Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)"

Transkript

1 Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe der unendlichen Reihe), flls s n s, wobei s n die n-te prtielle Summe n k= k ist. Für Reihen ht ds Cuchykriterium folgende Gestlt: Stz n= n konvergiert genu dnn, wenn gilt: Zu jedem ǫ > 0 existiert N N, so dß m k < ǫ für lle m n N. k=n+ Flls die Reihe nicht konvergiert, dnn sgt mn, dß sie divergiert. Flls die n nicht-negtiv sind, dnn ist die Folge der prtiellen Summen monotonsteigend. Dmit gibt es in diesem Fll nur zwei Möglichkeiten: entweder sind die prtiellen Summen beschränkt und die Reihe konvergiert; oder die Summen sind nicht beschränkt und die Reihe divergiert. (Mn schreibt dnn mnchml n n = ). Mn sieht sofort, dß eine Reihe n= n nur dnn konvergieren knn, wenn n 0. Denn n = s n+ s n s s = 0. Es gibt ber divergente Reihen n= n, mit n 0. Beispiel. n divergiert. Denn wir können die prtiellen Summen s k+ von unten wie folgt bschätzen: s k+ = + + ( 3 + k+ 4 ) + + ( m= k > + k. Dmit sind die prtiellen Summen nicht beschränkt. Beispiel. Die Reihe n= konvergiert für lle ntürlichen Zhlen k >. nk Wir zeigen dies für den Fll k =. Für den llgemenen Fll, siehe unten. Wir hben die Abschätzung: k+ = + ( n + k+ 3 ) + + n n= n= k Bemerkung. Es gilt sogr n= k r=0 r ( r ). n = π 6, n = π n= (siehe unten oder die Vorlesung: Funktionentheorie ). m )

2 Wir bringen jetzt einige Kriterien für die Konvergenz bzw Divergenz von Reihen: Leibnizsches Konvergenzkriterium für lternierende Reihen Sei ( n ) eine monoton fllende Folge von positiven Zhlen mit lim n = 0. Dnn konvergiert die Reihe n= ( )n n. Beweis. Für die prtiellen Summen s k gilt: s k ist monoton fllend; s k ist monoton steigend; s k s k. Drus folgt: L = lim k s k und L = lim k s k existieren. Außerdem gilt: L L = lim s k lim s k = lim(s k s k ) = lim k = 0. Drus folgt leicht, dß die Reihe konvergiert. Beispiel. ( ) n n= n konvergiert. (In der Tt ist der Grenzwert ln ). Definition Die Reihe n= n heißt bsolut konvergent, flls n= n konvergiert. Es folgt us dem Cuchyschen Konvergenzkriterium, dß die Reihe dnn konvergiert. Denn n n n n. Ds Beispiel n= ( )n zeigt, dß eine Reihe konvergent sein knn, ohne bsolut konvergent zu sein. Wir reden dnn von einer bedingt konvergenten n Reihe. Mjorntenkriterium. Sei n= c n eine konvergente Reihe mit nicht negtiven Gliedern. Dnn konvergiert die Reihe n= n, flls die Folge ( n ) von (c n ) mjorisiert wird (d.h. n c n für jedes n). Beweis. Es gilt dnn n n n c n. Dmit ist ds Konvergenzkriterium von Cuchy erfüllt. D die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe nicht beeinflußt wird, wenn mn endlich viele Glieder verändert, genügt die Bedingung: Es existieren N N ;und K > 0, so dß n Kc n, flls n N. Aus dem letzten Stz folgt ds folgende Kriterium: Vergleichskriterium. Seien ( n ) und (b n ) zwei Folgen mit positiven Glieder. Flls λ > 0 existiert, so dß n b n λ, dnn gilt: n n konvergiert n b n konvergiert. Beweis. Übung.

