Man nennt nun ein Vektorfeld auf G stetig, differenzierbar, etc., wenn die Koeffizientenfunktionen X i sämtlich stetig, differenzierbar, etc. sind.

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Man nennt nun ein Vektorfeld auf G stetig, differenzierbar, etc., wenn die Koeffizientenfunktionen X i sämtlich stetig, differenzierbar, etc. sind."

Transkript

1 Wederholug: Tagetalraum, Vektoreld Ist G R ud G, so detzere wr de Tagetalraum T mt eer de Pukt verschobee Kope des R. Geometrsch deke wr us de Vektore T mt hrem Fußpukt agehetet. Für zwe Pukte y sd de Tagetalräume T,T y dsjukt zu deke, also T T y =, so daß de Addto vo Vektore aus Tagetalräume mt verschedee Basspukte kee S macht. De vom R geerbte atürlche Bass vo T bezeche wr mt e 1,,e, so daß e belebger Vektor X T ee edeutge Darstellug X = Koezete. e bestzt mt Ma aßt u ür alle G de Tagetalräume T zum Gesamt-Tagetalbüdel TG= T zusamme. G E Vektoreld au G st ee Abbldug X :G TG, wobe ür jedes G glt: X T, d.h. ür jede Pukt G gbt es ee zugeordete Vektor X mt Fußpukt. E Vektoreld au G läßt sch oebar schrebe als X = e, wobe de reellwertge Fuktoe au G sd ud de e Bassvektorelder. De puktwese Auswertug des Vektorelds ergbt weder de obge Glechug X = e. Ma et u e Vektoreld au G stetg, derezerbar, etc., we de Koezeteuktoe sämtlch stetg, derezerbar, etc. sd. Vektorelder au G ka ma atürlcher Wese addere ud mt reelle Skalare multplzere. Se blde selbst ee Vektorraum. Wr werde us aus Bequemlchketsgrüde mest ur mt dem Uterraum X G der uedlch ot derezerbare Vektorelder au G beschätge. Tagetalvektore, also Vektore eem Tagetalraum T als Rchtugsabletuge. Se X = Fukto, de eer Umgebug vo erklärt st. Wr setze each, operere atürlcher Wese e T gegebe, sowe ee derezerbare. Damt wrkt X ud übrges jede Rchtugsabletug als X := Dervato. Ee Dervato st e Operator, der au eer eer Umgebug vo deerte derezerbare Fukto mt Summe- ud Produktregel operert, wobe z.b. de Produktregel ür X so ausseht: X g = X g g X. Damt köe wr eem Vektoreld X X G ud eer derezerbare Fukto au G ee eue derezerbare Fukto X zuorde ach der Vorschrt X := X. De Produktregel mmt jetzt de besoders eache Gestalt X g = Xg X g a. Bezechet ma de Mege der au G (uedlch ot) derezerbare Fukto mt E G, so wrkt e

2 Vektoreld X X G als Dervato au E G, d.h. ach der Summeregel X g = X Xg ür, ud obger Produktregel X g = Xg X g. Ma ka u auch umgekehrt zege, daß jede Dervato eem Pukt eem Vektor T ud jede Dervato au G eem Vektoreld X G etsprcht, d.h. ma uterschedet überhaupt cht mehr zwsche Vektorelder ud Dervatoe. Daher schrebt ma e Vektoreld X X G häug cht der Form X = als X =, ud dekt sch de Bezehuge mplzt mt. Rchtugsvektor = Dervato bzw. Vektoreld au G = Dervato au G e, soder I der Physk bezechet ma ee Fukto E G häug auch als (reelles) Skalareld au G, e Vektoreld blebt e Vektoreld. De obge Begre ud Detoe ka ma u lecht vo eem Gebet au Gebete erweter, de k-dmesoale glatte Fläche m bzw. -dmesoale derezerbare Magaltgkete lege. De Zusatzaugabe besteht dese Fälle atürlch dar, de Vektorelder bezüglch der da wechselde Koordate ud damt auch der wechselde Base ür Tagetalräume ud Dervatoe auszudrücke. Kotagetalraum, Kovektorelder, 1-Forme Obe habe wr de Tagetalraum T, G deert. Etspreched deere wr de Kotagetalraum T := :T lear als de Dualraum vo T. Ee Bass deses Raumes sd 1 e = 1,,,,,e =,,,1. We vorher aßt ma de Kotagetalräume T zum Kotagetalbüdel T G= T G zusamme ud deert e Kovektoreld bzw. ee 1-Form als Abbldug :G T G mt T solche Abbldug läßt sch aalog zur obge Vektoreldstuato der Bassdarstellug = e schrebe ud et stetg, derezerbar, etc. we sämtlche Koezeteuktoe Kovektorelder au G bezechet ma auch mt E 1 G. E Kovektor T des sd. De Raum der (uedlch ot) derezerbare st ja detosgemäß ee reellwertge Fukto au T. Ee, wr köe h also au ee Vektor X T awede ud erhalte als Wert ee Zahl X. Sd u e Kovektoreld E 1 G ud e Vektoreld X X G gegebe, so setze wr <, X > := X := X ud erhalte ee derezerbare Fukto <, X >= X E G. Dese Operato, de aus eem Kovektoreld ud eem Vektoreld ee Fukto macht, et ma auch eres Produkt oder auch Kotrakto. Demgegeüber habe wr rüher das äußere Produkt keegelert, welches aus zwe 1-Forme

