Man nennt nun ein Vektorfeld auf G stetig, differenzierbar, etc., wenn die Koeffizientenfunktionen X i sämtlich stetig, differenzierbar, etc. sind.

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1 Wederholug: Tagetalraum, Vektoreld Ist G R ud G, so detzere wr de Tagetalraum T mt eer de Pukt verschobee Kope des R. Geometrsch deke wr us de Vektore T mt hrem Fußpukt agehetet. Für zwe Pukte y sd de Tagetalräume T,T y dsjukt zu deke, also T T y =, so daß de Addto vo Vektore aus Tagetalräume mt verschedee Basspukte kee S macht. De vom R geerbte atürlche Bass vo T bezeche wr mt e 1,,e, so daß e belebger Vektor X T ee edeutge Darstellug X = Koezete. e bestzt mt Ma aßt u ür alle G de Tagetalräume T zum Gesamt-Tagetalbüdel TG= T zusamme. G E Vektoreld au G st ee Abbldug X :G TG, wobe ür jedes G glt: X T, d.h. ür jede Pukt G gbt es ee zugeordete Vektor X mt Fußpukt. E Vektoreld au G läßt sch oebar schrebe als X = e, wobe de reellwertge Fuktoe au G sd ud de e Bassvektorelder. De puktwese Auswertug des Vektorelds ergbt weder de obge Glechug X = e. Ma et u e Vektoreld au G stetg, derezerbar, etc., we de Koezeteuktoe sämtlch stetg, derezerbar, etc. sd. Vektorelder au G ka ma atürlcher Wese addere ud mt reelle Skalare multplzere. Se blde selbst ee Vektorraum. Wr werde us aus Bequemlchketsgrüde mest ur mt dem Uterraum X G der uedlch ot derezerbare Vektorelder au G beschätge. Tagetalvektore, also Vektore eem Tagetalraum T als Rchtugsabletuge. Se X = Fukto, de eer Umgebug vo erklärt st. Wr setze each, operere atürlcher Wese e T gegebe, sowe ee derezerbare. Damt wrkt X ud übrges jede Rchtugsabletug als X := Dervato. Ee Dervato st e Operator, der au eer eer Umgebug vo deerte derezerbare Fukto mt Summe- ud Produktregel operert, wobe z.b. de Produktregel ür X so ausseht: X g = X g g X. Damt köe wr eem Vektoreld X X G ud eer derezerbare Fukto au G ee eue derezerbare Fukto X zuorde ach der Vorschrt X := X. De Produktregel mmt jetzt de besoders eache Gestalt X g = Xg X g a. Bezechet ma de Mege der au G (uedlch ot) derezerbare Fukto mt E G, so wrkt e

2 Vektoreld X X G als Dervato au E G, d.h. ach der Summeregel X g = X Xg ür, ud obger Produktregel X g = Xg X g. Ma ka u auch umgekehrt zege, daß jede Dervato eem Pukt eem Vektor T ud jede Dervato au G eem Vektoreld X G etsprcht, d.h. ma uterschedet überhaupt cht mehr zwsche Vektorelder ud Dervatoe. Daher schrebt ma e Vektoreld X X G häug cht der Form X = als X =, ud dekt sch de Bezehuge mplzt mt. Rchtugsvektor = Dervato bzw. Vektoreld au G = Dervato au G e, soder I der Physk bezechet ma ee Fukto E G häug auch als (reelles) Skalareld au G, e Vektoreld blebt e Vektoreld. De obge Begre ud Detoe ka ma u lecht vo eem Gebet au Gebete erweter, de k-dmesoale glatte Fläche m bzw. -dmesoale derezerbare Magaltgkete lege. De Zusatzaugabe besteht dese Fälle atürlch dar, de Vektorelder bezüglch der da wechselde Koordate ud damt auch der wechselde Base ür Tagetalräume ud Dervatoe auszudrücke. Kotagetalraum, Kovektorelder, 1-Forme Obe habe wr de Tagetalraum T, G deert. Etspreched deere wr de Kotagetalraum T := :T lear als de Dualraum vo T. Ee Bass deses Raumes sd 1 e = 1,,,,,e =,,,1. We vorher aßt ma de Kotagetalräume T zum Kotagetalbüdel T G= T G zusamme ud deert e Kovektoreld bzw. ee 1-Form als Abbldug :G T G mt T solche Abbldug läßt sch aalog zur obge Vektoreldstuato der Bassdarstellug = e schrebe ud et stetg, derezerbar, etc. we sämtlche Koezeteuktoe Kovektorelder au G bezechet ma auch mt E 1 G. E Kovektor T des sd. De Raum der (uedlch ot) derezerbare st ja detosgemäß ee reellwertge Fukto au T. Ee, wr köe h also au ee Vektor X T awede ud erhalte als Wert ee Zahl X. Sd u e Kovektoreld E 1 G ud e Vektoreld X X G gegebe, so setze wr <, X > := X := X ud erhalte ee derezerbare Fukto <, X >= X E G. Dese Operato, de aus eem Kovektoreld ud eem Vektoreld ee Fukto macht, et ma auch eres Produkt oder auch Kotrakto. Demgegeüber habe wr rüher das äußere Produkt keegelert, welches aus zwe 1-Forme

3 , E 1 G de 2-Form E 2 G ud allgemeer aus eer k-form E k G ud G ee (k+l)-form E k l G machte. eer l-form E l Ist E G ee derezerbare Fukto, so blde wr eem Pukt G de Abletugsmatr d = oebar glt d d = e = 1,, T. Wr köe daher schrebe d bzw.. Da ür de Koordateuktoe d = d ud schrebe auch ee allgemee 1-Form statt der Bassdarstellug = äquvalete Darstellug = d. e der Der Abletugsoperator d macht also aus eer Fukto E G ee 1-Form E 1 G. Machmal schrebt ma auch E G statt E G. Damt habe wr de Abletug als Fukto d :E G E 1 G. Für ee k-form = 1 1 k 1 k d 1 d k E k G hatte wr deert d = d 1 1 k 1 k d 1 d k E k 1 G ud de Abletugsoperator d :E k G E k 1 G auch äußere Abletug geat. Wedet ma de Operator d zwemal a, so olgte aus der Vertauschbarket der partelle Abletuge d d =. De Abbldugskette E de-rham-komple au G. G E 1 G E G mt de Abblduge d et ma auch de Mt Hle der äußere Abletug wrd der allgemee Stokessche Satz ormulert. Le Abletug Sd zwe Vektorelder X,Y X G ud ee Fukto E G gegebe, so blde wr de Kommutator X,Y ] := X Y Y X durch mehraches Ablete Rchtug vo X ud Y. A pror köte ma deke, daß dabe zwete Abletuge vo autrete, de olgede Rechug zegt aber, daß des cht der Fall st: X,Y ] := X Y Y X = X Y Y = (Produktregel!)