3 Quotientenkriterium. Sei n eine Reihe mit nicht-verschwindenden Gliedern. Es gebe ein λ mit 0 < λ <, so dß n+ n λ für lle n. Dnn konvergiert die Reihe (bsolut). Beweis. Es folgt leicht us der Vorussetzung, dß mn die Reihe durch eine (konvergierende) geometrische Reihe mjorisieren knn. Wurzelkriterium. Sei n eine unendliche Reihe und es gelte: lim n /n = λ, wobei λ <. Dnn ist die Reihe (bsolut) konvergent. Beweis. Wiederum knn mn die Reihe mit einer geometrischen Reihe mjorisiern. Bemerkung. In der Tt reicht die Bedingung lim sup n n /n = λ < für die Konvergenz. Ähnlich genügt die Bedingung: lim sup n+ n < beim Quotientenkriterium. Beispiele. I. n n= konvergiert (Quotientenkriterium). n II. n. Wir wissen, dß diese Reihe divergiert. Es gilt ber n+ bzw. n /n < für jedes n. n < für jedes n III. Die Reihen n und zeigen, dß die Quotienten- und Wurzelkriterien keine n Informtion liefern, wenn die entsprechenden Limiten gleich sind. Divergenzkriterien: Anlog zu den obigen Kriterien, gibt es welche, die Divergenz bestimmen. Wir erwähnen drei dvon: Stz 3 Flls die Reihe n n von nicht negtiven Gliedern divergiert, dnn uch n b n, flls b n n für jedes n. Flls die Reihe n n die Bedingung lim n+ n λ erfüllt, wobei λ >, dnn divergiert die Reihe. Flls die Reihe n n die Bedingung lim n /n λ erfüllt, wobei λ >, dnn divergiert die Reihe. Stz 4 Sei n= n bsolut konvergent. Dnn konvergiert jede Reihe, die us der Reihe durch Umordnen entsteht, und zwr gegen die gleiche Summe. Genuer: Für jede bijektive Abbildung σ : N N konvergiert die Reihe n= σ(n) gegen = n= n. 3

4 Beweis. Sei ǫ > 0 gegeben. Wir wählen N so, dß k=n n < ǫ, wenn n N. Sei dnn N so, dß {σ(),..., σ(n)} {,..., N }. Es gilt dnn für m N: m m N N σ(k) σ(k) n + n k= k= n= n= n + ǫ < ǫ. n=n + Für bedingt konvergente Reihen gilt dieser Stz nicht. In der Tt knn mn jede solche Reihe so umordnen, ds sie divergiert oder gegen jeden willkürlichen Wert konvergiert!! Denn sei n eine Reihe. Wir zerlegen diese in die Differenz von zwei Reihen mit nichtnegtiven Elementen + n und n, wobei { + n = n ( n 0) 0 sonst bzw. n = { n ( n 0) 0 sonst. Mn sieht leicht, dß n genu dnn bsolut konvergent ist, wenn diese zwei Reihen konvergieren. Andererseits divergieren beide, flls n bedingt konvergent ist. Sei jetzt L eine willkürliche Zhl. Mn konstruiert eine Umordnung, die gegen L konvergiert wie folgt. Zunächst wählt mn genügend viele positive Glieder, dß die Summe größer ls L wird. Dnn nimmt mn negtive Elemente, dmit die Summe wieder kleiner ls L wird usw. Bezüglich des Verhltens von Reihen gegenüber den lgebrischen Opertionen gilt: Stz 5 Flls die Reihen n n und n b n konvergieren, dnn konvergiert uch die Summe n ( n + b n ) (ntürlich gegen n n + n b n). Flls n= n und n= b n bsolut konvergent sind, dnn ist uch n= c n (mit c n = i+j=n ib j ) bsolut-konvergent. Außerdem gilt: ( )( ) c n = i b k. n= i= Beweis. Seien und b die Summen der entsprechenden Reihen bzw. A und B die Summen der Reihen der Absolutbeträge. Wir zeigen lim n n= c n = b. Wähle N so, dß ( n k)( n b k) b < ǫ für n N; k=n k < ǫ für n N; k=n b k < ǫ für n N. k= Dnn gilt, für n N, n c k b < ǫ( + A + B). 4