3 , E 1 G de 2-Form E 2 G ud allgemeer aus eer k-form E k G ud G ee (k+l)-form E k l G machte. eer l-form E l Ist E G ee derezerbare Fukto, so blde wr eem Pukt G de Abletugsmatr d = oebar glt d d = e = 1,, T. Wr köe daher schrebe d bzw.. Da ür de Koordateuktoe d = d ud schrebe auch ee allgemee 1-Form statt der Bassdarstellug = äquvalete Darstellug = d. e der Der Abletugsoperator d macht also aus eer Fukto E G ee 1-Form E 1 G. Machmal schrebt ma auch E G statt E G. Damt habe wr de Abletug als Fukto d :E G E 1 G. Für ee k-form = 1 1 k 1 k d 1 d k E k G hatte wr deert d = d 1 1 k 1 k d 1 d k E k 1 G ud de Abletugsoperator d :E k G E k 1 G auch äußere Abletug geat. Wedet ma de Operator d zwemal a, so olgte aus der Vertauschbarket der partelle Abletuge d d =. De Abbldugskette E de-rham-komple au G. G E 1 G E G mt de Abblduge d et ma auch de Mt Hle der äußere Abletug wrd der allgemee Stokessche Satz ormulert. Le Abletug Sd zwe Vektorelder X,Y X G ud ee Fukto E G gegebe, so blde wr de Kommutator X,Y ] := X Y Y X durch mehraches Ablete Rchtug vo X ud Y. A pror köte ma deke, daß dabe zwete Abletuge vo autrete, de olgede Rechug zegt aber, daß des cht der Fall st: X,Y ] := X Y Y X = X Y Y = (Produktregel!)

4 X Y X j X j X j Y Y j Y j Y j Y j Y j X Y j j X j 2 j, Y Y X j 2 j Y j Y = j, Y j 2 j Y j = 2 j = Es st also e eues Vektoreld etstade: X,Y ]= X j Y j Y j Ma et X,Y ] Le-Abletug vo Y ach X ud schrebt auch L X Y := L X Y = X,Y ]. Oebar gelte ür X, Y, Z X G,, de olgede Recheregel: X,Y = Y, X X, Y Z] = X, Y, Z = X,Y ] X,Y, Z X, Z] Y, X, Z Letztere Regel ka ma oebar auch der Form X, Y, Z Y, Z, X schrebe, was mache Leute schöer de. I der erste Form blebt aber der Produktregelcharakter L X Y, Z = L X Y, Z Y, L X Z schtbar, ud de Formel wrkt "atürlcher". j Z, X,Y = Mt dem Produkt X,Y] ud obge Recheregel st der Raum der Vektorelder X G sogeate Le-Algebra. ee Bespele ür Le-Algebre sd auch der Raum der -Matrze mt dem Kommutatorprodukt A, B = AB BA oder auch der Raum der atsymmetrsche -Matrze ( A t = A ), ebealls mt dem Kommutatorprodukt. Iterpretato der Le-Abletug X, Y ] Läut ma vo eem Pukt G de Paramterdstaz ε Rchtug des Vektoreldes X, da weter Rchtug Y, so se z 1 der Pukt, de wr dabe erreche. Aschleßed bewege wr us umgekehrt zuerst Rchtug Y, da Rchtug X, ud erreche de Pukt z. Im z allgemee st z 1 z, ud wr wolle jetzt zege, daß lm 1 z z 1 = lm z 1 X Y z Y = lm 2 lm Y X Y Y e = X z = Y X X Y X lm X Y X lm X j Y 2 = X,Y ] : Y Y X = Y X e = j Y j j e =.

5 X j Y j Y j j e = X j Y j Y j j e, was oebar glech der Koordatedarstellug st, de wr obe ür X,Y ] ausgerechet habe. Glt X,Y ]=, d.h. auch daß obger geometrscher Kostrukto kee Lücke blebt, so sagt ma, daß de bede Vektorelder kommutere. Oebar glt ür de Koordatevektorelder e bzw. Deretaloperatorschrebwese, daß se paarwese kommutere, was sowohl geometrsch we rechersch klar st. Pullback ud Pushout See G ud H m Gebete, :G H ee derezerbare Abbldug. Ka ma Objekte, de H lebe, mttels zu Objekte au G mache, so sprcht ma vo Pullback ; geht der Trasport de umgekehrte Rchtug, so sprcht ma vo Pushout. Ist z.b. E H so setze wr := ud habe somt ee Pullbackabbldug :E H E G. Ählch deerte wr de Pullback vo Deretalorme, z.b. ür ee 1-Form E 1 H, = m d E 1 G. m d y wurde gesetzt m := d y = Tagetalvektore dagege ka ma ur "vorwärts" trasormere, ud zwar so: Ist G, X = = 1 T, y = H, so deere wr Y y := X T y, dem wr ür e belebges E H setze: Y y := u.a. de Ketteregel awede: m m j X. Dese Ausdruck köe wr jetzt weter ausreche, dem wr y j y = m = j y j y. Somt habe wr de Glechug Y y := j = m X = y y j = j y j y, d.h. der Spaltevektor der Kompoete vo Y y ergbt sch durch Awedug der Jacob Matr vo au de Spaltevektor der Kompoete vo X. Dese Rechug war ötg, de so köe wr de leare Abbldug : T T y kokret ausreche.