4 X Y X j X j X j Y Y j Y j Y j Y j Y j X Y j j X j 2 j, Y Y X j 2 j Y j Y = j, Y j 2 j Y j = 2 j = Es st also e eues Vektoreld etstade: X,Y ]= X j Y j Y j Ma et X,Y ] Le-Abletug vo Y ach X ud schrebt auch L X Y := L X Y = X,Y ]. Oebar gelte ür X, Y, Z X G,, de olgede Recheregel: X,Y = Y, X X, Y Z] = X, Y, Z = X,Y ] X,Y, Z X, Z] Y, X, Z Letztere Regel ka ma oebar auch der Form X, Y, Z Y, Z, X schrebe, was mache Leute schöer de. I der erste Form blebt aber der Produktregelcharakter L X Y, Z = L X Y, Z Y, L X Z schtbar, ud de Formel wrkt "atürlcher". j Z, X,Y = Mt dem Produkt X,Y] ud obge Recheregel st der Raum der Vektorelder X G sogeate Le-Algebra. ee Bespele ür Le-Algebre sd auch der Raum der -Matrze mt dem Kommutatorprodukt A, B = AB BA oder auch der Raum der atsymmetrsche -Matrze ( A t = A ), ebealls mt dem Kommutatorprodukt. Iterpretato der Le-Abletug X, Y ] Läut ma vo eem Pukt G de Paramterdstaz ε Rchtug des Vektoreldes X, da weter Rchtug Y, so se z 1 der Pukt, de wr dabe erreche. Aschleßed bewege wr us umgekehrt zuerst Rchtug Y, da Rchtug X, ud erreche de Pukt z. Im z allgemee st z 1 z, ud wr wolle jetzt zege, daß lm 1 z z 1 = lm z 1 X Y z Y = lm 2 lm Y X Y Y e = X z = Y X X Y X lm X Y X lm X j Y 2 = X,Y ] : Y Y X = Y X e = j Y j j e =.

5 X j Y j Y j j e = X j Y j Y j j e, was oebar glech der Koordatedarstellug st, de wr obe ür X,Y ] ausgerechet habe. Glt X,Y ]=, d.h. auch daß obger geometrscher Kostrukto kee Lücke blebt, so sagt ma, daß de bede Vektorelder kommutere. Oebar glt ür de Koordatevektorelder e bzw. Deretaloperatorschrebwese, daß se paarwese kommutere, was sowohl geometrsch we rechersch klar st. Pullback ud Pushout See G ud H m Gebete, :G H ee derezerbare Abbldug. Ka ma Objekte, de H lebe, mttels zu Objekte au G mache, so sprcht ma vo Pullback ; geht der Trasport de umgekehrte Rchtug, so sprcht ma vo Pushout. Ist z.b. E H so setze wr := ud habe somt ee Pullbackabbldug :E H E G. Ählch deerte wr de Pullback vo Deretalorme, z.b. ür ee 1-Form E 1 H, = m d E 1 G. m d y wurde gesetzt m := d y = Tagetalvektore dagege ka ma ur "vorwärts" trasormere, ud zwar so: Ist G, X = = 1 T, y = H, so deere wr Y y := X T y, dem wr ür e belebges E H setze: Y y := u.a. de Ketteregel awede: m m j X. Dese Ausdruck köe wr jetzt weter ausreche, dem wr y j y = m = j y j y. Somt habe wr de Glechug Y y := j = m X = y y j = j y j y, d.h. der Spaltevektor der Kompoete vo Y y ergbt sch durch Awedug der Jacob Matr vo au de Spaltevektor der Kompoete vo X. Dese Rechug war ötg, de so köe wr de leare Abbldug : T T y kokret ausreche.

