4. Optische Abbildung durch Linsen

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1 DL 4. Optische Aildung durch Linsen 4.1 Einleitung Optische Linsen und Linsensysteme ilden die Grundlage zahlreicher ildgeender Apparate, die in Wissenschat und Technik wie auch im täglichen Leen Anwendung inden. Beispiele sind Brillen, Lupen, Mikroskope, Fernrohre und Fotoapparate. Wesentliche Eigenschaten von Linsen und Linsensystemen können durch die einachen Regeln der geometrischen Optik eschrieen werden. Diese haen grundsätzlich dann ihre Gültigkeit, wenn die in einem etrachteten Prolem autretenden Astände gross gegenüer der Wellenlänge des sichtaren Lichts sind und die Welleneigenschaten des Lichts vernachlässigt werden können. In diesem Versuch werden grundlegende Eigenschaten wie Brennweite und Aildungsmasssta von dünnen Linsen und Linsensystemen untersucht. 4.2 Theoretischer Teil a) Brechung an einer sphärischen Trennläche Das einachste optisch aildende System esteht aus einer sphärischen Trennläche mit Krümmungsradius r zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindices n 1 und n 2. Das Bild B eines au der optischen Achse liegenden Punktes G kann, wie in A. 4.1 veranschaulicht, mit Hile achsennaher Lichtstrahlen konstruiert werden. Nach dem Brechungsgesetz gilt sin ϕ 1 sin ϕ 2 = n 2 n 1 (4.1) n 1 ϕ 1 ϕ 2 G α h β g r γ n 2 B Aildung 4.1: Aildung eines Punktes an einer sphärischen Grenzläche. 1

2 2 4. Optische Aildung durch Linsen woei α und β ezüglich der Normalen au der Grenzläche gemessen werden. Mit A. 4.1 ist ϕ 1 = α + β und ϕ 2 = β γ. Für achsennahe Strahlen sind diese Winkel klein, sodass oder n 2 n 1 = sin (α + β) sin (β γ) α + β β γ (4.2) n 1 α + n 2 γ = (n 2 n 1 ) β (4.3) Mit h/g = tan α α, h/r = tan β β und h/ = tan γ γ olgt die Aildungsgleichung n 1 g + n 2 = n 2 n 1 r Die Lage des Bildpunktes ist also vollständig durch die zwei Brechungsindices und den Krümmungsradius der Grenzläche estimmt. (4.4) F = ojektseitiger Brennpunkt F 2 = ildseitiger Brennpunkt Aildung 4.2: Zur Deinition der Brennpunkte. Aus Gl. 4.4 ergeen sich zwei interessante Spezialälle (siehe A. 4.2): Die Gegenstandsweite g ist gleich der ojektseitigen Brennweite 1, wenn der Bildpunkt im Unendlichen ( = ) liegt, d.h. wenn alle vom Gegenstandspunkt ausgehenden Strahlen zu achsenparallelen Strahlen werden g = n 1 r = 1 (4.5) n 2 n 1 Die Bildweite ist gleich der ildseitigen Brennweite 2, wenn der Gegenstandspunkt im Unendlichen (g = ) liegt, d.h. wenn achsenparallel einallende Strahlen in den Bildpunkt gerochen werden = n 2 r = 2 (4.6) n 2 n 1 Mit diesen Deinitionen olgt 2 = n 2 (4.7) 1 n 1 und die Aildungsgleichung lässt sich schreien 1 g + 2 = 1 (4.8) Die aildenden Eigenschaten der sphärischen Grenzläche können also auch durch die Angae der eiden Brennweiten 1 und 2 vollständig eschrieen werden. Die Bildkonstruktion ür einen ausgedehnten Gegenstand ist in A. 4.3 illustriert. PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

