen leiglich ein Lineal nehmen un es so in ie Graphik legen, aß wir möglichst viele Schnittpunkte erhalten. Die Maximalzahl gibt uns ann Auskunft über en Gra er Funktion. Die maximale Anzahl er Schnittpunkte einer Polynomfunktion mit einer beliebigen Geraen gibt Auskunft über en Gra es Polynomes. In unserem Falle sieht ie so aus: p ( x) g( x) x 5) Rekonstruktion er Gleichung aus em Graphen (Interpretation von Graphen) Übungsvorschlag: Zum Abschluß könnte man nun noch versuchen, verschieene Polynomfunktionen, eren Graphen vorgegeben sin, mit em erworbenen Wissen zu "rekonstruieren". Zu iesem Zweck benutzen wir unser angesammeltes Wissen aus en vorangegangenen Seiten - un natürlich unser CAS, um schnell "Testen" zu können.

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