6 Wr brauchte obe de Koordatedarstellug eer 1-Form, um dere Pullback zu deere. Mt Hle des Pushout erhalte wr aber de olgede koordateree Formel: Ist E 1 H, X X G so glt <, X > = y (Ma erere sch, daß es st ja tatsächlch y T y X T y. X., also als reellwertge leare Abbldug au T y wrkt, ud Wr köe va Pushout zwar ezele Tagetalvektore, aber cht ubedgt e Vektoreld vo G ach H trasportere: Ist ämlch de Trasormatosabbldug cht jektv, hätte wr eem Pukt mt zwe Urblder zwe verschedee Vektore zuzuorde. Aderersets uktoert der Pullback vo Fuktoe oder Deretalorme mmer, egal ob de Trasormatosabbldug jektv st oder cht. Ist aderersets e Deomorphsmus d.h. bjektv mt derezerbarer Umkehrabbldug, so trasportert der Pushout Vektorelder vo G ach H ; wr erhalte ee atürlche Abbldug : X G X H, dem wr de Vektore des Ausgagsvektorelds puktwese "pushe". Des werde wr später sbesodere be Le-Gruppe awede. Le-Gruppe Ee Le-Gruppe G st detosgemäß glechzetg ee derezerbare Magaltgket ud ee Gruppe. We mmer, we e Objekt verschedee Strukture trägt, gbt es desbezüglche Verträglchetsbedguge. Für Le-Gruppe ordert ma, daß de Gruppeoperato G G G,, y y 1 derezerbar se. (Damt wrd glechzetg gesagt, daß de Gruppemultplkato ud de Iversebldug derezerbar sd.) Reelle Matr-Gruppe Wr werde m olgede ur solche Le-Gruppe betrachte, de Utergruppe vo GL, bzw. GL, sd, also der Gruppe der verterbare reell- bzw. komplewertge - Matrze. Kozetrere wr us zuächst au GL,. Dese Gruppe st ee oee Telmege des 2 - dmesoale Vektorraums M aller -Matrze, da oebar GL, = { X M det X }. De Determate st als Abbldug GL, derezerbar ud damt stetg ud e Gruppehomomorphsmus. Der Ker deses Homomorphsmus besteht aus de Matrze mt Determate 1 ud erhält m olgede de Name SL,. GL, zerällt de oee Utergruppe GL +, der Matrze mt postver Determate ud de glechgroße oee Mege der Matrze mt egatver Determate. Im Falle =1 seht ma des soort, de de multplkatve Gruppe = { } zerällt de oee Utergruppe der postve reelle Zahle ud de oee Mege der egatve reelle Zahle, de st also cht zusammehäged. Da de Matrze- aber kee Utergruppe blde. GL, multplkato ud de Iversebldug 1 polyomale Abblduge sd, st GL, oebar ee Le-Gruppe. De Kozetrato au GL, ud hre Utergruppe statt au allgemee Le-Gruppe 1Ist X = j GL,, so se j de Determate der (-1)(-1) Matr, de etsteht, we ma de -te Zele ud de j-te Spalte strecht. Setzt ma j = 1 j j, so st j de zu j verse Matr. Da dese Determate polyomale Abblduge sd, st sbesodere de Iversebldug derezerbar.

7 vereacht de Aalyse soer, als wr mest kee Atlas au dese Magaltgkete kostruere müsse, soder mt de durch de Obermege M gegebee globale Koordate j arbete ud damt au Magaltgketstheore wetgehed verzchte köe. Ege wchtge Utergruppe vo GL, sd SL, = { X GL, det X = 1}, de sog. spezelle leare Gruppe O, = X GL, X t X = E, de sog. orthogoale Gruppe SO, = X GL, X t X = E,det X = 1, de sog. spezelle orthogoale Gruppe De Spalte der Matrze O, blde also e Orthoormalsystem bezüglch des kaosche Skalarprodukts au dem, SO, sogar e oretertes Orthoormalsystem. Geometrsch hadelt es sch be SO, um Drehuge um de Nullpukt, währed be O, = X GL, X t X = E och Klappuge um ee Ebee durch de Nullpukt ud hre Kombato mt Drehuge hzukomme. De orthogoale Gruppe ka ma auch auasse als de Gruppe derjege Matrze, de das atürlche Skalarprodukt <, > au dem varat lasse, also: O, = A GL,, y : < A, Ay > = <, y > Etspreched ka ma bezüglch aderer blearer Produkte de Gruppe derjege Matrze deere, de dese Produkte varat lasse. Physkalsch wchtg st olgedes Produkt au dem 4 4 :, y y 1 y 1 2 y 2 3 y 3, das sogeate Mkowsk-Produkt. De, ausgestattet mt desem Produkt, et ma auch Mkowsk-Raum. Das Mkowsk-Produkt ka 1 y 1 ma auch als Matrzeprodukt y 1 1 schrebe, mt der Bezechug y 2 1 y 3 S = drücke wr das Mkowsk-Produkt aus als t S y. De Gruppe derjege Matrze, de das Mkowsk-Produkt varat lasse, heßt Loretz-Gruppe oder auch O 3,1, ud ma ka auch schrebe O 3,1, = X GL 4, X t S X = E. Aalog zu de obge Bezechuge setzt ma SO 3,1, = { X O 3,1, det X = 1} ud et dese de spezelle Loretz-Gruppe. Wetere physkalsch wchtge Bespele sd de Sp-Gruppe ud de symplektsche Gruppe. Iormere Se sch her gg. egestädg. Alle obe geate Gruppe sd abgeschlossee Telmege vo M. Se sd glatte Fläche desem Raum ud damt derezerbare Magaltgkete. De Glatthet vo SL, war Thema Übugsblatt 2. E wchtger Utersched zwsche Gruppe we de SL ud de SO st och, daß de Zahle de erstere belebg groß werde köe, währe se SO oebar sämtlch kleerglech 1 ud somt beschräkt sd.

8 ± Komplee Matrgruppe Im Przp läßt sch ee komplee Matr als reelle (2)(2)-Matr auasse, dem ma de Isomorphe zu Grude legt ud eer komplee Matr ee komplee Etrag 2 z= y ersetzt durch ee Block der Form y komplee Notato bezubehalte. y Trotzdem st es mest atürlcher, de Als Le-Utergruppe vo GL, erwähe wr SL,, aalog deert we m reelle Fall, sowe U = U GL, U U = E, de utäre Gruppe. Dabe st "" de Operato "Kojugato ud Trasposto". Utäre Matrze lasse das üblche hermtsche Produkt au dem varat. De Spalte eer utäre Matr blde e Orthoormalsystem bezüglch des hermtsche Produkts. De Determate eer utäre Matr st ee komplee Zahl vom Betrag 1, währed de Determate eer ortogoale Matr ee reelle Zahl vom Betrag 1 st, was ur de Möglchket 1 läßt. Schleßlch ethält de spezelle utäre Gruppe SU detosgemäß de utäre Matrze mt Determate 1. Trasormatosgruppe De Matrze der obe erwähte Legruppe wrke bzw. "operere" als leare Abblduge au dem bzw.. Allgeme erklärt ma ee Operato eer Gruppe G au eer Mege M als Abbldug G M M, g, g mt M : e= ud M g, h G : gh = g h ud et G ee Trasormatosgruppe au M. Zu jedem Gruppeelemet g gehört also de durch g gegebee bjektve Abbldug M M. Trägt M ee spezelle Struktur, so wrd ma häug a solche Gruppeoperatoe teressert se, be dee dese Abblduge destruktur au M erhalte. Ist also M e topologscher Raum, so wüscht ma sch Homöomorphsme se, be eem Vektorraum Isomorphsme, etc. Im teressert ma sch aber cht ur ür leare Abblduge, also z.b. Drehuge, soder auch ür Traslatoe, also Verschebuge. De Gruppe der eukldsche Trasormatoe m besteht aus de bjektve Abblduge, welche Läge ud Wkel vo Objekte varat lasse, d.h. de Objekte au kogruete Objekte abblde. Dese Trasormatoe blde de sog. Eukldsche Gruppe. Ee eukldsche Trasormato erhält ma als Htereaderausührug eer Rotato ud eer Traslato. Wr setze daher G= O ud deere de Wrkug ees Elemets A,v G au de Vektor durch A v ud dara oretert de Verküpug zweer Elemete B, w, A,v G als B, w A, v := BA, Bv w. Oebar wrd G damt zu eer Gruppe mt eutralem Elemet E,. Mt der Operato A, v, A v st de eukldsche Gruppe ee Trasormatosgruppe au ud oebar auch ee Le-Gruppe.

(Markowitz-Portfoliotheorie)

(Markowitz-Portfoliotheorie) Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug

Mehr

Ordnungsstatistiken und Quantile

Ordnungsstatistiken und Quantile KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der

Mehr

Sitzplatzreservierungsproblem

Sitzplatzreservierungsproblem tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche

Mehr

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade

Mehr

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung

Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.

Mehr

Multiple Regression (1) - Einführung I -

Multiple Regression (1) - Einführung I - Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da

Mehr

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.

Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt. Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0

Mehr

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen

Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass

Mehr

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung

Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung 8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher

Mehr

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten

Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches

Mehr

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik

Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert

Mehr

Ergebnis- und Ereignisräume

Ergebnis- und Ereignisräume I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt

Mehr

2 Regression, Korrelation und Kontingenz

2 Regression, Korrelation und Kontingenz Regresso, Korrelato ud Kotgez I desem Kaptel lerst du de Zusammehag zwsche verschedee Merkmale durch Grafke zu beschrebe, Maßzahle ür de Stärke des Zusammehags zu bereche ud dese zu terpretere, das Wsse

Mehr

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung

Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt

Mehr

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse

Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete

Mehr

Allgemeine Prinzipien

Allgemeine Prinzipien Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege

Mehr

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen

Eine einfache Formel für den Flächeninhalt von Polygonen Ee efache Formel für de Flächehalt vo Polygoe Peter Beder Set ege Jahre hat der Mathematkddaktk de sogeate emprsche Uterrchtsforschug mt quattatve ud qualtatve Methode Kojuktur, währed stoffddaktsche Arbete

Mehr

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):

Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste): Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge

Mehr

8. Mehrdimensionale Funktionen

8. Mehrdimensionale Funktionen Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS05.05.05 8. Mehrdmesoale Fuktoe Wer Greze überschretet, versucht, ee eue Dmeso vorzustoße. [Dael Mühlema, (*959), Übersetzer ud Aphorstker] Ege Leute sollte cht dü werde,

Mehr

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,

Mehr

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).

die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n). Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quattatve BWL. el: Fazwtschaft Mag. oáš Sedlačk Lehstuhl fü Fazdestlestuge Uvestät We Quattatve BWL: Fazwtschaft Ogasatosches Isgesat wd es 6 ee gebe (5 Ehete + Klausu Klausu fdet a D 7. Jaua 009 statt

Mehr

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.

Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium. Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik Universität Tübingen

Mathematischer Vorbereitungskurs für das Physikstudium. Kurt Bräuer Institut für Theoretische Physik Universität Tübingen Mathematscher Vorberetugskurs für das Physkstudum Kurt Bräuer Isttut für Theoretsche Physk Uverstät Tübge Letztes Update: Oktober Ihalt. Zahlebereche.... Koordate ud Vektore... 5 3. Grezwerte, Folge ud

Mehr

1 Elementare Finanzmathematik

1 Elementare Finanzmathematik Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput

Mehr

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten

Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe

Mehr

Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.

Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar. Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte

Mehr

D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre

D. Plappert Die Strukturgleichheit verschiedener physikalischer Gebiete gezeigt am Beispiel Hydraulik-Elektrizitätslehre D. Plappert De Strukturglechhet verschedeer physkalscher Gebete gezegt am Bespel Hydraulk-Elektrztätslehre Erschee Kozepte ees zetgemäße Physkuterrchts, Heft 3, Schroedel Verlag 979. Eletug De megeartge

Mehr

2. Arbeitsgemeinschaft (11.11.2002)

2. Arbeitsgemeinschaft (11.11.2002) Mat T. Kocbk G Fazeugs- & Ivesttostheoe Veastaltug m WS / Studet d. Wtschatswsseschat. betsgemeschat (..). Fshe-Sepaato Das Fshe-Sepaatostheoem sagt aus, daß ute bestmmte ahme heutge ud mogge Kosum substtueba

Mehr

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004

Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de

Mehr

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE)

Stoffwerte von Flüssigkeiten. Oberflächenspannung (PHYWE) Stoffwerte vo Flüssgkete Oberflächespaug (PHYWE) Zel des Versuches st, de Platzbedarf ees Ethaol-Moleküls der Grezfläche zwsche Dapfphase ud Lösug aus der Kozetratosabhäggket der Oberflächespaug be wässrge

Mehr

FInAL. Übungen mit Lösungen zur Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann

FInAL. Übungen mit Lösungen zur Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann Jhrgg, Het, Otober, ISSN 99-88 IAL Übuge t Lösuge zur Mthet ür Wrtschtsort Ulrch Ho Techcl Reports d Worg Ppers Leuph Uverstät Lüeburg Hrsg der Schrtrehe INAL: Ulrch Ho Schrhorststrße, D-5 Lüeburg Übuge

Mehr

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik

Methoden der computergestützten Produktion und Logistik Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere

Mehr

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen

Investmentfonds. Kennzahlenberechnung. Performance Risiko- und Ertragsanalyse, Risikokennzahlen Ivestmetfods Kezahleberechug erformace Rsko- ud Ertragsaalyse, Rskokezahle Gültg ab 01.01.2007 Ihalt 1 erformace 4 1.1 Berechug der erformace über de gesamte Beobachtugzetraum (absolut)... 4 1.2 Aualserug

Mehr

2. Mittelwerte (Lageparameter)

2. Mittelwerte (Lageparameter) 2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde

Mehr

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik

Ralf Korn. Elementare Finanzmathematik Ralf Kor Elemetare Fazmathematk Ihaltsverzechs. Eletug Exkurs : Akte Begrffe, Grudlage ud Geschchte. We modellert ma Aktekurse? 4. Edlche E-Perode-Modelle 6. Edlche Mehr-Perode-Modelle 3.3 Das Black-Scholes-Modell

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Das Verfahren von Godunov. Seminar Numerik 25.11.2010 Anja Bettendorf

Das Verfahren von Godunov. Seminar Numerik 25.11.2010 Anja Bettendorf Das Verfahre vo Goduov Semar Numerk 5..00 Aja Beedorf Das Verfahre vo Goduov Übersch Goduov - Goduovs Verfahre für Leare Syseme Aweduge & Folgeruge aus Goduovs Verfahre - De Numersche Fluss-Fuko m Goduov

Mehr

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen

1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen .. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt

Mehr

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient

= k. , mit k als Anzahl der Hypothesen A i und den Daten B. Bestimmtheitsmaß:!Determinationskoeffizient Ablehugsberech:!Sgfkazveau abhägge Gruppe: Gruppe vo Versuchspersoe, dee jede ezele Versuchsperso aus Gruppe A eer äquvalete Versuchsperso aus Gruppe B etsprcht (oder tatsächlch de gleche Versuchsperso

Mehr

Physikalische Chemie T Fos

Physikalische Chemie T Fos Physkalsche Cheme T Fos ISCHPHSEN.... ZUSENSETZUNG VO ISCHPHSEN.... EXTENSIVE - UND INTENSIVE GRÖßEN... 4.. Partelles olvolume V m... 7.3 DS ROULTSCHE GESETZ... 0.4 KOLLIGTIVE EIGENSCHFTEN....4. De Sedeuktserhöhug...

Mehr

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte

14. Folgen und Reihen, Grenzwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,

Mehr

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen?

(i) Wie kann man für eine Police mit Einmalbeitrag E = 20000 eine kongruente Deckung des Gewinnversprechens darstellen? Aufgabe 1 (60 Pukte) De Gesellschaft XYZ betet als prvate Reteverscherug ee Idepolce gege Emalbetrag a mt eer Aufschubfrst vo zwe Jahre. Ivestert wrd e so geates IdeZertfkat, das be Retebeg das folgede

Mehr

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen

Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert

Mehr

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)

6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation) 6. Zuammehagmaße Kovaraz ud Korrelato Problemtellug: Bher: Ee Varable pro Merkmalträger, Stchprobe x,, x Geucht: Maße für Durchchtt, Streuug, uw. Jetzt: Zwe metrche! Varable pro Merkmalträger, Stchprobe

Mehr

Institut für Physik Universität Augsburg Praktikum für Fortgeschrittene (FP) Versuchsanleitung (Version: 01/2015) RAMANEFFEKT

Institut für Physik Universität Augsburg Praktikum für Fortgeschrittene (FP) Versuchsanleitung (Version: 01/2015) RAMANEFFEKT FP-Versuch Ramaeffekt Isttut für Physk Uerstät Augsburg Praktkum für Fortgeschrttee (FP) Versuchsaletug (Verso: /5) RAMANFFKT I. letug II. Theore des Ramaeffekts III. Grudlage der Gruppetheore IV. Versuchsaufbau

Mehr

Einführungsskripte Numerische Berechnungsverfahren in der Geotechnik

Einführungsskripte Numerische Berechnungsverfahren in der Geotechnik Eführugsskrpte Numersche Berechugsverfahre der Geotechk Tel I: Überscht ud Lteraturhwese Freberg: 4/ Prof. Dr.-Ig. habl. Hez Koetzky Dr. rer. at. Lothar te Kamp TU Bergakademe Freberg ITASCA Cosultats

Mehr

Strittige Auffassungen zu Anforderungsprofil und Betriebsart bei der Neufassung der IEC 61508-3 und -7

Strittige Auffassungen zu Anforderungsprofil und Betriebsart bei der Neufassung der IEC 61508-3 und -7 Strtte Auffassue zu Aforderusrofl ud Betrebsart be der Neufassu der IEC 6508-3 ud -7 Vortra a der TU Brauschwe m November 205 vo Wolfa Ehreberer, Hochschule Fulda 7..205 Ehreberer, IEC 6508, Strtte Auffassue...