3 4.2. THEORETISCHER TEIL 3 G g F 2 B Aildung 4.3: Bildkonstruktion an einer sphärischen Grenzläche. ) Aildung durch optische Systeme Ein optisches System (Fernrohr, Mikroskop,...) esteht aus mehreren Linsen, die au einer optischen Achse angeordnet sind. Seine Aildungseigenschaten können prinzipiell estimmt werden, indem man das System als eine Aolge sphärischer Trennlächen zwischen zwei Medien unterschiedlichen Brechungsindexes etrachtet werden. Sind die ojektseitigen und ildseitigen Brennweiten jeder dieser Trennlächen ekannt, so kann die Bildkonstruktion durch wiederholte Anwendung der oen eschrieenen Konstruktion durchgeührt werden. Beginnend mit dem azuildenden Gegenstand und der ersten ojektseitigen Trennläche, wird daei jeweils das Bild einer Trennläche als Gegenstand der nächstolgenden Trennläche ehandelt. Das Bild der letzten Trennläche ist dann das Bild des optischen Systems als Ganzes. H 1 H 2 G F 2 B g 1 2 Aildung 4.4: Bildkonstruktion mit Hile von Haupteenen. Eine sehr viel einachere Methode zur Bildkonstruktion ist in A. 4.4 illustriert. Man kann zeigen, dass sich ein elieiges Linsensystem durch die Angae eines ojektseitigen und eines ildseitigen Brennpunkts sowie zweier Haupteenen vollständig eschreien lässt. Achsenparallel einallende Strahlen werden in der ildseitigen Haupteene H 2 gerochen und kreuzen sich im ildseitigen Brennpunkt F 2, während vom ojektseitigen Brennpunkt ausgehende Strahlen in der ojektseitigen Haupteene H 1 gerochen werden und als achsenparallele Strahlen austreten. Zwischen den eiden Haupteenen verlauen alle Strahlen achsenparallel. Bei diesem Strahlengang handelt es sich um eine Astraktion; der tatsächliche Verlau der Lichtstrahlen durch das optische System ist viel komplizierter. Bei einer sogenannten dünnen Linse allen eide Haupteenen mit der Linseneene zusammen. Bei dünnen Linsen kann zur Bildkonstruktion auch der so genannte Mittelpunktsstrahl verwendet werden (vgl. Strahl L 1 in A. 4.6). Für dicke Linsen oder Linsensysteme können die Haupteenen, wie in A. 4.5 anhand einiger PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

4 4 4. Optische Aildung durch Linsen Beispiele skizziert, durchaus ausserhal der Linse oder des Linsensystems liegen. H 1 H 2 H 1 H 2 H 1 H 2 Aildung 4.5: Lage der Haupteenen ür verschiedene dicke Linsen. Die Aildungsgleichung (Gl. 4.8) gilt auch ür dicke Linsen und Linsensysteme, woei die Gegenstandsweite g und die ojektseitige Brennweite 1 von der ojektseitigen Haupteene aus, die Bildweite und die ildseitige Brennweite 2 von der ildseitigen Haupteene aus gemessen werden. Beinden sich der Gegenstand G und das Bild B im gleichen Medium, so sind die ojektseitige und die ildseitige Brennweite gleich ( 1 = 2 = ). Die Aildungsgleichung vereinacht sich dann zu: 1 g + 1 = 1 (4.9) und der Aildungsmasssta des optischen Systems ist gegeen durch B G = g (4.10) (vergleiche auch die Konstruktion des Bildes in A. 4.4). c) Reelle und virtuelle Bilder In A. 4.6 ist am Beispiel einer dünnen Sammellinse die Konstruktion reeller Bilder und virtueller Bilder illustriert. Ein reelles Bild entsteht, wenn sich die Lichtstrahlen tatsächlich in einem Punkt schneiden. Ein virtuelles Bild ensteht, wenn sich nur die Rückverlängerungen der wirklichen Lichtstrahlen in einem Punkt schneiden. Reelle Bilder können au einem Schirm sichtar gemacht werden, virtuelle Bilder nicht. G g F 2 L 1 B G B g F 2 Aildung 4.6: Reelles (links) und virtuelles (rechts) Bild an einer dünnen Sammellinse. PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