6 Wr brauchte obe de Koordatedarstellug eer 1-Form, um dere Pullback zu deere. Mt Hle des Pushout erhalte wr aber de olgede koordateree Formel: Ist E 1 H, X X G so glt <, X > = y (Ma erere sch, daß es st ja tatsächlch y T y X T y. X., also als reellwertge leare Abbldug au T y wrkt, ud Wr köe va Pushout zwar ezele Tagetalvektore, aber cht ubedgt e Vektoreld vo G ach H trasportere: Ist ämlch de Trasormatosabbldug cht jektv, hätte wr eem Pukt mt zwe Urblder zwe verschedee Vektore zuzuorde. Aderersets uktoert der Pullback vo Fuktoe oder Deretalorme mmer, egal ob de Trasormatosabbldug jektv st oder cht. Ist aderersets e Deomorphsmus d.h. bjektv mt derezerbarer Umkehrabbldug, so trasportert der Pushout Vektorelder vo G ach H ; wr erhalte ee atürlche Abbldug : X G X H, dem wr de Vektore des Ausgagsvektorelds puktwese "pushe". Des werde wr später sbesodere be Le-Gruppe awede. Le-Gruppe Ee Le-Gruppe G st detosgemäß glechzetg ee derezerbare Magaltgket ud ee Gruppe. We mmer, we e Objekt verschedee Strukture trägt, gbt es desbezüglche Verträglchetsbedguge. Für Le-Gruppe ordert ma, daß de Gruppeoperato G G G,, y y 1 derezerbar se. (Damt wrd glechzetg gesagt, daß de Gruppemultplkato ud de Iversebldug derezerbar sd.) Reelle Matr-Gruppe Wr werde m olgede ur solche Le-Gruppe betrachte, de Utergruppe vo GL, bzw. GL, sd, also der Gruppe der verterbare reell- bzw. komplewertge - Matrze. Kozetrere wr us zuächst au GL,. Dese Gruppe st ee oee Telmege des 2 - dmesoale Vektorraums M aller -Matrze, da oebar GL, = { X M det X }. De Determate st als Abbldug GL, derezerbar ud damt stetg ud e Gruppehomomorphsmus. Der Ker deses Homomorphsmus besteht aus de Matrze mt Determate 1 ud erhält m olgede de Name SL,. GL, zerällt de oee Utergruppe GL +, der Matrze mt postver Determate ud de glechgroße oee Mege der Matrze mt egatver Determate. Im Falle =1 seht ma des soort, de de multplkatve Gruppe = { } zerällt de oee Utergruppe der postve reelle Zahle ud de oee Mege der egatve reelle Zahle, de st also cht zusammehäged. Da de Matrze- aber kee Utergruppe blde. GL, multplkato ud de Iversebldug 1 polyomale Abblduge sd, st GL, oebar ee Le-Gruppe. De Kozetrato au GL, ud hre Utergruppe statt au allgemee Le-Gruppe 1Ist X = j GL,, so se j de Determate der (-1)(-1) Matr, de etsteht, we ma de -te Zele ud de j-te Spalte strecht. Setzt ma j = 1 j j, so st j de zu j verse Matr. Da dese Determate polyomale Abblduge sd, st sbesodere de Iversebldug derezerbar.

7 vereacht de Aalyse soer, als wr mest kee Atlas au dese Magaltgkete kostruere müsse, soder mt de durch de Obermege M gegebee globale Koordate j arbete ud damt au Magaltgketstheore wetgehed verzchte köe. Ege wchtge Utergruppe vo GL, sd SL, = { X GL, det X = 1}, de sog. spezelle leare Gruppe O, = X GL, X t X = E, de sog. orthogoale Gruppe SO, = X GL, X t X = E,det X = 1, de sog. spezelle orthogoale Gruppe De Spalte der Matrze O, blde also e Orthoormalsystem bezüglch des kaosche Skalarprodukts au dem, SO, sogar e oretertes Orthoormalsystem. Geometrsch hadelt es sch be SO, um Drehuge um de Nullpukt, währed be O, = X GL, X t X = E och Klappuge um ee Ebee durch de Nullpukt ud hre Kombato mt Drehuge hzukomme. De orthogoale Gruppe ka ma auch auasse als de Gruppe derjege Matrze, de das atürlche Skalarprodukt <, > au dem varat lasse, also: O, = A GL,, y : < A, Ay > = <, y > Etspreched ka ma bezüglch aderer blearer Produkte de Gruppe derjege Matrze deere, de dese Produkte varat lasse. Physkalsch wchtg st olgedes Produkt au dem 4 4 :, y y 1 y 1 2 y 2 3 y 3, das sogeate Mkowsk-Produkt. De, ausgestattet mt desem Produkt, et ma auch Mkowsk-Raum. Das Mkowsk-Produkt ka 1 y 1 ma auch als Matrzeprodukt y 1 1 schrebe, mt der Bezechug y 2 1 y 3 S = drücke wr das Mkowsk-Produkt aus als t S y. De Gruppe derjege Matrze, de das Mkowsk-Produkt varat lasse, heßt Loretz-Gruppe oder auch O 3,1, ud ma ka auch schrebe O 3,1, = X GL 4, X t S X = E. Aalog zu de obge Bezechuge setzt ma SO 3,1, = { X O 3,1, det X = 1} ud et dese de spezelle Loretz-Gruppe. Wetere physkalsch wchtge Bespele sd de Sp-Gruppe ud de symplektsche Gruppe. Iormere Se sch her gg. egestädg. Alle obe geate Gruppe sd abgeschlossee Telmege vo M. Se sd glatte Fläche desem Raum ud damt derezerbare Magaltgkete. De Glatthet vo SL, war Thema Übugsblatt 2. E wchtger Utersched zwsche Gruppe we de SL ud de SO st och, daß de Zahle de erstere belebg groß werde köe, währe se SO oebar sämtlch kleerglech 1 ud somt beschräkt sd.