5 Beispiel. (Die Exponentilreihe.) Betrchte die Reihe n=0. Aus dem Quotientenkriterium sieht mn leicht, dß die Reihe für jedes x R konvergiert, und zwr bsolut. n! Wir schreiben exp x für die Summe. Insbesonders, e = exp() = n=0 Zhl. x n n! ist die Eulersche Aus der Formel für ds Produkt von zwei bsolut-konvergierenden Reihe berechnet mn den Stz 6 (Funktionlgleichung der Exponentilfunktion.) Für x, y R gilt: Beweis. Sei i = xi i!, b j = yj. Dnn ist j! c n = n exp(x + y) = exp(x). exp(y). x n k y k (n k)! k! = n! n ( ) n x n k y k = k n! (x + y)n. Drus folgen einige Eigenschften der Exponentlfunktion: für x R, gilt exp x > 0; exp( x) = (exp(x)) ; exp n = e n für n Z. Weitere Beispiele von Funktionen, die mn mit Hilfe von geeigneten Reihen definieren knn sind: Die trigonometrischen Funktionen: Wir definieren: cosx = sin x = ( ) k xk (k)! ( ) k x k+ (k + )!. Die Reihen konvergieren bsolut für jedes x R (Quotientenkriterium). Aus der Definition sieht mn unmittelbr, dß cos 0 =, sin 0 = 0; cos( x) = cos x, sin( x) = sin x; cos(x + y) = cos x cosy sin x sin y; sin(x + y) = sin x cosy + cos x sin y; cos (x) + sin (x) = ; sin x sin y = cos x + y cosx cosy = sin x + y sin x y ; sin x y. 5

6 Beweis. () und () sind trivil. (3) und (4) beweist mn mit Hilfe der Cuchyproduktes, wie bei der Funktionengleichung der Exponentilfunktion. D wir später einen einfcheren Beweis geben werden, verzichten wir hier uf die Komputtion. (5), (6), (7) folgen us (3) und (4). Weitere trigonometrische Funktionen: Mit Hilfe der Funktionen sin und cos können wir folgende weitere trigonometrischen Funktionen definieren: tn x = sin x cosx ; cosec (x) = sin x ; cotn (x) = cosx sin x ; sec (x) = cosx. Selbstverständlich sind diese Funktionen nur für die x definiert, für die die entsprechenden Nenner ungleich Null sind. Die Eigenschften dieser Funktionen knn mn us den entsprechenden Eigenschften von sin und cos bleiten. Z.B. gilt folgende Summenformel für tn: Uneigentliche Integrle: tn(x + y) = tn x + tn y tn xtn y. I. Integrle mit unendlichen Integrtionsgrenzen: Sei f : [, [ R eine beschränkte Funktion. Flls existiert, ist ds Integrl lim c c f(x) dx f(x) dx konvergent und wir definieren f(x) dx = lim c c f(x) dx. Ähnlicherweise definieren wir die Existenz und den Wert von f(x) dx bzw. f(x) dx für eine Funktion f, die uf ], ] bzw. uf R definiert ist. R II. Integrle, wobei der Integrnd Singulritäten ht bzw. nicht beschränkt ist. Sei etw f :], b] R so, dß für jedes ǫ > 0, die Einschränkung der Funktion uf [ + ǫ, b] beschränkt und integrierbr ist. Flls existiert, setzt mn den Wert von b lim ǫ 0+ +ǫ f(x) dx gleich dem Limes. b f(x) 6

7 Wir bemerken hier, dß es Kriteri für die Konvergenz und Divergenz von uneigentlichen Integrlen gibt, die nlog der obigen Kriteri für Reihen sind. Weiterhin unterscheidet mn zwischen bsolut-konvergenten und bedingten konvergenten Integrlen. Z. B. konvergiert ds uneigentlich Integrl 0 dgegen divergiert. Beispiele. Betrchte die Integrle sinx x dx (sein Wert ist π siehe Übungen). 0 x α dx sinx x dx und 0 x α dx. Ds erste Integrl konvergiert genu dnn, wenn α >, ds zweite wenn α <. Integrlkriterium für die Konvergenz von Reihen. Sei f : [, [ R eine nicht negtive, monoton fllende Funktion. Dnn konvergiert die Reihe n= f(n) genu dnn, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert. Beweis. Dß die Konvergenz des Integrls diejenige der Reihe impliziert, folgt us der Ttsche, dß N n= f(n) ds Integrl einer Treppenfunktion ist, die von f mjorisiert wird. Andererseits ist n= f(n) ds Integrl einer Treppenfunktion, die f mjorisiert. Beispiele. Die Reihe n= n α. Mithilfe des Stzes können wir sofort bleiten, dß n α konvergiert für α > und divergiert für α. 7