5 4.2. THEORETISCHER TEIL 5 g > 2 2 > g > g < g = 2 g = Aildung 4.7: Üungen zur Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse. PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

6 6 4. Optische Aildung durch Linsen 4.3 Experimenteller Teil Im ersten Teil des Versuchs sollen die Brennweiten zweier dünner Linsen estimmt, im zweiten Versuchsteil ein Gegenstand mit vorgegeener Vergrösserung zw. vorgegeener Gegenstandsweite ageildet und im dritten Versuchsteil die Brennpunkte und die Haupteenen eines Linsensystems estimmt werden. Als Vorereitung au den eigentlichen Versuch soll zunächst anhand der in A. 4.7 gezeigten Beispiele die Bildkonstruktion an einer dünnen Sammellinse geüt werden. Konstruieren Sie ür jedes der ün gezeigten Beispiele das Bild des Peils und estimmen Sie jeweils den Aildungsmasssta aus der Figur. a) Bestimmung der Brennweite dünner Linsen Die Brennweiten einer dünnen Sammellinse und einer dünnen Streulinse sollen mit den in A. 4.8 illustierten Anordnungen estimmt werden. Das daür enötigte parallele Licht kann, wie in A. 4.9 dargestellt, mit Hile einer Lochlende und einer Sammellinse erzeugt werden. Die möglichst kleine Lochlende wird mit einer Lampe eleuchtet und genau in den Brennpunkt der Sammellinse geschoen. Das austretende Licht rechts von der Linse ist dann achsenparallel. Sammellinse Streulinse R 1 R 2 F Schirm F d Blende 1 Blende 2 Schirm Aildung 4.8: Bestimmung der Brennweite dünner Sammel- und Streulinsen mit Hile von parallelem Licht. Lochlende Spiegel Aildung 4.9: Erzeugung parallelen Lichts mit Hile einer Sammellinse. PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

7 4.3. EXPERIMENTELLER TEIL 7 Setzen Sie die in A. 4.9 gezeigte Anordnung zur Erzeugung von parallelem Licht zusammen. Veriizieren Sie die Parallelität des austretenden Lichts, indem Sie es mit Hile des Spiegels in sich selst zurückweren und das Bild des relektierten Lichts au der Lochlende eoachten. Verschieen Sie die Linse solange, is der Durchmesser des relektierten Lichtlecks minimal ist. Üerlegen Sie sich, warum die Lichtstrahlen rechts von der Linse jetzt parallel sind. Enternen Sie nun den Spiegel und setzen Sie die zu vermessende Sammellinse und den Schirm, wie links in A. 4.8 gezeigt, in den Strahlengang. Verschieen Sie den Schirm solange, is der Durchmesser des Lichtlecks au dem Schirm minimal ist. Bestimmen Sie die Brennweite der Linse aus dem Astand zwischen Linse und Schirm und schätzen Sie den Fehler a. Enternen Sie nun die Sammellinse und setzen Sie die zu vermessende Streulinse und die zwei Kreislenden, wie rechts in A. 4.8 gezeigt, in den Strahlengang. Verschieen Sie die zweite Kreislende so, dass sie das durch die erste Kreislende durchtretende Licht durchlässt und Sie eine Lichtkreis au dem Schirm sehen. Messen Sie die zwei Radien R 1 und R 2 sowie den Astand d zwischen der Linse und der zweiten Kreislende, und erechnen Sie die Brennweite der Linse mit Hile des Strahlensatzes. Schätzen Sie den Fehler a. ) Aildung eines Gegenstands mit Hile einer Linse ekannter Brennweite Ein Gegenstand soll mit Hile einer Linse ekannter Brennweite zunächst so ageildet werden, dass er au dem Schirm dreiach vergrössert erscheint. Dann soll er mit Hile der gleichen Linse so ageildet werden, dass sein Bild genau 1 m von der Linseneene enternt schar erscheint. In eiden Fällen sollen die korrekten Positionen von Gegenstand, Linse und Schirm zunächst mit Hile der Gl. 4.9 und 4.10 estimmt und dann im Experiment veriiziert werden. Berechnen Sie die Astände zwischen Gegenstand, Linse und Schirm, die ür die gegeene Brennweite der Linse einen Aildungsmasssta von drei ergeen. Setzen Sie den Auau mit den erechneten Aständen zusammen. Veriizieren Sie, dass das Bild au dem Schirm schar ist. Messen Sie Gegenstandsgrösse und Bildgrösse und erechnen Sie den tatsächlichen Aildungsmasssta. Berechnen Sie den Astand von Gegenstand und Linse, ür den sich im einem Astand von 1 m von der Linse ein schares Bild ergit. Setzen Sie den Auau mit dem erechneten Astand zusammen, und veriizieren Sie, dass das Bild au dem Schirm tatsächlich schar ist. c) Bestimmung der Brennpunkte und der Haupteenen eines Linsensystems Die Bestimmung der Brennweite und der zwei Haupteenen eines Linsensystems mit Hile von parallelem Licht soll am Beispiel einer einachen dicken Linse demonstriert werden. Zur Erinnerung: Die Lage der ildseitigen Haupteene ist diejenige gedachte Eene, in der achsenparallel einallende Strahlen so gerochen werden, dass sie sich im ildseitigen Brennpunkt schneiden (siehe A. 4.4). PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017