Mehr

Dr. Monika Meiler. Inhalt

Dr. Monika Meiler. Inhalt Uverstät Lepzg Isttut für Iforatk Dr. Moka Meler Ihalt Zahle ud hre Darstellug... -. Addtossystee... -. Postossystee... -.3 Dezal- ud Dualsyste... -3.3. Dezalsyste... -3.3. Dualsyste... -4.4 Wetere Bespele

Mehr

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung

Messfehler, Fehlerberechnung und Fehlerabschätzung Apparatves Praktkum Physkalsche Cheme der TU Brauschweg SS1, Dr. C. Maul, T.Dammeyer Messfehler, Fehlerberechug ud Fehlerabschätug 1. Systematsche Fehler Systematsche Fehler et ma solche Fehleratele, welche

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Innovative Information Retrieval Verfahren

Innovative Information Retrieval Verfahren Thomas Madl Iovatve Iformato Retreval Verfahre Hauptsemar Wtersemester 004/005 Überblc Formales Vortrag Ausarbetug Scheerwerb Termplaug Kurzvorstellug Theme Themevergabe Wederholug Grudlage Gewchtug ud

Mehr

Einführung in Statistik

Einführung in Statistik Eführug Statstk 4. Semester Begletedes Skrptum zur Vorlesug m Fachhochschul-Studegag Iformatostechologe ud Telekommukato vo Güther Kargl FH Campus We 2009 Ihaltsverzechs Eführug Statstk Eletug. Deskrptve

Mehr

Grundzüge der Preistheorie

Grundzüge der Preistheorie - - Grudzüge der Prestheore Elemetare Gedake der uterehmersche Prespoltk Verso 3. Harr Zgel 999-3, EMal: HZgel@aol.com, Iteret: http://www.zgel.de Nur für Zwecke der Aus- ud Fortbldug Ihaltsüberscht. Grudgedake.....

Mehr

Zentrum für Sensorsysteme Projektbereich 5 "Anwendung von Sensoren in der Fertigungstechnik" Univ.-Prof. Dr.-Ing. Peter Scharf

Zentrum für Sensorsysteme Projektbereich 5 Anwendung von Sensoren in der Fertigungstechnik Univ.-Prof. Dr.-Ing. Peter Scharf UNIVERSITÄT SIEGEN Zetrum für Sesorssteme Projektberech 5 "Awedug vo Sesore der Fertgugstechk" Uv.-Prof. Dr.-Ig. Peter Scharf Utersuchug des Eflusses vo Algorthme auf de Messuscherhet be der D-Geometremessug

Mehr

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Name: Vorame: Matrkel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Itegrerter Studegag Wrtshaftswsseshaft Klausuraufgabe zur Hauptprüfug Prüfugsgebet: BWW 2.8

Mehr

III. Die persönliche Einkommensteuer

III. Die persönliche Einkommensteuer Kp. -d Verso vom 3.0.05 III. De persölche Ekommesteuer Steuer küpfe ber cht ur - we de Verbruch- oder Verkehrsteuer - der Verwedug des Ekommes, soder uch desse Etstehug. De Steuerzhlug bemsst sch d cht

Mehr

Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 145

Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 145 Mahemer Mauskrpte zu Rskotheore, Portfolo Maagemet ud Verscherugswrtschaft Nr. 45 Methode der rskobaserte Kaptalallokato m Verscherugs- ud Fazwese vo Peter Albrecht ud Sve Korycorz Mahem 03/2003 Methode

Mehr

Wie gelingt es den Buchmachern (oder FdJ 1 ) IMMER zu gewinnen

Wie gelingt es den Buchmachern (oder FdJ 1 ) IMMER zu gewinnen We gelgt es de Buchacher (oder FdJ IMMER zu gewe Eletug Schrebwese ud Varable Erwarteter Gew des Buchachers 4 4 De Stratege der Buchacher 5 4 Der ehrlche Buchacher 6 4 "real lfe" Buchacher6 4 La FdJ 9

Mehr

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion

AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff

Mehr

Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit

Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.

Mehr

Formelsammlung der Betriebswirtschaft

Formelsammlung der Betriebswirtschaft - - Formelsammlug der Betrebswrtschaft Ee Überscht über de wchtgste mathematsche Kozepte ud Recheverfahre Rechugswese, Cotrollg ud Betrebswrtschaft Verso 3.08 Harry Zgel 99-009, EMal: fo@zgel.de, Iteret:

Mehr

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig

Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig Üerscht üer essuscherhetserechuge vo der Darstellug der Ehet des Drehmometes üer de Wetergae s h zur Aedug ud Bespel eer Ope-ource-Aedug dafür Drk Röske Physkalsch-Techsche Budesastalt, Brauscheg Darstellug

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini

Lorenz' sche Konzentrationskurve und Disparitätsindex nach Gini Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Lorez' sche Kozetratoskurve ud Dspartätsdex ach G Übuge Aufgabe Lösuge www.f-lere.de Begrff Lorez'

Mehr

Formelsammlung der Betriebswirtschaft

Formelsammlung der Betriebswirtschaft - - Formelsammlug der Betrebswrtschaft Ee Überscht über de wchtgste mathematsche Kozepte ud Recheverfahre Rechugswese, Cotrollg ud Betrebswrtschaft Verso 0.00 Harry Zgel 99-006, EMal: HZgel@aol.com, Iteret:

Mehr

Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik. Risikotheorie

Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik. Risikotheorie Prof. Dr. Detmar Pfefer Isttut für Mathemat Rsotheore Stad: 5. Aprl 5 Ihalt Vorbemerug... 3 I Persoeverscherugsmathemat... 6 I.. Bewertug vo Fazströme... 6 I.. Lebesdauerverteluge ud Sterbetafel... I.

Mehr

Bestimmen einer stetigen Ausgleichsfunktion f(x), die eine gegebene Menge von n Datenpunkten (x k

Bestimmen einer stetigen Ausgleichsfunktion f(x), die eine gegebene Menge von n Datenpunkten (x k Hochschule für Tech ud Archtetur Ber Iformat ud agewadte Mathemat 3- Ausglechs- ud Iterpolatosrechug 3 Ausglechs- ud Iterpolatosrechug De Aufgabe der Ausglechsrechug st mt Hlfe eer stetge Futo f()ee bestmmte

Mehr

Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1

Nagl, Einführung in die Statistik Seite 1 Nagl, Eführug de Statstk Sete Eletug Damt der Wert des Faches Statstk für wsseschaftlche Utersuchuge besser gesehe werde ka, wrd zuerst e kurzer Abrß über de Ablauf eer wsseschaftlche Utersuchug voragestellt.

Mehr

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten

Mehr

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien

REGRESSION. Marcus Hudec Christian Neumann. Eine anwendungsorientierte Einführung. Unterstützt von Institut für Statistik der Universität Wien REGRESSION Ee awedugsoreterte Eführug Marcus Hudec Chrsta Neuma Uterstützt vo Isttut für Statstk der Uverstät We Eletug De Regresso st e velfältg esetzbares Werkzeug zur Beschrebug ees fuktoale Zusammehags

Mehr

IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG

IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG Vers.-Oek.Tel-I-Ka-IV--5 Dr. Rurecht Wtzel; HS 09.0.009 IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG IV. VERSICHERUNGSUNTERNEHMUNG. Überblck ) I desem Katel wede wr us der Aalyse der Verscherugsuterehmug

Mehr

Preisindex. und. Mengenindex

Preisindex. und. Mengenindex Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk resdex ud Megedex Übuge Aufgabe ösuge www.f-lere.de resdex 1 De Etwcklug der rese wrd der Öffetlchket

Mehr

Formelsammlung der Betriebswirtschaft

Formelsammlung der Betriebswirtschaft - - Formelsammlug der Betrebswrtschaft Ee Überscht über de wchtgste mathematsche ozepte ud Recheverfahre Rechugswese, Cotrollg ud Betrebswrtschaft Verso 8.9 Harry Zgel 99-4, EMal: HZgel@aol.com, Iteret:

Mehr

Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F

Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F B - - Überführgszahle d Wadergsgeschwdgke fgabe: Besmmg der orfsche Überführgszahle vo - d O - -oe 0N O oder vo 2 - d SO 4 -oe 0N 2SO 4 d Berechg hrer oeäqvalelefähgkee 2 Besmmg der Wadergsgeschwdgkee

Mehr

13. AUSBAU DER DIFFERENTIALRECHNUNG. Im Kapitel Grenzwerte wurde bereits der Begriff des Grenzwertes einer Funktion geklärt.

13. AUSBAU DER DIFFERENTIALRECHNUNG. Im Kapitel Grenzwerte wurde bereits der Begriff des Grenzwertes einer Funktion geklärt. Dfferetalrechug 3. AUSBAU DER DIFFERENTIALRECHNUNG 3.. Stetgket reeller Fuktoe (a) Grezwerte vo Fuktoe Im Kaptel Grezwerte wurde berets der Begrff des Grezwertes eer Fukto geklärt. Es se f ee reelle Fukto.

Mehr

Vorbereitung zur Prüfung Computergrafik

Vorbereitung zur Prüfung Computergrafik Vorberetug zur Prüfug Computergrafk. Eführug de Computergrafk Defto der Grafsche Dateverarbetug ach ISO Norm: Methods ad techques for covertg data to ad from graphcs dsplays va computer Klassfkato Computergrafk

Mehr

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1

Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1 Ivesttosetscheduge m Mult-Chael-Customer-Relatoshp Maagemet Has Ulrch Buhl, Na Kreyer, Na Schroeder Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, Wrtschaftsformatk & Facal Egeerg Kerkompetezzetrum Iformatostechologe

Mehr

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression

2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt

Mehr

Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung

Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Gewöhlch geht a der Zsessrechug davo aus, dass de Zse ach ee Jahr de Kapl ugeschlage werde ud da weder Zse trage. Der Zssat, t de das Kapl ultplert wrd,

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen. Grundlagen, Basisalgorithmen und Lösungsstrategien für sequentielle und parallele Algorithmen.