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

9.4 Integration rationaler Funktionen

9.4 Integration rationaler Funktionen 9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

6.4 Uneigentliche Integrale

6.4 Uneigentliche Integrale 6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

Hilfsblätter Folgen und Reihen

Hilfsblätter Folgen und Reihen Hilfsblätter Folgen und Reihen Sebstin Suchnek unter Mithilfe von Klus Flittner Steffen Hofmnn Mtthis Stb c 2002 by Sebstin Suchnek Printed with L A TEX Inhltsverzeichnis 1 Folgen 1 1.1 Definition.........................................

Mehr

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 +

Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe. a 0 + a 1 + a 2 + 8 Reihen 38 8 Reihen Wenn man eine Folge gegeben hat, so kann man auch versuchen, eine Summe a 0 + a + a 2 + zu bilden. Wir wollen nun erklären, was wir darunter verstehen wollen. Zunächst kann man die

Mehr

Kapitel 5 Reihen 196

Kapitel 5 Reihen 196 Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel

Mehr

29 Uneigentliche Riemann-Integrale

29 Uneigentliche Riemann-Integrale 29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe

Mehr

D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr

D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu MC-Fragen Serie 1 Einsendeschluss: Freitag, der 26.09.2014 12:00 Uhr 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Eine divergente Folge ist nicht

Mehr

9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6 Parameterabhängige Integrale Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,

Mehr

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen

10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10 Kriterien für absolute Konvergenz von Reihen 10.1 Majoranten- und Minorantenkriterium 10.3 Wurzelkriterium 10.4 Quotientenkriterium 10.9 Riemannscher Umordnungssatz 10.10 Äquivalenzen zur absoluten

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, a k.

eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, a k. Analysis, Woche 7 Reihen I 7. Folgen aus Folgen Wenn a n eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge s n konstruieren durch s n = a 0 + a + + a n, oder netter geschrieben s n =

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

2.6 Unendliche Reihen

2.6 Unendliche Reihen 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen

Mehr

Die alternierende harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Reihe. Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y

KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)

Mehr

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert

x k = s k=1 y k = y konvergent. Dann folgt (cx k ) = cx für c K. Partialsummenfolge konvergiert 4 Reihen Im Folgenden sei K R oder K C. 4. Definition. Es sei (x k ) Folge in K. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K

Mehr

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R

Kap. 10: Folgen und Reihen. Eine Funktion a : N Ñ R Definition: Zahlenfolge Kap. 10: Folgen und Reihen 10.1 Definition: Zahlenfolge Eine Funktion a : N Ñ R poder Cq heißt reelle (oder komplexe) Zahlenfolge. Man nennt a n apnq das n-te Folgenglied und schreibt

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium

Mehr

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale

Taylorreihen - Uneigentlische Integrale Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:

Mehr

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz

Folgen und Reihen. 1 Konvergenz Folgen und Reihen Man betrachte viele Zahlen hintereinander geschrieben. Solche Folgen von Zahlen können durch nummeriert werden. Es entsteht eine Zuordnung der natürlichen Zahlen zu den Gliedern der Folge.

Mehr

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0 Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe

Mehr

9 Das Riemannsche Integral

9 Das Riemannsche Integral 1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit

Mehr

Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,

Mehr

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1

f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt

Mehr

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 = 3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert

Mehr

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.

Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge

Mehr

Musterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung

Musterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt

Mehr

1. Die reellen Zahlen

1. Die reellen Zahlen . Die reellen Zhlen Die reellen Zhlen sind eine Menge R zusmmen mit zwei Rechenvorschriften, die je zwei Elementen x, y R ein Element x + y R und ein Element x y R zuordnen, wobei ferner eine Teilmenge

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 8. Reihen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 8. Reihen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016 G. Matthies Ingenieurmathematik

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N

Mehr

Formelsammlung. Folgen und Reihen

Formelsammlung. Folgen und Reihen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n

Mehr

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen

Infinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung

Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung 5.03.20 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition.................................... 3.2 Konvergenzkriterien für Reihen........................