8 ± Komplee Matrgruppe Im Przp läßt sch ee komplee Matr als reelle (2)(2)-Matr auasse, dem ma de Isomorphe zu Grude legt ud eer komplee Matr ee komplee Etrag 2 z= y ersetzt durch ee Block der Form y komplee Notato bezubehalte. y Trotzdem st es mest atürlcher, de Als Le-Utergruppe vo GL, erwähe wr SL,, aalog deert we m reelle Fall, sowe U = U GL, U U = E, de utäre Gruppe. Dabe st "" de Operato "Kojugato ud Trasposto". Utäre Matrze lasse das üblche hermtsche Produkt au dem varat. De Spalte eer utäre Matr blde e Orthoormalsystem bezüglch des hermtsche Produkts. De Determate eer utäre Matr st ee komplee Zahl vom Betrag 1, währed de Determate eer ortogoale Matr ee reelle Zahl vom Betrag 1 st, was ur de Möglchket 1 läßt. Schleßlch ethält de spezelle utäre Gruppe SU detosgemäß de utäre Matrze mt Determate 1. Trasormatosgruppe De Matrze der obe erwähte Legruppe wrke bzw. "operere" als leare Abblduge au dem bzw.. Allgeme erklärt ma ee Operato eer Gruppe G au eer Mege M als Abbldug G M M, g, g mt M : e= ud M g, h G : gh = g h ud et G ee Trasormatosgruppe au M. Zu jedem Gruppeelemet g gehört also de durch g gegebee bjektve Abbldug M M. Trägt M ee spezelle Struktur, so wrd ma häug a solche Gruppeoperatoe teressert se, be dee dese Abblduge destruktur au M erhalte. Ist also M e topologscher Raum, so wüscht ma sch Homöomorphsme se, be eem Vektorraum Isomorphsme, etc. Im teressert ma sch aber cht ur ür leare Abblduge, also z.b. Drehuge, soder auch ür Traslatoe, also Verschebuge. De Gruppe der eukldsche Trasormatoe m besteht aus de bjektve Abblduge, welche Läge ud Wkel vo Objekte varat lasse, d.h. de Objekte au kogruete Objekte abblde. Dese Trasormatoe blde de sog. Eukldsche Gruppe. Ee eukldsche Trasormato erhält ma als Htereaderausührug eer Rotato ud eer Traslato. Wr setze daher G= O ud deere de Wrkug ees Elemets A,v G au de Vektor durch A v ud dara oretert de Verküpug zweer Elemete B, w, A,v G als B, w A, v := BA, Bv w. Oebar wrd G damt zu eer Gruppe mt eutralem Elemet E,. Mt der Operato A, v, A v st de eukldsche Gruppe ee Trasormatosgruppe au ud oebar auch ee Le-Gruppe.