Datenstrukturen und Algorithmen. Grundlagen, Basisalgorithmen und Lösungsstrategien für sequentielle und parallele Algorithmen. 3. Jahrgag, Heft 3, Oktober 03, ISSN 0939-88 FIAL Datestrukture ud Algorthme Grudlage, Bassalgorthme ud Lösugsstratege für sequetelle ud parallele Algorthme Ulrch Hoffma Techcal Reports ad Workg Papers

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009

Vorlesung Multivariate Statistik. Sommersemester 2009 P.Martus, Multvarate Statstk, SoSe 009 Free Uverstät Berl Charté Uverstätsmedz Berl Bachelor Studegag Boformatk Vorlesug Multvarate Statstk Sommersemester 009 Prof. Dr. rer. at. Peter Martus Isttut für

Mehr

1. Erklärung des Verfahrens

1. Erklärung des Verfahrens Ermttlug der Höhe der Förderug für Eahme schaffede Projekte, dere Gesamtkoste 1 Mllo EUR überstege ud dere Nettoeahme vorab festgelegt werde köe 1. Erklärug des Verfahres Auf Grudlage der Ermttlug der

Mehr

Analyse und praktische Umsetzung unterschiedlicher Methoden des Randomized Branch Sampling

Analyse und praktische Umsetzung unterschiedlicher Methoden des Randomized Branch Sampling Aalse ud praktsche Umsetzug uterschedlcher Methode des Radomzed Brach Samplg Dssertato zur Erlagug des Doktorgrades der Fakultät für Forstwsseschafte ud Waldökologe der GeorgAugustUverstät Göttge vorgelegt

Mehr

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG

EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Eletug FEHLERRECHNUNG ohe Dfferetalrechug 04.05.006 Blatt 1 EINLEITUNG, FEHLERRECHNUNG Aufgabe des physkalsche Praktkums st es, dem Studerede de Physk durch das Expermet äher zu brge, h mt der Methode

Mehr

Klausur Betriebswirtschaftslehre PM/B

Klausur Betriebswirtschaftslehre PM/B Isttut für Fazwrtschaft, Bake ud Verscheruge, Karlsruher Isttut für Techologe Klausur Betrebswrtschaftslehre PM/B Achtug: Ihalte der Vorlesug köe Zukuft ggf. cht mehr kosstet mt de Ihalte deser Klausur

Mehr

Wirkungsweise und Eigenschaften hochdynamischer Gleichstrom- Kleinstmotoren

Wirkungsweise und Eigenschaften hochdynamischer Gleichstrom- Kleinstmotoren Wrkugswese ud Egeschafte hchdyamscher Glechstrm- Klestmtre Dr. Ott Stemme Peter Wlf max mtr ag CH-607 Sachsel / Schwez Ausgabe Nvember 994 Vrwrt Set der Eführug der max DC mtre m Jahre 970 dauerte es ur

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. Stad 1. Jul 2010. Äderuge vorbehalte. Formelsammlug Fazplaer

Mehr

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot

Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Ole- ud a de müdlche Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. A der schrftlche Klausur (Ope-book-Prüfug)

Mehr

F 6-2 π. Seitenumbruch

F 6-2 π. Seitenumbruch 6 trebsauslegug Für dese ckelprozess üsse de otore so ausgelegt werde, dass dese Fahrbetreb cht überlastet werde. Herfür üsse de ezele asseträghetsoete [7] der Bautele (otor, etrebe, ckler ud Ulekrolle)

Mehr

Finanzmathematik II: Barwert- und Endwertrechnung

Finanzmathematik II: Barwert- und Endwertrechnung D. habl. Bukhad Uech Beufsakademe Thüge Saalche Sudeakademe Sudeabelug Eseach Sudebeech Wschaf Wschafsmahemak Wesemese 004/0 Fazmahemak II: Bawe- ud Edweechug. Bawee ud Edwee vo Zahlugsehe. Effekve Jaheszssaz

Mehr

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer

BANK ONLINE Zentraler Bankdaten-Transfer BANK ONLINE Zetraler Bakdate-Trasfer Ihaltsverzechs 1 Lestugsbeschrebug... 3 2 Itegrato das Ageda-System... 4 3 Hghlghts... 5 3.1 Efachste Aktverug... 5 3.2 Abruf vo Kotoauszüge... 6 3.3 Bakeübergrefede

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik

Inhaltsverzeichnis. 1 Allgemeine Messtechnik Ihaltsverzechs I Allgemee Messtechk. Grudsätzlches. Grudbegrffe des Messes.. Iteratoales Ehetesystem (SI), Begrffe des Normes, Eche, Justere, Kalbrere.. Das Meßgerät als System, der Begrff der Übertragug.3

Mehr

Investition und Finanzierung Skript III

Investition und Finanzierung Skript III Ivestto ud Fazerug Skrpt III zuletzt geädert am: 05.05.03 Ivestto ud Fazerug Skrpt III Quelle: Vorlesug Ivestto ud Fazerug 6. Semester, FH Erfurt, Prof. Dr. Waldhelm Copyrght 2003 BSTM Sete Alle Agabe

Mehr

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I Sozalwsseschaftlche Methode ud Statstk I Uverstät Dusburg Esse Stadort Dusburg Itegrerter Dplomstudegag Sozalwsseschafte Skrpt zum SMS I Tutorum Vo Mark Lutter Stad: Aprl 004 Tel I Deskrptve Statstk Mark

Mehr

Hauptkomponentenanalyse und ihre Anwendung zur Klassifizierung von Spermien aus Raman Mikrospektroskopie-Daten

Hauptkomponentenanalyse und ihre Anwendung zur Klassifizierung von Spermien aus Raman Mikrospektroskopie-Daten Hautkomoeteaalyse ud hre Awedug ur Klassferug o Serme aus Rama Mkrosektroskoe-Date Bachelorarbet ur Erlagug des akademsche Grades 2-Fach-Bachelor Westfälsche Wlhelms-Uerstät Müster Fachberech Mathematk

Mehr

Formelsammlung der Betriebswirtschaft

Formelsammlung der Betriebswirtschaft - - Formelsammlug der Betrebswrtschaft Ee Überscht über de wchtgste mathematsche Kozepte ud Recheverfahre Rechugswese, Cotrollg ud Betrebswrtschaft Verso.06 Harry Zgel 99-007, EMal: HZgel@aol.com, Iteret:

Mehr