Mehr

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n)

2 Folgen und Reihen. 2.1 Folgen in C Konvergenz von Folgen. := f(n) 2 Folgen und Reihen 2.1 Folgen in C 2.1.1 Konvergenz von Folgen Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Funktion f : N C. Mit a n schreibt man (a n ) n=1, (a n ) oder auch a 1, a 2,.... := f(n) (a n ) heißt

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die 3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch

Mehr

Funktionenfolgen. Kapitel 6

Funktionenfolgen. Kapitel 6 Kpitel 6 Funktionenfolgen Bemerkung 6.1 Motivtion. Dieser Abschnitt betrchtet die Konvergenz von Folgen von uf einem gemeinsmen Intervll definierten Funktionen. Dies ist eine wichtige Grundlge, um eine

Mehr

KAPITEL 2. Folgen und Reihen

KAPITEL 2. Folgen und Reihen KAPITEL 2 Folgen und Reihen 1. Konvergenz und Divergenz Definition 2.1 (Folgen). Eine Abbildung a : N R (bzw. a : N 0 R) nennt man Folge. Statt a : N R schreibt man meist (a n ) n N und a n statt a(n).

Mehr

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine

Mehr

Folgen und Reihen. Thomas Blasi

Folgen und Reihen. Thomas Blasi Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

4. Reihen. Im Folgenden sei K = R oder K = C und (x k ), (y k ),... Folgen in K Definition. Wir schreiben. x k = s. und sagen, die Reihe

4. Reihen. Im Folgenden sei K = R oder K = C und (x k ), (y k ),... Folgen in K Definition. Wir schreiben. x k = s. und sagen, die Reihe 9 4. Reihen Im Folgenden sei K R oder K C und (x k ), (y k ),... Folgen in K. 4.. Definition. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k

Mehr

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit

Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen

Mehr

Zusammenfassung Analysis für Informatik

Zusammenfassung Analysis für Informatik Zusmmenfssung Anlysis für Informtik Stefn Hider e25543@student.tuwien.c.t Sommersemester 202 Prüfungsstoff 4. - 6.3, 7.5, 7.6 und 9. Inhltsverzeichnis Folgen reeller Zhlen 3. Beispiele für Folgen......................................

Mehr

Analysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer

Analysis I. TU Dortmund, Wintersemester 2013/14. Ben Schweizer Anlysis I TU Dortmund, Wintersemester 2013/14 Ben Schweizer Inhltsverzeichnis 1 Reelle Zhlen 1.1 Logische Grundlgen: Aussgen, Beweise, Mengen........ 3 1.2 Die Zhlenbereiche N, Z und Q..................

Mehr

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe. 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 5-E Ma 2 Lubov Vassilevskaya Folgen und Reihen: Beispiele Unter dem Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe n i= versteht man einen funktionalen Zusammenhang

Mehr

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014 Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24

Mehr

2.5 Messbare Mengen und Funktionen

2.5 Messbare Mengen und Funktionen 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M.

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.

Integration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung:  wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die

Mehr

c < 1, (1) c k x k0 c k = x k0

c < 1, (1) c k x k0 c k = x k0 4.14 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+1 x k c < 1, (1) so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus (1) folgt mit vollständiger

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Wintersemester 2015/16) Kapitel 7: Konvergenz und Reihen Prof. Miles Simon Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg.

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung

Mehr

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008

Ferienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008 Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt.

7 KONVERGENTE FOLGEN 35. inf M = Infimum von M. bezeichnet haben. Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt. 7 KONVERGENTE FOLGEN 35 und die größe untere Schranke mit bezeichnet haben. inf M = Infimum von M Definition. Sei (a n ) n N eine beschränkte Folge in R. Dann heißt der Limes superior der Folge, und lim

Mehr

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.