8 8 4. Optische Aildung durch Linsen B 1 H 2 B S 2 R 1 F 2 R 2 h 2 2 S 2 d 2 Aildung 4.10: Bestimmung der ildseitigen Haupteene eines Linsensystems mit Hile von parallelem Licht. Ihre Lage soll mit der in A illustrierten Anordnung estimmt werden. Das dazu enötigte parallele Licht wird wie im ersten Versuchsteil mit Hile einer eleuchteten Lochlende und einer dünnen Sammellinse erzeugt. Setzen Sie wieder die in A. 4.9 dargestellte Anordnung zur Erzeugung parallelen Lichts zusammen, und veriizieren Sie die Parallelität des austretenden Lichts. Enternen Sie den Spiegel und setzen Sie die zu vermessende dicke Linse und den Schirm in den Strahlengang. Schieen Sie den Schirm in den ildseitigen Brennpunkt des Linsensystems (etrachten Sie dazu den Lichtleck au dem Schirm und verschieen Sie den Schirm so, dass der Durchmesser des Lichtlecks minimal wird). Setzen Sie jetzt, wie in A gezeigt, zusätzlich die eiden Kreislenden B 1 und B 2 in den Strahlengang. Verschieen Sie die Kreislende B 2 so, dass sie das durch die erste Kreislende durchtretende Licht durchlässt, und Sie den Lichtpunkt au dem Schirm sehen. Messen Sie die eiden Radien R 1 und R 2 sowie den Astand d 2 zwischen Schirm und Blende B 2, und erechnen sie die Brennweite 2 mit Hile des Strahlensatzes. Messen Sie den Astand S 2 zwischen Schirm und Ende des Linsensystems, und estimmen Sie den Astand h 2 zwischen dem Ende des Linsensystems und der ildseitigen Haupteene. Was edeutet das Vorzeichen von h 2? Setzen Sie nun die dicke Linse umgekehrt (d.h. mit der Rückseite nach vorn) in den Strahlengang, wiederholen Sie die Messung, und estimmen Sie so die Position der zweiten Haupteene. Kontrollieren Sie daei auch, o die eiden Brennweiten tatsächlich gleich sind. Berechnen Sie den Astand der zwei Haupteenen voneinander und zeichnen Sie das Ergenis Ihrer Messungen massstasgetreu au. PHY102 Praktikum ür das Neenach Physik - Frühjahrsemester 2017