5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit

Mehr

Analysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013

Analysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Anlysis I- III, WS 2011/2012, SS 2012, WS 2012/2013 Holger Dette Ruhr-Universität Bochum Fkultät für Mthemtik 44780 Bochum Germny emil: holger.dette@ruhr-uni-bochum.de FAX: +49 2 34 3214 559 Tel.: +49

Mehr

Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik

Analysis für Informatiker und Lehramt Mathematik Anlysis für Informtiker und Lehrmt Mthemtik Wintersemester 05 / 06 Dr. Agnes Rdl 6. Oktober 06 Ds L A TEX-Skript wurde von Dipl.-Mth. Ptrici Reuther erstellt und ufbereitet nhnd meines Vorlesungsmnuskriptes

Mehr

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion

Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion Ferienkurs Seite 1 Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Wintersemester 2011/12 Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion 20.03.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Folgen 2

Mehr

Kapitel 8. Ergänzungen zum Riemann Integral

Kapitel 8. Ergänzungen zum Riemann Integral Kpitel 8 Ergänzungen zum iemnn Integrl 8. Ds Integrbilitätskriterium von Lebesgue 8.2 Ds Integrl für komplexwertige Funktionen 8.3 Uneigentliche Integrle 8.4 Ein Integrlkriterium für eihen 8.5 Die Gmm

Mehr

Riemann-integrierbare Funktionen

Riemann-integrierbare Funktionen Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-

Mehr

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert

REIHENENTWICKLUNGEN. [1] Reihen mit konstanten Gliedern. [2] Potenzreihen. [3] Reihenentwicklung von Funktionen. Eine kurze Einführung Herbert Paukert Reihenentwicklungen Herbert Paukert 1 REIHENENTWICKLUNGEN Eine kurze Einführung Herbert Paukert [1] Reihen mit konstanten Gliedern [2] Potenzreihen [3] Reihenentwicklung von Funktionen Reihenentwicklungen

Mehr

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =

Mathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt = Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.

Mehr

Mathematik Rechenfertigkeiten

Mathematik Rechenfertigkeiten 26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August

Mehr

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte

Folgen und Reihen. Kapitel Folgen und Grenzwerte Kapitel 3 Folgen und Reihen Wie bereits in der Einleitung angedeutet, beschäftigt sich die Analysis sehr stark mit Grenzprozessen. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Grenzprozesse, nämlich die

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt

Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2

Mehr

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung

3. Folgen und Reihen. 3.1 Folgen und Grenzwerte. Denition 3.1 (Folge) Kapitelgliederung Kapitelgliederung 3. Folgen und Reihen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechenregeln für konvergente Folgen 3.3 Monotone Folgen und Teilfolgen 3.4 Ein Algorithmus zur Wurzelberechnung 3.5 Reihen 3.6 Absolut

Mehr

Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem

Mehr

Mathematik I - Woche 10

Mathematik I - Woche 10 Mathematik I - Woche 0 Philip Müller Reihen. Was ist eine Reihe Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (a n ) n N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein

Mehr

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9 Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen 9.2 Konvergenz von Reihen 9.5 Monotoniekriterium für Reihen 9.6 Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen 9.9 Rechenregeln für konvergente Reihen 9.10 Absolute

Mehr

Ferienkurs Analysis 1

Ferienkurs Analysis 1 Skript Ferienkurs Analysis 1 Fabian Hafner und Thomas Baldauf TUM Wintersemester 2016/17 04.04.2017 Das Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas Wörfel.

Mehr

10 Integrationstechniken

10 Integrationstechniken Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion

Mehr

Serie 13 Lösungsvorschläge

Serie 13 Lösungsvorschläge D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter

Mehr

1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N.

1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N. Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.1) Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung N R. Schreibweise: ( n ) n N. (1.2) Sei ( n ) n N eine Folge. ) Für n j N mit 1 n 1 < n 2

Mehr

Höhere Mathematik Vorlesung 2

Höhere Mathematik Vorlesung 2 Höhere Mthemtik Vorlesung 2 März 217 ii Ordnung brucht nur der Dumme, ds Genie beherrscht ds Chos. Albert Einstein 2 Prmeterbhängige Integrle Sie belieben wohl zu scherzen, Mr. Feynmn! Eine Sche, die ich

Mehr

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007 Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................

Mehr

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C

Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr